Cours MF101 Contrôle de connaissances: Corrigé

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1 Cours MF101 Contrôle de connaissances: Corrigé Exercice I Nous allons déterminer par analyse dimensionnelle la relation entre la Trainée D et les autres paramètres. F D, g,, V, ρ, ν) = 0 1) où D représente la trainée, g la gravité, la longueur caractéristique du bateau, V sa vitesse, ρ la masse volumique de l eau et ν sa viscosité. a relation 1) est dimensionnellement homogène, c est à dire qu elle est invariante quelque soit le système d unités fondamentales choisies. Soient donc T, l et M les unités fondamentales de temps de longueur et de masse. On les choisit comme indiqué ci-dessous: T = V l = M = ρ ) Dans ce nouveau système on a : [D] = ρ V [ν] = V ) [g] = V où la notation [A] désigne la dimension de la quantité A dans le système d unités ).a relation 1) étant invariante dans le nouveau système choisi ), on peut écrire: ) F D ρ V, g, V, ρ ρ, ν V = 0 4) On en déduit donc que D = ρ V f ) g V, ν V Il y a similitude expérimentale entre la maquette et le bateau si tous les paramètres sans dimension sont identiques. On a donc en indiçant par m la maquette et en se rappelant que la maquette est testée dans le même fluide que le bateau, les relations suivantes: D ρ V = D m ρ mv m g V = g m V m 1 5) 6) 7)

2 les deux expériences ayant lieu sur terre, la gravité est la même et: ν V = ν V m m 8) Il n est pas possible de réaliser une similitude totale avec le même fluide, on néglige alors la viscosité; la trainée dans le cas du bateau étant essentiellement du à la trainée d onde, c est à dire due à la gravité. On choisit donc d égaler les relations 6) et 7). Or la maquette étant au 1/5 ème, on peut écrire: m = 5 9) Par conséquent: On a donc: On en déduit la trainée: Exercice II V m = V m = V 5 10) V m = ms 1 11) D = D m V m Vm 1) D = 9, N 1) 1. On explicite le potentiel complexe engendré par la superposition des deux tourbillons: fz) = iγ π {logz ia) logz + ia)} 14) e cercle de centre I 0, a ) et de rayon a est caractérisé par l affixe z c complexe: z c = i a + a e iθ avec θ [0, π[ 15) On explicite le potentiel complexe ci-dessous pour l affixe z c fz c ) = iγ π log ) zc ia z c + ia a partie imaginaire, ψ c, de fz c ) doit donc être constante sur le cercle si celui-ci est une ligne de courant: ψ c = Γ ) π log z c ia z c + ia 17) avec. désignant le module du nombre complexe. Compte tenu de 15), on a : ψ c = Γ π log 4a a ) )a + asinθ) 4a + a )a + asinθ) 16) 18)

3 Ainsi sur le cercle on a : ψ c = Γ π log 4a a 4a + a = Cte 19) a fonction de courant est donc constante sur le cercle qui est donc une ligne de courant. On procède de même pour l axe Ox en calculant le potentiel complexe 14) pour z = x: fx) = iγ ) x ia π log 0) x + ia Or x ia et x + ia sont complexes conjugués. On a donc pour ψ x, partie imaginaire de 0): ψ x = Γ π log x ia x + ia ) = 0 1) a fonction de courant est donc constante sur l axe Ox qui est donc une ligne de courant. e potentiel complexe 14) correspond à l écoulement autour d un disque de centre I 0, a ) et de rayon a en présence d un sol placé en Ox.. écoulement est un écoulement de fluide parfait plan, irrotationnel les forces extérieures sont supposées nulles et la masse volumique est constante, on peut donc appliquer le deuxième théorème de Bernoulli entre un point à l infini amont et un point M sur l axe. De plus l écoulement étant stationnaire, la conservation de la charge hydraulique s écrit: p ρ + V = p M ρ + V M ) Pour calculer la vitesse de l écoulement on calcule la vitesse complexe en dérivant 14) par rapport à z: df = soit sur l axe Ox en z = x: iγ πz ia) + df = Γa πx + a ) iγ πz + ia) = u iv ) = u iv 4) a vitesse est uniquement selon u et tend vers 0 à l infini amont, on a donc en injectant l expression de la vitesse dans ): p = p ργ a π x + a ) 5) 4. a force s exerçant sur le cercle de centre I 0, a ) et de rayon a est due aux forces de pression. On peut la représenter par la formule de Blasius. e cercle étant ligne de courant celle-ci s exprime sous la forme: F = F x if y = iρ C ) df 6)

