Troisieme - HOMOTHETIES et PROPRIETE de THALES

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1 Troisieme - HOMOTHETIES et PROPRIETE de THALES Ce document totalement gratuit (disponible parmi bien d'autres sur la page JGCUAZ.FR rubrique mathématiques) a été conçu pour aider les élèves de Troisième en mathématiques. Il contient le cours et 15 exercices corrigés. La progression proposée est celle que je pratique dans mes classes. Au fur et à mesure, j'ai inséré des remarques, conseils et points méthode, sur la base de mon expérience d'enseignant. Ce document n'a pas la prétention de se substituer à l'assiduité nécessaire au cours, mais pourra permettre au lecteur de rattraper une absence, de réviser une notion et/ou de préparer une évaluation, le temps de recherche des exercices (et non pas une lecture immédiate du corrigé, même si celuici est écrit "juste en dessous"!) étant une condition nécessaire à la réussite. La navigation peut s'effectuer de manière interactive pour ceux qui utilisent la version PDF de ce document. Pour toute remarque, merci de vous rendre sur la page JGCUAZ.FR où vous trouverez mon adresse électronique (qui est JGCUAZ@HOTMAIL.COM à la date du 14/01/2018) Egalement disponible une page facebook Montpellier, le 14/01/2018 Jean-Guillaume CUAZ, professeur de mathématiques, Lycée Clemenceau, Montpellier depuis 2013 Lycée Militaire de Saint-Cyr, de 2000 à 2013 Troisième - Homothéties et Thalès Page 1/20 Version du 14/01/2018

2 HOMOTHETIE Activité : On considère le triangle ABC ci-dessous. 1) Construire le triangle AB'C' agrandissement du triangle ABC de rapport 3 2) Que représente le triangle ABC par rapport au triangle AB'C'? Troisième - Homothéties et Thalès Page 2/20 Version du 14/01/2018

3 HOMOTHETIE Activité : On considère le triangle ABC ci-dessous. 1) Construire le triangle AB'C' agrandissement du triangle ABC de rapport 3 voir ci-dessus 2) Que représente le triangle ABC par rapport au triangle AB'C'? Le triangle ABC représente une réduction du triangle AB'C' Définition : Une homothétie de rapport k (où k n'est pas égal à 0) permet d'agrandir ou de réduire une figure à partir d'un point choisi comme centre dans le rapport k si k > 0 Dans l'exemple précédent, le triangle AB'C' a été construit à partir du triangle ABC grâce à une homothétie de centre A et de rapport 3 Troisième - Homothéties et Thalès Page 3/20 Version du 14/01/2018

4 HOMOTHETIE DE RAPPORT NEGATIF Activité : On considère le triangle ABC ci-dessous. 1) Construire le point B' tel que AB = 3 AB et tel que les points B et B' soient de part et d'autre de A 2) Construire le point C' tel que AC = 3 AC et tel que les points C et C' soient de part et d'autre de A 3) Que constate-t-on à propos des droites (BC) et (B'C')? 4) Mesurer B'C' et BC. Que constate-t-on?. Troisième - Homothéties et Thalès Page 4/20 Version du 14/01/2018

5 HOMOTHETIE DE RAPPORT NEGATIF Activité : On considère le triangle ABC ci-dessous. 1) Construire le point B' tel que AB = 3 AB et tel que les points B et B' soient de part et d'autre de A Voir ci-dessus 2) Construire le point C' tel que AC = 3 AC et tel que les points C et C' soient de part et d'autre de A Voir ci-dessus 3) Que constate-t-on à propos des droites (BC) et (B'C')? Les droites (BC) et (B'C') sont parallèles 4) Mesurer B'C' et BC. Que constate-t-on? On constate que B C = 3 BC Définition : Une homothétie de rapport k négatif permet d'agrandir ou de réduire une figure à partir du centre en construisant les points et leur image de part et d'autre du centre Dans l'exemple précédent, le triangle AB'C' a été construit à partir du triangle ABC grâce à une homothétie de centre A et de rapport -3. Troisième - Homothéties et Thalès Page 5/20 Version du 14/01/2018

