Exercices : probabilités conditionnelles

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1 Exercices : probabilités conditionnelles Exercice 1 - Une enquête est effectuée dans un magasin informatique sur un lot d ordinateurs achetés trois ans plus tôt. On considère un ordinateur pris au hasard dans ce lot et on considère les événements : : «l ordinateur n a subi aucune panne»; : «l ordinateur a subi une seule panne»; C : «l ordinateur a subi deux pannes ou plus»; E : «l ordinateur bénéficie d une extension de garantie»; écrire par une phrase les événements suivants : E, C, E, E et E. Exercice 2 - Lors d une enquête portant sur les salariés d une entreprise, on a obtenu les informations suivantes : 30% des salariées ont 40 ans ou plus; 40% des salariés de 40 ans ou plus sont des cadres; 25% des salariés de moins de 40 ans sont des cadres. 1. Compléter le tableau suivant : Cadres Non cadres Moins de 40 ans 40 ans ou plus Total Total On interroge au hasard un employé de cette entreprise. On considère les évènements :«la personne interrogée a 40 ans ou plus»; et :«la personne interrogée est cadre». a) Calculer les probabilités P() et P() des évènements et. b) éfinir par une phrase chacun des évènements et. c) Calculer les probabilités P( ) et P( ). 3. Sachant que la personne a 40 ans ou plus, quelle est la probabilité que ce ne soit pas un cadre? Exercice 3-1. Soient et deux évènements incompatibles tels que P() = 0,4 et P() = 0,7. Calculer P() puis P( ). 2. Soient E et F deux évènements tels que P(E) = 0,3,P(E F) = 0,7,P(E F) = 0,2. Calculer P(F). Exercice 4 - On lance deux fois de suite un dé équilibré à six faces, numéritées de 1 à 6. On note l événement «obtenir un 6 lors d un lancer» 1. Compléter l arbre pondéré suivant : 2. Calculer la probabilité d obtenir exactement deux fois le 6. 1/6 12 novembre 2017

2 Exercice 5 - Une compagnie d assurance automobile fait un bilan des frais d intervention, parmi ses dossiers d accidents de la circulation. 85% des dossiers entraînent des frais de réparation matérielle. 20% des dossiers entraînent des frais de dommages corporels. Parmi les dossiers entraînant des frais de réparation matérielle, 12% entraînent des frais de dommages corporels. Soit les événements suivants : R : «le dossier traité entraîne des frais de réparation matérielle»; : «le dossier traité entraîne des frais de dommages corporels». On choisit un dossier au hasard. ans tout l exercice, les résultats seront donnés sous forme décimale, arrondis au millième près. 1. a. Recopier et compléter le tableau. R R Total Total ,12 0,85 R b. Recopier et compléter l arbre pondéré. R 2. On choisit un dossier au hasard. Calculer la probabilité pour qu un dossier : a. entraîne des frais de réparation matérielle et des frais de dommages corporels; b. entraîne seulement des frais de réparation matérielle; c. entraîne seulement des frais de dommages corporels; d. n entraîne ni frais de réparation matérielle ni frais de dommages corporels. Exercice 6 - X est une variable aléatoire qui suit la loi de probabilité donnée dans le tableau ci-dessous : k P(X = k) 0,24 0,12 0,2 0,4 0,04 Calculer P(X 7) et P(X < 5). Exercice 7 - On donne dans le tableau suivant, la répartition des adhérents d un club de bridge selon les critères : V :«vacciné» G :«grippé». G non G total V non V total On interroge un adhérent au hasard. 1. éterminer la probabilité P(G) qu il soit grippé. 2. éterminer la probabilité P(V) qu il soit vacciné. 3. éterminer P V (G) et P V (G). 4. Compléter P () = ; P () = /6 12 novembre 2017

3 Exercice 8 - partir de cet arbre pondéré : 0,8 1. Calculer P() et P (). 2. Calculer P( ). 0,5 0,6 3. Calculer P( ). 4. Calculer P(). Exercice 9 - Soit et deux événements tels que P() = 0,4;P () = 0,2 et P () = 0,7. Construire un arbre pondéré et calculer P(). Exercice 10 - Soit et deux événements tels que P() = 0,3;P() = 0,6 et P( ) = 0,8. Calculer P( ),P () et P (). Exercice 11 - (inspiré de Métropole S Juin 2011) Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à ans un pays, il y a 2% de la population contaminée par un virus. On dispose d un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes : La probabilité qu une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test). La probabilité qu une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécificité du test). On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population. On note V l évènement «la personne est contaminée par le virus» et T l évènement «le test est positif». V et T désignent respectivement les évènements contraires de V et T. 1. a) Préciser les valeurs des probabilités P(V),P V (T),P V (T). Traduire la situation à l aide d un arbre de probabilités. b) En déduire la probabilité de l évènement V T. 2. émontrer que la probabilité que le test soit positif est 0, a) Justifier par un calcul la phrase : «Si le test est positif, il n y a qu environ 40% de «chances» que la personne soit contaminée». b) éterminer la probabilité qu une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif. Exercice 12 - ans un magasin spécialisé en électroménager et multimédia, le responsable du rayon informatique fait le bilan sur les ventes d ordinateurs portables, de tablettes, et d ordinateurs fixes. Pour ces trois types de produit, le rayon informatique propose une extension de garantie. Le responsable constate que 28% des acheteurs ont opté pour une tablette, et 48% pour un ordinateur portable. ans cet exercice, on suppose que chaque acheteur achète un unique produit entre tablette, ordinateur portable, ordinateur fixe, et qu il peut souscrire ou non une extension de garantie. Parmi les acheteurs ayant acquis une tablette, 5% ont souscrit une extension de garantie et, parmi ceux ayant acquis un ordinateur fixe, 12,5% ont souscrit une extension de garantie. On choisit au hasard un de ces acheteurs. On note : T l évènement «l acheteur a choisi une tablette»; M l évènement «l acheteur a choisi un ordinateur portable»; F l évènement «l acheteur a choisi un ordinateur fixe»; G l évènement «l acheteur a souscrit une extension de garantie». 3/6 12 novembre 2017

