Expressions des différentes grandeurs pour les convertisseurs statiques RAPPELS MATHÉMATIQUES: sin t de période temporelle T,

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1 Expressions des différentes grandeurs pour les convertisseurs statiques RAPPELS MAHÉMAIQES: Pour un signal périodique st=s sint de période temporelle, la valeur efficace S est donnée par l'expression : S = 1 s t la valeur moyenne <s> est donnée par l'expression s= 1 st La pulsation d'un signal est = f et f = 1 = soit =. En posant =t, le signal s=s sin a pour période angulaire. la valeur efficace S est donné par l'expression : S = 1 s d la valeur moyenne <s> est donnée par l'expression s= 1 s d Formules utiles de trigonométrie : cosab=cos a cos b sin a sin b cosa b=cos a cos bsin a sin b sinab=sin a cos bsin b cos a sina b=sin a cos b sin b cos a cos asin a=1 cos a=cos a sin a cos a= 1 cos a sin a= 1 cos a Dérivées et primitives de quelques fonctions : Dérivée Fonction Primitive =1 dcos = sin d dcosa = a sina d dsin =cos d dsina =a cosa d dcost = sint d t dcost =cost t cos cosa sin sina cost sint t = t cste cos d=sincste cosa d= 1 a sinacste sin d= coscste sina d= 1 a cosacste cost = 1 sintcste sint = 1 costcste 1/15 /15

2 LE PON O DIODES MONOPHASÉ ( courbes données en annexe 1) : On considère que le courant dans la charge i est parfaitement lissé grâce à la bobine de lissage L. Le pont est alimenté par une tension alternative sinusoïdale u(θ) d'équation u= sin avec = : valeur efficace de la tension d'alimentation du pont. La tension u (t) aux bornes de la charge a : pour période angulaire π et pour expression u = sin pour. On exprime les expressions de la tension moyenne et efficace à la sortie du pont en fonction de la tension efficace de la tension d'entrée, supposée parfaitement connue. Valeur moyenne de la tension u (t) : La tension u (t) a pour période π d'où : = 1 u d = = 1 sin d = 1 sin d = sin d = [ cos] = [ cos cos]= 1 1 soit : La valeur moyenne <u > à la sortie du pont de diodes a pour expression : Valeur efficace de la tension u (t) : = 1 u d = 1 sin d On linéarise sin : sin = 1 cos = d'où : 1 cos d= = 1 sin = 1 = = = 1 cos d = d'où La valeur efficace c à la sortie du pont de diodes est =. sin 1 sin On mesure la tension efficace avec un voltmètre position A + D. Valeur moyenne et efficace de l'intensité i (t) circulant dans la charge : L'intensité du courant électrique étant considéré comme parfaitement lissé, sa valeur est constante et i t=i. ( 'est la charge qui impose le courant). On en déduit que la valeur moyenne de l'intensité i (t) est égale à sa valeur efficace I. <i > = I = avec =. On mesure la valeur moyenne de l'intensité avec un ampèremètre en position D. On mesure la valeur efficace de l'intensité avec un ampèremètre en position A + D. On mesure la tension moyenne avec un voltmètre position D. 3/15 4/15

3 Valeur moyenne est efficace de l'intensité i(t) à l'entrée du pont tout diodes : L'intensité i(t) a pour expression : it=i pour t et it= I pour t La valeur moyenne <i> a pour expression : i= 1 it = 1 I I = I / La valeur moyenne du courant <i> =. La valeur efficace I a pour expression : I = 1 i t I = 1 I = I / I I =1 / / 1 = I t = I =I On en déduit que l'intensité I = I. I / 1 1 = / I = I / Puissance moyenne disponible à la sortie du pont tout diodes : Par définition, la puissance P disponible à la sortie du pont est : P= p= i = i or, = P= I et i =I d'où Puissance apparente S à l'entrée du pont : Par définition, la puissance apparente est définie par : S =.I 1 1 / Facteur de puissance k (ou fp) du pont tout diodes monophasé : k= P S = i or, i =I et I=I d'où : I k= P S = =. Le facteur de puissance du pont tout diodes est constant. k=,9 ensions et intensités pour les diodes : En observant les oscillogrammes de l'annexe 1, on remarque qu'une diode : doit supporter la tensions inverse maximale INV = - et que la tension aux bornes d'une diode est soit négative (diode bloquée) soit nulle (diode passante). la valeur moyenne de la tension aux bornes d'une diode Pour la diode D 1 par exemple: u D1 = 1 u D1 t avec u D1 t= pour t/ u D1 t=ut pour / t Ainsi, u D1 = 1 u D1 t = 1 / u D1 = 1 / sint / sint = cost / u D1 = coscos omme =, alors u D1 = cos cos = d'où l'expression de la tension moyenne aux bornes d'une diode : u D = 1 1 En appliquant le même raisonnement, on montre que le courant moyen qui traverse une diode est : i D = i es grandeurs; tension inverse, courant moyen servent à dimensionner les diodes. 5/15 6/15

