Nombres réels et suites numériques

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1 Nombres réels et suites numériques Nombres réels Ensembles usuels de nombres : entiers relatifs, nombres décimaux, rationnels. Droite réelle, droite réelle achevée. Relation d'ordre sur R. Partie entière et intervalles. sui.1 sui.2 sui.3 Distance entre deux réels. Majorant, maximum, minorant, minimum. Borne supérieure (resp. inférieure) d une partie non vide majorée (resp. minorée) de R. Partie entière d un nombre réel. sui.4 Caractérisation des intervalles de R. Généralités sur les suites réelles Modes de définition d une suite, suites extraites. Opérations. Monotonie, stricte monotonie. Suites minorées, majorées, bornées. Suites arithmétiques et suites géométriques. sui2.1 sui2.2 sui2.3 Reconnaître une suite définie de façon explicite, implicite ou par récurrence. Reconnaître une suite extraite. Manipuler sur des exemples des majorations et minorations TG et somme de suites arithmétiques et géométriques.

2 Limite d une suite réelle Limites finie et infinie, unicité. Suite convergente, suite divergente. Toute suite réelle convergente est bornée. Limites et suites extraites. Opérations. sui3.1 sui3.2 sui3.3 Définitions. Opérations sur les limites de suites Lever une indétermination. Théorèmes d existence d une limite Théorème de convergence par encadrement. Théorème de la limite monotone. sui4.1 Exploiter ces théorèmes sur des exemples. sui5.1 Exploiter une inégalité pour prouver une divergence. Comparaisons de suites Divergence par comparaison, relations de comparaison : négligeabilité, équivalence. Croissances comparées. sui5.2 sui5.3 Compatibilité de l équivalence avec le produit, le quotient, les puissances. Exploiter les relations de comparaison pour déterminer le comportement asymptotique de suites. sui5.4 Croissances comparées de n α, a n et (ln(n)) β.

3 Espaces vectoriels ev1.1 Connaitre les espaces vectoriels de référence. ev1.2 Identifier un ensemble comme un sous-espace vectoriel d un espace vectoriel connu (dont les droites et plans vectoriels). Espaces et sous-espaces vectoriels ev1.3 ev1.4 Sous-espace engendré par une famille finie de vecteurs. Notation vect( ). Savoir déterminer l'intersection de sous-espaces vectoriels. ev1.5 Formule de Taylor-Young. ev1.6 Somme de deux sous-espaces F et G d un K-espace vectoriel E. Somme directe et sev supplémentaires.

4 ev2.1 Déterminer si une famille donnée est libre ou liée (vecteurs colinéaires, vecteurs coplanaires). Familles finies de vecteurs ev2.2 Déterminer si une famille est génératrice. ev2.3 Connaître les bases canoniques des ev usuels (coordonnées dans une base). ev2.4 Base adaptée à une somme directe.

5 Limites et continuité Limite finie ou infinie en un point ou en ± Définitions des différentes limites. Unicité de la limite. Si f admet une limite finie en a alors f est bornée au voisinage de a. Limite à gauche, limite à droite. Opérations. lim1.1 lim1.2 lim1.3 lim1.4 Définitions et notations. Maîtriser le formalisme mathématique de la définition de la limite et le mettre en relation avec l intuition géométrique. Opérations sur les fonctions admettant une limite finie ou infinie en a. Exploiter ces résultats sur des exemples. Partie entière d un nombre réel. Image d une suite de limite L par une fonction admettant une limite en L. Comparaison des fonctions Passage à la limite dans une inégalité Théorème de la limite monotone. Relations de négligeabilité et d équivalence. limi2.1 Adapter au cas des fonctions les définitions et les résultats étudiés sur les suites.

6 Continuité en un point Définition de la continuité de f au point a de I. Continuité à droite et à gauche. Prolongement par continuité en un point. Opérations sur les fonctions continues : somme, produit, quotient, composition. con1.1 con1.2 Maîtriser le formalisme mathématique de la définition de la limite. Si a appartient à I, alors f est continue en a si et seulement si f a une limite finie en a ; sinon, f a une limite finie en a si et seulement si elle se prolonge par continuité en a. Savoir exploiter les opérations sur des exemples pour justifier la continuité de fonctions (même item sur un intervalle). con2.1 Savoir justifier un prolongement par continuité en un point. Continuité sur un intervalle Définition. Opérations. Prolongement. TVI et images d'intervalles. con2.2 Théorème des valeurs intermédiaires. Dichotomie. con2.3 Image d un intervalle par une fonction continue. Continuité et bijectivité Fonction bijective d un intervalle I sur une partie de R. Fonction réciproque. con2.4 con3.1 con3.2 Une fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. Comparaison des représentations graphiques d une bijection et de sa réciproque. Toute fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle I réalise une bijection de I sur l intervalle f(i), et sa réciproque est continue et strictement monotone sur f(i) (et demêmemonotonie que f).

