Risk parity : quelle approche en risque choisir?

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1 Risk parity : quelle approche en risque choisir? Papier de recherche Octobre 2014 // Document réservé exclusivement aux clients professionnels au sens de la MIF #1

2 Contacts Solutions Institutionnels & Réseaux Jean-Christophe Brun Product Specialist Investissement & Solutions Clients Natixis Asset Management Ingénierie Financière & Recherche Quantitative Olivier Roussel Ingénieur Financier Senior Investissement & Solutions Clients Natixis Asset Management Geoffrey Babiarz Ingénieur Financier Investissement & Solutions Clients Natixis Asset Management NATIXIS ASSET MANAGEMENT Pôle d expertise Investissement et Solutions Clients en bref Avec 307 milliards d euros sous gestion et 588 collaborateurs 1, Natixis Asset Management se place aux tout premiers rangs des gestionnaires d actifs européens. Natixis Asset Management offre à ses clients (investisseurs institutionnels, entreprises, banques privées, distributeurs et réseaux bancaires), des solutions sur mesure, innovantes et performantes, organisées autour de 6 grandes expertises de gestion : Taux, Actions européennes, Investissement et solutions clients, Structurés et volatilité développé par Seeyond 2, Global émergent et Investissement responsable développé par Mirova 3. L offre de Natixis Asset Management est commercialisée par la plateforme de distribution mondiale de Natixis Global Asset Management qui offre un accès aux expertises de plus de vingt sociétés de gestion présentes aux États-Unis, en Asie et en Europe. Le pôle Investissement et Solutions Clients s appuie sur une expertise en allocation globale pour proposer des solutions d investissement sur mesure et innovantes aux investisseurs institutionnels. Ces offres utilisent l ensemble des techniques de gestion : gestion benchmarkée, gestion garantie, assurance de portefeuille, performance absolue, Liability Driven Investment (stratégies de placement adossées au passif), etc. Avec 53 collaborateurs, ce pôle gère 36 Md d encours ainsi que 44 Md d allocation d actifs en délégation de gestion auprès des autres pôles d expertise de Natixis Asset Management Source : Natixis Asset Management 30/06/ Seeyond est une marque de Natixis Asset Management. 3 - Mirova est filiale à 100% de Natixis Asset Management.

3 TABLE DES MATIÈRES SYNTHÈSE 4 1 /// OPTIMISATION RENDEMENT/RISQUE 6 A. PRINCIPES 6 B. LIMITES 6 C. IMPACT DES ERREURS 8 D. COMMENT BÂTIR UNE ALLOCATION SUR UN UNIVERS D INVESTISSEMENT TRÈS LARGE? 8 2 /// ALTERNATIVES POSSIBLES POUR UNE GESTION GLOBALE 9 A. EQUALLY WEIGHTED (EW) 9 B. INVERSE VOLATILITY (IV) 10 C. EQUAL RISK CONTRIBUTION (ERC) 11 D. CONCLUSION SUR LA MÉTHODE DE CONSTRUCTION DE PORTEFEUILLE 12 3 /// CHOIX DE LA MESURE DU RISQUE 13 A. PRÉREQUIS 13 B. LE «STANDARD DE MARCHÉ» : LA VOLATILITÉ HISTORIQUE 14 C. SEULES LES PERTES COMPTENT 15 D. DU PASSÉ À L ANTICIPATION 18 E. CONCLUSION SUR LE CHOIX DE LA MESURE DE RISQUE 20 4 /// CONFRONTATION EMPIRIQUE DES METHODES RETENUES 20 A. CHOIX DE L UNIVERS 20 B. RÉSULTATS DE L ÉTUDE COMPARATIVE DES MÉTHODES DE CONSTRUCTION 21 C. RÉSULTATS AVEC LES DIFFÉRENTES MESURES DE RISQUE 25 CONCLUSION 32 ANNEXE 1 : AXIOMES D ARTZNER (1999) 34 ANNEXE 2 : DIFFÉRENTS INDICATEURS UTILISÉS 34 RÉFÉRENCES 36 3

