Logique et raisonnements

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1 Chapitre 2 Logique et raisonnements Sommaire 2.1 Logique Vocabulaire Connecteurs logiques La négation OU et ET Implication et équivalence Diérents types de raisonnements Le raisonnement direct Raisonnement par double implication Réfutation par contre-exemple Raisonnement par disjonction de cas Raisonnement par contraposée Raisonnement par l'absurde Raisonnement par analyse-synthèse Dans ce chapitre, nous allons revoir le vocabulaire et les notations de logique. Nous redécouvrirons également diérents type de raisonnement utiles aux démonstration mathématiques. Ce chapitre introductif est cruciale car il est à la base d'une rédaction mathématique rigoureuse. 2.1 Logique Vocabulaire Dans un énoncé mathématique, on trouve des ensembles de nombres (R, N,... ), des constantes (0, C, ln(7),... ), des variables (x, a, k,... ), des signes opératoires (+,,,... ), des relations (, =, >), des symboles (,,,... ), etc... Notation 2.7 (Rappels - quanticateurs) Le symbole signie "il existe". Le symbole signie "pour tout". Le symbole signie "appartient à". 13

2 CHAPITRE 2. LOGIQUE ET RAISONNEMENTS Dénition 2.1 (Diérents types d'énoncés mathématiques) Une proposition (ou assertion) mathématique est une armation pouvant être vraie ou fausse. Un théorème est une proposition qui a été démontrée. Un lemme est un théorème servant à établir un théorème plus important. Un corollaire est un théorème qui est une conséquence d'un autre théorème. Exemple 2.1. La proposition x R, exp(x) > 0 est vraie. Mais la proposition x R +,, ln(x) > 0 est fausse. Exercice 2.1. La proposition P 1 : entre 17 et 29, il existe un multiple de cinq est-elle vraie? Dénition 2.2 (Assertion complète) Une assertion mathématique est dite complète si toutes les variables y intervenant sont quantiées grâce aux quanticateurs ou. Exemple 2.2. L'assertion x R, x 2 > 0 est complète (et vraie), alors que l'assertion x 2 ne l'est pas (on ne peut donc pas dire si elle est vraie ou fausse car nous n'avons pas d'information sur la variable). Le travail du mathématicien est alors d'établir si des assertions complètes sont vraies ou fausses, ou bien de compléter des assertions pour qu'elles soient vraies. Exercice 2.2. Comment compléter l'assertion x 2 pour qu'elle soit vraie? Pour ce travail, il faut savoir parfaitement traduire un énoncé en français en langage mathématique. Il est donc important de bien avoir en tête les diérents quanticateurs mathématiques. Exercice 2.3. Ecrire les énoncés suivants avec des quanticateurs. 1) Pour tout nombre strictement positif x, il existe un nombre non nul dont le carré est strictement inférieur à x. 2) La somme de deux réels est commutative. 3) Il existe un unique réel x tel que f(x) égale à zéro. Remarque 2.9 (Attention à l'ordre des quanticateurs!) Les quanticateurs du même type commutent. Par exemple, il est équivalent de dire x R, y R, x + y = y + x ou y R, x R, x + y = y + x. En revanche, de manière générale, on ne peut pas intervertir des commutateurs de types diérents. Par exemple, pour une fonction réelle f, il n'est pas équivalent de dire M > 0, x R, f(x) M et x R, M > 0, f(x) M. Quelle est la diérence d'ailleurs? 14 Cour ECS1

