Août 2017 (2 heures et 30 minutes) IR est un ensemble fermé. x ( 2, ) ; C = {(x,y) IR : (x 1) (y 1) 1. ouvert fermé borné convexe.

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1 a) Soit IN 0 \ {} Défiir : boule fermée de sous-esemble boré de IR IR b) Démotrer que toute boule fermée de Août 07 ( heures et 0 miutes) IR est u esemble fermé c) Soiet les sous-esembles suivats de IR : A = {(x,y) IR : y x } ; B = IR x (, ) ; C = {(x,y) IR : (x ) (y ) } ( pt) (5 pt) Compléter les cases du tableau suivat par «oui» ou «o» Justifier avec précisio les réposes des cases grisées ouvert fermé boré covexe A o oui o o B o o o oui C o oui oui oui Soit f:d IR IR: (x,y) f(x,y) et a = (a,a ), poit itérieur de D (5 pts) a) Défiir: vecteur gradiet de f(x,y) e a (05 pt) b) Soit f(x,y) = x y si x,y 0,0 x y 0 si x,y 0,0 ) Etudier la cotiuité de la foctio f(x,y) e (0,0) ) Etudier la dérivabilité de f(x,y) par rapport à x e (0,0) (5 pts) a) Défiir: foctio de A IR IR homogèe de degré ( IR ) (05 pt) b) Si f: A IR IR : x f(x) est différetiable et homogèe sur A, que peut-o dire de ses dérivées partielles premières? Ne pas démotrer (05 pt) c) Soit la foctio h: IR IR : (x,y) h(x,y) différetiable das p p7 h IR et homogèe de degré das IR Soit g(x,y) = yh(x,y) x (x,y) y Pour quelle(s) valeur(s) réelle(s) du paramètre p la foctio g est-elle homogèe das chaque valeur aisi détermiée, quel est le degré d homogééité de g? Détailler et justifier soigeusemet votre répose 4 Soiet f : IR IR : x f(x) et v IR tel que v = IR? Pour ( pts) a) Quad dit-o que f est dérivable e x das la directio v? ( pt) b) Si f est différetiable e x, démotrer que f est dérivable e x das la directio v e doat l expressio de la dérivée directioelle correspodate (5 pt)

2 5 Soiet,m IN0 a) Eocer le théorème de Lagrage relatif à l optimisatio d ue foctio de +m variables soumise à m cotraites (cas gééral) Ne pas démotrer ( pt) b) Soiet f(x,y,z) = (x ) (y ) (z ) et g(x,y,z) = (x ) (y ) (z ) 9 Détermier, par la méthode de Lagrage, les "cadidats" extrema de f(x,y,z) sous la cotraite g(x,y,z) = 0 Classer ces cadidats (miimum, maximum ou i maximum, i miimum) e éoçat le(s) théorème(s) utilisé(s) ( pts) 6 Détermier (répose fiale uiquemet) F a) l expressio complète de la dérivée (t,k) de F(t,k) = k différetiables das IR et h est différetiable das IR g5k f(t,k),h(k) x y si g et f sot F g f g (t,k) = 5k f(t,k),h(k) (5 - (t,k)) 5k f(t,k),h(k) h'(k) k x k y (05 pt) b) la solutio géérale de l équatio différetielle y''' y" y' y 7e x x x -x 7 -x y = C e +C xe +C e + xe C,C,C IR 4 ( pt) c) l équatio du pla taget à la surface d équatio z = x 5y (x y 5)e e le poit (0,0) z = -x + 6y - 5 ( pt)

3 Répose questio a) U sous esemble E de IR est boré ssi il est etièremet iclus à ue boule ouverte cetrée à l'origie O appelle boule fermée de IR de cetre c et de rayo r > 0, l esemble B (c,r) IR tel que B (c,r) = {x IR : d(c,x) r} Répose questio b) Propositio ue boule fermée est u sous-esemble fermé de IR : Preuve : Soit B ue boule fermée de IR, (p,,p m, ) ue suite covergete d élémets de B, soiet c le cetre de B et r so rayo Si p m p, alors d(p m,p) 0 m m Or, d(c,p) d(c,p m ) + d(p m,p) r + d(p m,p) m car tous les p m B (c,r) ; lorsque m, le secod membre ted vers r et, par coséquet, d(c,p) r ce qui prouve que p B (c,r) Répose questio c) Soiet les sous-esembles suivats de IR : A = {(x,y) IR : y x } ; B = IR x (, ) ; C = {(x,y) IR : (x ) (y ) } Compléter les cases du tableau suivat par «oui» ou «o» Justifier avec précisio les réposes des cases grisées ouvert fermé boré covexe A o oui o o B o o o oui C o oui oui oui Justificatios : () A est pas covexe puisque, par exemple, les poits (-,) et (,) appartieet à A et Cepedat, (,) ( )(,) (,) ( )(,) (,) (,) (0,) A [0,] () B est pas fermé puisque, par exemple, le poit (,-) appartiet pas à B mais lui est adhéret (puisque toute boule ouverte cetré e ce poit cotiet des poits (, -+e) avec e > 0 qui sot des poits de B) () C est boré puisque, par exemple, la boule ouverte cetrée e (,-) et de rayo 0 cotiet etièremet C