4 SYNTHÈSE L approche risk parity offre aux investisseurs des solutions pour construire des portefeuilles à la fois plus résistants aux crises et capables de profiter des phases de hausse de marché. Comme son nom l indique, la priorité de cette approche est la maîtrise du risque, lequel est réparti uniformément entre les différentes classes d actifs qui composent le portefeuille. Ce qui semble simple en apparence, revêt en réalité des difficultés multiples : Liées à la méthode d équilibrage des risques : Peut-on répartir les poids en capital équitablement sur toutes les classes d actifs? Peut-on le faire inversement au niveau de risque que représente chaque actif? Peut-on à la fois prendre en considération le risque de chaque actif mais aussi sa contribution au risque du portefeuille global, compte-tenu des corrélations qui existent entre actifs? Relatives au choix, crucial, de la mesure du risque qui servira de déterminant à toute la construction ultérieure du portefeuille en risk parity : Doit-on utiliser des distributions asymétriques ou ne retenir que la distribution des pertes? Des méthodes avancées qui intègrent une part d anticipation en plus des données historiques offrent-elles de meilleurs résultats? Prendre une mesure simple et répandue comme la volatilité historique est-il acceptable? L histoire de la recherche est jonchée de travaux sur l optimisation du ratio rendement/risque, à commencer par les travaux de Markowitz et la notion de frontière efficiente (Partie 1). Mais la simplification excessive à laquelle doit se résoudre ce modèle fondé sur les concepts de moyenne/variance ne résiste pas à l épreuve de la réalité des marchés. La distribution normale ne correspond pas aux observations réellement constatées et n intègre pas l asymétrie des rendements alors que ce sont davantage les pertes que les gains qui intéressent l investisseur préoccupé par le risque. En outre, les modèles d allocation proposés sont souvent trop concentrés car limités aux quelques actifs offrant les meilleurs ratios de Sharpe. Cela accentue la fragilité de ce modèle qui est par ailleurs très dépendant de la justesse des estimations des espérances de rendement, de variance et de corrélation. Or, une erreur de paramétrage sur les espérances de rendements a un impact considérable sur la qualité de la modélisation, bien plus important qu une erreur sur la variance ou la corrélation. Les préceptes de la théorie de Markowitz ne sont donc pas retenus, d autant que nous prenons comme contrainte préalable un univers d investissement très large afin de pouvoir disposer du potentiel maximum de diversification du portefeuille. Or, il n est pas raisonnable d envisager une estimation précise de l espérance de rendement sur un très grand nombre d actifs. Cela nous conduit à analyser plusieurs méthodes alernatives de portefeuille, méthodes qui ne requièrent aucune hypothèse sur les rendements espérés et qui présentent l avantage de minimiser un critère de concentration du portefeuille donné (Partie 2) : 1. La méthode Equal Weight (EW) qui alloue un poids identique à chacun des actifs du portefeuille ; 2. La méthode Inverse Volatility (IV), souvent qualifiée de «naïve risk parity method», qui pondère les actifs inversement à leur volatilité ; 3. La méthode Equal Risk Contribution (ERC) qui prend en compte la covariance entre les actifs et permet, grâce à la diversification, de réduire le risque global du portefeuille. Parmi ces trois méthodes présentées en fonction de leurs avantages, de leurs inconvénients et de leur comportement en cas de turbulence des marchés, une seule sera retenue par la suite : la méthode ERC dont les résultats sont les meilleurs, à la fois en termes de volatilité que de pertes glissantes cumulées, mais aussi en termes de concentration de portefeuille. La Partie 3 est consacrée au choix de la mesure du risque, que nous définissons comme l imminence ou l augmentation de la probabilité d occurrence d un évènement pour lequel l investisseur a une aversion. C est donc un changement de régime dans le comportement d un actif que l on souhaite détecter. Parmi l éventail de paramètres de risque, nous avons analysé des mesures très répandues comme les volatilités historique et implicite, la valeur au risque (VaR ou Value at Risk en anglais) ou la valeur au risque conditionnelle (CVaR ou Conditional Value at Risk en anglais). Mais le champ d investigation a également été élargi à d autres méthodes comme le moment partiel inférieur (MPI ou Lower Partial Moment en anglais) et la volatilité exponentielle (EWMA ou Exponentially Weighted Moving Average en anglais, un cas particulier de la famille des modèles GARCH*) pour laquelle les pondérations affectées aux observations passées décroissent exponentiellement à mesure que l on s éloigne dans le temps. Ces méthodes se distinguent entre elles par l intégration ou non de données anticipatives, asymétriques ou liées aux prévisions de rendements futurs. A l instar de ce qui a été établi en Partie 1, les approches qui supposent de recourir à des estimations de rendements futurs comme la VaR ou la CVaR ne seront pas retenues. La méthode du MPI n a pas cet inconvénient et présente l avantage d une modélisation plus réaliste du risque, en ne prenant que la distribution des pertes. Au final, malgré les disparités d approche, les trois paramètres de risque (volatilité historique, moment partiel inférieur, volatilité exponentielle) ne conduisent pas à des résultats radicalement différents. Le choix se portera sur des critères liés à la complexité de mise en œuvre, à la plus ou moins grande stabilité du portefeuille ou au taux de rotation de celui-ci. L intégralité des résultats obtenus avec les différentes simulations est présentée en Partie 4. Pour conclure, cette étude met en avant la supériorité de la méthode ERC pour construire un portefeuille en risk parity et laisse un grand éventail de choix à l investisseur en ce qui concerne la mesure de risque à utiliser, sachant qu une approche pragmatique et simple utilisant la volatilité historique paraît tout à fait recevable. L étude propose donc des pistes pour mettre en œuvre une solution en risk parity et souligne toute l étendue des déclinaisons possibles selon les choix de construction qui seront retenus. Enfin, précisons que ce document porte sur les méthodes de construction de portefeuille dans le cadre d une stratégie en risk parity. Une seconde étape, destinée à prendre en considération les anticipations de marché, fera l objet d un prochain papier de recherche. 4 *GARCH : Generalized Autoregressive Conditionally Heteroskedastic

5 INTRODUCTION Les récentes crises ont placé la maîtrise du risque au centre des préoccupations des investisseurs et des sociétés de gestion. Les études qu elles ont suscitées ont permis de faire évoluer les méthodes de construction des portefeuilles diversifiés. Les chocs de marché ont en effet mis en lumière que des portefeuilles considérés comme équilibrés présentaient en réalité une trop grande concentration du risque sur les actifs les plus risqués, ce qui a été amplifié par une mauvaise maîtrise des interactions entre actifs au sein du portefeuille. Parce qu il peut s avérer très long de récupérer les pertes subies lors de crises, la maîtrise du risque est désormais considérée comme une source de rendement essentielle par la préservation du capital. La minimisation des pertes devient un axe important dans la recherche de rendement dans le temps en agissant sur la réduction de son amplitude et sur la fréquence de ses occurrences. De nombreuses publications ont récemment mis en évidence de nouvelles méthodes d allocation de portefeuilles qui n étaient plus uniquement centrées sur les niveaux de rendements attendus mais tenaient aussi compte du risque subi par les investisseurs, avec pour objectif de maximiser non plus uniquement le rendement, mais plutôt le rendement ajusté du risque. L approche risk parity est notamment l une de ces méthodes d allocation de portefeuille qui apporte une réponse en construisant des portefeuilles dont les risques sont équitablement répartis entre les différentes classes d actifs. L objectif vise à obtenir un portefeuille capable de mieux résister aux retournements défavorables de marché tout en participant aux phases de hausse. Le succès de cette méthode a conduit à différentes déclinaisons, apparues en premier lieu aux Etats-Unis puis en Europe. Il existe en effet de multiples voies pour mettre en œuvre une allocation basée sur des budgets de risque. Chaque solution suppose de choisir la bonne méthode de construction de portefeuille, de sélectionner la mesure de risque la plus pertinente à la fois au niveau de chaque classe d actifs et au niveau du portefeuille global pour obtenir la meilleure combinaison de ces différentes classes d actifs. Les approches retenues conduisent naturellement à des profils de portefeuilles risk parity très différents. Il est donc indispensable pour les investisseurs de bien comprendre les mécanismes mis en jeu, les objectifs de gestion qui en découlent ainsi que les limites intrinsèques à ces méthodes. A travers cette étude, nous essayons de donner des «clés» aux investisseurs pour leur permettre de choisir pertinemment la solution qui correspond le mieux à leurs attentes. Dans ce document, nous analyserons l intérêt mais aussi les écueils associés au choix de la méthode de construction de portefeuille basée sur le risque, les estimations et hypothèses qui sous-tendent les modèles retenus et les mesures de risque prises en compte. Les thèmes abordés ont donc trait à l allocation stratégique de long terme. L apport de l allocation tactique, notamment sous l angle de la recherche de rendement sera traité dans un document ultérieur. Enfin nous prendrons comme hypothèse la construction d un portefeuille sur un univers d investissement le plus large possible pour bénéficier du potentiel maximum de diversification. 5

