Calculs de probabilité

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1 Chapitre 14 Calculs de probabilité Sommaire 14.1 Vocabulaire de l'aléatoire Expérience aléatoire Evénement Système complet d'événements Probabilité et propriétés Dénition d'une probabilité Propriétés calculatoires Cas de l'équiprobabilité Probabilité conditionnelle Qu'est ce qu'une probabilité conditionnelle? Formule des probabilités totales Formule des probabilités composées Formule de Bayes Evénements indépendants Indépendance de deux événements Indépendance de n événements Dans ce chapitre, nous allons commencer à calculer des probabilités. L'aléatoire tient une place importante dans le programme d'ecs. Nous allons revenir sur le vocabulaire de base pour construire la notion de probabilité, puis nous apprendrons à la calculer dans diérents cas intéressants. Ce chapitre est particulièrement propice à la modélisation. Nous commencerons donc à comprendre ce qu'est un modèle, et pourquoi et comment on peut l'utiliser Vocabulaire de l aléatoire Expérience aléatoire Pour calculer des probabilités, il faut se trouver dans un cadre aléatoire. Voyons ce que les mathématiciens appellent de l'aléatoire. Dénition 14.1 (Expérience aléatoire) Une expérience aléatoire E est une expérience qui, lorsqu'on la reconduit dans des conditions identiques, peut mener à plusieurs résultats diérents et dont on ne peut pas savoir à l'avance le résultat. On note usuellement Ω l'ensemble de tous les résultats possibles et on appelle cet ensemble l'univers des résultats possibles. 138

2 14.1. VOCABULAIRE DE L'ALÉATOIRE Exemple Donner des exemples d'expériences aléatoires ainsi que l'univers des résultats possibles associés. Exercice On lance deux dès. Quel univers considérer si on s'intéresse à la somme des deux résultats? Quel univers considérer si on s'intéresse à la valeurs de chacun des dès? Exercice Une urne contient 1 boule blanche et 4 boules rouges. Quel univers considérer si : 1) on tire successivement deux boules avec remise? 2) on tire successivement deux boules sans remise? 3) on tire simultanément deux boules? Méthode 14.1 (Choix de l'univers) Lorsqu'on veut choisir l'univers avec lequel travailler il faut faire attention à : ˆ ce qu'on veut observer de l'expérience. ˆ comment est modélisé l'expérience. On veillera également à ne pas prendre un univers inutilement grand ou trop petit. Remarque 14.1 (Univers ni) Dans ce chapitre, on ne considèrera que le cas où Ω est un ensemble ni Evénement Au sein d'une expérience aléatoire, nous allons vouloir calculer la probabilité que certaines choses se passent. On introduit alors la notion d'événement. Dénition 14.2 (Evénement) On appelle événement aléatoire associé à l'expérience aléatoire E une partie de Ω (c'est à dire un sous-ensemble) dont on peut dire, après avoir observée l'expérience, s'il est réalisé ou non. Lorsque l'événement est un singleton, on parle d'événement élémentaire. Exemple Donner des exemples d'événements pour les expériences aléatoires de l'exemple

