Lycée JEAN PRÉVOST février 2010 BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE ES. Durée de l épreuve : 3 HEURES Les calculatrices sont AUTORISÉES

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1 Lycée JEN PRÉVOST février 00 CCLURÉT LNC DE MTHÉMTIQUES SÉRIE ES Durée de l épreuve : HEURES Les calculatrices sont UTORISÉES Coefficient : Obligatoire Le candidat doit traiter les quatre exercices. La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l appréciation des copies. Page sur

2 Exercice 4 points Pour chacune des questions, une seule des réponses, ou C est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. ucune justification n est demandée. arème : pour chaque question, une réponse exacte rapporte point; une réponse inexacte enlève 0, point; l absence de réponse n apporte, ni n enlève de point. Si la somme des points de cet exercice est négative, la note est ramenée à 0. Les deux parties sont indépendantes. y 4, 4 - Partie - Dans cette partie, on considère la courbe représentative d une fonction 4, x f définie et dérivable sur l intervalle [ ; ] (voir ci-contre). On note f la 4 dérivée de la fonction f.. On peut affirmer que : Réponse : f (4, ) = 0; Réponse : f () = 0; Réponse C : f () = 4,. 4. Soit F une primitive sur l intervalle [ ; ] de la fonction f. lors : Réponse : F est décroissante sur l intervalle [ ; 4, ]; Réponse : F présente un minimum en x = 0; Réponse C : F présente un maximum en x = 4,. - Partie - On considère la fonction h définie sur l intervalle h(x) = 9 + ln ] ; [ par ( ) x +. x. Dans un repère orthogonal du plan, la courbe représentative de la fonction h admet pour asymptote la droite d équation : Réponse : y = 9; Réponse : y = ; Réponse C : y = 9 + ln().. Parmi les expressions suivantes de h(x), l une d elles est fausse, laquelle? Réponse : h(x) = 9 + ln(x ( + ) ln(x ); Réponse : h(x) = 9 + ln + 7 ) ; ( x ) x Réponse C : h(x) = 9 ln. x + Page sur

3 Exercice Les deux parties de cet exercice sont indépendantes Partie On réalise une expérience aléatoire. désigne un évènement et son évènement contraire. On pose p() = x.. Exprimer p ( ) en fonction de x.. Déterminer les valeurs possibles de x sachant que : p() p ( ) = 0, 4. Partie points La «Revue Spéciale d Économie» et le «Guide des Placements en ourse» sont deux magazines mensuels offrant à leurs lecteurs la possibilité d abonnement communs. On s intéresse à l ensemble des lecteurs de l une ou l autre de ces deux revues. Parmi ces lecteurs, certains sont abonnés. Les abonnés ont souscrit soit l un des deux abonnements, soit les deux abonnements simultanément. Une étude a permis de constater que : 60 % de l ensemble des lecteurs ont souscrit un abonnement à la «Revue Spéciale d Économie», et parmi eux ont aussi choisi l abonnement au «Guide des Placements en ourse»; 0 % des lecteurs n ayant pas choisi l abonnement à la «Revue Spéciale d Économie», ont souscrit l abonnement au «Guide des Placements en ourse». On note : l évènement : «le lecteur a choisi l abonnement à la "Revue Spéciale d Économie"»; l évènement : «le lecteur a choisi l abonnement au "Guide des Placements en ourse"». On interroge un lecteur au hasard.. Déduire de l énoncé les probabiités p(), p ( ) et p (). Reproduire et compléter l arbre suivant :. (a) Traduire par une phrase l évènement. Donner sa probabilité. (b) Traduire par une phrase l évènement. Donner sa probabilité.. Calculer p(). En déduire la probabilité qu un lecteur soit abonné à la «Revue Spéciale d Économie» sachant qu il est abonné au «Guide des Placements en ourse». Page sur

4 Exercice points Le plan est muni d un repère orthonormé. Le graphique ci-dessous représente une partie de la courbe représentative C d une fonction F définie et dérivable sur [0 ; 4]. On désigne par f la fonction dérivée de F sur l ensemble des nombres réels R. ( La courbe C passe par l origine O du repère et par les points ; ), ( ; 9 ) et D(; ). La courbe C admet en et en D une tangente horizontale. On désigne par T, la tangente à C au point O; cette tangente T passe par le point de coordonnées (; 6). 6 4 T C D O 4. Que représente la fonction F pour la fonction f?. À partir du graphique et des données de l énoncé, dresser le tableau de variations de F sur [0; ].. (a) Déterminer graphiquement l équation réduite de la droite T. (b) En déduire f(0). 4. Indiquer sur quel(s) intervalle(s) la fonction f est positive.. Déterminer la valeur exacte de l intégrale f(x) dx. 6. Dans cette question, le candidat est invité à porter sur sa copie les étapes de sa démarche même si elle n aboutit pas. Soit G une autre fonction primitive de f sur [0; 4], telle que G(0) =. Calculer G(). Page 4 sur

5 Exercice 4 6 points Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l une de l autre. Première partie On considère une fonction g définie sur l intervalle ] [ ; + par : g(x) = x + ax ln(x + b), où a et b sont deux réels. Calculer a et b pour que la courbe représentative de g dans un plan muni d un repère (O, ı, j) passe par l origine du repère et admette une tangente parallèle à l axe des abscisses au point d abscisse. Deuxième partie Soit f la fonction définie sur l intervalle ] [ ; + par : f(x) = x + x ln(x + ). On admet que f est dérivable et on note f sa dérivée. Le tableau de variations de la fonction f est le suivant : x 0 + signe de f (x) variations de f ln ( ) 4 0. Justifier tous les éléments contenus dans ce tableau.. (a) Montrer que l équation f(x) = 0 admet une unique solution α dans l intervalle [ ; ]. (b) Donner un encadrement de α d amplitude 0.. Déterminer le signe de f(x) sur l intervalle ] [ ; +. Page sur