6 1 OPTIMISATION RENDEMENT/RISQUE Pendant de nombreuses années, les méthodes de construction de portefeuille ont été influencées par les travaux fondateurs de Markowitz [1]. La relation entre rendement et risque a fortement déterminé la nature des algorithmes de construction mis en œuvre dans les sociétés de gestion. Cette théorie qui a pour vocation d optimiser un portefeuille sur la base d espérances de rendement et de variance est-elle une solution acceptable pour construire un portefeuille robuste dans le temps sur un large univers d investissement? A. PRINCIPES Dans le cadre des recherches de Markowitz, les portefeuilles sont construits sous la forme d une optimisation : Soit cherchant à maximiser le rendement espéré sous contrainte d un niveau de risque ex-ante imposé. Soit cherchant à minimiser le niveau de risque ex-ante subi pour un niveau de rendement souhaité. On obtient alors une courbe, appelée frontière efficiente qui correspond aux résultats obtenus pour différents niveaux de rendement/risque. A chaque niveau de rendement est associé un portefeuille qui minimise le risque (mesuré par la variance). À l'inverse, pour chaque niveau de risque peut être associé un portefeuille maximisant le rendement attendu. L'ensemble de ces portefeuilles optimaux est appelé frontière efficiente ou frontière de Markowitz. Objectif de Rendement (Espérance) B. LIMITES Frontière efficiente Objectif de Risque (covariance) Malgré les attraits de cette approche, plusieurs limites peuvent rapidement être mises en évidence : 1. Tout d abord liées aux hypothèses : Rendements des actifs normalement distribués : Ce graphique illustre cette notion de frontière efficiente. Chaque actif présent en portefeuille est symbolisé par un point de couleur gris foncé. Le carré bleu identifie le couple rendement/risque d un portefeuille équipondéré en capital. Le point rouge représente quant à lui l allocation dite «Minimum Variance», c est-à-dire celle pour laquelle la variance ex-ante est la plus faible. Les points gris clair correspondent à des portefeuilles possibles comme combinaison linéaire des actifs éligibles et permettent de comprendre les couples rendement/risque possibles. La frontière efficiente est représentée en noir ; elle indique les allocations qui maximisent le rendement pour un niveau de risque donné. Ce sont celles que recherche un investisseur. Le modèle Moyenne/Variance de Markowitz est fondé sur une distribution normale des rendements qui n est qu une approximation usuelle mais imparfaite du comportement réel des actifs financiers. Cette simplification excessive ne résiste pas à l épreuve de 6

7 la réalité des marchés comme le montrent les graphiques de distribution de rendements de différents actifs sur une période et une périodicité donnée (la courbe bleue correspondant à la distribution normale). Comportement des actifs réels Risque mesuré par la variance : Le choix de la variance en tant que mesure de risque s explique si les rendements des actifs suivent tous une loi normale. Dans ce contexte particulier, la distribution des pertes est entièrement définie par l espérance et la variance des rendements. Or dans la pratique, ces deux premiers moments ne suffisent pas à caractériser la distribution des rendements. En effet, si deux distributions avec la même variance ne présentent pas les mêmes profils de perte, elles doivent nécessairement présenter un risque différent. Dès lors, nous pouvons formuler une seconde réserve sur l approche proposée par le modèle de Markowitz : les variations positives et négatives des rendements autour de la moyenne ne peuvent être prises en compte de manière identique. La variance n intègre pas l asymétrie des rendements quand un investisseur, lui, se soucie d avantage du risque baissier. 2. Mais aussi liées à l optimisation : Concentration des portefeuilles : Les allocations sont souvent réduites aux quelques actifs de l univers d investissement qui présentent les meilleurs ratios de Sharpe (c est-à-dire le meilleur ratio entre l excès de rendement sur le taux sans risque et la volatilité). Or, si l estimation de ces paramètres est incorrecte, l impact pour l investisseur risque d être significatif car le portefeuille qui en découle sera très concentré sur des actifs dont le comportement est différent de celui attendu. Deux risques majeurs peuvent être ainsi distingués dans la construction d un portefeuille qui se concentre sur les actifs présentant les meilleurs profils rendement/risque : La période choisie pour définir le rendement espéré et son risque sous-jacent ne présentent pas forcément un profil fidèle aux événements à venir. La mesure de risque choisie peut n être pertinente que pour une partie seulement des instruments de l univers choisis. 7