3 CHAPITRE 14. CALCULS DE PROBABILITÉ Exercice On tire successivement deux boules dans une urne contenant 4 boules blanches et 6 boules rouges. A quelle partie de Ω correspond l'évènement la première boule tirée est rouge? Et l'évènement les deux boules tirées sont de couleurs diérentes? Maintenant que nous savons ce qu'est un événement, il semble intéressant de pouvoir construire, à partir d'événements xés, de nouveaux événements. On souhaite donc pouvoir faire des opérations avec les événements. Mais puisqu'un événement est un ensemble, nous savons déjà comment opérer. Le tableau suivant fait le lien entre les notations ensemblistes que nous connaissons et le vocabulaire aléatoire. Vocabulaire aléatoire Notation ensembliste Evénement A A Evénement contraire de A A Les évenements A et B sont réalisés A B L'évenement A ou B est réalisé A B Si l'événement A est réalisé alors l'événement B l'est aussi A B Les événements A et B sont incompatibles A B = L'événement A est certain (il se réalise toujours) A = Ω. L'événement A est impossible (il ne se réalise jamais) A = Exemple On considère l'expérience aléatoire : on lance deux dés discernables. On considère l'univers Ω = 1, 6 1, 6. 1) Ecrire les ensembles correspondant aux événements A : "on a obtenu au moins un 6", B : " on a obtenu un double" et C : "on a obtenu un double 6". 2) A partir de ces événements, donner un exemple pour illustrer chaque ligne du tableau précédent. Exercice Soient A, B et C trois événements. Ecrire, à l'aide d'opérations sur les ensembles, les événements suivants : 1) "au moins un des trois événements s'est réalisé". 2) " un seul s'est réalisé". 3) "un au plus s'est réalisé". 4) "au moins deux ce sont réalisés". Remarque 14.2 (Calculs avec les ensembles) Les lois de distributivité et de Morgan s'appliquent donc avec les événements! Système complet d'événements Lorsque l'on souhaite traiter des études exhaustives, c'est à dire traiter tous les cas sans redites (on peut faire le parallèle avec la méthode de disjonction des cas), on peut utiliser ce qu'on appelle un système complet d'événements. Dénition 14.3 (Système complet d'événements) Soient n N et (A 1,..., A n ) une famille d'événements. On dit que cette famille forme un système complet d'événements si : 1. les événements sont deux à deux incompatibles : lorsque i j alors A i A j =. 2. la réunion des événements est l'événement certain : n i=1a i = Ω. Exemple On lance un dé et on considère Ω = 1, 6. On a alors A = {2, 4, 6} et B = {1, 3, 5} forment un système complet d'événements. Exercice On tire successivement deux boules sans remise dans une urne contenant 3 boules blanches, 2 boules vertes et 1 boule noire. Donner un système complet d'événement. 140 Cours ECS1

4 14.2. PROBABILITÉ ET PROPRIÉTÉS 14.2 Probabilité et propriétés Nous allons maintenant parler de probabilité et apprendre à en calculer. Commençons par dénir proprement une probabilité Dénition d'une probabilité Dénition 14.4 (probabilité) Soit Ω un ensemble ni. On appelle probabilité sur (Ω, P(Ω)) une application P de P(Ω) dans [0, 1] qui vérie : 1. P (Ω) = 1, 2. si (A, B) P(Ω) 2 sont deux événements incompatibles, alors P (A B) = P (A) + P (B). Le triplet (Ω, P(Ω), P ) est appelé espace probabilisé ni. Exercice Soit Ω un ensemble non vide ni, montrer que l'on dénit une probabilité sur (Ω, P(Ω)) en posant pour tout A P(Ω) : P (A) = Card(A) Card(Ω). Remarque 14.3 (probabilité uniforme) Nous allons revenir plus tard sur cette probabilité que l'on appelle la probabilité uniforme. Attention cependant, ce n'est pas une probabilité qui convient pour modéliser toutes les situations. Par exemple, si on considère l'expérience aléatoire consistant à lancer un dé et qu'on choisit Ω = 1, 6 comme univers. Choisir dans ce cas de travailler avec la probabilité uniforme revient à considérer que le dé est équilibré. En revanche, si l'on considère l'expérience aléatoire consistant à lancer deux dès discernables, et qu'on regarde la somme des résultats obtenus en considérant l'univers Ω = 2, 12, alors la probabilité uniforme ne modélise pas le cas où les deux dés sont équilibrés Propriétés calculatoires Maintenant que nous savons ce qu'est une probabilité, nous allons apprendre à calculer avec. Les propriétés suivantes nous permettrons de le faire plus simplement