7 Applications linéaires apl1.1 Endomorphismes, isomorphismes et automorphismes. Identité, homothéties. Notations. apl1.2 Règles de calcul dans ces espaces (combinaison linéaire, composée d applications linéaires, réciproque d un isomorphisme, composée d isomorphismes). Généralités apl1.3 Image directe, image réciproque d un sous-espace vectoriel. apl1.4 apl1.5 Déterminer une base de l image, du noyau d une application linéaire. Caractériser l injectivité à l aide du noyau et la surjectivité à l aide de l image. Isomorphismes apl2.1 Espaces isomorphes, caractérisation par la dimension. Si E et F ontmême dimension finie alors une application linéaire de E dans F est bijective si et seulement si elle est injective ou surjective. Modes de définition d une application linéaire apl3.1 Une application linéaire est entièrement déterminée par l image d une base. Une application linéaire définie sur E = E1 E2 est entièrement déterminée par ses restrictions à E1 et E2. Rang d une application linéaire apl4.1 Application linéaire de rang fini. Connaître et utiliser le théorème du rang.

8 Application linéaire de K p dans K n canoniquement associée à une matrice apl5.1 apl5.2 Application X AX. Linéarité. L image AX est combinaison linéaire des colonnes de A. Déterminer des équations de l image et du noyau de A. On utilise l échelonnement d un système pour déterminer des équations de l image. apl6.1 Matrice d une application linéaire u dans un couple de bases. Notations. Exprimer les coordonnées de u(x) en fonction de celles de x. Représentation matricielle en dimension finie apl6.2 Matrice de passage d une base à une autre. apl6.3 Effet d un changement de bases sur la matrice d un vecteur, d une application linéaire, d un endomorphisme. apl7.1 Calcul du rang d'une matrice (d'une AL) vu comme le rang de ses vecteurs colonnes dans K n. Rang d une matrice apl7.2 Caractérisation des matrices inversibles à l aide du rang. Conservation du rang par multiplication à droite ou à gauche par une matrice inversible.

9 Dérivabilité dér1.1 Définitions et notations. Savoir justifier l'existence de la dérivée en un point. dér1.2 Savoir exploiter les opérations sur des exemples pour justifier la dérivabilité de fonctions. Nombre dérivé, fonction dérivée, opérations Définition et équivalence avec l existence d un développement limité en a à l ordre 1. Dérivabilité à droite et à gauche en a. Dérivabilité d une fonction sur un intervalle. dér1.3 Maîtriser le calcul des fonctions dérivées. fon2.1 dér1.4 Interpréter géométriquement la dérivée d une fonction en un point. Equation de la tangente en un point. Si f est une bijection de l intervalle I sur l intervalle J, si f est dérivable en a, condition nécessaire et suffisante de dérivabilité de f -1 en f(a) et calcul de la dérivée. Extension aux opérations sur les fonctions dérivables sur un intervalle. En particulier, réciproque d une bijection de classe C 1.

10 dér2.1 Notion d extremum local. Condition nécessaire d extremum local en un point intérieur. Propriétés des fonctions dérivables dér2.2 Caractérisation des fonctions constantes, croissantes, strictement croissantes parmi les fonctions dérivables. dér2.3 Inégalité des accroissements finis. Appliquer ces résultats sur des exemples. dér2.4 Théorème de la limite de la dérivée. Dérivées d ordre supérieur dér3.1 Maitriser les opérations : somme, produit (formule de Leibniz), composée, réciproque.

11 Espaces vectoriels de dimension finie dimf1.1 Connaître la définition et les exemples usuels d'ev de dim finie. Dimension finie dimf1.2 Théorème de la base extraite. Application à l existence d une base d un K-espace vectoriel E non nul de dimension finie. dimf1.3 Savoir utiliser le théorème: Si E est dimension n et F une famille de n vecteurs de E, alors F est une base de E si et seulement si F est libre, si et seulement si F est génératrice. dimf2.1 Démontrer l égalité de deux sous-espaces vectoriels à l aide d une inclusion et de l égalité de leurs dimensions. Sous-espaces d un espace vectoriel de dimension finie dimf2.2 Démontrer que deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires à l aide de la caractérisation par l intersection nulle et la somme des dimensions. dimf2.3 Dimension de la somme de deux sous-espaces : formule de Grassmann. Cas d une somme directe. Famille finie de vecteurs dimf3.1 Rang d une famille finie (u1,...,up ) de vecteurs d un K- espace vectoriel. Une famille de vecteurs (u1,...,up ) est libre si et seulement si rg(u1,...,up ) = p.