8 Par ailleurs, quand cela est autorisé, cette méthode a tendance à produire des portefeuilles avec des niveaux de levier qui sont irréalistes par rapport aux contraintes habituelles dans les sociétés de gestion et qui contreviennent à une démarche visant à maîtriser du risque. Manque de robustesse/stabilité : La stabilité des poids de l allocation n est pas garantie et un changement mineur des données de départ (espérance de rendement, variance et corrélation) peut modifier significativement les résultats de l optimisation. Plusieurs auteurs ont notamment prouvé que cet algorithme de construction a tendance à amplifier les erreurs commises dans les hypothèses de départ et ont, à cet effet, introduit l expression «Error Maximizing Portfolios» [2]. Ce dernier point peut s avérer extrêmement coûteux même si les anticipations de rendement sont proches de leurs réalisations sur la période à venir. C. IMPACT DES ERREURS Deux chercheurs, Chopra & Ziemba [3], ont montré que des changements mineurs sur les paramètres en entrée pouvaient créer d importantes modifications de la composition du portefeuille optimal dans le cadre d une calibration par une approche Moyenne/Variance. Ils ont ensuite poussé leur étude un peu plus loin et quantifié l impact relatif d une estimation imprécise (voire erronée) selon la nature du paramètre retenu. Leurs conclusions sont les suivantes : Une erreur sur les rendements a un impact 11 fois supérieur à une erreur sur les variances Une erreur sur les variances a un impact 2 fois supérieur à une erreur sur les corrélations Ces ordres de grandeur sont croissants avec la tolérance au risque de l investisseur : plus on va chercher des actifs risqués, plus les amplitudes seront élevées et au final, plus les erreurs seront conséquentes. L accent doit donc être mis avant tout sur la qualité de l estimation des rendements attendus ; les volatilités doivent quant à elles être estimées avec une bonne précision tandis que les corrélations représentent le paramètre le moins sensible. C est donc bien l estimation (ou les vues) exprimées sur les rendements attendus qui conditionnent le plus la composition de l allocation et qui, en cas d imprécision, peuvent le plus dégrader l optimalité du portefeuille. Il convient donc de déterminer sur quels paramètres/informations de marché, il est raisonnablement possible d exprimer de façon précise, systématique et quantifiable des vues sur des actifs et de dépasser la simple expression de tendances de marché. Ex. : Avoir une vue positive sur les actions de la zone Euro ne suffit pas à exprimer de façon précise un niveau de rendement attendu pour les mois à venir. Au-delà de ces caractéristiques intrinsèques, il est donc indispensable de choisir une méthode d allocation cohérente avec les anticipations de marché dont on dispose. Sur un univers d investissement très large, nous considérons donc qu il n est pas raisonnable de modéliser un portefeuille en intégrant les anticipations de rendement pour chaque actif composant l univers. D. COMMENT BÂTIR UNE ALLOCATION SUR UN UNIVERS D INVESTISSEMENT TRÈS LARGE? Nous nous sommes fixés comme objectif de bâtir un portefeuille sur un univers le plus large possible afin de maximiser le potentiel de diversification. Or, dans le cadre d une gestion globale, il est quasiment impossible d exprimer des vues précises sur la totalité des actifs. Le gérant va donc être amené à déformer l allocation sur une partie des actifs 8

9 seulement, ceux pour lesquels il a une conviction forte quant à leur évolution future. Dans toute la suite du document, nous allons nous placer dans ce cadre et rechercher uniquement des méthodes d allocation qui répondent aux critères suivants : Il n est pas nécessaire d exprimer des anticipations de rendement sur l intégralité des actifs de l univers d investissement. Il y a donc peu de données à estimer. La méthode est robuste ; les variations de poids sont limitées relativement aux hypothèses de départ. La méthode minimise au moins un critère usuel de concentration de portefeuille (et pas directement une mesure de risque). Cette condition permet d éviter les portefeuilles très concentrés, à fort taux de rotation et qui n exploitent qu une partie minime de leur univers d investissement. 2 ALTERNATIVES POSSIBLES POUR UNE GESTION GLOBALE Pour illustrer notre propos, plusieurs approches seront présentées répondant aux principes exprimés précédemment et permettant de définir une allocation systématique pouvant servir d ossature à un portefeuille global. Précisons qu à ce stade, aucune vue de marché ne sera prise en compte (sujet qui sera traité dans une étude ultérieure) et que notre attention portera essentiellement sur la seule recherche du juste équilibre au sein d un portefeuille. Seules les méthodologies qui respectent les conditions suivantes seront retenues en conséquence : La méthode ne requiert aucune hypothèse sur les rendements espérés. La méthode cherche à minimiser la concentration du portefeuille relativement à un critère donné. La méthode a une solution unique. Il n est donc pas nécessaire d imposer de critères supplémentaires pour garantir la convergence. A. EQUALLY WEIGHTED (EW) Construction basée sur des poids en capital 1 Equally Weighted (EW) Prise en compte du risque de chaque actif C'est la méthode de construction de portefeuille la plus simple à mettre en œuvre. Elle consiste tout simplement à donner le même poids en capital à chaque classe d actifs de l'univers d'investissement. On achète tous les actifs disponibles en quantité égale, sans considération pour le risque que chacun des actifs représente. Plus formellement, nous pouvons écrire : (i,j) i = j =1/N Où i représente le poids de l actif i dans le portefeuille et N représente le nombre d actifs qui composent ce portefeuille. 9

10 1. Quels sont les avantages de cette approche? Elle ne nécessite aucune anticipation de marché, ni aucune autre hypothèse sur les actifs en portefeuille. C est la méthode qui minimise la concentration en poids du portefeuille (cf. coefficient de Herfindahl-Hirschmann, Annexe 2). 2. Quels sont les inconvénients de cette approche? Aucune gestion des risques n est incluse dans cette approche qui alloue autant de capital à un actif risqué qu à un actif très peu risqué. 3. Comportement en cas de turbulence des marchés Cette méthode de construction est dite «contrariante» : elle réduit le poids des actifs qui ont progressé et augmente celui des actifs qui ont diminué à chaque rebalancement, ceci pour maintenir l'équipondération du portefeuille. Le capital est donc alloué à l'inverse de la tendance récente, d'où le terme d'approche «contrariante». Elle est donc efficace en cas de retournement de marché. B. INVERSE VOLATILITY (IV) Construction basée sur des poids en risque 2 Inverse Volatility (IV) Prise en compte du risque de chaque actif Dans cette approche, les poids des actifs sont inversement proportionnels à leurs volatilités. Nous obtenons ainsi une allocation pour laquelle les risques marginaux de chacun des actifs sont égaux. La formule de calcul des poids s écrit donc : 1 i i = i 1 j=1 Où i représente le poids de l actif i dans le portefeuille, i la volatilité de l actif i et le nombre d actifs qui composent ce portefeuille. 1. Quels sont les avantages de cette approche? Elle ne nécessite que la volatilité des actifs. Elle minimise la concentration en risque marginal. 2. Quels sont les inconvénients de cette approche? Pas de prise en compte des interactions entre les différents actifs et donc du potentiel de diversification. Cette méthode est fortement dépendante de l univers d investissement. j 10