5 CHAPITRE 14. CALCULS DE PROBABILITÉ Propriété 14.1 (Calculer avec une probabilité) Soit Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni. On a alors : 1. P (A) = 1 P (A). 2. P ( ) = Si A B alors P (A) P (B). 4. Si (A i ) i=1...n est une famille d'événements deux à deux incompatibles alors, n P ( n i=1a i ) = P (A i ). i=1 Remarque 14.4 ˆ En pratique, on se sert souvent de la propriété 1. lorsqu'on nous demande de calculer des probabilités d'un événement utilisant les mots "au moins". Par exemple, si on veut savoir la probabilité de tirer "au moins une boule noire", il est plus facile de calculer la probabilité de ne tirer "aucune boule noire" et d'enlever le résultat à 1. ˆ La propriété 1. peut également servir à démontrer qu'une probabilité est à valeurs dans [0, 1] qui n'est normalement pas dans la dénition. Propriété 14.2 (Formule du crible ou de Poincaré) Soient (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni et A, B et C trois événements. On a alors : 1. P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). 2. P (A B C) = P (A)+P (B) = P (C) P (A B) P (A C) P (B C)+P (A B C). Remarque 14.5 Comme dans le cas du cardinal, la formule de Poincaré peut se généraliser mais cela n'est pas au programme. On retiendra seulement que pour (A i ) i=1,...,n une famille d'événements, on a n P ( n i=1a i ) P (A i ). i= Cas de l'équiprobabilité Nous allons revenir sur la notion de probabilité uniforme qui est la probabilité dans les cas d'équiprobabilité. Commençons par dénir l'équiprobabilité. Dénition 14.5 (Equiprobabilité) Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni. On dit qu'on est dans une situation d'équiprobabilité si tous les événements élémentaires ont la même probabilité. 142 Cours ECS1

6 14.3. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE Exemple Lorsqu'on lance un dé équilibré, il y a équiprobabilité. De même, si on tire une boule dans une urne contenant des boules indiscernables, il y a équiprobabilité. Avez-vous d'autres exemples? Théorème 14.1 (Probabilité uniforme) Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni pour lequel il y a équiprobabilité. Alors, pour tout événement A P(Ω), on a P (A) = Card(A) Card(Ω). Remarque 14.6 On paraphrase souvent la formule précédente ainsi : P (A) = nombre de cas favorables nombre de cas possibles. Ainsi, lorsqu'il y a équiprobabilité, calculer une probabilité revient à dénombrer des ensembles. Exercice On considère une jeu de 52 cartes. On distribue toutes les cartes à 4 joueurs. On regarde la main obtenu par un joueur donné (sans prendre en compte l'ordre dans lequel il a reçu les cartes). 1. Après voir décrit Ω, calculer son cardinal. 2. Quelle est la probabilité que le joueur obtienne un carré de roi? Exercice On tire simultanément 3 boules dans une urne contenant 5 boules blanches et 10 boules noires. Après avoir décrit l'univers considéré, donner la probabilité de l'événement A :"le tirage ne contient aucune boule blanche" Probabilité conditionnelle Qu'est ce qu'une probabilité conditionnelle? Dénition 14.6 (Probabilité conditionnelle) Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni. On considère un événement B vériant P (B) > 0. Pour tout événement A, on dénit la probabilité conditionnelle de A sachant B, que l'on note P (A B) ou P B (A), par P (A B) = P (A B). P (A) Remarque 14.7 (Interprétation) Cette probabilité mesure la proportion de chance d'obtenir la réalisation de A lorsqu'on sait que B est réalisé. On a d'ailleurs toujours P (B B) =