4 Répose questio a) f x,y possédat toutes ses dérivées partielles (premières) e le poit a, o appelle vecteur gradiet f f de f x,y e le poit a, le vecteur (a), (a) oté grad fa ou fa x y Répose questio b) O a f(x,y) = x y si x,y 0,0 x y 0 si x,y 0,0 ) Etude de la cotiuité de la foctio f(x,y) e (0,0) La foctio f(x,y) est cotiue e (0,0) ssi f(x, y) (x,y) (0,0) existe das IR et vaut f(0,0) Or, f(x, y) (x,y) (0,0) = x (x,y) (0,0) x y y O a (x y ) ( x y ) = 0 ( fct C e (0,0)) O est doc e présece d ue (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) idétermiatio 0/0 Passos aux coordoées polaires : e posat x cos y si, o a x y (cos si ) (cos si ) (x,y) (0,0) x y 0 0 (cos si ) qcq qcq 4 (cos si ) 0 qcq Comme 0 cos et 0 si quel que soit, o a, quel que soit, qcq qcq 0 (cos si ) 5 Comme 5 0 0, par le théorème du picemet, o a 4 (cos si ) 0 0 qcq, doc x (x,y) (0,0) y x y = 0 Comme f(0,0) = 0, la foctio f(x,y) est cotiue e (0,0) ) Etude de la dérivabilité de f(x,y) par rapport à x e (0,0) Il faut calculer x 0 f(x,0) f(0,0) x x 0 IR x0 x 0 x0 x x0 f De là, f(x,y) est dérivable par rapport à x e (0,0) et (0,0) 0 x

5 Répose questio a) Ue foctio f:ir IR est homogèe de degré IR sur u sous-esemble A de IR ssi pour tout x A et tout t > 0, tx Î A et f(tx) = t f(x) - Répose questio b) Si f: A IR IR est homogèe de degré sur A et différetiable xa, alors ses dérivées partielles premières sot homogèes de degré - sur A - Répose questio c) O a g(x,y) = das IR p p7 h yh(x,y) x (x,y) y où h(x,y) est différetiable das IR et homogèe de degré O a (x, y) IR, t 0,t(x, y) (tx, ty) IR Egalemet, p p7 h (x,y) IR, t 0,g(t(x,y)) g(tx,ty) (ty) h(t(x,y)) (tx) (t(x,y)) y [*] Comme h est homogèe de degré das IR, o a (x,y) IR, t 0,h(t(x,y)) t h(x,y) et comme h est de plus differetiable das IR, o a, par la propositio éocée au b) ci-dessus, que les deux dérivées partielles premières de h sot h h homogèes de degré das IR, doc, otammet, (x,y) IR, t 0, (t(x,y)) t (x,y) x x E utilisat remplaçat das [*], o obtiet : p p p7 p7 h (x,y) IR, t 0,g(t(x,y)) t y t h(x,y) t x t (t(x,y)) y ou ecore p p p5 p7 h (x,y) IR, t 0,g(t(x,y)) t y h(x,y) t x (t(x,y)) y Pour que g soit homogèe das IR, il faut que p+ = p-5, doc que p = 4 Pour cette uique valeur de p pour laquelle g est homogèe das IR, le degré d homogééité de g est 7 (p+ ou, de maière equivalet, p-5)

6 Répose questio 4 a) Soiet f : O dit que f : IR IR : x f(x) et v IR tel que v = IR IR est dérivable e x das la directio v ( v = ) ssi F(t) = f(x+tv) est défiie au voisiage de 0 pour t et dérivable par rapport à t e t = 0 La dérivée de f das la directio v e x est alors F (0) Répose questio 4 b) t0 Propositio : si f:ir IR est différetiable e x, si v, alors f est dérivable e x das la directio v et cette dérivée vaut df(x tv) f (x)v i v, f(x) dt ixi Preuve : O applique à la foctio d'ue variable F(t) = f( x +tv) = f( x +tv, x +tv,, x +tv ) la règle de dérivatio des foctios composées : F (t) = df(x tv) dt = d dt [ f( x +tv, x +tv,, x +tv ) ] = = = f (x tv (x tv) ) f + x t x f f (x tv) v + x x i f (x tv)v x i i (x tv (x tv) ) f + + t x f (x tv) v + + x (x tv) v (x tv (x tv) ) t De là, F (0) = df(x tv) f (x)v v, f(x) dt t0 i ixi