4 avec df df donné en ). a seule singularité de à l intérieur du cercle de centre I 0, a ) et de rayon a étant z = ia, on a en utilisant le théorème des résidus: F = iρ C ) df = iρ iπ Resz = ia) 7) Or: Ainsi: Resz = ia) = Γ 4iπ a F = F x if y = iργ 4πa ainsi la trainée F x est nulle et la portance vaut: 8) 9) le cercle est attiré vers l axe Ox. F y = ργ 4πa 0) 5. es efforts que le fluide exerce sur l axe réel peuvent s exprimer compte tenu de 5): ) ργ a p jdx π x + a ) En appelant j le vecteur unitaire porté par la verticale et dirigé vers le haut. négligeant les termes dépendant de p, on obtient: ) [ ] dx = ργ a ργ a π x + a ) π x a a + x ) + 1 a Arctgx a En Soit après calcul: ) ργ a dx = ργ π x + a ) 4πa 6. a force est donc directement opposée à la force s exerçant sur le cercle réel Exercice III 1. l eau est considérée comme un fluide parfait, incompressible homogène de masse volumique ρ eau, donc barotrope, les forces extérieures étant les forces de gravité elles dérivent d un potentiel g, on peut appliquer le théorème de agrange. a vitesse étant nulle à l instant initial, son rotationnel y est nul donc il le reste dans tout l écoulement. On peut donc appliquer le deuxième théorème de Bernoulli entre deux points quelconques: M appartenant à la surface de séparation et E le point d éjection situé en o, d). a charge hydraulique se conserve et l écoulement est quasi stationnaire donc ne dépend pas du temps: p M + ρ eau U M/ + ρ eau gh 0 = p E + ρ eau v 0/ + ρ eau gd 1) 4

5 Y air M Σ g H h 0 eau E d jet d eau O X e point M a une vitesse nulle, la vitesse de descente de la surface Σ est supposée très lente. e point E se trouvant à la sortie sa pression est p 0, le point M est sur la surface de séparation qui est quasi à l équilibre, par conséquent la pression de part et d autre de la surface est la même et la pression de m est la pression de l air au dessus de l eau soit p 1. On a donc: p 1 p 0 ) v 0 = + gh 0 d) ) ρ eau Compte tenu des valeurs numériques, on obtient: v 0 = 6, 9m.s 1 ). orsque la surface Σ se trouve en h, la masse de l air au dessus de l eau n est pas modifiée. On peut écrire que la masse est définie par ρv, avec V le volume et ρ la masse volumique de l air, qui dépend de la pression d après la loi donnée dans l énoncé. Entre l instant initial et l instant où la hauteur est h le volume passe de V 0 à V, on a donc: ρp = p 1 )V 0 = ρp = p )V 4) avec p la pression à la surface Σ quand l eau ne s écoule plus. On a donc, avec la loi pour l air p = kρ: kp 1 ΣH h 0 ) = kp ΣH h) 5) Dans l eau, on peu écrire comme à la question pr ecédente, Bernoulli, entre un point M de Σ la pression p inconnue et le point E de pression p 0 par lequel l eau ne s écoule plus : : p + ρ eau gh = p 0 + ρ eau gd 6) On en déduit: ΣH h 0 ) p 1 + ρ eau gh = p 0 + ρ eau gd 7) ΣH h) h est donc solution de l équation du second degré: h h H + p ) 0 ρ eau g + d H h 0 ) + p 1 + dh + p ) 0H 8) ρ eau g ρ eau g 5

6 Soit avec les valeurs numériques: h 1, 9h + 18, = 0 9) Cette équation a deux racines h = 11, 7m et h = 1, 65m, la première solution est impossible. 6

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