Soit u n la suite définie par u n. La suite u est strictement décroissante et converge vers 0. u et. v les suites définies par. Soit.
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- Edgar Gaumond
- il y a 6 ans
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1 TS Exercices sur les limites de suites () Réposes Soit u ue suite géométrique de premier terme u 0 et de raiso q Das chacu des cas suivats, doer la limite de la suite u ) u0 ; q ) u 0 ; q ) 0 ) u0 6 ; q ) 0 u ; u ; q q 6 ) u0 ; q 0,9 Soit u la suite défiie sur par u Le but de l exercice est de détermier la limite de la suite u ) Démotrer que l o recotre ue forme idétermiée ) a) Vérifier que, pour tout etier aturel, o a : b) Quelle est la limite de la suite u? Soit u la suite défiie sur par u Le but de l exercice est de détermier la limite de la suite u u ) Démotrer que l o recotre ue forme idétermiée ) a) Vérifier que, pour tout etier aturel, o a : b) Quelle est la limite de la suite u? u Soit u la suite géométrique de premier terme u et de raiso q Pour tout etier aturel, o ote S u u u ) Exprimer S e foctio de ) Étudier la covergece de la suite S Pour chacue des propositios suivates, répodre par vrai ou faux Justifier la répose doée : das le cas où la propositio paraît fausse, e doat u cotre-exemple ; das le cas où la propositio paraît exacte, e doat ue démostratio a) Toute suite strictemet décroissate a pour limite b) Pour toutes suites u et v à termes strictemet positifs qui ot pour limite +, la suite u v c) Pour tout réel 0 q, la suite q d) Il existe des suites qui ot pas de limite a pour limite + coverge vers 6 Soit u ue suite Dire si chacue des propositios suivates est vraie ou fausse et justifier la répose ) Si u coverge, alors u coverge ) Si u coverge, alors u coverge ) + ) ) 0 ) 0 ) 6 ) 0 ) O recotre ue forme idétermiée du type ) b) lim u 0 ) O recotre ue forme idétermiée du type ) b) lim u 0 ) S a) F b) F c) F d) V ) a) O doe u cotre-exemple lim S Remarque de logique : La égatio de «toute» est «au mois ue» Soit u la suite défiie par u La suite u est strictemet décroissate et coverge vers 0 b) O doe u cotre-exemple Soit u et Les suites u v v les suites défiies par u et u La suite diverge vers + v u et v v diverget toutes les deux vers + NB : Ce type de questio est u problème de «croissace comparée» c) O doe u cotre-exemple Soit u la suite défiie par u La suite u coverge vers 0 car (cours sur la limite d ue suite géométrique d) O doe u exemple Remarque sur la formulatio de la propositio : «Il existe des» sigifie ici «Il existe au mois ue» La suite u défiie par u a pas de limite
2 6 Il s agit d u exercice de logique Ue remarque cocerat les otatios : u u désige la suite de terme gééral ) V (opératios algébriques sur les suites covergetes ; si u coverge vers l, alors u u u coverge vers l ) u ) ) F (u cotre-exemple est fouri par la suite u défiie sur par La suite u a pas de limite mais la suite covergete (vers u qui est costate (puisque tous les termes sot égaux à ) est Solutios détaillées O peut vérifier les calculs de limites de suites avec u logiciel de calcul formel Thème de l exercice : détermier la limite d ue suite géométrique Méthode : O commece par exprimer le terme gééral de la suite e foctio de O écrit le résultat e écriture symbolique (la flèche est le verbe «ted vers» ) ( u ) : suite géométrique de premier terme u0 et de raiso q Détermios la limite de la suite ( u u O peut dire que doc lim Par suite, lim u (règle du cours O peut dire e utilisat le vocabulaire du cours que la suite u diverge vers + O peut aussi dire qu elle ted vers + ) ( u ) : suite géométrique de premier terme u0 et de raiso q Détermios la limite de la suite ( u O peut dire que doc lim (règle du cours Par suite, lim u u O peut dire e utilisat le vocabulaire du cours que la suite u diverge vers ) ( u ) : suite géométrique de premier terme u0 et de raiso Détermios la limite de la suite ( u O peut dire que doc Par suite, lim u 0 u lim 0 (règle du cours q O peut dire e utilisat le vocabulaire du cours que la suite u coverge vers 0
3 ) ( u ) : suite géométrique de premier terme u0 6 et de raiso Détermios la limite de la suite ( u O peut dire que doc Par suite, lim u 0 u 6 lim 0 (règle du cours q O peut dire e utilisat le vocabulaire du cours que la suite u coverge vers 0 ) ( u ) : suite géométrique de premier terme u0 et de raiso q Détermios la limite de la suite ( u O peut dire que u doc lim (règle du cours Par suite, lim u O peut dire e utilisat le vocabulaire du cours que la suite u diverge vers 6 ) ( u ) : suite géométrique de premier terme u0 et de raiso q = 0,9 Détermios la limite de la suite ( u O peut dire que u 0,9 0,9 doc lim 0,9 0 (règle du cours Par suite, lim u 0 O peut dire e utilisat le vocabulaire du cours que la suite u coverge vers 0 u ) Démotros que l o recotre ue forme idétermiée lim car doc o recotre ue forme idétermiée du type «lim