4 On note aussi F,M,T,G les évènements contraires. 1. Construire un arbre pondéré en indiquant les données de l énoncé. On complètera l arbre au fur et à mesure de l exercice. 2. Calculer P(F), la probabilité de l évènement F, puis P(F G). 3. On sait de plus que 12% des acheteurs ont choisi un ordinateur portable avec une extension de garantie. éterminer la probabilité qu un acheteur ayant acquis un ordinateur portable souscrive une extension de garantie. 4. Montrer que P(G) = 0,164. Exercice 13 - (La Réunion S septembre 2008) ans une kermesse un organisateur de jeux dispose de 2 roues de 20 cases chacune. La roue comporte 18 cases noires et 2 cases rouges. La roue comporte 16 cases noires et 4 cases rouges. Lors du lancer d une roue toutes les cases ont la même probabilité d être obtenues. La règle du jeu est la suivante : Le joueur mise 1eet lance la roue. S il obtient une case rouge, alors il lance la roue, note la couleur de la case obtenue et la partie s arrête. S il obtient une case noire, alors il relance la roue, note la couleur de la case obtenue et la parties arrête. 1. Traduire l énoncé à l aide d un arbre pondéré. 2. Soient E et F les évènements : E : «à l issue de la partie, les 2 cases obtenues sont rouges» F : «à l issue de la partie, une seule des deux cases est rouge». Montrer que p(e) = 0,02 et p(f) = 0, Si les 2 cases obtenues sont rouges le joueur reçoit 10e; si une seule des cases est rouge le joueur reçoit 2e; sinon il ne reçoit rien. X désigne la variable aléatoire égale au gain algébrique en euros du joueur (rappel : le joueur mise 1e). a) éterminer la loi de probabilité de X. b) Calculer l espérance mathématique de X et en donner une interprétation. 4. Le joueur décide de jouer n parties consécutives et indépendantes (n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2) a) émontrer que la probabilité p n qu il lance au moins une fois la roue est telle que p n = 1 (0,9) n. b) Justifier que la suite de terme général p n est convergente et préciser sa limite. c) Quelle est la plus petite valeur de l entier n pour laquelle p n > 0,9? On procèdera par balayage sur la calculatrice. Exercice 14 - (inspiré de sie S 2005) Une association organise une loterie pour laquelle une participation m exprimée en euro est demandée. Un joueur doit tirer successivement et sans remise, deux boules dans une urne contenant deux boules vertes et trois boules jaunes. Si le joueur obtient deux boules de couleurs différentes, il a perdu. Si le joueur obtient deux boules jaunes, il est remboursé de sa participation m. Si le joueur obtient deux boules vertes, il peut continuer le jeu qui consiste à faire tourner une roue où sont inscrits des gains répartis comme suit : sur 1 8 de la roue le gain est de 100e; sur 1 4 de la roue le gain est de 20e; sur le reste le joueur est remboursé de sa participation m. 4/6 12 novembre 2017