11 3. Comportement en cas de turbulence des marchés Cette méthode permet de répartir équitablement les risques sur l ensemble des actifs présents en portefeuille si les corrélations entre actifs sont toutes identiques et à condition que ce risque soit symétrique. Dans le cadre d une crise financière où tous les actifs se recorrèlent, cette hypothèse est naturellement vérifiée et cette méthode de construction de portefeuille par équipondération à la volatilité va conduire à une désallocation progressive des actifs les plus volatils au bénéfice des actifs les moins volatils. C. EQUAL RISK CONTRIBUTION (ERC) Construction basée sur des poids en risque 3 Equal Risk Contribution (ERC) Prise en compte du risque de chaque actif ET contribution au risque du portefeuille global Il s agit ici de prendre en compte les interactions qui existent entre les différents actifs susceptibles d être mis en portefeuille. En effet, l écart type du rendement d un titre comprend à la fois le risque diversifiable (idiosyncratique) et le risque non diversifiable (systémique). Notre méthode doit prendre en compte la réduction des risques liée à la diversification de l allocation. Pour cela, il convient d utiliser la covariance et non plus la variance pour caractériser l exposition au risque de l allocation. On doit définir les quantités suivantes : La volatilité de l allocation : P P P Le risque marginal : La contribution au risque : (en absolu) (en pourcentage) i i P i i MR i = P (. ) = i i MR i P P ( ) ( ) i = P (. ) i = i i P ( ) i CR i P i i i CR i = P (. ) i = i i i CR i i P P ( ) ( ) i = P (. ) i i = i i i P ( ) i P i i i i P i PCR i = i = i (. ) i i PCR P P ( ) ( ) P i i P P ( ) ( ) P P ( ) ( ) i = i = i (. ) i P ( ) i P ( ) P ( ) La méthode d allocation ERC consiste à calibrer les poids pour que les contributions au risque de chacun des actifs soient toutes identiques. Cela revient à écrire : (i,j) CR i = CR j = 1 N 1. Quels sont les avantages de cette approche? Elle prend en compte non seulement la volatilité de chaque actif mais aussi leur corrélation (la matrice de covariance se déduit de ces deux indicateurs). Contrairement aux techniques précédentes, l approche ERC offre l avantage d une optimisation au niveau du portefeuille global et utilise le potentiel de décorrélation de chaque actif qui est intégré au portefeuille. Elle minimise la concentration en risque du portefeuille (cf. coefficient de Gini, Annexe 2). Par ailleurs, cette technique utilise directement la matrice de covariance et non son inverse. Elle répond donc parfaitement à nos attentes en termes de stabilité. Prend en compte non seulement la volatilité de chaque actif mais aussi leur corrélation. Minimise la concentration en risque du portefeuille. Utilise directement la matrice de covariance et non son inverse. 11

12 2. Quels sont les inconvénients de cette approche? Contrairement aux méthodes que nous avons présentées jusqu à présent, les poids doivent être calibrés à l aide d un algorithme de programmation dynamique. Sa mise en œuvre est donc plus délicate. 3. Comportement en cas de crise Si une même crise frappe tout ou partie d un portefeuille construit par équipondération à la contribution au risque de ce portefeuille, la méthode d allocation va jouer son rôle en termes de diversification du risque, en préférant les actifs à régime de volatilité plus faible proportionnellement à des actifs à régime de volatilité plus important. Contrairement à la méthode de la Volatilité Inverse, cette approche peut être appliquée à des univers d investissement plus hétérogènes où seule une partie des actifs va changer de régime de volatilité et de corrélation, puisque la prise en compte des relations entre les actifs par la méthode de construction n impose pas de conditions sur les écarts de corrélation pour être efficace. Les propriétés de cette méthodologie sont notamment détaillées dans l étude très complète de Maillard, Roncalli et Teiletche [4]. D. CONCLUSION SUR LA MÉTHODE DE CONSTRUCTION DE PORTEFEUILLE Nous nous sommes attachés à évaluer la pertinence des différentes méthodes de construction de portefeuille (optimisation Moyenne/Variance, Equal Weight EW, Inverse Volatility IV, Equal risk Contribution ERC). Sans anticiper sur les résultats présentés en partie 4, nous pouvons d ores et déjà entrevoir que toutes les méthodes de construction basées sur l égalisation des risques au sein d un portefeuille ne se valent pas. Les approches les plus simples que sont l Equal Weight et l Inverse Volatility, cette dernière étant souvent qualifiée de «naïve risk parity», ne prennent pas en compte les interactions entre actifs et par là même les gains de décorrélation que l on peut obtenir d un portefeuille diversifié. Les résultats sur la volatilité de chaque méthode (mesurée ici sur 12 mois) montrent que l ERC, qui prend en compte la corrélation entre les actifs, produit la volatilité la plus faible quelle que soit la configuration de marché. Volatilité (12M) 0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% EW IV ERC Quant à l objectif de diminuer les drawdowns (perte glissante cumulée), comme attendu à la vue des résultats sur la variabilité des rendements de nos trois allocations, c est l ERC qui souffre le moins en cas de baisse des marchés. En revanche, l EW, à cause de son absence totale de gestion du risque, subit de plein fouet les effets des crises. 12

13 Perte Glissante Cumulée -50% -40% -30% -20% -10% 0% EW IV ERC Dans la suite de ce document ne sera retenue que la méthode ERC comme approche en risk parity, car elle permet de construire les portefeuilles les plus robustes dans différentes configurations de marchés. Certes il n est pas possible d éliminer les risques liés à la volatilité des actifs et les problèmes de corrélation entre ces derniers au sein d'un portefeuille, mais la méthode ERC permet de les gérer du mieux possible voire d en retirer une source de valeur ajoutée. Il reste à traiter la question de la mesure de risque qui sera associée à cette méthode, sujet que nous abordons dans la partie 3 ci-après. Construction basée sur des poids en risque Construction basée sur des poids en capital 2 Inverse Volatility (IV) 1 Equally Weighted (EW) Prise en compte du risque de chaque actif 3 Equal Risk Contribution (ERC) Prise en compte du risque de chaque actif ET contribution au risque du portefeuille global 3 CHOIX DE LA MESURE DU RISQUE L objectif est de rechercher une mesure qui permette d indiquer l imminence -ou tout au moins l augmentation de la probabilité d occurrence- d un évènement pour lequel l investisseur a une aversion. C est donc plutôt un changement de régime dans le comportement des actifs que l on souhaite détecter. A. PRÉREQUIS Une mesure de risque pour qu elle soit utilisable dans les stratégies de risk parity par exemple, doit nécessairement satisfaire les prérequis de l algorithme que nous utilisons. Comme nous l avons vu précédemment, il est indispensable de pouvoir calculer les contributions de chaque actif présent en portefeuille relativement à cette mesure et que la somme de ces contributions soit identique au risque global du portefeuille. Pour ce faire, il suffit de pouvoir vérifier l identité d Euler. 13