3 2.1. LOGIQUE Remarque 2.10 (Quanticateurs ou texte : il faut choisir!) Dans une même proposition, il ne faut pas mélanger du texte et des quanticateurs. Par exemple, il ne faut pas écrire x R, f(x) est plus petit que 2. Il faut choisir entre x R, f(x) 2 et Pour tout x réel, f(x) est inférieur à Connecteurs logiques Les connecteurs logiques permettent de créer une nouvelle propositions à partir d'une ou plusieurs autres. On dénit ces connecteurs grâce à des tables de vérité. Dénition 2.3 (Connecteurs logiques) Soient P et Q deux propositions. Négation : La négation (non P) de la proposition P est la proposition qui dit le contraire de P. Et : La proposition (P et Q) est la proposition qui est vraie lorsque à la fois P et Q sont vraies. Ou : La proposition (P ou Q) est la proposition qui est vraie lorsque soit P soit Q est vraie (soit les deux). Implication : La proposition (P Q) est vraie dès lors que si P est vraie, alors Q est vraie. Equivalence : La proposition (P Q) est vraie dès lors que P et Q sont simultanément vraies. En fait, (P Q) signie (P Q et Q P) Remarque 2.11 Une équivalence, c'est donc deux implications. Il est alors très souvent judicieux de démontrer une équivalence en démontrant les deux implications l'une après l'autre. Cela évite beaucoup d'erreurs. Dénition 2.4 (Tables de vérités) Pour P et Q deux propositions, on peut dresser les tables de vérité suivantes : P V F non P F V P Q P et Q V V V V F F F V F F F F P Q P ou Q V V V V F V F V V F F F P Q P Q V V V V F F F V V F F V P Q P Q V V V V F F F V F F F V 15

4 CHAPITRE 2. LOGIQUE ET RAISONNEMENTS Remarque 2.12 Ces tables de vérité permettent de retrouver les négations des connecteurs, comme on le verra par la suite. Il faut maintenant savoir utiliser ces connecteurs logiques avec des vraies propositions. Exemple 2.3. La proposition 0 > x > 1 est la même que la proposition (x > 0) et (x < 1). La négation de la proposition x + 1 = 2 est x La proposition x {2, 3} [0, 1] est la même que la proposition x {2, 3} ou x [0, 1] La négation Propriété 2.10 (Passer à la négation) On utilisera les propriétés suivantes. 1) Pour passer à la négation, on remplace les quanticateurs par des quanticateurs et vice versa. non ( x E, P(x)) x E, non (P(x)). 2) non ( non P)) P 3) Loi de Morgan : non ( x E, P(x)) x E, non (P(x)). (non (P ou Q)) (non (P) et non (Q)) (non (P et Q)) (non (P) ou non (Q)). 4) non (P Q) (P et non (Q)). 5) non (P Q) (non (P) et Q) ou (P et non (Q)) Remarque 2.13 Les 4 derniers items se lisent directement dans les tables de vérité. Remarque 2.14 Pour toute proposition P, on a nécessairement soit P, soit non(p) qui est vraie. Exercice 2.4. Dans chacun des cas suivants, écrire avec des quanticateurs la négation de la proposition donnée. 1) Soit x un réel. P est x Cour ECS1

5 2.1. LOGIQUE 2) P est L'entier n est pair. 3) P est La fonction réelle f est paire. 4) P est La fonction réelle f est majorée. 5) P est 0 < x < 1. Exercice 2.5. Soient A, B et C trois propositions. Donner la négations des propositions suivantes. 1) A et (non(b) ou C). 2) (A et B) C. 3) A et non(b). 4) A ou (B et C) OU et ET En plus de la règle de Morgan, on peut utiliser cette propriété. Propriété 2.11 (Distributivité) Soient P, Q et R trois propositions. On a alors (P et (Q ou R)) ((P et Q) ou (P et R)) (P ou (Q et R)) ((P ou Q) et (P ou R)). Exercice 2.6. Ecrire la preuve de cette propriété Implication et équivalence Dénition 2.5 (Condition nécessaire, condition susante) Si (P Q) est vraie, on dit que P est une condition susante pour avoir Q (dès qu'on a P, on a Q)), et que Q est une condition nécessaire pour avoir P (si on n'a pas Q, on ne peut pas avoir P). Exemple 2.4 (Attention au sens des implications!). L'implication x R, x = x 2 x 0 est vraie, mais l'implication réciproque est fausse. Exercice 2.7. Dans cet exercice on note x un nombre réel. Dire si les implications suivantes sont vraies ou fausses. 1) (x = 3) (x 2 = 9) 2) (x 2 = 9) (x = 3) 3) (x 2 = 9) (x = 3 ou x = 3) 4) (x > 3) (x 2 > 9) 5) (x < 3) (x 2 > 9) Dénition 2.6 (Condition nécessaire et susante) Si (P Q) est vraie, on dit que P est une condition nécessaire et susante pour avoir Q (pour que Q soit vraie, il faut et il sut que P soit vraie). On dit également que Q est vraie si et seulement si P est vraie. 17

