Correction Baccalauréat S Métropole Juin 2010

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1 Correctio Baccalauréat S Métropole Jui EXERCICE Berard Froget & Sébastie Sigrist Partie A :. La foctio u est dérivable sur R, comme somme des foctios x x et x e x, chacue dérivable sur R. Soit x R. Comme u x)=e x xe x, o e déduit : u x)ux)=e x xe x xe x = e x : u est doc est ue solutio de l équatio différetielle E). sait d après le cours que les solutios sur R) de l équatio différetielle y ay = sot les foctios h K défiies sur R par h K x)=k e ax, avec K R. e déduit : Les solutios de l équatio E ) sot les foctios h K défiies sur R par h K x)=k e x, où K R. v est ue solutio de l équatio différetielle E) x R v x) vx)=e x x R v x) vx)=u x)ux) x R v x) u x) vx) v x)= x R v u) x)v u)x)= v u est ue solutio de l équatio différetielle E ) car u est ue solutio de l équatio y y = e x. Raisoos ecore par équivalece : v est ue solutio de l équatio différetielle E) v u est ue solutio de l équatio différetielle E ) d après Q.. Il existe u réel K tel que, pour tout réel x : v u)x)=k e x d après Q.. Il existe u réel K tel que, pour tout réel x : vx)=k e x ux) Par suite : Les solutios de l équatio E ) sot les foctios v K défiies sur R par v K x)=k e x xe x = x K )e x, où K R 5. Soit g ue solutio de E) : d après Q., il existe u réel K tel que : x R g x)=k x)e x. Comme : g )= Ke = K =, o e déduit : L uique solutio g de l équatio E ) vérifiat g )= est la foctio g défiie sur R par : g x)=x )e x. Partie B :. La foctio f k est dérivable sur R par exemple e tat que solutio, sur R, de l équatio E)). a alors : x R f k x)=e x f k x)=e x e x x k)=e x x k). Puisque e X > pour tout réel X, le sige de f x) est celui de x k. k Comme x k x k, f k est croissate sur ] ; k] et décroissate sur [ k ; [ : La foctio f k admet doc u maximum pour x = k.. M k a pour coordoées k, f k k)), soit k,e k) ). Puisque y Mk = e x M k, o a prouvé : Le poit de la courbe C k d abscisse k appartiet à la courbe Γ d équatio y = e x.. a. La foctio H : x e x est strictemet décroissate sur R, ce qui permet d idetifier immédiatemet les deux courbes. b. H)= : L uité sur l axe des ordoées est égale à cm, soit la distace etre deux graduatios successives. f k )=k : comme le poit de Γ d abscisse a pour ordoée, o e déduit : k = La résolutio de l équatio f k x)= motre que la courbe Γ coupe l axe des abscisses au poit d abscisse k = : L uité sur l axe des abscisses est aussi égale à cm, soit la distace etre deux graduatios successives.

2 . x )e x dx est de la forme u x)vx dx, où u et v sot les foctios défiies sur R par ux)= e x et vx)= x Les théorèmes gééraux permettet d affirmer que les foctios u et v sot dérivables sur R et que leurs dérivées sot cotiues sur R : le théorème d itégratio par parties peut alors être appliqué : x )e x d x = u x) vx)d x = [ux) vx)] ux) v x)d x = [ x )e x ] e x d x = e )) [e x ] = e )) e ) = 5e La foctio f est cotiue et positive sur [,]. Par suite : x )e x d x = 5e f x) dx mesure, e uités d aire, l aire de la surface limitée par Γ, l axe des abscisses, et les droites d équatios x = et x =. y. Γ x j i x - C k - y EXERCICE J. P. Goualard. RC Soit u ) et v v ) deux suites adjacetes, avec u ) croissate et v ) la décroissate. Motros que ces deux suites adjacetes coverget et ot la même limite. v est décroissate, doc, pour tout N, v v. D après la propriété, pour tout, v u ; par coséquet, u v v. La suite u ) est doc croissate et majorée par v doc covergete vers u réel l. propriété ) De même, v u u doc v ) est décroissate miorée, doc covergete vers u réel l. D après la défiitio, lim v u )= ; or, lim v u )= l l. Par uicité de la limite, o a : l l= doc l=l. Coclusio : les deux suites coverget, vers le même réel. ). a. = est ue suite géométrique de raiso comprise strictemet etre et et doc lim = Aisi lim u = lim v =. Pour tout N, v v = ) = < doc v ) est décroisssate. De même, u ) est croissate.. De plus : lim v u )= lim ) ) = lim =. Les suites u ) et v ) sot adjacetes. l )= et lim = aisi lim u = lim v =. Elles e sot doc pas adjacetes sio, la limite commue serait réelle) b. lim

