RISQUES DE TAUX ET DE LONGÉVITÉ : MODÉLISATION

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1 RISQUES DE TAUX ET DE LONGÉVITÉ : MODÉLISATION DYNAMIQUE ET APPLICATIONS AUX PRODUITS DÉRIVÉS ET À L ASSURANCE-VIE Thèse de doctorat sous la direction de Nicole El Karoui 22 Décembre 2010

2 MOTIVATIONS Étude du modèle de Wishart (Actions) 1 Étude des risques financiers Modélisation de la volatilité stochastique sur les actions Extension au cadre des taux d intérêt 2 Étude du risque de longévité Modélisation de la mortalité par âge et par caractéristiques Modélisation microscopique de l évolution d une population 3 Étude de produits d assurance-vie Utilisation des modélisation des risques financiers et de longévité Produit de transfert de risques financiers

3 PLAN DE L EXPOSÉ Étude du modèle de Wishart (Actions) Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles 1 ÉTUDE DU MODÈLE DE WISHART (ACTIONS) 2 MODÉLISATION D UN TAUX DE MORTALITÉ INDIVIDUEL 3 MODÉLISATION DE LA DYNAMIQUE DE POPULATION 4 APPLICATIONS À L ASSURANCE-VIE

4 INTRODUCTION Étude du modèle de Wishart (Actions) Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles Modèles à volatilité stochastique Extension multidimensionelle du modèle de Heston : Variance locale positive comme trace d une matrice de Wishart Étude des propriétés dynamiques Influence des paramètres sur la volatilité implicite Approximations des prix d options dans différents régimes de volatilité

5 PROCESSUS DE WISHART (M.F. BRU, 1991) Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles Soit W t un mouvement brownien matriciel sous la probabilité Q Processus de Wishart V t comme extension multidimensionnelle d un processus CIR : dv t = (βq T Q + MV t + V tm T )dt + V tdw tq + Q T dw T t Vt V 0 = v 0 Q GL n(r) est une matrice inversible M S n (R) une matrice négative v 0 S n ++ (R) une matrix définie positive β un nombre réel tel que β > (n 1) Lorsque β est un entier, V t = β i=1 XiX i où X i,t = MX i,tdt + Q T dw i,t sont des processus d Ornstein-Uhlenbeck

6 Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles MODÈLE DE WISHART C GOURIEROUX (2006), J. DA FONSECA, M. GRASSELLI (2007) Modèle de Black-Scholes (1973) : ds t S t = rdt + σdb t Modèle de Wishart à volatilité et corrélation stochastiques : ds t = rdt + Tr(V t)db t S t dtr(v t) = (βtr(q T Q) + 2Tr(MV t))dt + 2 ρ t = Tr(R T QV t) Tr(Vt) Tr(Q T QV t) Tr(Q T QV t)(ρ tdb t + 1 ρ 2 t d B t) Extension multidimensionnelle du modèle de Heston

7 PROPRIÉTÉS Étude du modèle de Wishart (Actions) Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles Propriétés du modèle : Degré de liberté sur la dynamique de la corrélation Flexibilité par rapport au modèle de Heston Modèle affine Bonnes propriétés numériques : évaluation des options par FFT (P. Carr et D. Madan, 1999) En vue d une procédure de calibration : Influence des paramètres du Wishart sur la volatilité implicite Besoin d approximations rapides de la volatilité implicite

8 Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles INFLUENCE DES COMPOSANTES NON DIAGONALES DE V 0 FIGURE: Influence simultanée de V 0 et Q avec une matrice R quelconque et Q 12 = Q 21 = 0

9 Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles INFLUENCE DES COMPOSANTES NON DIAGONALES DE V 0 (SUITE) FIGURE: Influence simultanée de V 0 et Q avec une matrice R quelconque et Q 12 = Q 21 = 0.3

10 Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles INFLUENCE DES COMPOSANTES NON DIAGONALES DE V 0 (SUITE) FIGURE: Influence simultanée de V 0 et Q avec une matrice R quelconque et Q 12 = Q 21 = 0.5

