CORRECTION BACCAL AURÉAT S LIBAN 28 MAI 2013

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1 ORRETION BAAL AURÉAT S LIBAN 8 MAI 03 EXERIE Question : (4 points Réponse d Un vecteur directeur de la droite D est le vecteur d (,, 3, un vecteur directeur de la droite D est le vecteur d (,,. d d = + 3=0. es deux vecteurs sont orthogonaux, les droites D et D sont donc orthogonales. Aussi par élimination : la a. est fausse car les vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires, b. est fausse car il n y a pas de point d intersection et c. est fausse car n est pas sur D. Question : Réponse c Un vecteur normal au plan P est le vecteur n (,,. e vecteur est un vecteur directeur de la droite D. e qui entraîne que ce plan est orthogonal à la droite D. Question 3 : Réponse c AB= = 56= 4, A= = 56, B= = 56 es trois distances sont égales, il en résulte que le triangle AB est équilatéral. Question 4 : Réponse b Pour déterminer lequel de ces vecteurs est un vecteur normal au plan P, il suffit de vérifier si ces vecteurs sont orthogonaux à deux vecteurs de P qui sont non colinéaires. Prenons d (,, et u = AD, où A(,, et D est un point de D, par exemple celui de coordonnées (, 3, 4, soit AD (0, 4,. On vérifie que d et AD ne sont pas colinéaires, et on constate que, dans le second cas : d n = AD n = 0 e qui signifie que le vecteur n (3,, est un vecteur normal au plan P.

2 Baccalauréat S A. P. M. E. P. EXERIE (5 points Partie A. 0,7 E 0,95 0,05 0,3 E 0,99 0,0 ( (. On cherche P E = P E ( P E = 0,95 0,70=0, D après la( formule des probabilités totales : P ( =P E + P( E =0,665+0,99 0,30= 0, P (E = P (E P ( Partie B = 0,99 0,30 0,96. X suit la loi normale N ( 0,7 ; 0,006. 0,309 à 0 3 près On cherche à calculer la probabilité P (0,6 X 0,8 qui est égale à 0,904 4 d après la table. a. D après le cours, comme Y suit une loi normale N ( m ; σ b. normale centrée réduite N (0,., alors Z = Y m σ 0,6 Y 0,8 0,6 0,7 Y 0,7 0,8 0,7 σ σ σ suit la loi soit 0,0 Z 0,0 σ σ Donc lorsque Y appartient à l intervalle [0, 6 ; 0, 8], alors Z appartient à l intervalle [ 0,0 ; 0,0 ]. σ σ c. On sait que cette probabilité doit être égale à 0,990, le tableau donné permet d obtenir β=, ,0 d où =,575 8 σ = 0, σ En conclusion, à 0 3 près, σ 0,004. Liban 8 mai 03

3 EXERIE 3 Partie A (6 points. Puisque lim x + e x = 0, il vient, lim f (x= x + Puisque lim x e x =+, il vient, lim f (x=0 x + Graphiquement cela signifie que les droites d équation y = 0 et y = sont deux asymptotes horizontales à au voisinage respectivement de moins et plus l infini.. f (x= ex e x (+e x = ex e x + = ex +e x 3. f e x = (+e x = e x (+e x. ette expression étant toujours strictement positive surr, il en résulte que la fonction f est strictement croissante surr. 4. e x I = f (xdx = 0 0 +e x dx= [ ln(+e x ] ( +e 0 = ln(+e ln=ln I s interprète graphiquement comme la mesure en unité d aires du domaine limité par, l axe des ( x et les droites d équations x = 0 et x =. est l aire du rectangle de côté et de longueur +e ln qui vaut à peu près 0,6 unité d aire (ce qui se vérifie visuellement sur l annexe. Partie B P ( x ; f (x et M ( x ; f (x. K est le milieu de [MP].. f (x+ f (x= ex e x + + e x + = ex + e x + =. y K = y M + y P = f (x+ f (x = Le point K est donc un point de la droite d équation y =. 3. Il résulte de la question précédente que les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite d équation y =. 4. Soit A l aire du domaine considéré. Par symétrie entre les deux courbes, on obtient A = f (x 0 dx = f (xdx dx= ln 0 0 ( +e Partie. Vrai : Quel que soit k R, e kx > 0 +e kx > 0< <. +e kx. Faux : On a vu que la fonction f est strictement décroissante surr. 0,4. 3. Vrai : ar si k 0 alors k 5 puis e k e 5 par croissance de la fonction exponentielle et enfin +e k +e 5. Finalement : 0,99<0, e 5 +e k = f k ( Liban 3 8 mai 03