4 LE PON O HYRISORS MONOPHASÉ ( courbes données en annexe ) : On considère que le courant dans la charge i est parfaitement lissé grâce à la bobine de lissage L et est positif. Le pont est alimenté par une tension alternative sinusoïdale u(θ) d'équation u= sin avec = : valeur efficace de la tension d'alimentation du pont. Valeur efficace de la tension u (t) : = 1 u d = 1 sin d On définit l'angle d'amorçage des thyristors et t = l'instant d'amorçage des thyristors. On linéarise sin : La tension u (θ) aux bornes de la charge a : pour période angulaire π et pour expression u = sin pour. Pour simplifier les calculs, on prend t comme origine des temps. On exprime les expressions de la tension moyenne et efficace à la sortie du pont en fonction de la tension efficace de la tension d'entrée, supposée parfaitement connue. Valeur moyenne de la tension u (t) : La tension u (t) a pour période π d'où : = 1 u d = = 1 sin d = 1 sin d = sin d sin = 1 cos = 1 d'où : cos d= 1 cos d = 1 sin = = = = 1 sin 1 sin = d'où La valeur efficace c à la sortie du pont de diodes est =. On mesure la tension efficace avec un voltmètre position A + D. Valeur moyenne et efficace de l'intensité i (t) circulant dans la charge : L'intensité du courant électrique étant considéré comme parfaitement lissé, sa valeur est constante et i t=i. ( 'est la charge qui impose le courant). On en déduit que la valeur moyenne de l'intensité i (t) est égale à sa valeur efficace I. : = [ cos] = [ cos cos]= La valeur moyenne <u > à la sortie du pont tout thyristors a pour expression : coscos soit <i > = I On mesure la valeur moyenne de l'intensité avec un ampèremètre en position D. On mesure la valeur efficace de l'intensité avec un ampèremètre en position A + D. = cos avec = et 18 Remarque : Pour 9, le pont tout thyristors fonctionne en redresseur. Pour 9 18, le pont tout thyristors fonctionne en onduleur assisté. On mesure la tension moyenne avec un voltmètre position D. 7/15 8/15

5 Valeur moyenne est efficace de l'intensité i(t) à l'entrée du pont tout thyristors : L'intensité i(t) a pour expression : it=i pour t t t avec t = et it= I pour t tt La valeur moyenne <i> a pour expression : i= 1 t it = 1 t <i> = t t La valeur moyenne du courant <i> =. La valeur efficace I a pour expression : I = 1 t i t t I = 1 /t t I = I t 1 t = I t /t I I /t =1 t tt t = I On en déduit que l'intensité I = I. t I I = I t t t t =I t I /t Puissance moyenne disponible à la sortie du pont tout thyristors : Par définition, la puissance P disponible à la sortie du pont est : P= p= i = i / t t 1 1 = I = I t /t /t t 1 1 /t or, = cos et i =I P= cos I d'où Puissance apparente S à l'entrée du pont : Par définition, la puissance apparente est définie par : S =.I Facteur de puissance k (ou fp) du pont tout thyristors monophasé : k= P S = i or, i =I et I=I d'où : I k= P S = =. Le facteur de puissance du pont tout thyristors est k= cos 9/15 1/15