11 Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles MÉTHODE DES PERTURBATIONS EN FINANCE J.P. FOUQUE, G. PAPANICOLAOU, R. SIRCAR ET K. SOLNA (2003) OBJECTIF : Trouver une approximation des prix d options avec une perturbation du processus de volatilité Paramètres du processus de Wishart λ M = λ n, Q = q q 1n q n1... q nn, Perturbations régulières et singulières en finance : perturbation des paramètres du processus de sorte à conserver une loi stationnaire non dégénérée Loi stationnaire du processus de Wishart dépend de la matrice de variance-covariance de l Ornstein-Uhlenbeck Σ( ) = 0 e sm Q Qe sm ds

12 ADAPTATION DE LA MÉTHODE Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles Méthode standard : perturbation EDP d évaluation Modèle affine plus efficace de perturber la transformée de Fourier 1 Perturbation de la transformée de Fourier 2 Approximation des prix d options 3 Approximation de la volatilité implicite

13 Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles NOTION DE TEMPS CARACTÉRISTIQUES D ÉVOLUTION Pour illustrer, on considère que M et Q sont diagonales. On pose ν i = q ii mi. [ E(VT ii F t) = βν2 i 2 + (Vii t βν2 i 2 ) exp T t ] τ i τ i = 1 2m i : Temps de vie caractéristique des composantes diagonales de V t βν 2 i 2 : Moyenne à l infinie des composantes diagonales de V t Information sur le régime de volatilité en comparant les τ i par rapport à la maturité T de l option

14 CAS D UNE VOLATILITÉ LENTE Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles Le cas d une volatilité lente correspond à (T t) τ i i.e m i 1 T t M = ε M, M = m m n Condition sur la loi stationnaire avec Σ( ) = e sm Q Qe sm ds non dégénérée : 0 q q 1n Q = ε Q, Q = q n1... q nn Méthode de perturbations régulières

15 APPROXIMATION DE LA VOLATILITÉ IMPLICITE Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles Volatilité implicite à l ordre 1 : ˆΣ t(t, K) = Tr(V t) + Tr(R QV t) 2(Tr(V t)) 3 2 [ log(ke r(t t) ) Y t + Approximation du skew à la monnaie forward K = F T t = e Yt+r(T t) : Σ t K (T, FT t ) Tr(R QV t) 2(Tr(V t)) 2 3 Ft T cohérent avec l approche en temps petits : V. Durrelman (2004) ] Tr(Vt)(T t) 2

16 APPLICATIONS NUMÉRIQUES Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles La matrice Q est choisie de sorte que la volatilité initiale mette longtemps à atteindre la volatilité asymptotique moyenne : volatilité lente ( ) ( ) β = 3.6 V 0 = M = Q = ( 0.02 ) Σ 0 = V V0 22 β = 20% et Σ = 2 (ν2 1 + ν2 2 ) 17, 8%. Temps caractéristiques τ 1 = 1 2m 1 = 10 ans et τ 2 = 1 2m 2 = 10 ans grands par rapport à la maturité de l option T = 6 mois : maturité "courte"

17 SMILE COURT TERME (FFT) Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles FIGURE: Smile court terme par FFT (T = 6m τ 1 = τ 2 = 10y)

18 ERREUR DU SMILE COURT TERME (ORDRE 1) Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles FIGURE: Erreur du smile court terme à l ordre ( ε, δ) (T = 6m τ 1 = τ 2 = 10y)

19 ERREUR DU SMILE COURT TERME (ORDRE 2) Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles FIGURE: Erreur du smile court terme à l ordre (ε, δ) (T = 6m τ 1 = τ 2 = 10y)

20 CAS D UNE VOLATILITÉ À DEUX ÉCHELLES Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles Volatilité à deux échelles avec τ 1 (T t) τ 2 : maturité intermédiaire m 2 1 T t m 1 Une composante de volatilité rapide Une composante de volatilité lente M = ( m1 ɛ 0 0 δm 2 Méthode de perturbations singulières Procédure de résolution pas à pas ) ( ν1 ɛ 0, Q = 0 ν 2δ )

21 APPROXIMATION DE LA VOLATILITÉ IMPLICITE Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles Approximation à l ordre 1 ˆΣt(T, K) = + βν2 1 2 ( βν V 22 t 1 + Vt 22 3 ) 2 q3 1 4m 2 1 βr 11 + q 2 2 R 22 (T t)vt 22 log(ke r(t t) ) Yt + (T t) βν V 22 t 2 Approximation du skew à la monnaie forward (cohérent avec travaux Bergomi): [ ] Σ t K (T, FT t ) 1 1 ε Ft T ν 3 ν2 ( βν Vt 22 ) 3 1 βr11 + δr22v 22 t T t 2 2 Une composante évanescente liée à la variation rapide de la volatilité (proportionnelle à R 11) Une composante persistante liée à la variation lente de la volatilité (proportionnelle à R 22)

