Ch 4 Séries statistiques à une dimension Définitions et représentation graphique

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1 Ch 4 Séres statstques à une dmenson Défntons et représentaton graphque Termnologe Ensemble étudé = populaton Eléments de cet ensemble = ndvdus ou untés Attrbut consdéré = caractère qu peut être qualtatf ou quanttatf Le caractère prend dfférentes modaltés ou valeurs. Chaque modalté (ou valeur) a un certan effectf, une certane fréquence. Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph Formellement, Populaton composée de N ndvdus Caractère x qu peut prendre k valeurs (k modaltés ) : x 1 :1 ère valeur, x 2 :2 ème valeur,, x k :k ème valeur effectf n 1 effectf n 2 effectf n k fréquence f 1 fréquence f 2 fréquence f k n avec f = N pour =1à k. k k On a n = N et f = 1 =1 = 1 L'ensemble des valeurs possbles du caractère consdéré, complétée par l'effectf (ou par la fréquence) de chacune de ces valeurs, consttue une sére statstque (ou dstrbuton statstque). Un seul caractère consdéré (caractère x) Dstrbuton statstque à une dmenson.

2 Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph I. Dstrbuton d un caractère qualtatf Caractère qualtatf : caractère dont les modaltés ne peuvent pas être mesurées. On peut cependant établr une nomenclature. Ex : Nomenclature des PCS 3 nveaux d'agrégaton emboîtés : - les groupes socoprofessonnels (8 postes) ; - les catégores socoprofessonnelles (24 et 42 postes) ; - les professons (486 postes). Répartton des actfs occupés par catégore socoprofessonnelle en 2007 Catégore socoprofessonnelle En mllers En % Agrculteurs explotants 538 2,1 Artsans, commerçants et chefs d'entreprses ,2 Cadres et professons ntellectuelles supéreures ,5 Professons ntermédares ,6 Employés ,8 Ouvrers ,8 Ensemble ,0 Note : résultats en moyenne annuelle. Champ : France métropoltane, populaton des ménages, actfs de 15 ans ou plus ayant un emplo. Source : Insee, enquêtes Emplo du 1er au 4ème trmestre Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph I. Dstrbuton d un caractère qualtatf 3 types de représentaton graphque Ex : Tableau 4.1 Le marché franças des mobles fn 2007 Nb de cartes SIM, Parts de Opérateurs en mllons marché Orange 24,4 44% SFR 18,8 34% Bouygues Télécom 9,4 17% MVNO 2,8 5% Total 55,4 100% Source : ARCEP Dagrammes en barres Nb cartes SIM, en mllons 25 44% ,4 Caractère consdéré : dentté de l opérateur 4 modaltés 34% 18,8 17% 9,4 Orange SFR Bouygues Télécom 5% 2,8 MVNO Parts de marché, en %

3 Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph I. Dstrbuton d un caractère qualtatf Dagrammes à secteurs Bouygues 17% SFR 34% MVNO 5% Orange 44% Dagrammes fguratfs Orange SFR Bouygues MVNO Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph II. Dstrbuton d un caractère quanttatf II. Dstrbuton d un caractère quanttatf Caractère quanttatf : caractère dont les modaltés sont mesurables Modaltés = valeurs numérques Caractère quanttatf = varable statstque II.1. Varables statstques dscrètes / contnues Varable dscrète (ou dscontnue) : ne peut prendre que certanes valeurs dans son ntervalle de varaton S les valeurs possbles de la varable sont nombreuses, on pourra les regrouper en classes. Varable contnue : peut prendre une nfnté de valeurs Il est nécessare de regrouper les valeurs de la varable en classes.

4 Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph II. Dstrbuton d un caractère quanttatf II.2. Défnton des classes Classes = ntervalles qu regroupent les valeurs possbles de la varable Par conventon, ntervalles fermés à gauche et ouverts à drote Classe : [e -1, e [ extrémté nféreure / \ extrémté supéreure Cf. ex. 2 du dosser de TD 3 (p 64) : revenus regroupés en 5 classes Classe 1 Classe 2 Classe 3 Classe 4 Classe 5 [4, 6[ [6, 8[ [8, 10[ [10, 14[ [14, 20[ \e 1 \e 2 \e 3 \e 4 \e 5 Ampltude d une classe = extrémté sup. extrémté nf. a =e -e -1 Classes d ampltudes constantes ou varables Ex. Tableau 4.3 / \ Ex. Tableau 4.4 Précautons à prendre pour la représent graphque (vor nfra) Chox de l ampltude Feulle de calcul Mcrosoft Excel Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph II. Dstrbuton d un caractère quanttatf Centre de classe = moyenne arthmétque des extrémtés de la classe c e = -1 + e 2 Ex Tableau 4.4 (ancenneté d emménagement) : Centre de la classe [5, 10[ = 7,5 ans Centre de la classe [10, 20[ = 15 ans Pb pour les classes dont l une des extrémtés n est pas défne (1 ère et/ou dernère classe) Pluseurs solutons Tableau 4.4 Ancenneté d'emménagement dans la résdence prncpale en 2005 En année - de 5 [5,10 [ [10, 20[ [20, 30[ 30 et + Total Nb de ménages, en mllers Fréquence, en % 33,5% 18,6% 18,3% 13,9% 15,7% 100%