14 Si la mesure de risque est (positivement) homogène d ordre n, c est-à-dire qu elle vérifie la relation suivante : Alors elle vérifie aussi l identité d Euler: 0 f ( 1, 2,..., n )= n f ( 1, 2,..., n ) 0 f ( 1, 2,..., n )= n f ( 1, 2,..., n ) n = ( 1, 2,..., n ), f ( )= f n ( ) i f = ( 1, 2,..., n ), f ( )= i=1 i i ( ) i=1 i Cette équation nous garantit que la somme des contributions sera bien égale au risque total. B. LE «STANDARD DE MARCHÉ» : LA VOLATILITÉ HISTORIQUE Pas d estimation des rendements futurs 1 Volatilité historique Mesure des amplitudes de variation passées, à la hausse comme à la baisse La mesure de risque la plus courante, associée à un actif financier ou à un portefeuille, est la volatilité historique. Bien que la volatilité soit un principe fondamental en finance, elle peut être difficile à appréhender. Comprendre son fonctionnement permet pourtant d optimiser sa stratégie comme nous pouvons le voir ci-après. La volatilité d un portefeuille, ou, plus généralement, d un actif financier, traduit les amplitudes de variation de cet actif autour de sa moyenne, à la hausse comme à la baisse. Elle correspond en pratique à l écart type annualisé des variations passées pendant une période donnée. Plus précisément, elle s exprime comme : T 1 2 = (r t - r) 2 T- 1 t=1 Où r t représente le rendement de l actif au temps t, r la moyenne des rendements sur la totalité de la période et T la longueur de la période. Le graphique ci-dessous illustre l impact du choix de la longueur d historique utilisé sur le niveau, mais surtout la variabilité de la volatilité. 0% 5% 10% 15% Volatilités Historiques (Différentes Périodicités) HStD (3 M) HStD (6 M) HStD (12 M) HStD (18 M) HStD (24 M) )!%)# 14

15 Plus la période d observation est courte, plus le paramètre de risque utilisé va être volatil. S il n y a pas de méthode meilleure qu une autre, le bon calibrage sera celui qui permettra de se rapprocher le mieux possible du profil de portefeuille attendu par l investisseur. C. SEULES LES PERTES COMPTENT Nous avons vu précédemment que nous devions tenir compte de la non-normalité de la distribution des rendements des actifs que nous souhaitions modéliser. Dans les approches basées sur une distribution normale, la distribution des pertes est par définition symétrique par rapport à celle des gains. Dans un cas contraire, toute l attention portée par l investisseur et son aversion au risque se focalise sur la seule distribution des pertes ou encore les rendements inférieurs au taux sans risque. Il existe de nombreuses façons d appréhender cette asymétrie. Nous ne nous concentrerons que sur les mesures suivantes qui présentent toutes une interprétation financière que nous allons définir : La Valeur-au-risque (VaR) La Valeur-au-risque Conditionnelle (CVaR) Les Moments Partiels Inférieurs (MPI) Il est à noter que cette notion d asymétrie dont l approche gaussienne nous affranchissait (robustesse de la mesure dans le temps et homogénéité de la mesure pour chaque actif) apporte désormais deux principales difficultés : Problématique de la variabilité de l asymétrie dans le temps pour un actif donné qui demande de pouvoir justement modéliser la distribution des pertes et que cette modélisation soit une mesure adéquate du risque à venir. Problématique de la variabilité de l asymétrie pour chaque actif où l asymétrie constatée pour un actif ne peut être projetée sur un autre actif dont la distribution des rendements est certainement différente. 1. La Valeur-au-Risque (VaR) Estimation des rendements futurs 2 Value at Risk (VaR) Mesures asymétriques basées sur la distribution des pertes La valeur au risque (notée VaR, de l anglais Value at Risk ) est une mesure générale du risque qui peut être utilisée pour un portefeuille, quelle que soit la distribution de ses rendements. Elle représente un montant de perte qui ne devrait pas être dépassé pour une probabilité cumulée donnée (notée α) sur un horizon déterminé. Dans le cadre gaussien, le plus couramment utilisé, la VaR s exprime directement selon un rendement espéré auquel est ajouté un multiple constant d écart-type. Dans un cadre non-gaussien, elle peut être approximée analytiquement grâce à l expansion de Cornish-Fisher (Mina et Ulmer (1999) [5]) sous la forme suivante : 15

16 décrit l approximation du centile α d une distribution de moyenne, d écarttype, de coefficient d asymétrie s (skewness) et de coefficient d aplatissement k (kurtosis). VaR (99%) -100% -90% -80% -70% -60% -50% -40% -30% -20% -10% 0% Pertes Parce qu elle repose sur une distribution de rendements, la VaR nécessite de procéder à une estimation des rendements espérés (premier moment de la distribution). Profits 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% Probabilités 100% Nous écartons d évaluer les rendements espérés sur chaque actif dans notre approche en risque s agissant d un portefeuille global très diversifié. Nous ne retenons donc pas cette mesure de risque. 2. La valeur-au-risque conditionnelle (CVaR) Estimation des rendements futurs 2 VaR conditionelle (CVaR) Mesures asymétriques basées sur la distribution des pertes Deux principales critiques sont faites à l encontre de la VaR justifiant l apparition de la CVaR comme mesure complémentaire du risque : Elle ne remplit pas l un des axiomes qui spécifie qu une mesure de risque dite cohérente doit respecter la sous-additivité (Atzner, 1999) [6]. Concrètement, la VaR de la somme de deux portefeuilles peut être supérieure à la somme des VaR de chaque portefeuille. Cette caractéristique est contraire au principe de diversification en finance. Elle ne donne aucune indication quant à l ampleur de la perte du portefeuille si cette perte venait à dépasser le centile fixé. La valeur au risque conditionnelle (CVaR, de l anglais «Conditional Value at Risk») est une mesure de risque complémentaire qui permet de définir l espérance de la perte du portefeuille lorsque cette perte dépasse la VaR. La VaR se soucie ainsi des (1 α) centiles de la distribution, alors que la CVaR se focalise sur la queue de distribution de la perte : les α centiles dont ni l espérance ni la distribution ne sont connus. La CVaR est une mesure cohérente du risque qui respecte bien les axiomes d Artzner (voir Annexe 1). Elle se calcule comme étant l espérance moyenne des rendements sachant que ces rendements sont inférieurs au centile des rendements du portefeuille au niveau de confiance c : 16