6 LE PON MIXE MONOPHASÉ ( courbes données en annexe 3) : On considère que le courant dans la charge i est parfaitement lissé grâce à la bobine de lissage L et est positif. Le pont est alimenté par une tension alternative sinusoïdale u(θ) d'équation u= sin avec = : valeur efficace de la tension d'alimentation du pont. Valeur efficace de la tension u (t) : = 1 u d = 1 sin d On définit l'angle d'amorçage des thyristors et t = l'instant d'amorçage des thyristors. On linéarise sin : La tension u (θ) aux bornes de la charge a : pour période angulaire π et pour expression : u = pour. u = sin pour. On exprime les expressions de la tension moyenne et efficace à la sortie du pont en fonction de la tension efficace de la tension d'entrée, supposée parfaitement connue. Valeur moyenne de la tension u (t) : La tension u (t) a pour période π d'où : = 1 u d = = 1 sin d = 1 sin d = sin d = [ cos] = [ cos cos]= 1 cos soit : La valeur moyenne <u > à la sortie du pont tout thyristors a pour expression : = 1 cos avec = et 18 sin = 1 cos = d'où : 1 cos d= 1 cos d = 1 sin = 1 sin 1 sin = 1 sin d'où La valeur efficace c à la sortie du pont mixte est : 1 = sin On mesure la tension efficace avec un voltmètre position A + D. Valeur moyenne et efficace de l'intensité i (t) circulant dans la charge : L'intensité du courant électrique étant considéré comme parfaitement lissé, sa valeur est constante et i t=i. ( 'est la charge qui impose le courant). On en déduit que la valeur moyenne de l'intensité i (t) est égale à sa valeur efficace I. <i > = I On mesure la valeur moyenne de l'intensité avec un ampèremètre en position D. On mesure la valeur efficace de l'intensité avec un ampèremètre en position A + D. Remarque : Le pont mixte délivre une tension moyenne toujours positive. On mesure la tension moyenne avec un voltmètre position D. 11/15 1/15

7 Valeur moyenne est efficace de l'intensité i(t) à l'entrée du pont mixte : L'intensité i(t) a pour expression : it=i pour t t avec t = et it= I pour t t it= pour tt et t t La valeur moyenne <i> a pour expression : i= 1 it = 1 <i> = t I I = I / t t 1 1 /t = Puissance apparente S à l'entrée du pont : Par définition, la puissance apparente est définie par : S =.I Facteur de puissance k (ou fp) du pont mixte monophasé : k= P S = i I k= P S = = or, i =I et I=I d'où : 1 cos = Le facteur de puissance du pont tout thyristors est 1 cos. k= 1cos La valeur moyenne du courant <i> =. La valeur efficace I a pour expression : I = 1 i t I = 1 / t I = I / t / I I /t =1 t 1 = I t/ t Si on pose t =, alors On en déduit que l'intensité = I I /t t I = I / t =I 1 t I =I 1 =I I=I 1 Puissance moyenne disponible à la sortie du pont mixte : Par définition, la puissance P disponible à la sortie du pont est : P= p= i = i or, = 1 cos et i =I P= 1 cos I d'où =I 1 1 /t 13/15 14/15

8 Equation de fonctionnement pour la charge : u(t) i(t) i D1 (t) u D1(t) i D(t) u D(t) i (t) u L(t) u M(t) u (t) u D4(t) u D3(t) La tension à la sortie du pont est u (t) et l'intensité est i (t). La bobine de lissage est suffisamment importante pour considérer l'intensité i (t) parfaitement lissé ce qui signifie que i (t) = <i > = I. En appliquant la loi des mailles, on établit la relation de u (t) : u t=u L tu M t soit : u t=l d i t u M t ette relation est aussi valable pour les valeurs moyenne. = u L u M Soit : = L d i u M L est une constante, on peut la sortir de la valeur moyenne. =L d i u M On considère que le courant est parfaitement lissé ( l'intensité i est une constante, alors d i = d i = ) d'où : = u M Remarque importante : L'intensité i n'est pas toujours parfaitement lissée mais elle est toujours périodique quelque soit sa forme. On montre que la valeur moyenne de la dérivée d'une fonction périodique est toujours nulle. Si s(t) est une fonction périodique de période, d st = 15/15