I- (2 points) Réponses proposées A B C. Questions. BC = 8cm et  = 30. Le rayon du cercle circonscrit au triangle ABC est. 2 cm 4 cm 8 cm.

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1 I- ( poits) Parmi ls réposs proposés à chaqu qustio, u sul st just. Écrir l ombr d chaqu qustio t dor, avc justificatio, sa répos corrspodat. ) Qustios BC = 8cm t  =. L rayo du crcl circoscrit au triagl ABC st ) Si f() = arcsi + 7, alors f = 4 ) ( si ) d = d 4) 8d 4 = Réposs proposés A B C cm 4 cm 8 cm 4 d d II- ( poits) Das u pla rapport à u systèm orthoormé O ;i, j,k, o cosidèr ls du droits (d ) t (d ) t m d équatios paramétriqus: (d ): y t t (d ): y 4m où t t m du ombrs réls. z t z 4m ) Justifir qu (d ) t (d ) sot parallèls. b- (P) st l pla détrmi par (d ) t (d ). Motrr qu + y + z = st u équatio cartési d (P). ) Ecrir u systèm d équatios paramétriqus d droit (d) d (P) qui st équidistat d (d ) t (d ). b- Vérifir qu y z + 5 = st u équatio du pla (Q) qui st prpdiculair à (P) t cotat (d). ) E st u poit d (Q) t apparti à O ;k. Vérifir qu E a pour coordoés (,, 5). b- Soit M u poit variabl sur (d ). Vérifir qu EM = 9t + t + 4. c- Détrmir ls coordoés du poit H, la projctio orthogoal d E au (d ). d- E déduir, utilisat ls du partis b- t c-, qu E st équidistat d (d ) t (d ). 4

2 III- ( poits) Das la figur ci-cotr, (C) st u crcl d ctr O t diamètr [AC]. B st u poit d (C) distict qu A t C. D t E sot du poits tl qu ls du triagls BCD t ACE sot dircts t équilatérals. G st l ctr d gravit d BCD. Ls du droits (AB) t (CG) s coupt M. La droit (AE) coup (C) E'. Parti A ) Motrr qu O, D t G appartit à la médiatric () d [BC]. ) f st l homothéti d ctr C qui trasform () (AB). Détrmir l rapport d f t motrr qu G st l miliu d [MC]. ) S st la similitud d ctr C qui trasform B M. Détrmir l rapport t l agl d S, t motrr qu S(E') = E. b- Soit (C') l imag du crcl (C) par S. Motrr qu l ctr O' d (C') st l poit d itrsctio d (CE') t (OE). c- Motrr qu (C') pass par C, E, M t A. Tracr (C'). d- Détrmir u rotatio r t u homothéti h tl qu r h = h r = S. Parti B L pla st rapporté à u systèm orthoormé dirct O ;u, v tl qu l affi d A st. ) Détrmir ls affis ds poits C, E t E'. ) Détrmir ls forms compls d f t S. b- Détrmir l affi d O' t calculr l air d crcl (C'). IV- ( poits) U jouur a u dé cubiqu dot ls facs sot umérotés d à 6 t trios urs U, U t U cotat, chacu, k bouls (k st u tir aturl t k > ). Ur U cotit trios bouls oirs, ur U cotit du bouls oirs t ur U cotit u boul oir; touts ls bouls rsts sot blachs. O cosidèr l ju suivat : L jouur lac l dé. Si l ombr obtu st, alors il tir simultaémt t au hasard du bouls das U. Si l ombr obtu st u multipl d, alors il tir succssivmt avc rmis t au hasard du bouls das U. Si l ombr obtu st i i u multipl d, il tir succssivmt sas rmis t au hasard du bouls das U. O cosidèr ls évémts suivats : N: " Ls bouls tirés ot du coulurs différts ". E i : " L'ur choisi st U i " (i =, ou ). ) L jouur jou l ju précédat. Motrr qu P(E ) =, puis calculr foctio d k, N 6 P. b- Motrr qu la probabilité d tiré du bouls ayat du coulurs différts st k 4k 8. k (k ) c- Calculr la probabilité qu l dé st marqué par, sachat qu ls bouls tirés ot du coulurs différts. ) Das ctt parti, soit k = 5. L jouur jou ju qui sot idépdats l'u d l'autr. Calculr la probabilité d tiré au mois, u fois, du bouls ayats du coulurs différts. E

3 V- ( poits) Das la figur ci-cotr, (C) st u crcl d ctr O t rayo cm. A st u poit fi d (C) t P st u poit variabl d (C). L diamètr d (C) qui st prpdiculair à (OA) coup (C) E t F. H st la projctio orthogoal d P à (EF). M st l poit commu d (AH) t (OP). (d) st tagt A à (C). L st la projctio orthogoal d M à (d). K st l poit commu d (EF) t (ML). Parti A KM ) Motrr qu OM =. PH MK HP ) Motrr qu t déduir qu ML = MO. ML OA ) Précisr l smbl () ds poits M lorsqu P décrit (C). Parti B L pla st rapporté au systèm orthoormé dirct O ;i, j, où i OA. ) Vérifir qu E t F appartit à (). b- Détrmir la tagt E à (). c- Précisr l sommt d () t tracr (). d- Vérifir qu y = 4( + ) st u équatio d (). ) Soit N u poit défii par HN HP. Calculr ls coordoés du poit N foctio ds coordoés (, y) du P, t motrr y qu N décrit l llips (E) d équatio. 6 4 b- Tracr (E) das l mêm systèm d () t vérifir qu E t F sot ls poits commu d (E) t (). ) Soit (D) l domai limité par (), (E) t ls du droits d équatios = t = 4. Calculr l volum du solid obtu par la rotatio d (D) autour d l a ds abscisss.

