Calcul des limites. Mathématiques MPSI. Feuille n 3 Suites numériques Année:

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Renaud Marin
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1 Feuille 3 Suites umériques Aée: Calcul des limites Exercice 1 Soit (u ) et (v ), deux suites réelles covergeat respectivemet vers α et β O pose : pour tout N, m = mi(u, v ) et M = max(u, v ) : ces deux suites covergetelles écessairemet? Si oui, préciser leurs limites Exercice Soit ((a, b) R, étudier la covergece de la suite (u ) das chacu des cas suivats u = ( + a)( + b), u = (!) ; u k! = ()! ; u = a b a + b (0 < a < b) Exercice 3 : 1 Démotrer que x R + : x x l(1 + x) x E déduire la limite de la suite (u ) défiie par N : u = Exercice 4 : Soit (u ) ue suite réelle covergete vers la limite l R, Motrer que Exercice 5 : (1 + k ) lim + 1 u = 1 l 1 Soit (u ) ue suite vérifiat : k ]0, 1[, N, u +1 k u Motrer que (u ) coverge vers 0 u Soit (u ) ue suite de réels strictemet positifs O suppose que lim +1 + u = L > 0 (a) Motrer que, si L < 1, alors lim u = 0 + (b) Motrer que, si L > 1, alors lim u = + + (c) Que peut-o dire si L = 1? Examier les cas : u =, u = 1, u = a + 1 ()! (d) Applicatios Étudier les limites de : (!), ()! (! ; (l ) )et! Exercice 6 : Soiet (u ) et (v ) deux suites réelles telles que lim + u + u v + v = 0 Démotrer que les suites (u ) et (v ) coverget vers 0 Exercice 7 : Soiet (u ) et (v ) deux suites telles que Motrer que N, 0 u 1, 0 v 1 et lim + u v = 1 lim u = 1et lim v = Exercice 8 : Soit (u ) N ue suite réelle borée telle que N : u +1 u + + u o pose N : v = u +1 u 1 Motrer que la suite (v ) est croissate E déduire que (v ) est covergete 3 Démotrer que lim v = 0, o pourra raisoer par absurde et distiguer le deux cas 4 Motrer que la suite (v ) N est égative 5 E déduire que la suite (u ) N est covergete Exercice 9 : 1 Soit (u ) ue suite réelle telle que ( ) 0 motrer que (u ) u Même questio si o suppose que (u ) est borée et ( 1 + u ) 0 u u 1

2 Suite Implicite Feuille 3 Suites umériques Aée: Exercice 10 : 1) - Démotrer que l équatio x + x + x 1 = 0, où N, admet ue uique solutio positive O otera u cette solutio ) - O ote α la solutio positive de x + x 1 = 0 Motrer que u α < 1 3) - Motrer que (u ) est croissate 4) - Motrer que (u ) coverge vers ue limite l ]0, 1[ 5) - Motrer que α u α et calculer l (pour cela, o pourra faire la différece des deux α + 1 expressios vérifiées respectivemet par u et α) Suites adjacetes Exercice 11 : Motrer que les suites suivates sot adjacetes et coclure : 1 u 0 = 1, v 0 =, et = et v +1 = u + v u +1 u v a = E(10 x) 10 et b = E(10 x) où x est u réel Limite commue? 3 a = 1 p E(p x) et b = a + 1 p où x est u réel et p u etier Exercice 1 : Soit ue suite (u ) N décroissate telle que : lim u = 0 O pose : 1, + S = ( 1) k u k 1 Prouver que les suites extraites (S ) 1 et (S +1 ) 0 sot adjacetes E déduire que la suite (s ) 1 est covergete 3 Applicatios : étudier la covergece des suites (S ) pour ( 1) k ( 1) k ( 1) k S =, S =, S = k k l(l k)) a +1 = a + b 3 Exercice 13 Soit (u ) et (v ) deux suites défiies par u 0, v 0 R et N b +1 = a + b 3 motrer que les suites (u ) et (v ) sot adjacetes et, doer leur limite Suites récurretes k= Exercice 14 : Soit (u ) ue suite umérique défiie par ue relatio récurrete, détermier u das les cas suivats 1 u 0 = 1, u 1 = 3, N : u + = 6u +1 5u u 0 = 1, u 1 =, N : u + = 6u +1 9u + 5 Exercice 15 : Soiet (u ) et (v ) deux suites telles que { u+1 = 1 3 u + 3 v + v +1 = 3 u v + 1 O itroduit les deux suites (t ) et (s ) défiies par t = u + v et s = u v 1 Exprimer ue relatio de récurrece satisfaite par t et s Calculer de deux faços différetes 1 (t k+1 t k ) E déduire t e foctio de et de t 0 3 Motrer que la relatio de récurrece vérifiée par s est satisfaite pour ue suite de la forme a + b 4 Étudier la suite s (a + b) où a et b ot été détermier par la questio précédete E déduire s 5 Expliciter u et v e foctio de, u 0 et v 0

