1 SA et 1 SB DM N 1 Année 2017/2018
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- Madeleine Desmarais
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1 1 SA et 1 SB DM N 1 Année 2017/2018 Distribué Jeudi 14 Septembre pour Mercredi 20 Septembre. Le devoir peut être cherché en groupe mais la rédaction doit être individuelle. Exercice 1 : 1) Résoudre les équations suivantes dans l ensemble R des nombres réels : a) -8x - 8 = 2 b) (2x-1)(x+1) = -2 c) + x + 2 = 0 d) x = 0 2) Donner la forme canonique des fonctions polynômes du second degré suivantes : f (x) = - + x - g(x) = 9-6 x +5 Exercice 2 : Soit m ϵ R et f la fonction définie par f(x) = - (m+1) x + 4. a) Pour quelle(s) valeur(s) de m l équation f(x) = 0 admet elle une seule solution? Calculer alors cette solution. b) Pour quelle(s) valeur(s) de m l équation f(x) = 0 n admet elle aucune solution? Exercice 3 : On définit dans R la fonction f par f(x) = 2-5x + 4 et on appelle ( ) la parabole représentant f. Etudier suivant les valeurs de x, les positions relatives de la parabole ( ) et de la parabole ( d équation y = -2x + 8. Lycée Jay de Beaufort Page 1
2 Exercice 4 : On considère un trinôme du second degré f défini sur R par : f(x) = a + bx + c. La représentation graphique de f est donnée cicontre. En utilisant cette représentation graphique, choisir pour chacune des questions suivantes la seule bonne réponse. On justifiera son choix avec soin. Question 1 : Le coefficient a est : Question 2 : Le coefficient b est : Question 3 : Le coefficient c est : Question 4 : Le discriminant Δ est : Question 5 : La somme des coefficients a + b + c est : a) Strictement positive b) Strictement négative c) On ne peut pas savoir Lycée Jay de Beaufort Page 2
3 Correction : Exercice 1 : 1) a) -8x - 8 = x + 8 = 0 2 = 0 (x+2)=0 x = -2 S = {-2} b) (2x-1)(x+1) = x + 1=0 (après développement et réduction) Δ = -7 Le discriminant est négatif donc l équation n admet pas de solution réelle. S = c) L équation existe pour x -1 0 c est -à -dire x 1 : 1 est donc une valeur interdite. Pour x 1 : + x + 2 = 0 x(x+1)=0 x = 0 ou x = -1 0 et -1 ne sont pas des valeurs interdites donc, S = {-1 ;0}. d) x = 0 x(5 + 3x 8) =0 x = 0 ou 5 + 3x 8 = x 8 =0 est une équation du second degré de discriminant Δ = 169. Elle admet deux solutions distinctes 1 et -. Donc l ensemble des solutions est S = {- ;0 ; 1}. 2) Formes canoniques : A redémontrer en utilisant les identités remarquables. a) f(x) = - -1 b) g(x) = Exercice 2 : a) L équation admet une seule solution lorsque son discriminant Δ = est nul. Or, Δ = 0 m = 3 ou m = -5. Ainsi, l équation admet une seule solution pour m = 3 ou m = -5. Lycée Jay de Beaufort Page 3
4 Pour m = 3 : f(x) = 0-4x + 4 = 0 ( = 0 x 2 = 0 x = 2. Ainsi, 2 est la solution de l équation. Pour m = -5 : f(x) = 0 + 4x + 4 = 0 ( = 0 x + 2 = 0 x = - 2. Ainsi, - 2 est la solution de l équation. b) L équation n admet aucune solution lorsque son discriminant Δ est strictement négatif. On résout : Δ < 0 < 0 (m-3)(m+5) < 0. (m-3)(m+5) est un trinôme du second degré (la variable est m) sous forme factorisée ; il admet pour racines -5 et 3 et le coefficient du terme en est a = 1.Comme a > 0, d après le cours, le trinôme est de signe négatif à l intérieur des racines donc pour m ϵ ]-5 ;3[. L équation n admet aucune solution lorsque m ϵ ]-5 ;3[. Exercice 3 : Posons g(x) = -2x + 8 Etudions le signe de [f(x)- g(x)] pour tout x réel : x R, f(x)- g(x) = -3x 4. -3x 4 est un trinôme du second degré de discriminant Δ= 25. Ses racines sont -1 et 4. Le coefficient de est 1 > 0. On en déduit le signe de -3x 4 et les positions des deux paraboles : Lorsque x ]- ;-1 [ ] 4 ;+ [, -3x 4 > 0 donc f(x) > g(x). Ainsi, ( ) se situe strictement au dessus de ( ) sur chacun des intervalles ]- ;-1 [ et ] 4 ;+ [. Lorsque x ]- 1 ; 4 [, -3x 4 < 0 donc f(x) < g(x). Ainsi, ( ) se situe strictement au dessous de ( ) sur l intervalle ]- 1 ;4 [. Enfin, lorsque x = -1 ou x = 4, f(x) = g(x), on en déduit que ) et ( ) sont sécantes en deux points d abscisses -1 et 4. Exercice 4 : Question 1 : a < 0 car la concavité de la courbe est tournée vers le bas. Question 2 : b > 0. Lycée Jay de Beaufort Page 4
5 En effet, le sommet S de la parabole est tel que son abscisse est strictement positive. Or d après le cours, = -. D après la Question 1, a < 0 donc - > 0, donc le signe de - sera strictement positif si et seulement si b > 0. Question 3 : c < 0 car f(0) = c, et d après la courbe f(0) < 0.(par lecture graphique f(0) -1) Question 4 : Δ > 0 car la courbe coupe l axe des abscisses en deux points distincts, donc f admet deux racines distinctes. Question 5 : a + b + c > 0 car f(1) = a + b + c et f(1) > 0 d après la courbe (f(1) 1) Lycée Jay de Beaufort Page 5
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