22 APPLICATIONS NUMÉRIQUES Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles Paramètres du modèle : ( ) β = 3.6 V 0 = M = ( ) Q = ( ) Temps caractéristiques τ 1 = 3 mois et τ 2 = 25 ans pour une maturité d option à T = 3 ans La matrice Q est choisie de sorte que la volatilité aille de 20% à 15.6% en 3 ans

23 Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles SMILE POUR UNE VOLATILITÉ À 2 ÉCHELLES (FFT) FIGURE: Smiles avec une volatilité à 2 échelles par FFT (τ 1 = 3m T = 3y τ 2 = 25y)

24 Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles SMILE POUR UNE VOLATILITÉ À 2 ÉCHELLES (ORDRE 1) FIGURE: Smiles avec une volatilité à 2 échelles à l ordre ( ε, δ) (τ 1 = 3m T = 3y τ 2 = 25y)

25 Influence des paramètres Méthodes d approximations asymptotiques Volatilité à évolution lente Volatilité à deux échelles SMILE POUR UNE VOLATILITÉ À 2 ÉCHELLES (ORDRE 2) FIGURE: Smiles avec une volatilité à 2 échelles à l ordre (ε, δ) (τ 1 = 3m T = 3y τ 2 = 25y)

26 PLAN DE L EXPOSÉ Étude du modèle de Wishart (Actions) Modèle de mortalité individuelle Influence des caractéristiques 1 ÉTUDE DU MODÈLE DE WISHART (ACTIONS) 2 MODÉLISATION D UN TAUX DE MORTALITÉ INDIVIDUEL 3 MODÉLISATION DE LA DYNAMIQUE DE POPULATION 4 APPLICATIONS À L ASSURANCE-VIE

27 INTRODUCTION À LA LONGÉVITÉ Modèle de mortalité individuelle Influence des caractéristiques Domaine complexe avec de nombreux enjeux : Enjeu social Financement des retraites Assurance vie Modélisation pluridisciplinaire : Mathématiques Médecine Économie Démographie

28 TABLES DE MORTALITÉ Étude du modèle de Wishart (Actions) Modèle de mortalité individuelle Influence des caractéristiques Taux de mortalité q(a, t) : Probabilité qu un individu d âge a décède au cours de l année calendaire t Historique de tables de mortalité par âge et par sexe : Différences de mortalité Hommes/Femmes Évolution aléatoire et complexe du taux de mortalité Propriétés intéressante à l échelle logarithmique ( ) q(a, t) logit(q(a, t)) = ln 1 q(a, t)

29 LOGIT DE MORTALITÉ À 70 ANS Modèle de mortalité individuelle Influence des caractéristiques FIGURE: Évolution du logit de la mortalité des hommes de 70 ans en France

30 MODÈLE DE MORTALITÉ Modèle de mortalité individuelle Influence des caractéristiques Il existe différents types de modèles de mortalité par âge : Modèle de Lee Carter (1992) Modèle CBD de Cairns, Blake et Dowd (2006) Modèle d intensités de défaut (inspirés du crédit) Modèle CBD : dynamique du taux de mortalité q(a, t) à l âge a pour l année calendaire t logit (q(a, t)) = logit (q(a, t 1)) + µ(a) + σ(a)z, Z N (0, I 2) µ(a) = µ 1 + aµ 2, σ(a)z = [C 11 Z 1 + a C 21 Z 1 + a C 22 Z 2] ( ) où logit(x) = ln x 1 x Linéarité en temps du logit de mortalité Linéarité en l âge de la tendance et de la volatilité

31 ESTIMATION DE µ(a) Étude du modèle de Wishart (Actions) Modèle de mortalité individuelle Influence des caractéristiques FIGURE: Analyse de la pente du logit de mortalité en fonction de l âge sur la période 1954/2006

32 ESTIMATION DE σ(a) Étude du modèle de Wishart (Actions) Modèle de mortalité individuelle Influence des caractéristiques FIGURE: Analyse de la volatilité du logit de mortalité en fonction de l âge sur la période 1954/2006