5 Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph II. Dstrbuton d un caractère quanttatf II.3. Représentaton graphque II.3.1. Varable statstque dscrète Représentaton par un dagramme en barres Ex : Tableau 4.2 Talle des logements (résdences prncpales) en 2004 Nombre de pèces et + Total Nbre de logements, en mllers En % 6,1% 12,2% 20,8% 60,9% 100% Graphque 4.2a Répartton des logements selon leur talle en 2004 % 70% 60% 50% 40% 30% 20% 10% 0% 6,1% 12,2% 20,8% 60,9% et + NB : La largeur des barres ne représente ren. Nb de pèces Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph II. Dstrbuton d un caractère quanttatf II.3.2. Varable statstque contnue Varable dont les valeurs st nécessarement regroupées en classes Dstrbuton nécessarement représentée par un dagramme en surface, par un hstogramme : Dagramme formé de rectangles accolés. Chaque rectangle représente une classe. Surface de chaque rectangle proportonnelle à l effectf (ou la fréquence) de la classe. La surface totale de l hstogramme représente l effectf (ou la fréquence) total. 2 cas à dstnguer : classes de même ampltude / d ampltudes négales

6 Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph II. Dstrbuton d un caractère quanttatf Les classes ont toutes la même ampltude Ex : Tableau 4.3 Populaton françase (métropole) par âge au 1er janver 2008 Classes d'âge [0, 20[ [20, 40[ [40, 60[ [60, 80[ 80 et + Total En mllons 15,2 16,2 16,9 10,4 3,1 61,9 En % 24,6% 26,2% 27,4% 16,8% 5,0% 100% Dernère classe bornée à 100. On a tracé également le polygone des fréquences : Il jont les mleux des sommets des rectangles de l hstogramme. Ajout de classes fctves à chaque extrémté. Surface sous le polygone = surface de l hstogramme. Tend vers la courbe de fréquence. Graphque 4.3a Hstogramme de la répartton 30,0% 25,0% 20,0% Polygone de fréquence 15,0% 10,0% 5,0% 0,0% Age Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph II. Dstrbuton d un caractère quanttatf Les classes sont d ampltudes négales Il est nécessare de rectfer les fréquences (ou les effectfs) pour la représentaton graphque. Ex : Tableau 4.4 Ancenneté d'emménagement dans la résdence prncpale en 2005 En années - de 5 [5,10 [ [10, 20[ [20, 30[ 30 et + Total Nb de ménages, en mllers Fréquence, en % 33,5% 18,6% 18,3% 13,9% 15,7% 100% 1 ère classe bornée à 0, dernère classe à 50 a 1 = 5 ans, a 2 = 5 ans, a 3 = 10 ans, a 4 = 10 ans, a 5 = 20 ans. Les 1 ère et 2 e classes sont de même ampltude et la fréquence de la 2 e vaut un peu plus de la moté de celle de la 1 ère. La 2 e classe sera représentée par un rectangle de même base, mas presque deux fos mons haut que la 1 ère. La 3 e classe est deux fos plus large que la 2 e, mas elle a une fréquence quasment dentque. La 3 e classe devra donc être représentée par un rectangle deux fos plus large que la 2 e, mas deux fos mons haut.

