1 ère S Exercices sur les suites géométriques (1)
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- Emmanuelle Rochette
- il y a 6 ans
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1 ère S Exercices sr les sites géométriqes ( Rappel sr la calclatrice : Por le calcl des pissaces sr calclatrice, o tilise la toche ^ Les ombres ; ; 7, ; 8, ;,8 formet-ils das cet ordre e site géométriqe? Si oi, préciser la raiso Recopier et compléter les phrases : «Les ombres ; ; ; 8 ; formet das cet ordre e site géométriqe de raiso» «Les ombres ; ; ; ; formet das cet ordre e site géométriqe de raiso» Soit la site géométriqe de premier terme et de raiso q = Calcler Soit la site géométriqe de premier terme et de raiso q = Calcler 7 Le prix d matériel baisse de % chaqe aée So prix à l état ef était 8 O ote P le prix a bot de aées (e Exprimer P e foctio de P Recopier et compléter la phrase : P est e site de premier terme P et de raiso q» «Exprimer P e foctio de Détermier par essais sccessifs sr la calclatrice a bot de combie d aées la cote de ce matériel sera ifériere à 8 Soit la site géométriqe telle qe,8 et,8 Calcler la raiso q et 9 Soit la site géométriqe de premier terme et de raiso q Calcler Soit la site géométriqe de premier terme, et de raiso Représeter sr axe de repère terme, et de raiso q q Calcler O, i les premiers termes de la site géométriqe de premier Soit la site géométriqe de premier terme et de raiso Écrire e foctio de (il y a pas de calcl à faire Écrire e foctio de q O place capital de à itérêts composés a tax ael de % par a O ote C la valer acqise par le capital a bot de aées (e Qel est le coefficiet mltiplicater associé à e agmetatio de %? Exprimer C e foctio de C Recopier et compléter la phrase : C est e site de premier terme C et de raiso q =» «Exprimer C e foctio de Calcler C La poplatio d pays agmete de % par a E 998, ce pays compte habitats O ote P la poplatio a bot de aées Exprimer P e foctio de P Recopier et compléter la phrase : P est e site de premier terme P et de raiso q» «Exprimer P e foctio de Calcler P
2 Corrigé Les ombres ; ; 7, ; 8, ;,8 formet das cet ordre e site géométriqe de raiso, Soltio détaillée : Détermios si les ombres ; ; 7, ; 8, ;,8 formet das cet ordre e site géométriqe O calcle les qotiets sccessifs O garde l ordre O calcle le qotiet de chaqe ombre sr le précédet, 7,, 8,, 7,,8, 8, Les qotiets sot tos égax à, doc les ombres ; ; 7, ; 8, ;,8 formet das cet ordre e site géométriqe de raiso, O pet assi dire q ils formet e progressio géométriqe (terme acie itéressat à coaître de raiso, Critiqe de cette soltio : L éocé e ote pas les ombres,, Les qotiets e sot pas écrits das le bo ordre Les qotiets e tombet pas jstes,8 est e valer approchée des qotiets O e pet comparer des ombres lorsq ils sot écrits e valer approchée «Les ombres ; ; ; 8 ; formet das cet ordre e site géométriqe de raiso q» «Les ombres ; ; ; ; formet das cet ordre e site géométriqe de raiso q» Explicatio : méthode des qotiets o visalisatio directe (o mltiplie chaqe terme par por obteir le sivat Explicatio : méthode des qotiets o visalisatio directe (o mltiplie chaqe terme par por obteir le sivat Notatios : La raiso d e site arithmétiqe est sellemet otée r La raiso d e site géométriqe est sellemet otée q Mise e garde : Ne pas désiger les ombres ; ; 7, ; 8, ;,8 par,, car l éocé e parle pas de site et ce est pas la peie d e itrodire e Bie écrire les qotiets das le bo ordre : e ombre sr le premier, e ombre sr le e etc Les qotiets tombet jstes ; o a doc p tiliser les valers décimales car ce sot des valers exactes Étde d e soltio erroée :,8 7, 7, 8,,8, Soltio détaillée : Attetio à la sytaxe mathématiqe : - fractio élevée à e pissace - ombre égatif élevé à e pissace : site géométriqe de premier terme et de raiso q Calclos Méthode : O sait qe q pred la valer Les ombres ; ; 7, ; 8, ;,8 formet das cet ordre e site géométriqe de raiso q,8