3 Corrigé Métropole S A. P. M. E. P. c. lim ) = lim = et doc lim u = lim v =. La suite v ) est pas mootoe car v =, v = > et v = < doc elles e sot pas adjacetes. ). La suite est décroissate, doc ) est croisssate, doc ) est croissate. La suite a ) est décroissate, doc l a ) est décroissate car l est ue foctio croissate). Pour que les suites u ) et v ) soiet adjacetes, il faut que lim lim l a ) )) = l a = l a= a = e Les deux suites sot adjacetes pour a = e v u )= c est-à-dire EXERCICE Fraçois Krieg Bie que ce e soit pas demadé das le sujet, les démostratios sot doées ici. ) ). Trois boules sot tirées simultaémet, il y a doc tirages possibles. Il y a faços de choisir boules blaches ) ) ) parmi les présetes das l ure et faços de choisir ue boule oire parmi les trois présetes, doc tirages réalisat l évèemet. Puisque les boules sot ) idiscerables ) au toucher, o est das ue situatio d équiprobabilité, et doc la probabilité de! l évèemet est : ) =! 5!!!! = =! 9 8.!! La répose est.. La situatio est celle d u schéma de Beroulli o peut associer le blac au succès et le oir à l échec), de paramètres 5 o fait 5 tirages successifs) et probabilité du succès, puisque boules parmi les sot blaches) et doc o cherche à calculer px = ), pour avoir deux succès sur 5 tirages, c est-à-dire deux boules blaches et trois oires. ) ) ) 5 Le cours doe ue répose 5 ) 5 ) =. ). peut représeter la situatio par l arbre suivat : B 5 Gagé Perdu N Gagé a doc pgagé)= = 9 =. Perdu De plus pgagé B)= = Doc p Gagé B)= =.. applique le cours : p X )= λe λx d x = [ e λx] = e λ e λ = e λ e λ.

4 EXERCICE Cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité Michel Fréchet Das le pla complexe mui d u repère orthoormal direct ; u ; v), o cosidère le poit A d affixe et le cercle C de cetre passat par A. α= i et α so cojugué.. a. α α=α 8 : α α= i ) i ) = i ) i ) = i ) i ) = i α 8= i ) 8= i 8= i b. Le cercle C a pour rayo A= et B = C = αα= i ) i ) = = = B C et C C. Soit D u poit du cercle C d affixe e iθ, où θ ] π; π[. a. Voir figure plus loi. b. L écriture complexe de la rotatio de cetre et d agle π est : z =e i π z ). Aisi :. F milieu de [BD] ; G milieu de [CE] : a. z F = z B z D = αeiθ b. AF G équilatéral : z E = e i π e iθ = e i π e iθ = = α eiθ ; z G = αeiθ α i ) e iθ = i ) e iθ = αe iθ z G z F = αeiθ α αe iθ = α e iθ α ) αe iθ α α = α e iθ α ) αe iθ α 8 = α αe iθ α ) αe iθ α ) = α = i = ei π Aisi : z G z F = AG ) zg ) = AG = AF et Arg = AF ; AG = π AF z F Nous sommes doc e présece d u triagle isocèle dot l agle au sommet mesure π. C est u triagle équilatéral.. AF = cosθ siθ. f : x cos θ siθ sur [ π; π]. Tableau de variatios de f : x π π 5π π f Le miimum de cette foctio f est atteit pour θ= π. E effet, le poit D déped de θ ] π; π]. La foctio f admet u miimum sur cet itervalle. Doc AF admet u miimum e π. Du fait que AF est positif, AF est aussi miimum e π.

5 D F B v u A E G C EXERCICE Cadidats ayat suivi l eseigemet de spécialité Berard Froget. a. a z T A) = z A = == z A : T A)= A a z T Ω) = z Ω = i )=i = z Ω : T Ω)=Ω b. T est ue similitude disticte de l idetité et ayat au mois) deux poits fixes : T est doc la réflexio d axe AΩ) c. L image d u cercle de cetre et de rayo R par ue similitude s est u cercle de cetre s) et de rayo k R, où k est le rapport de la similitude. Ue réflexio état ue isométrie, o a ici k =. Comme T ) a pour affixe, alors : L image de C par T est le cercle de cetre T )= et de rayo.. a. Voir ci-dessous : A est le poit de C d abscisse.5 z ) ) zm z Ar g = Ar g = M, M )= π z z M z [π] b. a et z z = z = M z M = car M = M = c. L écriture complexe de r est de la forme z = az b, avec a = et a, d où : z z = e i π, soit : z =e π z : r est doc ue rotatio d agle Ar g a)= π. 5

6 Corrigé Métropole S A. P. M. E. P. Le cetre de r est l uique poit ivariat de r car r I d P ) : so affixe est doc la solutio de l équatio z = e i π z, soit z = = e i π = i ) = z Ω : r est la rotatio de cetre Ω et d agle π i z z. L affixe z du poit M est = z ei π z = ei π ) z = i z = ei π z recoait l écriture complexe d ue similitude directe S : le lieu géométrique du poit M lorsque le poit M décrit le cercle C est l image de C par S : il s agit doc du cercle de cetre S)= A car A est le milieu de [ ]) et passat par le milieu A de [A A ]. Ω π C M M A M v A u A N N C N