7 CHAPITRE 14. CALCULS DE PROBABILITÉ Exercice On lancé un dé équilibré à 6 faces. Après avoir donné l'univers Ω, donner la probabilité de l'événement A : "on obtient un 6" sachant l'événement B : "on obtient un chire pair". Exercice neveu? Ma soeur a 2 enfants. J'ai au moins une nièce. Quelle est la probabilité que j'aie un Théorème 14.2 Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni. Si B est un événement de Ω vériant P (B) > 0 alors l'application P B : P(Ω) [0, 1] dénie par, pour tout événement A, dénit une probabilité sur Ω. P B (A) = P (A B) Corollaire 1 (Propriétés calculatoires) Puisqu'une probabilité conditionnelle est une probabilité, on peut lui appliquer toutes les propriétés calculatoires de la partie 2.2. Maintenant que nous connaissons les probabilités conditionnelles nous allons voir 3 formules dont l'importance est considérable dans le monde des probabilités Formule des probabilités totales Théorème 14.3 (Formule des probabilités totales) Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni et (A 1,..., A n ) un système complet d'événements de probabilités non nulles. Pour tout événement B, on a P (B) = n P Ai (B)P (A i ) = i=1 n P (A i B). i=1 Remarque 14.8 Si A est un événement tel que 0 < P (A) < 1, alors pour tout événement B, on a P (B) = P (B A)P (A) + P (B A)P (A). Exercice On lance un dé équilibré. Si le dé donne 1, on tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Si le dé donne 2 ou 3 on tire une carte dans un jeu de 52 cartes. Enn, si le jeu donne 4, 5 ou 6, on choisit au hasard un des quatre rois. Quelle est la probabilité d'obtenir le roi de trèe? Méthode 14.2 (Formule des probabilités totales) On pensera à utiliser la formule des probabilités totales lorsque deux étapes d'une expérience aléatoire s'enchaînent et que la seconde donne des résultats diérents suivant les résultats de la première. 144 Cours ECS1

8 14.3. PROBABILITÉ CONDITIONNELLE Formule des probabilités composées La dénition de la probabilité conditionnelle est équivalente à dire, puisque P (B) > 0, que P (A B) = P (A B)P (B). Cette formule se généralise à n événements pour donner la formule des probabilités totales. Théorème 14.4 (Formule des probabilités totales) Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni. Soit (A 1,... A n ) une famille d'événements tels que alors P (A 1 A n ) > 0 P (A 1 A n ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 )P (A 3 A 1 A 2 )... P (A n A 1 A n 1 ). Exercice Une urne contient 10 boules dont 6 sont blanches et 4 sont rouges. On tire successivement trois boules sans remise. Quelle est la probabilité d'obtenir un tirage constitué de 3 boules blanches? Méthode 14.3 Lorsque l'on cherche à calculer une probabilité de la forme P (A 1 A n ) où chaque A i dépend de la ième étape de l'expérience aléatoire et où les A i dépendent les uns des autres, on pensera à utiliser la formule des probabilités composées Formule de Bayes Théorème 14.5 (Formule de Bayes) Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni. Soient A et B deux événements de probabilités non nulles. On a alors P (A B) = P (B A)P (A). P (B) Cette formule se généralise à un système complet d'événements de la manière suivante. Théorème 14.6 (Formule de Bayes généralisée) Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni. Soit (A 1,... A n ) un système complet d'événements de probabilités non nulles. Alors, pour tout événement B de probabilité non nulle et pour tout indice i 0 1, n, on a P B (A i0 ) = P A i0 (B)P (A i0 ). n P Ai (B)P (A i ) i=