17 décrit le centile des rendements du portefeuille au niveau de confiance c (soit la VaR du portefeuille au niveau de confiance c). CVaR(99%) VaR (99%) Probabilités La CVaR, tout comme la VaR, repose sur une distribution de rendements et nécessite donc aussi de procéder à une estimation des rendements espérés. Pour cette raison et malgré l intérêt que représente la CVaR par rapport à la VaR, nous ne retiendrons pas cette mesure de risque. -100% -90% -80% -70% -60% -50% -40% -30% -20% -10% 0% 10% Pertes Profits 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 3. Moment Partiel Inferieur (MPI) d ordre k Pas d estimation des rendements futurs 3 Moment partiel inférieur Mesures asymétriques basées sur la distribution des pertes La méthode du moment partiel inférieur d ordre k permet d apporter une solution additionnelle fondée sur la distribution des pertes. L introduction de cette approche dans la théorie moderne du portefeuille a été principalement conduite par Bawa (1975), Fishburn (1977) et Nawrocki (1991, 1992 et 1999), qui apportent une nouvelle famille de mesures de risque définie par (souvent décrit par le taux sans risque ou par simplification 0) et k (l ordre du moment qu un investisseur peut spécifier pour correspondre à son aversion au risque. Un grand k va pénaliser les grandes déviations et donc l aversion pour le risque augmente avec k). Le MPI d ordre k discrétisé est défini de la manière suivante : T 1 MPI k (,R i ) T-1 (max (0, -R i )) k t=1 La semi-variance par rapport au taux sans risque est un cas particulier du MPI pour k=2 matérialisant le risque pour l investisseur en exprimant la variance des rendements excédentaires du portefeuille par rapport au taux sans risque à condition que ce rendement excédentaire soit négatif. Rendements moyens 9% 8% 7% -1σ +1σ 6% 5% 4% moment partiel inférieur d ordre 2 3% 2% 1% 0% -100% -90% -80% -70% -60% -50% -40% -30% -20% -10% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% Rendements (%) Probabilités La semi-variance capture l impact de l asymétrie sur les décisions d investissement et permet également une modélisation plus réaliste du risque. Nous retenons cette méthode pour la suite de notre étude car elle est compatible avec les contraintes que nous nous sommes fixées. 17

18 D. DU PASSÉ À L ANTICIPATION Les mesures de risque passées en revue reposent sur des données historiques. Or, un investisseur peut décider d intégrer une part d anticipation pour calibrer son estimation du risque immédiat. 1. La Volatilité Implicite Pas d estimation des rendements futurs 4 Volatilité implicite Les mesures exploratoires intégrant des anticipations La mesure «standard» de volatilité étudiée précédemment est un indicateur de risque calculé à partir des cours observés sur une période révolue. Elle décrit donc le passé. La volatilité implicite quant à elle est déduite des cours issus de produits dérivés listés (ou standardisés) et traduit les anticipations des acteurs de marché sur l amplitude des variations à venir pour un horizon de temps donné (limité aux standards de marché) et les anticipations de certains paramètres de marché (tels que les dividendes, les taux, le crédit, le repo etc.). Plus les incertitudes sur un actif seront fortes et plus sa volatilité implicite sera élevée. Ainsi, connaitre la volatilité implicite permet de mieux anticiper les perspectives d évolution de l actif sous-jacent. La volatilité n est disponible que sur un nombre limité d actifs financiers pour lesquels il existe un marché d instruments dérivés liquides. Comme nous nous sommes placés dans le cadre d un univers d investissement le plus large possible, il n est pas possible de retenir la volatilité implicite comme mesure de risque dans notre algorithme de construction de portefeuille. 2. La volatilité Exponentially Weighted Moving Average (EWMA) Pas d estimation des rendements futurs 4 Volatilité exponentielle EWMA Les mesures exploratoires intégrant des anticipations Certaines méthodes modernes pondèrent davantage l information récente pour mieux appréhender la tendance en formation. Une méthode bien connue illustre cette approche : la modélisation GARCH (Generalized AutoRegressive Conditionally Heteroskedastic). La signification des composantes de l acronyme est la suivante : Autorégressive : la variance (ou la volatilité) est une fonction de ses précédentes valeurs Conditionnelle : la volatilité à venir (celle de demain) dépend de la volatilité d aujourd hui 18