33 CALIBRATION ET BACKTESTING Modèle de mortalité individuelle Influence des caractéristiques Calibration sur la tranche d âge 30/80 : ( ) µ H µ H = 1 µ H 2 ) µ F = ( µ F 1 µ F 2 ( = ( = ) ) ( Σ H Σ H = 11 Σ H ) ( ) Σ H 21 Σ H = ( Σ F Σ F = 11 Σ F ) ( ) Σ F 21 Σ F = Pour un individu agé de 60 ans, µ 1 10 (60 µ 2 ) Effet de l âge est petit devant la baisse de mortalité naturelle Backtesting optimal pour 1969 à 1990 de 30 ans à 90 ans ( ) µ H µ H = 1 µ H 2 ) µ F = ( µ F 1 µ F 2 ( ) = ( ) = ( Σ H Σ H = 11 Σ H ) ( ) Σ H 21 Σ H = ( Σ F Σ F = 11 Σ F ) ( ) Σ F 21 Σ F =

34 MORTALITÉ PAR CARACTÉRISTIQUES Modèle de mortalité individuelle Influence des caractéristiques OBJECTIF: Réduire le risque de base en estimant l écart de la "mortalité individuelle" à la mortalité moyenne (issue de tables de mortalité nationale) dépendant uniquement de l âge et du sexe Trouver les caractéristiques individuelles (niveau socioéconomique, santé) qui expliquent la mortalité Les prendre en compte dans un modèle de mortalité stochastique

35 DESCRIPTION DU MODÈLE Modèle de mortalité individuelle Influence des caractéristiques On note A = {A l, 1 l N} la partition des classes d âge q(t, y, x, a) la probabilité qu un individu d âge a, de traits x et vivant dans un environnement de caractéristiques y décède durant l année t Régression logistique : l {1,.., N}, a A l, ( ) q(t, y, x, a) logit[q(t, y, x, a)] = log 1 q(t, y, x, a) M x = α 1(t) + aα 2(t) + βl(t)x i i + γ j l (t)yj i=1 M y j=1 Procédure de calibration des facteurs : Calibration sur les données nationales de mortalité par âge Calibration sur les données spécifiques de mortalité par caractéristiques

36 Modèle de mortalité individuelle Influence des caractéristiques ANALYSE DES DONNÉES DE L ÉCHANTILLON DÉMOGRAPHIQUE L Échantillon Démographique Permanent (EDP) de l INSEE : individus (vivants ou décédés) nés à partir de 1866 du 1 er et le 4 Octobre Nombre de personnes vivantes chaque année : environ 1% de la population Nombreuses variables disponibles dont catégories socio-profesionnelles, statut matrimonial et niveau de diplôme 5 recensements (1968, 1975, 1982, 1990 et 1999) permettent une étude longitudinale Merci à A. Trognon et A. Frachot qui m ont aidé à récupérer ces données de l INSEE. Cela m a permis d estimer les taux de mortalité par caractéristiques et de calibrer le modèle

37 Modèle de mortalité individuelle Influence des caractéristiques INFLUENCE DU STATUT MATRIMONIAL EN 2007 (HOMMES) FIGURE: Logit du taux de mortalité pour des hommes français en 2007 avec différents statuts matrimoniaux

38 Modèle de mortalité individuelle Influence des caractéristiques INFLUENCE DU STATUT MATRIMONIAL EN 2017 (HOMMES) FIGURE: Logit du taux de mortalité pour des hommes français en 2007 avec différents statuts matrimoniaux

39 PLAN DE L EXPOSÉ Étude du modèle de Wishart (Actions) Introduction Modèlisation de processus d évolution Lien Micro/Macro Applications à la démographie 1 ÉTUDE DU MODÈLE DE WISHART (ACTIONS) 2 MODÉLISATION D UN TAUX DE MORTALITÉ INDIVIDUEL 3 MODÉLISATION DE LA DYNAMIQUE DE POPULATION 4 APPLICATIONS À L ASSURANCE-VIE

40 MODÉLISATION MICRO/MACRO Introduction Modèlisation de processus d évolution Lien Micro/Macro Applications à la démographie Modèles macroscopiques: Évolution de la population à l aide d informations macroscopiques Population entière Fournit un scénario moyen Modèles microscopiques Évolution à l échelle individuelle à l aide d information précise Échantillon de la population Interactions entre les individus Incertitude Fournit un panel de scénarios