3 q (formle géérale avec qi pred la valer Modélisatios de sitatios par des sites géométriqes Visalisatio sr calclatrice o programmatio sr calclatrice Atre rédactio possible : Évoltio d capital (placemet bacaire D après la formle doat le terme gééral d e site géométriqe, q O s itéresse ax itérêts bacaires Si o volait, o porrait assi tiliser la commade «rép» de la calclatrice : site géométriqe de premier terme et de raiso q Calclos q (formle géérale avec qi pred la valer : site géométriqe de premier terme et de raiso Écrivos e foctio de q O a : q ce qi s écrit soit (il y a pas de calcl à faire Écrivos e foctio de O a : q Doc O porrait même écrire (phrase qatifiée implicitemet Calclos le coefficiet mltiplicater associé à e agmetatio de % Le coefficiet mltiplicater associé à e agmetatio de % est égal à Chaqe aée le capital est mltiplié par, Exprimos C e foctio de C ère méthode : O tilise le coefficiet mltiplicater calclé précédemmet Chaqe aée le capital est mltiplié par, Cela se tradit par la relatio : C, C, O devrait écrire : C, C de maière à obteir e phrase qatifiée explicitemet [cf otio de phrase qatifiée (explicitemet, implicitemet] Miex vat éviter la qatificatio implicite O e dédit qe la site C est e site géométriqe de premier terme C et de raiso q, e méthode : O redémotre la formle C C C C C,C C,C Exprimos C e foctio de C C q Les exercices à 7 costitet e applicatio des sites géométriqes das des sitatios cocrètes Le recors ax sites géométriqe permet de modéliser aisémet des sitatios d évoltio Por visaliser ces sites, o pet (et c est même fortemet recommadé tiliser la calclatrice o tabler C,
4 La sele lettre qi doit apparaître das le membre de droite est Calclos la valer acqise par le capital a bot de as La valer obtee a bot de as est C C C 88,8 (ombre décimal dot o a écrit les dex premières décimales Les petits poits sigifiet q il y a d atres décimales qi e sot pas écrites E fait, o a : C 88,888 (valer exacte O a doc : C 89 (valer arrodie à l ité La valer acqise par le capital a bot de ciq as est eviro égale à 89 eros Évoltio d e poplatio habitats e 998 agmetatio de % par a P : poplatio a bot de aées Exprimos P e foctio de P ère méthode : P P P Doc : P, P e méthode : Le coefficiet mltiplicater associé à e agmetatio de % est égal à Doc P, P Dédisos-e la atre de P =, Por ce type de qestio, o est pas das le cas d e applicatio de formle O raisoe sr dex aées coséctives et por lesqelles o e coaît pas les prix O tradit l éocé par e formle : P, P Le prix de l aée est égal a prix de l aée mltiplié par, Exprimos P e foctio de O appliqe la formle d cors por les sites géométriqes : Calclos P P, P 87,879 (le résltat tombe jste P 88 (valer arrodie à l ité 7 Évoltio d prix Expressio de P e foctio de P et atre de la site P, Le coefficiet mltiplicater associé à e dimitio de % est égal à,,8 O a doc P,8 P O e dédit qe la site P est e site géométriqe de premier terme P 8 et de raiso q, 8 Expressio de P e foctio de O a : P P q por tot etier atrel P 8,8 D'où : Détermiatio d ombre d aées a bot dqel la cote de ce matériel sera ifériere à P Ue première remarqe por commecer : L éocé tilise implicitemet le fait qe la site P est strictemet décroissate O va tiliser ce résltat sas le démotrer (l étde d ses de variatio des sites mériqes sera ve pls tard das chapitre spécial O pet éamois e avoir aisémet e idée e représetat la site sos forme d age de poits das repère Por tot etier atrel, o a : P, P terme P et de raiso q =, doc la site P est e site géométriqe de premier