5 On appelle : V l évènement : «le joueur a obtenu deux boules vertes»; J l évènement : «le joueur a obtenu deux boules jaunes»; R l évènement : «le joueur est remboursé de sa participation et ne gagne rien». 1. a. Calculer les probabilités p(v) et p(j) des évènements respectifs V et J. b. On note p V (R) la probabilité pour le joueur d être remboursé sachant qu il a obtenu deux boules vertes. éterminer p V (R), puis p(r V). c. Calculer p(r). d. Calculer la probabilité de gagner 100e, puis la probabilité de gagner les 20e de la roue. 2. On appelle X la variable aléatoire donnant le gain algébrique du joueur, c est-à-dire la différence entre les sommes éventuellement perçues et la participation initiale m. a. onner les valeurs prises par la variable aléatoire X. b. onner la loi de probabilité de la variable aléatoire X et vérifier que p(x = m) est 0,6. c. émontrer que l espérance mathématique de la variable aléatoire X est E(X) = m. 80 d. L organisateur veut fixer la participation m à une valeur entière en euro. Quelle valeur minimale faut-il donner à m pour que l organisteur puisse espérer ne pas perdre d argent? 3. Un joueur se présente et décide de jouer 4 fois, quels que soient les résultats obtenus. Calculer la probabilité qu il perde au moins une fois sa mise. 4. On voudrait qu un joueur ait plus d une chance sur deux d être remboursé de sa mise ou de gagner quand il joue une seule fois. On note G cet évènement. Pour cela on garde deux boules vertes dans l urne mais on modifie le nombre de boules jaunes. On appelle n le nombre de boules jaunes, on suppose n 1. Calculer la valeur minimale de n pour que la condition précédente soit vérifiée. Exercice 15 - On dispose d un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et trois faces portent le numéro 3. On dispose également d une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les lettres L, O, G,, R, I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes). Un joueur fait une partie en deux étapes : Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu. euxième étape : si le dé indique 1, il tire au hasard une boule de l urne. Il gagne la partie si cette boule porte une voyelle et il perd dans le cas contraire. si le dé indique 2, il tire au hasard et successivement sans remise deux boules de l urne. Il gagne la partie si chacune de ces deux boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire. si le dé indique 3, il tire au hasard et successivement sans remise trois boules de l urne. Il gagne la partie si chacune de ces trois boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire. À la fin de chaque partie, il remet dans l urne la ou les boules tirée(s). On définit les évènements suivants : 1 : «le dé indique 1» 2 : «le dé indique 2» 3 : «le dé indique 3» G : «la partie est gagnée». et étant deux évènements tels que p() 0, on note p () la probabilité de sachant que est réalisé. 1. a. éterminer les probabilités p 1 (G), p 2 (G), et p 3 (G). b. Construire un arbre pondéré résumant le jeu. c. Montrer alors que p(g) = Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu il ait obtenu le numéro 1 avec le dé. 3. Un joueur fait six parties. Calculer la probabilité qu il en gagne au moins une et en donner une valeur arrondie à 10 2 près. 4. Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d en gagner au moins une soit supérieure à 0,9? On procèdera par tâtonnement. 5/6 12 novembre 2017

6 Exercice 16 - (inspiré de Polynésie ES 2014) Les étudiants des CPGE se répartissent en 3 filières : la filière scientifique (S) accueille 61,5% des étudiants; la série économique et commerciale (C) accueille 24% des étudiants; les autres étudiants suivent une filière littéraire (L). ocument : «En classes littéraires, la prépondérance des femmes semble bien implantée : avec trois inscrites sur quatre, elles y sont largement majoritaires. Inversement, dans les préparations scientifiques, les filles sont présentes en faible proportion (30%) alors qu on est proche de la parité dans les classes économiques et commerciales.» (Sources : Repères et références statistiques sur les enseignements, la formation et la recherche Edition 2010) On considère que parmi tous les inscrits en CPGE en , la proportion de fille est 42,7%. On interroge au hasard un étudiant en CPGE. On considère les évènements suivants : F : l étudiant interrogé est une fille; S : l étudiant interrogé est inscrit dans la filière scientifique; C : l étudiant interrogé est inscrit dans la filière économique et commerciale; L : l étudiant interrogé est inscrit dans la filière littéraire. 1. onner les probabilités P(S),P(C),P L (F),P S (F) et P(F). Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. On complètera l arbre au fur et à mesure de l exercice. 2. a) Calculer la probabilité que l étudiant interrogé au hasard soit une fille inscrite en L. b) Calculer la probabilité de l évènement F S. c) En déduire que la probabilité de l évènement F C est 0, Que pensez-vous de la dernière affirmation du document? Justifier. Exercice 17 - Une entreprise estime que 2% des messages qu elle reçoit sont frauduleux. Elle utilise un antivirus pour les détecter et les mettre en quarantaine. La probabilité que l antivirus mette en quarantaine un message sachant qu il est frauduleux est 20 fois supérieure à la probabilité qu il mette en quarantaine un message sachant qu il n est pas frauduleux. émontrer que la probabilité qu un message soit frauduleux alors qu il est en quarantaine est inférieure à 1 3. Exercice 18 - Un musée lance pendant trois mois une campagne publicitaire sur les réseaux sociaux pour financer la restauration d une œuvre d art. La probabilité qu une personne prise au hasard voit la publicité au bout de x semaines est donnée par la fonction f définie sur [0 ; 12] par f(x) = 11x 12x a) Calculer la probabilité que la personne ait vu la publicité du musée au bout d une semaine. b) Étudier les variations de la fonction f sur [0 ; 12]. Interpréter les variations. 2. Une étude prévoit quesi la personne a vu la publicitéau bout de x semaines alors la probabilitéqu elleparticipe au financement de la restauration de l œuvre est égale à 0,05. Sinon elle n est que de 0,01. a) Construire un arbre pondéré traduisant la situation. b) Exprimer en fonction de x la probabilité que la personne participe au financement. On notera la fonction obtenue g. c) Étudier les variations de la fonction g sur [0 ; 12]. d) Le musée souhaite que la probabilité qu une personne participe au financement dépasse 0,05. Qu en pensezvous? 6/6 12 novembre 2017