6 THEOREME DE THALES Théorème : Soit ABC un triangle. Si M est un point de la droite (AB), N est un point de la droite (AC), et si (MN)//(BC), alors on aura les égalités AM AN MN = = AB AC BC On comprend que trois situations peuvent se présenter : Situation n 1 Situation n 2 Situation n 3 Les points M et N sont "à l'intérieur" des segments [AB]et [AC] Les points M et N sont "à l'extérieur" des segments [AB]et [AC] Les points M et N sont "de l'autre côté" de B et C par rapport à A Dans ces trois cas, on aura l'égalité AM AN MN = = AB AC BC Troisième - Homothéties et Thalès Page 6/20 Version du 14/01/2018

7 RECIPROQUE DU THEOREME DE THALES Théorème : Soit ABC un triangle. Soit M un point de la droite (AB) et N est un point de la droite (AC), Si les points A,M,B et A,N,C sont dans le même ordre ET si AM = AB ALORS (MN)//(BC), AN AC On comprend que trois situations peuvent se présenter : Situation n 1 Situation n 2 Situation n 3 Les points A,M,B et A,N,C sont alignes dans le même ordre Les points A,B,M et A,C,N sont alignes dans le même ordre Les points B,A,M et C,A,N sont alignes dans le même ordre Troisième - Homothéties et Thalès Page 7/20 Version du 14/01/2018

8 HOMOTHETIES ET THEOREME DE THALES - EXERCICES Exercice n 1 (correction) Les droites (BD) et (CE) se coupent en A et les droites (BC) et (DE) sont parallèles. AC= 3 cm ; AE = 4,5 cm ; AB = 4 cm et DE = 4,2 cm. 1) Calculer les longueurs AD et BC. 2) F et G sont les points indiqués des droites (AC) et (AB) tels que : AF = 4,05 cm et AG = 5,4 cm. Montrer que les droites (FG) et (BC) sont parallèles. Exercice n 2 (correction) Les droites (BC) et (RT) sont parallèles. Les points R et E appartiennent à la droite (AB) et le point T appartient à la droite (AC). On donne : AB = 6 cm ; AC = 7,2 cm ; BC = 10 cm ; AR =4,5 cm et BE = 2cm. 1) Calculer AT, TR et AE. 2) Les droites (BT) et (EC) sont-elles parallèles? Troisième - Homothéties et Thalès Page 8/20 Version du 14/01/2018

9 Exercice n 3 (correction) Le triangle BGI est l'image du triangle BEF par l'homothétie de centre B et de rapport 1,5. Donner les longueurs de trois côtés du triangle BGI. Exercice n 4 (correction) Le triangle LJ'K' est l'image du triangle LJK par l'homothétie de centre L et de rapport -0,4. Donner les longueurs des trois côtés du triangle LJ'K'. Exercice n 5 (correction) Les droites (GH) et (EI) sont sécantes en F. Les droites (GE) et (HI) sont parallèles. 1) Décrire cette figure avec le mot homothétie, en précisant son centre et son rapport. 2) Calculer les longueurs FI et FH. Exercice n 6 (correction) Les droites (MS) et (NT) sont sécantes en R.. Les droites (MN) et (ST) sont parallèles. 1) Décrire cette figure avec le mot homothétie, en précisant son centre et son rapport. 2) Calculer les longueurs RT et TS. Troisième - Homothéties et Thalès Page 9/20 Version du 14/01/2018

10 Exercice n 7 (correction) Dans chaque cas, expliquer pourquoi les triangles ABC et AMN ne forment pas une configuration de Thalès. Exercice n 8 (correction) On a modélisé un tabouret pliant. CG = DG = 30 cm ; AG = BG = 45 cm. L'assise [CD] est parallèle au sol qui est représenté par la droite (AB). Quelle doit être la longueur AB pour que la longueur CD de l'assise soit de 34 cm? Exercice n 9 (correction) Une personne observe une éclipse solaire. Cette expérience est représentée par la figure ci-dessous. L'observateur est en T. Les points S (centre du soleil), L (centre de la Lune) et T sont alignés. Le rayon SO du soleil mesure km. Le rayon LU de la Lune mesure 1736 km. La distance TS est de 150 millions de km. Calculer une valeur approchée à l'unité prés de la distance TL, en km. Troisième - Homothéties et Thalès Page 10/20 Version du 14/01/2018