6 CHAPITRE 2. LOGIQUE ET RAISONNEMENTS Exercice 2.8. Dire à chaque fois quel type de condition est Q pour P. 1) P : Avoir le droit de voter pour les élections présidentielles et Q : Avoir au moins 18 ans. 2) P : Avoir son bac et Q : Etre admis en ECS. Exercice 2.9. Compléter les propositions suivantes (x désigne un nombre réel). 1) (x 2 = 9) 2) (x 2 > 9) 3) (Le triangle ABC est rectangle en A) Propriété 2.12 (La contraposée) L'implication (P Q) est équivalente à l'implication suivante : (non (Q) non (P)). Cette implication est appelée contraposée de (P Q). Exercice Donner les contraposées des implications suivantes : 1) x R, (x 0) (exp(x) 1). 2) Si deux droites distinctes sont parallèles, alors elles n'ont pas de point d'intersection. 2.2 Différents types de raisonnements Le travail du mathématicien consiste à prouver des théorèmes. Pour cela, il rédige des démonstrations. Une démonstration est un processus qui, partant des hypothèses du théorème et respectant les règles de la logique, utilise les dénitions et résultats préalablement démontrés pour aboutir à la conclusion souhaitée. Il est impératif qu'une démonstration soit rigoureusement rédigée. Dans cette section, nous allons décrire diérentes façons d'organiser une démonstration. La liste des raisonnements qui va suivre n'est évidemment pas exhaustive Le raisonnement direct C'est le type de raisonnement le plus courant et le plus intuitif. Méthode 2.8 (Raisonnement direct) Une manière de démontrer l'implication P Q est de commencer par l'hypothèse supposons que P est vraie, et au terme d'un raisonnement déductif, obtenir alors Q est vraie. Exercice Montrer que pour tout rationnel strictement positif, il existe un entier strictement plus grand que lui. Remarque 2.15 Lorsqu'on rédige, les variables utilisées doivent être introduites. En particulier, la réponse à une question du type Démonter que pour tout réel x... ou Prouver que : x R,... commencera toujours par Soit x R.. 18 Cour ECS1

7 2.2. DIFFÉRENTS TYPES DE RAISONNEMENTS Raisonnement par double implication Méthode 2.9 (Prouver une équivalence par double implication) Pour prouver une équivalence, on peut prouver séparément les deux implications, directe et réciproque. Exercice Soient a, x, et ɛ trois réels avec ɛ > 0. Prouver que x a ɛ x [a ɛ; a+ɛ]. Exercice On pose f(x) = mx + 1. Montrer que f garde un signe constant sur R si et seulement si m = Réfutation par contre-exemple Méthode 2.10 (Contre-exemple) Pour démontrer qu'une proposition du type x E, P(x) est vraie, il sut de donner un exemple de x qui convient. En passant à la négation, pour démonter qu'une proposition du type x E, P(x) est fausse, il sut de donner un exemple d'un x qui ne convient pas. On appelle cela un contre exemple de la proposition P. On retiendra que pour montrer qu'une proposition commençant par un quanticateur universel est fausse, il sut de donner un contre-exemple particulier, c'est à dire un exemple qui met en défaut la proposition. Exercice Montrer que f : x x + 1 n'est pas paire Raisonnement par disjonction de cas Méthode 2.11 (Disjonction de cas) Pour prouver un résultat, on peut étudier séparément tous les cas possibles. On rédige alors de la manière suivante : ˆ Introduction : Montrons par disjonction de cas que... ˆ Premier cas : si... alors... ˆ Deuxième cas : si... alors... ˆ Troisième cas : si... alors... ˆ Autant de fois que nécessaire. Exemple 2.5. À l'aide de la dénition de la valeur absolue, démontrer que pour tout réel x on a x = x. Démonstration. Soit x R. { x = x 1. 1er cas : si x 0 alors (car si x 0 alors x 0). x = ( x) = x On a donc bien que x = x, puisque ces quantités égalent toutes les deux x. { x = x 2. 2ème cas : si x 0 alors (car si x 0 alors x 0). x = x On a donc bien que x = x, puisque ces quantités égalent toutes les deux x. Exercice Montrer que pour tous réels x et y, max(x, y) = 1 (x + y + x y )