19 Hétéroscédastique : la variance n est pas constante mais varie au cours du temps Cette terminologie regroupe en fait une famille de modèles et s écrit plus précisément GARCH(p,q). p et q correspondent respectivement au nombre de rendements et au nombre de variances qui vont être utilisés pour l estimation de la prochaine valeur. Dans toute la suite, pour alléger les notations, nous considérerons le cas où p=q=1. Plus formellement, nous pouvons résumer le modèle par : où r représente le rendement et a,b,c sont des constantes à calibrer. Le modèle EWMA (Exponentially Weighted Moving Average), popularisé par JP Morgan, utilisé dans son outil RiskMetrics suit ce principe et correspond en fait à un cas particulier de la GARCH(1,1). La différence majeure entre les deux modèles est que GARCH(1,1) prend en compte le retour GARCH(1,1)= à la moyenne alors 2 que ce n est pas t+1 = a+b.r t 2 +c. t 2 le cas pour le modèle EWMA. Il est possible de passer de GARCH(1,1) à EWMA en passant le paramètre a à 0 et avec la somme GARCH(1,1)= des paramètres 2 t+1 = a+b.r b et t 2 c +c. égale t 2 à 1 : GARCH(1,1)= 2 t+1 = b.r t 2 +(1-b). 2 t GARCH(1,1)= 2 t+1 = a+b.r t 2 +c. t 2 devient alors GARCH(1,1)= 2 t+1 = b.r t 2 +(1-b). 2 t ce qui est équivalent à la formule du modèle EWMA = 2 t+1 =. t 2 +(1- ).r t 2 GARCH(1,1)= 2 t+1 = b.r t 2 +(1-b). 2 t EWMA = 2 t+1 =. t 2 +(1- ).r t 2 Dans le cadre du modèle EWMA, les pondérations affectées aux observations passées décroissent exponentiellement au fur et à mesure que l on remonte le temps. EWMA = 2 t+1 =. t 2 +(1- ).r t est un facteur de lissage constant 2 compris entre 0 et 1. Plus il est proche de 0, plus cet estimateur affecte un faible poids aux rendements récents et plus la courbe est lisse. Nous considérons que la méthode EWMA est une mesure de risque anticipatrice qui peut être retenue pour construire un portefeuille basé sur une approche en risque comme le risk parity. Le graphique ci-dessous illustre : Le comportement de la volatilité EWMA par rapport à celui de la volatilité historique (courbes oranges), en particulier l amplitude des variations de l EWMA en cas de mouvement brusque. L impact du choix du paramètre sur la réactivité de la volatilité EWMA (courbes grises) qui permet donc de définir précisément la dynamique que l on souhaite capter. 15 % 10 % 5 % 0 % -5 % -10 % -15 % -20 % -25 % Rendements HStD+ (12M) HStD- (12M) EWMA- (12M,λ=0,8) EWMA+ (12M,λ=0,8) EWMA+ (12M,λ=0,94) EWMA- (12M,λ=0,94) EWMA+ (12M,λ=0,97) EWMA+ (12M,λ=0,97) Dans notre étude, nous nous limiterons à la méthode EWMA comme mesure anticipatrice de la variance future. En effet, la calibration des paramètres de la GARCH est complexe et nécessiterait de mettre en œuvre des méthodologies qui sortent du cadre de cette note. Pour ne pas introduire de biais de calibration, nous utiliserons les paramètres recommandés par RiskMetrics TM : = 0.94 pour des données journalières, pour une prévision à un jour = 0.97 pour des prévisions mensuelles. 19

20 E. CONCLUSION SUR LE CHOIX DE LA MESURE DE RISQUE Comme pour la méthode de construction, les approches qui supposent de recourir à des estimations de rendements futurs comme la VaR ou son avatar la CVaR ne nous paraissent pas pertinentes. La méthode du Moment Partiel Inférieur (MPI) se distingue de ce point de vue en apportant une dimension supplémentaire car elle permet en théorie une modélisation plus réaliste du risque, en ne prenant en compte que la distribution des pertes. Le choix du paramètre de risque dépend des attentes de l investisseur. Ce dernier peut choisir des paramètres plus ou moins stables. La volatilité historique, quant à elle, reste un outil de mesure très répandu, mais peut conduire à des résultats très volatils ou au contraire peut pâtir d une très grande inertie, selon la longueur d historique choisie. Toutefois, si nous souhaitions hiérarchiser ces méthodes en fonction de leur robustesse qui peut être estimée à travers la volatilité (sur 12 mois) et les drawdowns par exemple- peu de différences dans nos résultats d étude empirique sont constatées. Le seul levier de discrimination de nos méthodes approchées reste la mesure de concentration / diversification du portefeuille ou encore la fréquence de rotation du portefeuille que nous allons présenter dans la partie suivante. Pas d estimation des rendements futurs Estimation des rendements futurs 1 Volatilité historique 3 Moment partiel inférieur Volatilité implicite 4 Volatilité exponentielle EWMA 2 Value at Risk (VaR) VaR conditionelle (CVaR) Mesure des amplitudes de variation passées, à la hausse comme à la baisse Mesures asymétriques basées sur la distribution des pertes Les mesures exploratoires intégrant des anticipations 4 CONFRONTATION EMPIRIQUE DES METHODES RETENUES A. CHOIX DE L UNIVERS Pour procéder aux tests de performance de chacune des alternatives étudiées, nous avons choisi cinq classes d actifs représentatives : Des obligations aggregate monde (indice utilisé: JPM Global Aggregate Bond Index) Des actions de la zone Euro (indice utilisé: Euro Stoxx 50 Pr) Des actions américaines (indice utilisé: S&P 500) Des actions émergentes (indice utilisé: MSCI EM) Des matières premières (indice utilisé: S&P GSCI qui couvre les métaux industriels et précieux, l énergie, les matières premières agricoles). Par souci de clarté et de simplicité, nous avons limité le nombre d indices utilisés. L univers couvert est toutefois suffisamment large et diversifié pour mesurer la pertinence de chaque approche sur un historique long. 20

21 Univers d investissement JPM Global Aggregate Bond Index S&P 500 INDEX S&P GSCI Official Close Index MSCI EM Euro Stoxx 50 Pr B. RÉSULTATS DE L ÉTUDE COMPARATIVE DES MÉTHODES DE CONSTRUCTION Dans cette partie trois méthodes de construction de portefeuille sont comparées : L Equally Weighted (noté EW) L Inverse Volatility (noté IV) L Equally Risk Contribution (noté ERC) Notre étude comparative porte à ce stade sur quatre statistiques qui nous permettent de juger de la robustesse dans le temps de ces trois méthodes précitées : Le rendement cumulé Le rendement glissant La volatilité La perte glissante cumulée Cette première étude comparative portant sur les méthodes de construction de portefeuille que nous avons retenues permet de dresser le tableau suivant où la méthode ERC se distingue systématiquement : Méthode de construction de portefeuille Rendement cumulé Rendement glissant Volatilités Perte glissante cumulée Equally weighted (EW) Inverse Volatility (IV) Peu Extremum différenciant + Amplitude Amplitude Equally Risk Contribution (ERC) Rendement cumulé Cette étude étant consacrée à la construction de portefeuilles robuste en termes de risque et de rendement ajusté au risque (et par conséquent n étant pas consacré à la recherche du meilleur rendement seul), les trois méthodes comparées (Inverse Volatility, Equal Weight, Equal Risk Contribution) produisent quasiment le même rendement de l ordre de 7% annualisé sur la période cumulée considérée. 21