11 Exercice n 10 (correction) Les droites (BN) et (CM) se coupent en A. Dans chaque cas, déterminer si les droites (BC) et (MN) sont parallèles ou non. Exercice n 11 (correction) Pour ce piano : GE = 48 cm ; GF = 60 cm ; ED = 1,2 m et CF = 1,5 m. Le sol est représenté par la droite (CD). Le clavier est-il parallèle au sol? Exercice n 12 (correction) Voici le plan d'une rampe de skateboard. Calculer la longueur AE de cette rampe. Troisième - Homothéties et Thalès Page 11/20 Version du 14/01/2018

12 Exercice n 13 (correction) ABCD et DEFG sont deux carrés de côtés 3 cm et 2cm. Les points A,D et G sont alignés. Les droites (BG) et (CD) se coupent en I. Calculer la longueur CI. Exercice n 14 (correction) Sur cette figure, qui n'est pas à l'échelle : - les points D,P et A sont alignés ; - les points K,H et A sont alignés ; DA = 60 cm ; DK = 11 cm ; DP = 45 cm. 1) Calculer une valeur approchée à l'unité près de la longueur AK, en cm. 2) Calculer HP. Exercice n 15 (correction) Sur le schéma, la zone grisée correspond à ce que le conducteur d'un véhicule ne voit pas lors d'une marche arrière. Données : (AE) // (BD) AE = 1,50 m BD = 1,10 m EC = 6 m 1) Calculer DC. 2) En déduire que ED = 1,60 m. 3) Une fillette mesure 1,10 m. Elle passe à 1,40 derrière la camionnette. Le conducteur peut-il la voir? Expliquer Troisième - Homothéties et Thalès Page 12/20 Version du 14/01/2018

13 HOMOTHETIES ET THEOREME DE THALES - CORRECTION Correction de l'exercice n 1 (énoncé) Les droites (BD) et (CE) se coupent en A et les droites (BC) et (DE) sont parallèles. AC= 3 cm ; AE = 4,5 cm ; AB = 4 cm et DE = 4,2 cm. 1) Calculer les longueurs AD et BC. Dans le triangle AED, la configuration de Thalès permet d'affirmer que AB = AC AD AE AB AE 4 4,5 On a donc AD = = = 6 cm. AC 3 On peut également écrire AB = BC AD DE AB DE 4 4,2 On a donc BC = = = 2,8 cm. AD 6 2) F et G sont les points indiqués des droites (AC) et (AB) tels que : AF = 4,05 cm et AG = 5,4 cm. Montrer que les droites (FG) et (BC) sont parallèles. Les points F,A,C et G,A,B sont alignés dans cet ordre. AF 4,05 De plus, 1,35 AC = 3 = et AG 5, 4 1,35 AB = 4 =. Puisque AF AC parallèles. = AG, la réciproque du théorème de Thalès affirme que les droites (FG) et (AB) sont AB Troisième - Homothéties et Thalès Page 13/20 Version du 14/01/2018

14 Correction de l'exercice n 2 (énoncé) Les droites (BC) et (RT) sont parallèles. Les points R et E appartiennent à la droite (AB) et le point T appartient à la droite (AC). On donne : AB = 6 cm ; AC = 7,2 cm ; BC = 10 cm ; AR =4,5 cm et BE = 2cm. 1) Calculer AT, TR et AE. Dans le triangle ABC, la configuration de Thalès permet d'affirmer que AT = AC On a donc On a également TR BC AR AB AR AC 4,5 7, 2 AT = = = 5, 4 cm AB 6 Enfin, AE = AB + BE = 8 cm. AR AR BC 4,5 10 = donc TR = = = 7,5 cm AB AB 6 2) Les droites (BT) et (EC) sont-elles parallèles? Les points A,T,C et A,B,E sont alignés dans le même ordre. De plus, AT 5, 4 0,75 AC = 7,2 = et AB 6 0,75 AE = 8 =. Puisque AT AC parallèles. = AB, la réciproque du théorème de Thalès affirme que les droites (BT) et (EC) sont AE Correction de l'exercice n 3 (énoncé) Le triangle BGI est l'image du triangle BEF par l'homothétie de centre B et de rapport 1,5. Donner les longueurs de trois côtés du triangle BGI. BG = BE 1,5 = 3 cm BI = 1,6 1,5 = 2, 4 cm GI = EF 1,5 = 1,5 cm Troisième - Homothéties et Thalès Page 14/20 Version du 14/01/2018