4 VI- (7 poits) Parti A O cosidèr l équatio différtill (E) : y' y = sur par : f() = g(). ) Ecrir g'() g() foctio d f '(). ) Détrmir f d sort qu g soit solutio d (E) qui vérifi g() =.. g t f sot du foctios défiis Parti B Soit la foctio f défii sur par : f() =. (C) st la courb rpréstativ d f das u rpèr orthoormal O ;i, j. Uité graphiqu: cm. ) Détrmir ls limits d f t +, puis étudir ls variatios d f. ) Tracr (C). ) st u rél positif o ul. O pos I = f ()d. Dor l sig t u itrprétatio graphiqu d I foctio d. b- Eprimr I foctio d. c- Détrmir la limit d I lorsqu td vrs + Parti C O défiit sur N* la suit (U ) par : U = ) ) f () d. Dor l sig d U. b- Dor l ss d variatios d la suit (U ). c- La suit (U ) st-ll covrgt? Motrr qu I U I. b- E déduir la limit d la suit (U ).

5 Barèms Qustio I Not ) C ) B ) A 4) A ;;; ) ) ) Qustio II Not U d = U d b- (d ) (P) t (d ) (P),75 A(,, ) (d ); B(,, ) (d ); I(,, ) miliu d [AB]; I (d) t U d = U d ; (d): y z b- IM U d P,75 E (as d z), alors E = y E = ; E (Q), alors E y E z E + 5 = ; E(,, 5) b- M(t ; t + ; t + ); EM = 9t + t + 4 c H (d ), alors H(m ; 4m + ; 4m); EH U d ; m = ; H,, d- EM st mi. pour t = ; EM = EH = u; E st équidistat d (d ) t (d ) Parti A ) ) Qustio III OB = OC (rayos d (C)), alors O appartit à (Δ). DB = DC (BCD équilatéral), alors D appartit à (Δ). GB = GC (G ctr d gravit d ABC, alors G appartit à (Δ) f(o) = A t (Δ) st parallèl à (AB), alors rapport =. Das l triagl CMA: CO CG alors G miliu d [CM] CA CM Not Rapport k = CM ; agl = CB, CM CB 6. CEE st dmi-équilatéral, alors S(E) = E Soit O l ctr d gravité du triagl ACE. COO st dmi-équilatéral, alors b- ) S(O) = O OA = OC = OE (O st l ctr d gravité du triagl ACE), alors A, C t E c- appartit à (C); B (C), alors S(B) S(C), alors M (C) d- rc ; t h 6 C ; Parti B ) z C = ; z E = i ; E miliu d [AE], alors z E = i

6 ) f: z = z. S: z = i z i 4 4 b- S(O) = O, alors z O = i. Air (C) = air (C) = u ) Qustio IV P(E ) = 6 obtat d si ombrs; k k k PN E PN / E PE = k 4 b- P(N)= PN + PN + PN k = c- PE / N E E E P E N k 9k = P N k 4k 8 k k k k k 4k 8 = k (k ) ) P(N pour k = 5) = ; P =, Qustio V Not Parti A OM KM KM ) Das l triagl OMK: t OP = rayo =, alors OM = OP PH PH MK MH MP HP MK HP MK ML ), alors, alors ; OM = ML ML MA MO OA ML OA HP ) () st u parabol d foyr O t dirctric (d) Parti B Soit E la projctio orthogoal d E à (d), alors EOAE st u carré, alors E (). Mêm démostratio pour F b- Tagt = (EA) ) c- Sommt I st l miliu d [OA]. Tracr () d- I(, ) t O(, ); Y = 4aX; y = 4( + ) ) b- P(, y) t H(, y); N(, y) ; P (C), alors + y N = 4, alors y N 4, alors N décrit (E) y 4( ) Tracr (E). y, alors = 6 (à rj.) t =, alors y = ou y =, alors 6 4 E(, ) t F(, ) Not

7 ) V = 4 ( )d d 4 u Qustio VI Not Parti A ) g() g() = f () g st u solutio d (E), alors g() g() =, alors f () = ; ) f () = ; f() = d = du = u C C = ; f() = Parti B lim f () = ; lim f () = ; f () = <,5 ) + f () f() ),5 f() > t >, alors I >. I st l air du domai limité par (C), l a ds abscisss, t ls du droits = t = ) b- I = l c- lim I l Parti C Pour [, ]: f() > t >, alors f() >, alors U > < < + ; ;, alors ; ; f() >, alors ) b-,5 f () ; f () d ; alors U + U, alors (U ) st décroissat c- (U ) st covrgt car ll st u suit décroissat t mioré par ) ; >, alors ; ; ; f() >, alors,5

8 f () f () f () ; f ()d f () d f () d ; I U I b- lim U I l