3 3 Suites complexes Feuille 3 Suites umériques Aée: Exercice 16 : Soit θ u réel o multiple de π O défiit la suite (z ) par : z 0 = 1 et 0, z +1 = e iθ z + 1 eiθ 1 Quelle est la ature de la suite (z )? Calculer z e foctio de et de θ Iterpréter géométriquemet la trasformatio de M d affixe z e M +1 d affixe z +1 Peut-o avoir z = 0? 3 O pose S (θ) = z k : calculer la valeur de S (θ) 4 O pose C (θ) = S (θ) Comparer Exercice 17 : ( ) ( lim lim C (θ) et lim + θ 0 θ 0 O défiit la suite complexe (z ) par : z 0 C et 0, z +1 = z + z 1 Etudier cette suite lorsque z 0 est réel lim C (θ) + O suppose désormais que z 0 C \ R et o pose z 0 = re iθ avec r = z 0 et θ ] π, 0[ ]0, π[ Pour tout 0, o pose z = r e iθ avec r = z et θ = arg z das ] π, π[ Exprimer z +1 et r +1 à l aide de z et r 3 E déduire que : 0, r = r si θ si θ et θ = θ 4 Motrer que la suite (z ) coverge vers u réel strictemet positif à détermier Sous- suites Exercice 18 : Soit (u ) ue suite réelle covergete et de limite l φ : N N ue bijectio ( o croissate ) motrer que (u φ() ) est covergete vers l Exercice 19 : Soit (u ) ue suite réelle 1 Motrer que si lim u = + alors toute suite extraite de (u ) est de limite + Supposos que (u ) est positive, Motrez que si o a pas lim u = +, alors il existe ue suite extraite de (u ) covergete 3 Supposos que N : u = p q avec p N, q N et lim u = α, Motrez que α Q lim p = lim q = + Mii- problème Soit (a ) ue suite à termes positifs ou uls O défiit Soit (u ) ue suite détermiée par { u1 = 1, S = a i i=1 u +1 = u + u + a 1) Motrer que la suite (S ) est covergete si et seulemet si elle est majorée ) Motrer que (u ) est ue suite bie défiie et qu elle est croissate 3) O admettra das u premier temps que (1) 1, u +1 u + a 4 E appliquat cette iégalité pour différetes valeurs de, doer ue majoratio de u +1 e foctio de S E déduire que si (S ) est covergete, alors (u ) est covergete 4) Calculer a e foctio de u et u +1 O suppose que (u ) coverge vers l Doer alors ue majoratio de a e foctio de (u +1 u ) et e déduire que (S ) est covergete 5) Démotrer l iégalité (1) )

4 4 Feuille 3 Suites umériques Aée: Exercice 0 : Soit (u ) ue suite réelle covergete et de limite l φ : N N ue bijectio ( o croissate ) motrer que (u φ() ) est covergete vers l Exercice 1 : Soit (u ) ue suite réelle 1 Motrer que si lim u = + alors toute suite extraite de (u ) est de limite + Supposos que (u ) est positive, Motrez que si o a pas lim u = +, alors il existe ue suite extraite de (u ) covergete 3 Supposos que N : u = p q avec p N, q N et lim u = α, Motrez que α Q lim p = lim q = + développemet asymptotique Exercice : -Doer des équivalets simples des suites suivates : (a) ( 3 ) (b) ( + 1 )( + 7) (c) (l( + 1) l()) (d) (a ) (e) u = (f) u = (g) u = l( + 1) l() 1 (h) u = si + 1 ( (i) u = l si 1 ) (j) u = 1 cos 1 Exercice 3 : Soit (u ) la suite défiie par u 0 > 0 et N, u +1 = u + u (a) Motrer que la suite (u )est strictemet positive et mootoe (b) Prouver que lim(u ) = + (c) E déduire que u +1 u Exercice 4 : Soit (u ) la suite défiie par N : u = 1! (a) Vérifier que : u = u (b) Motrer que la suite (u ) est borée k! (c) E déduire que (u ) est covergete e précisat sa limite (d) E déduire que u 1 = 1 + o(1) (e) E déduire soigeusemet u = o( 1 ) et u Exercice 5 : Pour tout etier aturel 0, o défiit la foctio f sur R par : f (x) = x 3 + x + (a) Motrer que, pour tout 0, l équatio f (x) = 0 possède ue et ue seule solutio α sur R (b) Comparer α à -1 et 0 Détermier le sige de f +1 (α ) : e déduire la mootoie de la suite (α ) (c) Démotrer que la suite (α ) est covergete, de limite (-1) (d) Motrer que α ( 1) 1 (, puis α ( 1) 1 ) 3 : autremet dit, α = o ( 1 )

5 5 Feuille 3 Suites umériques Aée: Problème 1 : Soit f : R R, x x e x (a) E étudiat les variatios de f,motrer que pour tout etier 1,l équatio f(x) = admet ue seule solutio das R qu o otera u (b) Moter que 1, u + 1 E déduire la limite de la suite (u ) (c) O pose,pour tout, v = u Motrer que v e (d) O pose w = u e Calculer e w, e déduire que : u = + e e + o(e ) Problème : Soit N ; o se propose d étudier lesracies de l équatio : (E ) l x + x = A cet effet, o itroduit la foctio f défiie par : f(x) = l x + x I-Existece de racies : (a) Etudier les variatios de f (b) Motrer que f est ue bijectio de R + das R (c) E déduire que pour tout etier o ul (E ) admet ue solutio et ue seule x et que la suite (x ) >0 est strictemet croissate (d) Doer la valeur de x 1 Trouver, à l aide de la calculatrice, ue valeur approchée de x à 10 prés p (e) Détermier l etier aturel p tel que : 100 x p II-Etude de la covergece de (x ) >0 : (a) Motrer que : x > 0, l x < x (b) Prouver que l o a : N, x (c) Quelle est la limite de (x ) >0? (d) Motrer que l(x ) ted vers 0 quad ted vers + (e) E déduire que x quad ted vers + (f) Calculer la limite de x +1 x quad ted vers + (g) O pose : N, u = x l Motrer que : N, u 1 = (h) Quelle est la limite de u quad ted vers +? (i) Prouver que : 1 u 1 quad ted vers + (j) Motrer que : x = l + l + o(l ) quad ted vers + l( x ) l

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