15 Correction de l'exercice n 4 (énoncé) Le triangle LJ'K' est l'image du triangle LJK par l'homothétie de centre L et de rapport -0,4. Donner les longueurs des trois côtés du triangle LJ'K'. LJ = LJ 0,4 = 2 cm LK = LK 0, 4 = 2,8 cm J K = JK 0,4 = 2,4 cm Correction de l'exercice n 5 (énoncé) Les droites (GH) et (EI) sont sécantes en F. Les droites (GE) et (HI) sont parallèles. 1) Décrire cette figure avec le mot homothétie, en précisant son centre et son rapport. Le triangle FHI est l'image du triangle FGE par l'homothétie de centre F et de rapport 8,5 1, 7 5 =. 2) Calculer les longueurs FI et FH. On a alors FI = FE 1, 7 = 3,5 1, 7 = 5,95 cm et FH = FG 1, 7 = 3 1, 7 = 5,1 cm Correction de l'exercice n 6 (énoncé) Les droites (MS) et (NT) sont sécantes en R.. Les droites (MN) et (ST) sont parallèles. 1) Décrire cette figure avec le mot homothétie, en précisant son centre et son rapport. Le triangle RST est l'image du triangle RMN par l'homothétie de centre R et de rapport 2) Calculer les longueurs RT et TS. 1,8 = 0,4 4,5 On a alors RT = RN 0,4= 3 0,4 = 1,2 cm et ST = MN 0,4 = 4 0,4 = 1,6 cm Troisième - Homothéties et Thalès Page 15/20 Version du 14/01/2018

16 Correction de l'exercice n 7 (énoncé) Dans chaque cas, expliquer pourquoi les triangles ABC et AMN ne forment pas une configuration de Thalès. Si les droites (BC) et (MN) avaient été parallèles, alors on aurait eu B = N et C = M, donc par différence à 180, on aurait eu BAC = MAN, ce qui est faux. Ainsi les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles et les triangles ABC et AMN ne forment pas une configuration de Thalès Si les droites (BC) et (MN) avaient été parallèles, alors on aurait eu C = M. Mais comme BAC = MAN (angles opposés par le sommet) on aurait eu par différence à 180, B = N, ce qui est manifestement faux.ainsi les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles et les triangles ABC et AMN ne forment pas une configuration de Thalès Correction de l'exercice n 8 (énoncé) On a modélisé un tabouret pliant. CG = DG = 30 cm ; AG = BG = 45 cm. L'assise [CD] est parallèle au sol qui est représenté par la droite (AB). Quelle doit être la longueur AB pour que la longueur CD de l'assise soit de 34 cm? Les triangles GAB et GCD sont en configuration de Thalès. On a donc Si CD = 34 cm alors GA GB AB = =. En particulier GD GC CD AB GB =. CD GC GB CD AB = = = 51 cm. GC 30 Pour que la longueur CD de l'assise soit de 34 cm, il faut que AB = 51 cm. Troisième - Homothéties et Thalès Page 16/20 Version du 14/01/2018

17 Correction de l'exercice n 9 (énoncé) Une personne observe une éclipse solaire. Cette expérience est représentée par la figure ci-dessous. L'observateur est en T. Les points S (centre du soleil), L (centre de la Lune) et T sont alignés. Le rayon SO du soleil mesure km. Le rayon LU de la Lune mesure 1736 km. La distance TS est de 150 millions de km. Calculer une valeur approchée à l'unité prés de la distance TL, en km. Les triangles TUL et TOS forment une configuration de Thalès car les droites (UL) et (OS) sont parallèles car toutes deux perpendiculaires à (TO). On a donc TL UL UL TS =. On en conclut que TL = = km. TS OS OS Correction de l'exercice n 10 (énoncé) Les droites (BN) et (CM) se coupent en A. Dans chaque cas, déterminer si les droites (BC) et (MN) sont parallèles ou non. Les points A,B,N et A,C,M sont alignés dans le AB 10,5 même ordre. On calcule AN = 22,5 et AC AM 7 10,5 7 =. Comme =, la réciproque du 15 22,5 15 théorème de Thalès nous permet de conclure que les droites (BC) et (MN) sont parallèles. Les points B,A,N et C,A,M sont alignés dans le AB 7,2 même ordre. On calcule AN = 11, 7 et AC 6 AM = 10 Comme 7,2 6, la réciproque du théorème de 11,7 10 Thalès nous permet de conclure que les droites (BC) et (MN) NE SONT PAS parallèles. Troisième - Homothéties et Thalès Page 17/20 Version du 14/01/2018