12 Développements limités dl1.1 Donner du sens à la définition, l'unicité, une troncature. dl1.2 Opérations sur les développements limités : combinaison linéaire, produit. Généralités Opérations sur les développements limités : combinaison linéaire, produit. dl1.3 dl1.4 Opérations sur les développements limités : composition, application au quotient. Intégration terme à terme d un développement limité. dl1.5 Formule de Taylor-Young. dl1.6 Développements limités usuels.

13 dl2.1 Calcul de limites. Utiliser les développements limités pour lever une forme indéterminée. Applications des développements limités Calcul de limites et étude locale d une fonction. dl2.2 dl2.3 Étude locale d une fonction. Déterminer, grâce à un développement limité, un prolongement par continuité, la dérivabilité, la nature d un extremum, une tangente et sa position relative par rapport à la courbe. dl2.4 Déterminer, grâce à un développement limité les éventuelles asymptotes et leurs positions relatives locales.

14 Intégration sur un segment Contenus Item Capacités et commentaires int1.1 Interpréter géométriquement une intégrale. Intégrale d une fonction continue Intégrale d une fonction f continue sur un segment [a,b]. Notation. int1.2 int1.3 Propriétés : linéarité, positivité, croissance. Relation de Chasles. Valeur absolue d une intégrale (inégalité triangulaire). Inégalité de la moyenne. int1.4 Une fonction continue et positive sur [a,b] est nulle si et seulement si son intégrale est nulle.

15 int2.1 Th fondamental: Si f est une fonction continue sur I et si x 0 est un point de cet intervalle, alors x int(f(t),x 0,x) est l unique primitive de f sur I s annulant en x0. En particulier, toute fonction continue sur I admet des primitives sur I. Calcul intégral Th fondamental. Calcul d une intégrale au moyen d une primitive. IPP et changement de variable. int2.2 int2.3 Calcul d une intégrale via la reconnaissance d'une primitive usuelle. Calcul d une intégrale via une IPP int2.4 Calcul d une intégrale via un changement de variable. int2.5 Déterminer la solution vérifiant une condition initiale donnée. Formule de Taylor avec reste intégral int3.1 Exploiter la formule de Taylor avec reste intégral pour établir des égalités, des inégalités.

16 Probabilités sur un univers fini prob1.1 Maîtriser les notions d' expérience aléatoire, d'ensemble des issues d une expérience aléatoire (univers). Evénements élémentaire, certain, impossible, contraire, incompatibles. prob1.2 Opérations sur les événements. Système complet d événements. Espaces probabilisés finis prob1.3 prob1.4 Définition d'une probabilité. Probabilités de l union de deux événements, de l événement contraire, croissance d une probabilité. Déterminer une base de l image, du noyau d une application linéaire. prob1.5 Reconnaître une situation d'équiprobabilité (ou probabilité uniforme). prob2.1 Représenter une expérience aléatoire à l aide d arbres de probabilités. Indépendance et conditionnement prob2.2 Calculer une probabilité conditionnelle. prob2.3 Formules des probabilités composées, des probabilités totales et formule de Bayes. prob2.4 Indépendance de deux événements. Indépendance mutuelle d une famille finie d événements.

17 Variables aléatoires sur un univers fini Variables aléatoires Variable aléatoire réelle. Image d une variable aléatoire par une application. varal1.1 Déterminer la loi d une variable aléatoire à partir de sa fonction de répartition. Couples de variables aléatoires et indépendance varal2.1 Maîtriser le vocabulaire relatif aux lois conjointe, marginale et conditionnelle. Couple de variables aléatoires indépendantes. Espérance, variance et écart type d une variable aléatoire Théorème de transfert, en particulier, E(aX +b) = ae(x)+ b pour a et b deux réels donnés. Linéarité de l espérance (admis). varal3.1 Calculer l'espérance d'une va et savoir l'interpréter en terme de moyenne pondérée. varal3.2 Calculer l'espérance du produit de deux variables aléatoires indépendantes. varal3.3 Calculer variance et de l écart type d'une va et savoir l'interpréter en terme de moyenne pondérée. Lois usuelles Loi certaine, loi uniforme, loi de Bernoulli et loi binomiale. varal4.1 Reconnaître des situations modélisables par ces lois. Savoir calculer leurs espérance et variance.