9 CHAPITRE 14. CALCULS DE PROBABILITÉ Exercice Une urne contient deux dés ; l'un est équilibré et l'autre donne systématiquement un 6. On choisit un dé dans l'urne et on le lance. On obtient 6. Quelle est la probabilité que le dé lancé soit celui qui est équilibré? Exercice Il y a deux types de jumeaux : les "vrais jumeaux" (monozygotes) et les "faux jumeaux" (dizygotes). On estime à 20 % la proportion de monozygotes parmi l'ensemble des jumeaux. Par ailleurs, les grossesses gémellaires sont de deux types : ˆ bichoriale (deux placentas) pour un tiers des jumeaux monozygotes et pour tous les jumeaux dizygotes. ˆ monochoriale (un seul placenta) dans les autres cas. Une femme est enceinte de jumeaux et sa grossesse est bichoriale. Calculer la probabilité qu'elle attende de "vrais jumeaux". Méthode 14.4 On pensera à utiliser la formule de Bayes lorsqu'il sera utile de renverser le conditionnement. Autrement dit, la formule de Bayes est utile pour les raisonnements rétro-actifs. Si on sait quantier la conséquence B d'un événement A et que l'on sait l'événement B réalisé, la formule de Bayes permet de savoir si A l'a été Evénements indépendants Pour terminer, nous allons développer la notion d'indépendance, qui simplie beaucoup les calculs et dont l'utilisation pour modéliser des situations de la vie est courante et souvent cohérente Indépendance de deux événements Dénition 14.7 (Evénements indépendants) Soit (Ω, P(Ω), P ) un espace probabilisé ni. On dit que deux événements A et B sont indépendants si P (A B) = P (A)P (B). Exemple Deux événements ne sont pas, a priori, indépendants. Mais il est courant de faire cette hypothèse lorsqu'on modélise une situation réelle. Par exemple, si on lance successivement deux dès, les événements "le premier donne un 4" et "le second donne un 4" sont généralement modélisés indépendants. En revanche, si on tire successivement et sans remise deux boules dans une urne contenant 5 boules jaunes et 4 boules vertes, les événements "la première boule est blanche" et "la seconde boule est blanche" ne sont pas indépendants. Pour rendre les événements indépendants, il faut considérer des tirages avec remise. Remarque 14.9 (Lien avec les probabilités conditionnelles) Si P (B) > 0 et si A et B sont indépendants, alors on a P (A B) = P (A). Cela signie en fait que lorsque deux événements sont indépendants, la connaissance de la réalisation de l'un n'apporte rien pour savoir si l'autre a été ou non réalisé. 146 Cours ECS1

10 14.4. EVÉNEMENTS INDÉPENDANTS Il ne faut pas confondre indépendants et incompatibles! Deux événements incompatibles sont d'ailleurs bien souvent non indépendants. Propriété 14.3 (Indépendance) ˆ Si A et B sont deux événements de probabilités non nulles, alors on a les équivalences suivantes : A et B sont indépendants P (A B) = P (A) P (B A) = P (B). ˆ Si A et B sont indépendants, alors A et B, A et B et A et B sont aussi indépendants. Exercice On lance un dé à 6 faces équilibré. Les événements A :"on obtient un tirage pair" et B : "on obtient le tirage 3 ou 6" sont-ils indépendants? Dans un jeu de 52 cartes, on prend une carte au hasard : les événements "tirer un roi" et "tirer un pique" sont-ils indépendants? Quelle est la probabilité de "tirer un roi ou un pique "? La famille Pantanella comporte 2 enfants. Les événements A : " il y a deux enfants de sexes diérents" et B : "il y a au plus une lle" sont-ils indépendants? Même question si la famille comporte trois enfants Indépendance de n événements Dénition 14.8 (In dépendance à n événements) Soient (A 1,..., A n ), n événements d'un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P ). Les événements A i sont dits mutuellement indépendants ou indépendants dans leur ensemble si pour tout k 1, n, et pour tout ensemble distincts {i 1,..., i k } {1,..., n}, on a P (A i1 A i2 A ik ) = P (A i1 )P (A i2 )... P (A ik ). Remarque (Ne pas confondre indépendants et mutuellement indépendants) Trois événements A, B et C sont mutuellement indépendants si : mais aussi P (A B) = P (A)P (B), P (B C) = P (B)P (C), P (A C) = P (A)P (C), P (A B C) = P (A)P (B)P (C). On comprend donc bien que des événements mutuellement indépendants sont indépendants deux à deux mais la réciproque est fausse dans le cas général. Exercice On lance deux fois de suite un dé équilibré et on considère les événements A :"le premier lancer est pair", B :"le second lancer est pair" et C :" la somme des deux lancers est impaire". Montrer que ces événements sont indépendants deux à deux mais pas dans leur ensemble