5 P 8,8 P P 8,8 P, P 8,8 P, P 8,8 P 99, (ombre décimal ; tombe jste P 8,8 P 798, 9 (ombre décimal ; tombe jste comme o le voit e faisat le test des décimales cachées O pet faire mois de tests P trop petit ( P P trop grad ( P P 8 trop grad ( P P 9 trop grad ( P 9 Méthode apparetée à la méthode de dichotomie Permet de rédire les ombre d essais (de tests Atre méthode (qi est pas celle demadée par l éocé : O pet tiliser programme (sr calclatrice o sr ordiater o tabler L algorithme correspodat a programme est représeté sr l orgaigramme ci-dessos x 8 P 8,8 P 78,898 (ombre décimal ; il y a d atres décimales dites «cachées»q o pet obteir e faisat le résltat affiché par la calclatrice 78 P 7 7 8,8 P7 77,878 8 P8 8,8 9,89 o x? oi x,8 x 9 P9 8,8,9 Remarqe : O porrait tiliser la commade «rép» por effecter tos ces calcls P, P 7 sot tos des ombres décimax (comme d aillers tos les termes de la site mais o s est coteté d écrire selemet le débt de ler écritres décimales O rédige l algorithme e lagage atrel à l aide d e bocle «Tatqe» car o e coaît pas le ombre d itératios à l avace (à la différece des bocles «Por» et il y a pas de moye simple de le calcler (la bocle «Tatqe» permet de s e passer La cote d matériel sera ifériere à a bot de 9 as
6 Iitialisatio : pred la valer x pred la valer 8 Traitemet : Tatqe x Faire x pred la valer,8 x pred la valer FiTatqe Sortie : Afficher Programme correspodat e lagage TI : pred la valer x pred la valer 798,9 (valer de P pred la valer x pred la valer 78,898 (valer de P pred la valer 7 x pred la valer 77,8789 (valer de P 7 pred la valer 8 x pred la valer 9,89 (valer de P 8 O porrait assi tiliser la foctio logarithme épérie qi sera ve e Termiale ce qi permettrait de résodre le problème par le calcl : N : 8 X : While X : 8 X X : N N : Ed : Disp N Qestio : Qel est le rapport etre x et? Il y a pas de rapport direct etre x et : correspod a ombre d aées et x correspod a prix Das otre algorithme, les valers évolet esemble mais ler calcl est idépedat Qestio d Adrie Frcts le mercredi 9 javier : «Je e vois pas le rapport etre et x das l algorithme» Faisos torer l algorithme «à la mai» pred la valer x pred la valer 8 (valer de P pred la valer x pred la valer 8,8 (valer de P pred la valer x pred la valer,8, (valer de P pred la valer x pred la valer, (valer de P 8 : site géométriqe telle qe,8 et,8 Calclos la raiso q et Por trover q, o pet appliqer la propriété des qotiets O a : q O trove : q, O a :, doc d où,, 9 Attetio, la site commece à partir de l idice O tilise doc la formle d cors : q O garde O e calcle pas! : site géométriqe de premier terme et de raiso q Calclos q 8 O tiliser pas la calclatrice afi d obteir la valer exacte pred la valer x pred la valer 99, (valer de P
7 : site géométriqe de premier terme, et de raiso Calclos q q,,,,,,, : site géométriqe de premier terme, et de raiso q O e place pas das repère d pla mais s axe comme le dit l éocé i, 8 O porrait mettre les demi-gradatios
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