car» O écrit pas : lim u O se garde égalemet d écrire FI i lim u lim u (même si o écrit «forme idétermiée» à côté lim FI lim est pas égal à (car o e peut pas cosidérer l ifii est pas u ombre ) a) Vérifios que u u b) Détermios la limite de la suite u NB : O va réussir à trouver la limite de la suite par ue autre expressio lim 0 car doc par limite d ue somme, lim u 0 lim 0 car O peut dire e utilisat le vocabulaire du cours que la suite u coverge vers 0 O peut reteir la méthode de cet exercice qui a permis de lever la FI (méthode de réécriture O pourrait aussi s appuyer sur d autres raisoemets qu ous utiliseros pas cette aée («termes prépodérats : ici la puissace de est prépodérate sur la puissace de O a «trafiqué» l expressio de u afi d obteir ue expressio qui ous arrage pour détermier la limite Das certais cas, il faudra savoir faire cette démarche soi-même sas idicatio NB : «Forme idétermiée» e veut pas dire que la suite a pas de limite Ici, cela veut tout simplemet dire que la forme de base e permet pas de savoir si la suite admet ue limite i la valeur de la limite
4 u ) Démotros que l o recotre ue forme idétermiée lim car doc o recotre ue forme idétermiée du type «lim car» u : suite géométrique de premier terme u et de raiso q S u u u O peut écrire S k u k k ) a) Vérifios que u b) Détermios la limite de la suite u u lim 0 car doc par limite d u produit, lim u 0 0 lim car et 0 O peut dire e utilisat le vocabulaire du cours que la suite u coverge vers 0 De ouveau, o voit das cet exercice u moye de lever la FI (méthode de réécriture O a pas besoi d écrire ) Exprimos S e foctio de u u D après la formule sommatoire doat la somme des premiers termes d ue suite géométrique, S u u u q u q Formule sommatoire doat la somme des termes cosécutifs d ue suite géométrique : terme er q q ombre de termes ) Étudios la covergece de la suite S lim lim 0 car doc lim
5 Doc par limite d u produit : lim S Commetaire : O voit ici ue somme de termes qui coverge! O peut aisémet voir que est pas u majorat de la suite ( S Le lie etre majorat et limite de suite sera explicité plus tard Vrai ou faux? Il s agit de phrases quatifiées méthode : a) Toute suite strictemet décroissate a pour limite Soit u la suite défiie sur par u La suite u est strictemet décroissate et coverge vers 0 D autres cotre-exemples sot évidemmet possibles Il est possible de cosidérer la suite u défiie sur par u 0,9 u est strictemet décroissate à partir de l idice 0 et lim u 0 (car < 0,9 < Toute suite géométrique de premier terme strictemet positif et de raiso comprise strictemet etre et fourit u cotre-exemple Quad c est vrai, il faut justifier de maière géérale (si c est ue phrase du type «pour tout») avec u exemple (si c est ue phrase du type «il existe») Quad c est faux, il faut justifier avec u cotre-exemple (si c est ue phrase du type «pour tout») b) Pour toutes suites u et v à termes strictemet positifs qui ot pour limite +, la suite u v Soit u et Les suites v les suites défiies par u et u et v v diverget toutes les deux vers + coverge vers de maière géérale (si c est ue phrase du type «il existe») u v Il faut trouver u bo cotre-exemple O essaie de trouver u cotre-exemple simple difficulté : O doit s efforcer de rédiger correctemet (rédactio-type à appredre u La suite diverge vers + v NB : Ce type de questio est u problème de croissate comparée Il y a d autres cotre-exemples possibles comme celui qui est doé ci-dessous Soit u et v les suites défiies par u et v (o s appuie sur l exercice O a : lim u et lim v (car > et > De plus u v u Doc lim 0 v (car
6 u Doc la suite coverge vers 0 et o pas v c) Pour tout réel 0 O pred q q, la suite q O a q 0 doc la coditio est respectée a pour limite + Pourtat, lim 0 La suite u coverge vers 0 car (cours sur la limite d ue suite géométrique Tout réel q compris etre 0 et fourit u cotre-exemple 6 Vrai ou faux? ) Si u coverge, alors Vrai u coverge Cette phrase exprime ue quatificatio cachée du type «pour tout» Si u coverge vers l, alors Autre méthode : --0 u u u coverge vers l (limite d u produit Vrai : La limite d ue suite u formée du produit de deux suites covergetes est u réel La suite u est doc covergete ) Si u coverge, alors u coverge Cette phrase est la réciproque de la phrase du d) Il existe des suites qui ot pas de limite Vrai Remarque sur la formulatio de la propositio : «Il existe des» sigifie ici «Il existe au mois ue» Rédactio : La suite u défiie par u a pas de limite O cosidère la suite u défiie sur par La suite u u u coverge vers mais u a pas de limite Rédactio : Soit u u la suite défiie par u a pas de limite Toute suite géométrique de premier terme o ul dot la raiso est iférieure ou égale à fourit u exemple pour l affirmatio O peut formuler ces phrases (implicatios) avec les expressios «coditio écessaire» - «coditio suffisate» q q 0 respecte la coditio
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