TS Exercices sur la fonction exponentielle (2)
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- Sabine Fleury
- il y a 6 ans
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1 TS Ercics sur la onction ponntill () ans ls rcics à, on dmand d détrminr ls nsmbls d déinition d t d dérivabilité d puis d calculr la dérivé d : : : ans ls rcics à 9, on dmand d détrminr la it d n + ans l cas d transormations d écritur, bin précisr pour qulls valurs d cs transormations d écritur sont valabls : 5 : 5 6 : 7 : 8 : 9 : 0 On considèr la onction : étrminr la it d n On considèr la onction : t l on not C sa courb rprésntativ dans l plan muni d un rpèr orthonormé O, i, j ) Étudir l sns d variation d (on détaillra l sign d ' ) t ls its d Calculr l trmum d (valur act) ) émontrr qu C admt un asymptot obliqu ) émontrr qu C admt un branch paraboliqu d dirction Oy n + ) Fair un ptit tablau d valurs puis tracr C t n prnant cm pour unité graphiqu Tracr la tangnt horizontal ainsi qu la tangnt T au point A d absciss 0 après avoir chrché son équation réduit Bin mttr ls pointillés pour ls coordonnés du point corrspondant au minimum (n absciss t n ordonné avc ls valurs acts sur ls as) Vériir sur la calculatric graphiqu
2 Corrigé : : \ ; st dérivabl sur n tant qu composé d onction dérivabls ' Solution détaillé : 7 ist si t sulmnt si 0 si t sulmnt si \ st dérivabl sur On pos u n tant qu composé d onction dérivabls ' u ' u (ormul d dérivation d un onction du typ u ) ( ) ( ) ( ) 7 C st un cas particulir d la ormul d dérivation d un composé v u ' u ' v ' u v u' u ' v ' u On l appliqu ici avc u v t qui s écrit : ; ' Solution détaillé : ist si t sulmnt si st dérivabl sur 0 si t sulmnt si si t sulmnt si 0 si t sulmnt si 0 : Solution détaillé : ' 0 donc st dérivabl sur ' (ormul dérivation d un quotint) L idé pour ls its st toujours s ramnr à ds its d réérnc avc ponntill pur : ; pour tout rél 0 ; on n put pas appliqur la règl sur ls monôms car n st pas un onction rationnll
3 Solution détaillé : donc n +, on rncontr un FI du typ 0 (it d réérnc, croissanc comparé) donc par it d un somm On n déduit qu : 0 Il n y a aucun autr méthod satisaisant (it d réérnc, croissanc comparé) donc par it d un produit 6 : ; pour tout rél 0 ; : Solution détaillé : ; ; 5 ; 0 Méthod : On ctu un changmnt d variabl On prnd l posant d l ponntill comm nouvll variabl : Solution détaillé : 5 donc n +, on rncontr un FI du typ «0» 0 On pos d où ( + ) ( ) donc n +, on rncontr un FI du typ 0 donc 0
4 Autr méthod pas satisaisant proposé par igo Blétry l mardi --0 : On pos d où ( + ) ( ) 0 donc par it d un quotint 0 Autr démonstration : à évitr (théorèm d croissanc comparé) donc par it d un somm Autr méthod pas satisaisant proposé par igo Blétry l mardi --0 : 8 : 7 : ; Solution détaillé : Au numératur, on rncontr un FI du typ Pour tout rél 0, on a : (théorèm d croissanc comparé) donc par it d un somm 0 ; 0 (changmnt d variabl ; on a donc : Solution détaillé : ist si t sulmnt si 0 En +, on rncontr un orm indétrminé du typ «0» On pos donc ( + ) ( ) : (it d réérnc) donc 0 ; 0 (pas d changmnt d variabl ; air la réécritur 0 ) ; 6 ) pour Autr açon d air :
5 Solution détaillé : En +, on rncontr un orm indétrminé du typ «0» (it d réérnc) donc 0 ( drnièrs ligns pas orcémnt utils, on put s arrêtr à la lign ) 0 0 donc par it d un produit 0 0 Rmarqus : (it d réérnc) donc 0 Autr démonstration possibl (mais à évitr) : On pos ( + ) ( ) donc 0 Idé : 0 théorèm ds gndarms 0 : ; 0 (changmnt d variabl Solution détaillé : ) ; En, on rncontr un orm indétrminé du typ «0» Pour la in, on put aussi écrir (mais c n st pas très util) : 0 donc par it d un quotint 0 On put aussi posr Ls calculs sont un pu plus longs (la démarch st un pu maladroit) : ) st dérivabl sur comm somm d onctions dérivabls sur ' Il aut résoudr du inéquations t un équation On pos ( ) ( )
6 0 () () () ln ln () ln () Rappl : ln ln a a ln 0 () () () ln ln () ln () ln 0 () () () ln ln () ln () ln En +, on rncontr un orm indétrminé du typ Ecrir pour 0 puis évntullmnt changmnt d variabl pour détrminr (théorèm d croissanc comparé) donc par it d un somm Ordr plus logiqu? : 0 () 0 () 0 Avc l changmnt d variabl ln st strictmnt décroissant sur l intrvall ; t strictmnt croissant sur l intrvall ln ; ln 7 ln (l calcul du minimum global n st pas très diicil ; il nécssit d bin utilisr ls règls) Calcul du minimum global : ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln 6 ln ln 7 Sign d Variations d ln + ' ln 7 (théorèm d croissanc comparé) donc par it d un produit En, pas d changmnt d variabl 0 donc par it d un somm Ls its d n + t n sont égals à + ) émontrons qu la courb C admt un asymptot obliqu On obsrv l prssion d (méthod pour démontrr qu un courb admt un asymptot quand ctt asymptot n st pas donné) : parti ain parti qui tnd vrs 0 lorsqu tnd vrs 0 On n déduit qu la courb C admt la droit d'équation y pour asymptot obliqu n NB : Il st inutil d écrir qu L étud d la branch inini n + sra ait à la qustion suivant
7 ) émontrons qu la courb C admt un branch paraboliqu d dirction (Oy) n + On appliqu la méthod du cours pour démontrr qu un courb admt un branch paraboliqu On étudi Pour détrminr, il y a possibilités : - changmnt d variabl ; - réécritur On trouv : donc On n déduit qu C admt un branch paraboliqu d dirction Oy n + ) Un équation d T s écrit : y ' On calcul séparémnt 0 t onc T a pour équation y On pourra rmarqur qu T ln 0, ln,86575 ' 0 ln C admt un branch paraboliqu d dirction (Oy) n + j O i C ln , 9, 55,6 0
8 Croissancs comparés pour ls onctions logarithm népérin, ponntill t puissancs n + Logarithm + aibl Fonction puissanc Fonction ponntill + ort
f n (x) = x n e x. T k
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