8 CHAPITRE 2. LOGIQUE ET RAISONNEMENTS Raisonnement par contraposée Méthode 2.12 (Prouver une implication avec sa contraposée) Au lieu de montrer que (P Q), on montre que (nonq nonp). On rédige alors de la manière suivante : Montrons par contraposition que P Q. On suppose donc que Q est faux. Montrons que P est faux. Exemple 2.6. Montrer que si x et y sont des réels distincts de 1, et si x y, alors 1 x 1 1 y 1. Démonstration. La contraposée de l'énoncé est : si x et y sont des réels distincts de 1, et si 1 y 1 alors x = y. Ceci est vrai, car 1 x 1 = 1 y 1 x 1 = y 1 x = y. 1 x 1 = Exercice Prouver que, n N, n 2 impair n impair Raisonnement par l'absurde Méthode 2.13 (Raisonnement par l'absurde) Pour prouver P, on peut faire l'hypothèse que P est fausse (c'est à dire qu'on suppose non P vraie). Si on déduit de cette hypothèse un résultat absurde, c'est que notre hypothèse était fausse, c'est à dire que non P est fausse et donc que P est vraie. On rédige alors de la manière suivante : ˆ Introduction : Montrons par l'absurde que... ˆ Supposons que non P est vraie. ˆ Corps de la démonstration. ˆ Conclusion : on aboutit à une absurdité, donc la propriété de départ P est vraie. Exemple 2.7. Montrer que 2 n'est pas un nombre rationnel. Démonstration. Montrons par l'absurde que 2 n'est pas un nombre rationnel. Supposons que 2 est un rationnel. Alors il existe des entiers p et q sans diviseurs communs tels que 2 = p q, q 0. En élevant au carré, on obtient alors p 2 = 2q 2. Or, si p est impair, alors p 2 est aussi impair. Donc forcément p est pair et donc p peut s'écrire sous la forme p = 2p, où p est un entier. Pour la même raison, q est pair, donc q = 2q avec q un entier. On en déduit alors que p et q possèdent 2 comme diviseur commun, ce qui est absurde car on a supposé qu'ils sont premiers entre eux. Nous avons aboutit à une absurdité donc 2 n'est pas un nombre rationnel 20 Cour ECS1

9 2.2. DIFFÉRENTS TYPES DE RAISONNEMENTS Exercice Soit(u n ) n N une suite croissante convergeant une limite l. Montrer que pour tout n N, u n l Raisonnement par analyse-synthèse Méthode 2.14 (Analyse-synthèse) Pour démontrer l'existence et parfois l'unicité d'une solution, on peut être amené à déterminer la forme de celle-ci, forme qui n'est pas nécessairement donnée dans l'énoncé. On raisonne et on rédige alors par analyse-synthèse : ˆ Analyse : on suppose qu'il existe au moins une solution, et on essaie d'en tirer le maximum de renseignements sur la forme de cette solution. (C'est ici qu'on démontre l'unicité). ˆ Synthèse : on reporte dans le problème initial la ou les solution(s) trouvée(s) précédemment et on détermine s'il y a ou non solution (c'est ici qu'on démontre l'existence puis l'unicité si l'analyse avait conduit à plusieurs possibilités). ˆ Conclusion : on énonce le résultat démontré. Exemple 2.8. Montrer que toute fonction réelle s'écrit comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. Exercice Déterminer les solutions réelles de l'équation 6 + x = x. 21