4 EXERIE 4 : Enseignement obligatoire uniquement Partie A (5 points. L algorithme n o calcule tous les termes de v 0 à v n mais n affiche que le dernier v n. L algorithme n o calcule n fois de suite v à partir de v 0 : il ne calcule pas les termes de 0 à v n. L algorithme n o 3 calcule tous les termes de 0 à v n et les affiche tous.. D après les tables de valeurs de la suite (qui correspond en fait à n = 9, il semblerait que la suite soit croissante et converge vers un nombre proche de a. Montrons par récurrence la proprieété P n : 0<v n < 3 pour tout entier naturel n. Initialisation : n= 0, on a bien 0<v 0 < 3 vraie, puisque v 0 = ; ainsi P 0 est vraie. Hérédité : Supposons P n vraie, montrons alors que P n+ est vraie. On suppose donc que 0<v n < 3. Donc 6=6 0>6 v n > 6 3=3, puis 6 < <, car la fonction inverse est décroissante sur ]0 ; + [. 6 v n < 9 < 9 6 v n 3 = 3. Ainsi < 3 < v n+< 3. L hérédité est établie puisque P n+ est vraie. onclusion Par le principe de récurrence, P n : 0< v n < 3 est vraie pour tout entier naturel n. b. v n+ v n = 9 v n = 9 v n (6 v n = (v n 3. 6 v n 6 v n 6 v n Or, d après la question précédente, 0 < v n < 3 pour tout n entier naturel, ainsi 6 v n est positif, donc v n+ v n = (v n 3 > 0, ainsi la suite (v n est croissante. 6 v n c. omme la suite est majorée par 3 et croissante, alors elle converge vers une limite inférieure ou égale à 3. Partie B. w n+ w n = v n+ 3 v n 3 = 9 3 v 6 v n 3 = 6 v n 3v n 9 v n 3 = 6 v n 3 3v n 9 = v n 3 3v n 9 = 3. n ainsi la suite (w n est arithmétique de raison r = 3.. w n = w 0 + nr = 3 3 n= 3 n. omme w n = v n 3, on a v n = w n + 3= Or lim n + 6 = 0, donc 3 n lim v n = 3. n + 3 n + 3= 6 3 n + 3. Liban 4 8 mai 03

5 EXERIE 4 : Enseignement de spécialité uniquement (5 points. u = 5u 6u 0 = 40 8= u 3 = 5u 6u = 0 48= 6. a. «b prend la valeur 5a 6c» b. La suite semble être croissante. ( A= 0 Prouvons par récurrence que n = A n 0. est vrai pour n= 0, car A 0 est la matrice identité. Supposons que n = A n 0, alors En conclusion, pour tout entier naturel n, on a n+ = A n = A(A n 0 = A A n 0 = A n+ 0 ( 3 4. QP = ( 3 ( = 3 n = A n 0 ( 0 = 0 5. est trivialement vrai pour n=. Supposons que A n = PD n Q, alors : A n+ = A n A= PD n Q(PDQ=PD n (QPDQ = PD n DQ = PD n+ Q En conclusion, pour tout entier naturel n, non nul on a A n = PD n Q. 6. Puisque n = A n 0, on obtiendra u n comme la somme : u n = 8( n + 3 n +3(3 n 3 n = 8 n n + 9 n 6 3 n = n + 3 n. Les deux suites de terme général n et 3 n ayant pour limite+, il en résulte que la suite (u n n a pas de limite finie, mais a une limite infinie (on dit qu elle diverge vers+. Liban 5 8 mai 03

6 ANNEXE de l EXERIE 3, à rendre avec la copie Représentations graphiques et des fonctions f et f j 3 O ı 3 Liban 6 8 mai 03