7 Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph II. Dstrbuton d un caractère quanttatf Prncpe général On chost une ampltude de référence notée r, - sot égale à 1, - sot la plus pette ampltude de classe de la dstrbuton consdérée, - sot le PGCD des ampltudes. On exprme l'ampltude de chaque classe en foncton de r : a a = r a a = r On rectfe la fréquence de chq classe en la dvsant par ce multple. f Fréquence rectfée de la classe : f h = = r a a Constructon de l'hstogramme : Classe représentée par un rectangle de base a de hauteur h. f a f h = a r Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph II. Dstrbuton d un caractère quanttatf Le plus smple : r = 1 Rectfer les fréquences revent à dvser chacune d'elles par l'ampltude de la classe à laquelle elle est assocée. h correspond alors à une densté de fréquence. Ex : Ancenneté d'emménagement dans la résdence prncpale en 2005 En années - de 5 [5,10 [ [10, 20[ [20, 30[ 30 et + Total Nb de ménages, en mllers Fréquence, en % 33,5% 18,6% 18,3% 13,9% 15,7% 100% Densté de fréquence = Graphque 4.4a : Hstogramme de la répartton des ménages 7,0% 6,0% 5,0% 4,0% 3,0% 2,0% 1,0% 0,0% Années d'ancenneté 55 On aurat également pu rectfer les fréquences en prenant comme référence l'ampltude mnmale,.e. r = 5 : Classes - de 5 [5,10 [ [10, 20[ [20, 30[ [30, 50[ Fréquence, en % 33,5% 18,6% 18,3% 13,9% 15,7% Fréquences rectfées avec r = 5 =

8 Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph II. Dstrbuton d un caractère quanttatf 3 rq : 1. Même type de rectfcaton quand on travalle sur les effectfs. 2. Le prncpe consste en fat à décomposer la classe consdérée en sous-classes fctves d'ampltude égale à l'ampltude de référence et à supposer que la fréquence est la même dans chacune des sous-classes. Le polygone de fréquence se trace en jognant les centres des sous-classes fctves. 3. Les effectfs et fréquences rectfés ne servent que pour la constructon de l'hstogramme (et pour la détermnaton du mode, Cf. ch. suvant). Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph III. Effectfs et fréquences cumulés III. Effectfs et fréquences cumulés Ex Tableau 4.4 Ancenneté d'emménagement dans la résdence prncpale en 2005 En années [0, 5[ [5,10 [ [10, 20[ [20, 30[ [30, 50[ Total Nb de ménages, en mllers Fréquence, en % 33,5% 18,6% 18,3% 13,9% 15,7% 100% Quelle est la proporton de ménages qu habtent leur logement depus mons de 0 an (!)? Réponse : 0% Depus mons de 5 ans? Réponse : 33,5% Depus mons de 10 ans? Réponse : 33,5 + 18,6 = 52,1 % : fréquence cumulée des 2 premères classes. Depus mons de 20 ans? Réponse : 52,1 + 18,3 = 70,4% : fréquence cumulée des 3 premères classes. Etc. Depus mons de 50 ans? Réponse : 100 % Il s'agt c de fréquences cumulées ascendantes.

9 Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph III. Effectfs et fréquences cumulés Tableau 4.4 Ancenneté d'emménagement dans la résdence prncpale en 2005 En années [0, 5[ [5,10 [ [10, 20[ [20, 30[ [30, 50[ Total Nb de ménages, en mllers Fréquence, en % 33,5% 18,6% 18,3% 13,9% 15,7% 100% Quelle est la proporton de ménages qu habtent leur logement depus plus de 0 an (!)? Réponse : 100% Depus plus de 5 ans? Réponse : ,5 = 18,6 + 18,3 + 13,9 + 15,7 = 66,5 % Depus plus de 10 ans? Réponse : ,5 18,6 = 18,3 + 13,9 + 15,7 = 47,9% Etc. Depus plus de 50 ans? Réponse : 0 % Il s'agt c de fréquences cumulées descendantes. Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph III. Effectfs et fréquences cumulés On se concentrera c sur les fréquences cumulées ascendantes. F : fréquence cumulée jusqu'à la valeur x Indque la proporton d'ndvdus pour lesquels la varable consdérée prend une valeur nféreure à x. F 0 = 0 : proporton d'ndvdus pour lesquels la varable consdérée prend une valeur nféreure à x 1, F 1 = f 1 : proporton d'ndvdus pour lesquels la varable consdérée prend une valeur nféreure à x 2, F 2 = f 1 + f 2 : proporton d'ndvdus pour lesquels la varable consdérée prend une valeur nféreure à x 3, k etc., jusqu'à Fk = f = 1( = 100% ) Autrement dt, = 1 F = f h h= 1 On défnt de la même façon N : effectf cumulé jusqu'à la valeur x Indque le nombre d'ndvdus pour lesquels la varable consdérée prend une valeur nféreure à x, avec N = n h h= 1