18 Correction de l'exercice n 11 (énoncé) Pour ce piano : GE = 48 cm ; GF = 60 cm ; ED = 1,2 m et CF = 1,5 m. Le sol est représenté par la droite (CD). Le clavier est-il parallèle au sol? Les points E,G,D et F,G,C sont alignés dans cet ordre. On calcule GD = ED - EG = 1,2 m - 48 cm = 72 cm et GF = CF - GF = 1,5 m - 60 cm = 90 cm GC 90 On a donc 1,5 GF = 60 = et GD 72 GC GD = = 1,5. Puisque =, la réciproque du théorème de GE 48 GF GE Thalès nous permet de conclure que les droites (CD) et (EF) sont parallèles, donc que le clavier est parallèle au sol. Correction de l'exercice n 12 (énoncé) Voici le plan d'une rampe de skateboard. Calculer la longueur AE de cette rampe. Dans le triangle ACD rectangle en C, le théorème de Pythagore permet d'écrire que AD = AC + CD = 3,6 + 1,05 = 14,0625. On en conclut que AD = 14,0625 = 3,75 m. Les triangles ACD et ABE forment une configuration de Thalès car les droites (CD) et (BE) sont parallèles puisque toutes les deux perpendiculaires à (AB). Le théorème de Thalès permet alors d'écrire AD = AC AE AB AD AB 3,75 12 On a donc AE = = = 12,5 m AC 3,6 Troisième - Homothéties et Thalès Page 18/20 Version du 14/01/2018

19 Correction de l'exercice n 13 (énoncé) ABCD et DEFG sont deux carrés de côtés 3 cm et 2cm. Les points A,D et G sont alignés. Les droites (BG) et (CD) se coupent en I. Calculer la longueur CI. Les triangles GDI et GAB forment une configuration de Thalès car les droites (DI) et (AB) sont parallèles car perpendiculaires à la même droite (AG). Le théorème de Thalès permet alors d'écrire DI = GD AB GA On a donc GD AB DI = = = GA 5 5 Par soustraction, on en déduit 6 CI = CD DI = 3 = 1,8 cm 5 Correction de l'exercice n 14 (énoncé) Sur cette figure, qui n'est pas à l'échelle : - les points D,P et A sont alignés ; - les points K,H et A sont alignés ; DA = 60 cm ; DK = 11 cm ; DP = 45 cm. 1) Calculer une valeur approchée à l'unité près de la longueur AK, en cm. Dans le triangle AKD rectangle en K, le théorème de Pythagore permet d'écrire AK = AD KD = = On en déduit AK = cm à 1 cm près. 2) Calculer HP. Les triangles AHP et AKD forment une configuration de Thalès car les droites (HP) et (KD) sont parallèles car perpendiculaires à la même droite (AK). Le théorème de Thalès permet alors d'écrire HP = AP KD AD AP KD On a donc HP = = = 44 cm. AD 60 Troisième - Homothéties et Thalès Page 19/20 Version du 14/01/2018

20 Correction de l'exercice n 15 (énoncé) Sur le schéma, la zone grisée correspond à ce que le conducteur d'un véhicule ne voit pas lors d'une marche arrière. 1) Calculer DC. Données : (AE) // (BD) AE = 1,50 m BD = 1,10 m EC = 6 m Les triangles CEA et CDB forment une configuration de Thalès car (AE) // (BD). Le théorème de Thalès permet alors d'écrire CD = BD CE AE On a donc BD CE 1,1 6 CD = = = 4,4 m. AE 1,5 2) En déduire que ED = 1,60 m. Par soustraction, ED = EC - CD = 6-4,4 = 1,60 m 3) Une fillette mesure 1,10 m. Elle passe à 1,40 derrière la camionnette. Le conducteur peut-il la voir? Expliquer Notons F le point du segment [ED] tel que EF = 1,40 Notons G le point d'intersection de (AC) et de la droite parallèle à (AE) passant par F. Les triangles CEA et CFG forment une configuration de Thalès dans laquelle GF = CF AE CE CF AE 4, 6 1,50 On en déduit GF = = = 1,15 m. CE 6 Cela signifie que le camionneur ne pourra pas voir tout enfant qui mesure moins de 1,15 m, en particulier la fillette de 1,10 m. Troisième - Homothéties et Thalès Page 20/20 Version du 14/01/2018