7 Répose questio 5 a) Soit f : IR +m IR : x f(x) et g j : IR +m IR : x g j (x), j =,,m Problème: Maximiser (ou miimiser) f(x) sous les cotraites g j (x) = 0, j =,,m Soit le lagragie du problème L(x; ) = f(x) - m jg j(x) j O a la coditio écessaire du premier ordre (théorème de Lagrage) Si f et les g j sot C au voisiage de a, poit itérieur de leurs domaies tel que J g (a) est de rag maximum, si f admet u extremum local e a sous les cotraites g j (x) = 0, * L alors il existe IR m * tel que (a, ) = 0 i =,,+m xi Répose questio 5 b) O a f(x,y,z) = (x ) (y ) (z ) et g(x,y,z) = (x ) (y ) (z ) 9 Il s agit d optimiser f(x,y,z) sous la cotraite g(x,y,z) = 0 Domaies de défiitio : dom f dom g IR Classes :f et g sot C sur Posos IR (ce sot des foctios polyômes) L(x,y,z; ) (x ) (y ) (z ) ((x ) (y ) (z ) 9) Coditio écessaire (théorème de Lagrage) : voir répose questio 5 a) Types de cadidats : parmi les poits de dom f dom g satisfaisat la cotraite ) les évetuels poits o itérieurs à dom f dom g : éat car dom f dom g IR qui est u esemble ouvert ) les évetuels poits au voisiage desquels f ou g est pas C : éat car f et g sot C sur IR ) les évetuels poits où g 0 : g (x,y,z) (x ) x g (x,y,z) (y ) g(x,y,z) (x-) (y+) (z-) [0 0 0] ssi(x,y,z) (,,), y g (x,y,z) (z ) z mais (,-,) e satisfait pas la cotraite 4 ) les évetuelles solutios du système : L (x,y,z, ) 0 x L (x ) (x ) 0 (x )( ) 0 () (x,y,z, ) 0 y (y) (y) 0 (y)( ) 0 () L (z ) (z ) 0 (x,y,z, ) 0 ((z ) (z )) 0 () z ((x) (y) (z) 9) 0 (x ) (y ) (z ) 9 0 (4) L (x,y,z, ) 0

8 () x ou Si, par (), o obtiet = 0, qui a pas de solutio réelle Doc, x = () y ou Comme mèe à ue impossibilité, o a y = - E remplaçat x par et y par - das (4), o obtiet (z ) 9 z ouz z 5ouz 7 Si z = 5, par (), Si z = -, par (), 6 0 O a doc deux cadidats : (,-,5) avec Classemet (par la coditio suffisate «forte») : * 7 et (,-,-) avec * Si f et g sot C au voisiage du poit a, poit itérieur de leurs domaies tel que g(a) 0 et s il existe * L : (a, * L ) 0i, alors si est défiie égative (défiie positive), f présete u x i xix j * maximum (miimum) local e a sous la cotraite g(x,y,z) = 0 O a ici L (x,y,z, ) ( ) x L (x,y,z, ) ( ) y L (x,y,z, ) ( ) z L L L L (x,y,z, ) (x,y,z, ) (x,y,z, ) (x,y,z, ) 0 yx xy zx xz L L (x,y,z, ) (x,y,z, ) 0 yz zy a, ( ) ( ) L 0 ( ) 0 xix j (x,y,z, ) E (,-,5) avec * 7, o a État doé que cette matrice est diagoale, o «lit» ses valeurs propres sur la diagoale Celles-ci sot toutes trois égales à, doc toutes trois strictemet égatives et la coditio suffisate «forte» permet de coclure : f(x,y) possède u maximum local e (,-,5) sous la cotraite g(x,y) = 0

9 E (,-,-) avec *, o a État doé que cette matrice est diagoale, o «lit» ses valeurs propres sur la diagoale Celles-ci sot toutes trois égales à, doc toutes trois strictemet positives et la coditio suffisate «forte» permet de coclure : f(x,y) possède u miimum local e (-,-) sous la cotraite g(x,y) = 0