10 Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph III. Effectfs et fréquences cumulés On appelle foncton de répartton (ou foncton cumulatve) la foncton F(x) qu, à chaque valeur de la varable, fat correspondre sa fréquence cumulée. De la même façon, la f N(x) fat correspondre, à chaque valeur, son effectf cumulé. La courbe cumulatve est la représentaton graphque de la foncton de répartton. III.1. Courbe cumulatve d'une varable dscrète Ex : Tableau 4.2. x 1 x 2 x 3 x 4 Nombre de pèces et + Total Nbre de logements, en mllers En % 6,1% 12,2% 20,8% 60,9% 100% F 0 = F(jusqu à x 1 ) = 0 F 1 = F(jusqu à x 2 ) = f 1 = 6,1% F 2 = F(jusqu à x 3 ) = f 1 + f 2 = 6,1 + 12,2 = 18,3% F 3 = F(jusqu à x 4 ) = f 1 + f 2 + f 3 = 18,3 + 20,8 = 39,1% F 4 = F(jusqu à + de x 4 ) = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 = 100% Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph III. Effectfs et fréquences cumulés Mons de pèce(s) '4 et +' Fréqu. cumulées 0 6,1% 18,3% 39,1% 100,0% 1 0,75 0,5 0, Représentaton des ponts (x, F ) Varable dscrète Pas possble de jondre les ponts. Courbe cumulatve = courbe en escaler % Nb 5 de pèces 6

11 Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph Généralsaton Dans le cas d'une varable dscrète, la foncton de répartton se défnt de la façon suvante : III. Effectfs et fréquences cumulés x 1 x 2 x 3 x 4 Nombre de pèces et + Total Nbre de logements, en mllers En % 6,1% 12,2% 20,8% 60,9% 100% Mons de pèce(s) '4 et +' Fréqu. cumulées 0 6,1% 18,3% 39,1% 100,0% % F(x) = F pour x x<x +1.e. F(x) = 0 pour x<x 1 F(x) = F 1 = f 1 pour x 1 x<x 2 F(x) = F 2 = f 1 + f 2 pour x 2 x<x 3, etc. jusqu'à F(x) = 1 (=100%)pour x> x k La courbe cumulatve est la représentaton graphque de cette foncton ; elle prend donc la forme d'une courbe en escaler. Rq : Même chose s on travalle sur les effectfs Nb de 6pèces Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph III. Effectfs et fréquences cumulés III.2. Courbe cumulatve d'une varable contnue Ex : Tableau 4.4 : Ancenneté d'emménagement (2005) classe 1 classe 2 classe 3 classe 4 classe 5 e 1 e 2 e 3 e 4 e 5 En années [0, 5[ [5,10[ [10, 20[ [20, 30[ [30, 50[ Fréquence 33,5% 18,6% 18,3% 13,9% 15,7% Mons de années Fréqu. cumulées 0 33,5% 52,1% 70,4% 84,3% 100,0% F 0 F 1 F 2 F 3 F 4 F 5 F 1 = f 1 = 33,5% : fréquence cumulée jusqu à l extrémté sup de la classe 1,.e. jusqu à e 1 F 2 = f 1 + f 2 = 52,1% : fréquence cumulée jusqu à l extrémté sup de la classe 2,.e. jusqu à e 2 etc. F 5 = f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + f 5 = 100% : fréquence cumulée jusqu à l extrémté sup de la dernère classe,.e. jusqu à e 5 La courbe cumulatve s obtent en jognant les ponts (e 1, F 1 ).

12 Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph III. Effectfs et fréquences cumulés La foncton de répartton défnt donc les ponts e F 0 33,5% 52,1% 70,4% 84,3% 100,0% La courbe cumulatve jont ces dfférents ponts. 100% 75% 50% 25% 0% Années 55 d'ancenneté Courbe contnue, monotone non décrossante. Rq : Même courbe s l on travalle sur les effectfs. Ch 4 Séres statstques Déf et représ graph III. Effectfs et fréquences cumulés Généralsaton Dans le cas d'une varable contnue, la foncton de répartton se défnt de la façon suvante : F(e )=F.e. F(e 0 )=0, F(e 1 )=F 1, F(e 2 )=F 2, etc. jusqu'à F(e k )=1. Elle défnt donc des ponts de coordonnées (e, F ). La courbe cumulatve passe par ces dfférents ponts. 2 rq : Correspondance entre courbe cumulatve et hstogramme L'ordonnée de chaque pont de la courbe cumulatve représente la surface de l'hstogramme stuée à gauche de l'abscsse de ce pont. Cf. graphque 4.4b. Courbe cumulatve descendante = courbe symétrque à la précédente (symétre par rapport à 50%). Cf. graphque 4.4c. Feulle de calcul Mcrosoft Excel

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