41 PROCESSUS PONCTUEL DE POISSON Introduction Modèlisation de processus d évolution Lien Micro/Macro Applications à la démographie Processus ponctuel de Poisson d intensité λ: 1 Processus ponctuel 0 < T 1 <... < T n <.. p.s. tels que T n + p.s. 2 Les variables τ n = T n T n 1 sont indépendantes et τ n E(λ) Le processus de comptage (N t) t 0 associé au processus ponctuel {T n, n N} est défini par : N t = sup{n, T n t} = j 1 1 Tj t = j 1 1 (0,t] (T j) Autre définition du processus de Poisson : 1 N t est à accroissements indépendants et stationnaires 2 N t P(λt) Propriété dynamique : Le processus compensé Ñ t = N t λt est une martingale sur l espace canonique. N c (t) = λt est appelé compensateur du processus de Poisson.

42 PROCESSUS DE NAISSANCE ET MORT Introduction Modèlisation de processus d évolution Lien Micro/Macro Applications à la démographie Le processus de naissance et mort Z t = Z 0 + N b,d t = N b t + N d t un processus de Poisson d intensité b + d comptant les naissances et les décès Y n est une variable aléatoire appelée "marques" avec P(Y n = 1) = (naissance) et P(Y n = 1) = d (décès). b+d t N b,d n=1 Y n b b+d

43 MESURES PONCTUELLES DE POISSON Introduction Modèlisation de processus d évolution Lien Micro/Macro Applications à la démographie Formalisme de la mesure ponctuelle de Poisson : 1 T n une suite des temps de sauts 2 Y n une suite de "marques" à valeurs dans E de loi ν(dy) = µ(dy)/µ(e) supposée stationnaire et indépendante des T n Z(dt, dy) = n 1 δ (Tn,Y n)(dt, dy) est une mesure ponctuelle de Poisson de mesure compensée Z c (dt, dy) = λdtµ(e)ν(dy) Pour toute fonction f mesurable : t 0 f (t, y)z(dt, dy) = t f (T n, Y n) N b,d n=1

44 MESURES PONCTUELLES GÉNÉRALES Introduction Modèlisation de processus d évolution Lien Micro/Macro Applications à la démographie Mesure ponctuelle générale : on relâche les hypothèses d indépendance et de stationnarité (Perte du caractère Poissonien) Mesure compensée Z c (dt, dy) = λ(t)dtν(t, dy) où λ(.) est un processus prévisible positif et ν(., dy) un processus aléatoire prévisible Si ν(t, dy) possède une densité prévisible k par rapport à une mesure de référence P(dy) : ν(t, dy) = 1 {θ k(t,y)} P(dy)dθ R + Méthode de type rejet permet de générer des mesures ponctuelles générales à partir de mesure de Poisson

45 PROCESSUS MICROSCOPIQUE D ÉVOLUTION Introduction Modèlisation de processus d évolution Lien Micro/Macro Applications à la démographie La population est elle-même une mesure ponctuelle : z(dx) = j 1 δ xj (dx) où chaque individu est une particule δ x de caractéristique x χ Processus d évolution est à valeurs dans l espace des mesures ponctuelles Mesure ponctuelle d évolution avec passage d une mesure ponctuelle à une autre aux instants de sauts Z t(dx) = Z 0(dx) + T n t ( Z n (dx) Z n 1 (dx) ) = Z 0(dx) + T n t δ X n j (dx) ( Nn j=1 N n 1 j=1 δ X n 1(dx) ), j

46 Introduction Modèlisation de processus d évolution Lien Micro/Macro Applications à la démographie MODÈLES MICROSCOPIQUES D ÉVOLUTION DE POPULATION Modèles microscopiques en écologie : Étude d un modèle microscopique par traits (N. Fournier et S. Méléard 2004) Adaptation à une population structurée par âge et par traits (C. Tran Viet 2006) Extensions suggérées pour une population humaine : Taux d évolution de traits dans le temps (taux de mariage, taux de divorce,..) Dépendance en temps et aléa des taux d évolution : ajout de facteurs exogènes stochastiques Yt b, Yt b et Yt e Modélisation de l immigration

47 MÉCANISME D ÉVOLUTION MICROSCOPIQUE Occurence d un événement à l instant T n: Introduction Modèlisation de processus d évolution Lien Micro/Macro Applications à la démographie 1 À l instant T n, sélection d un individu au sein de la population 2 L âge et les caractéristiques de l individu permettent de déterminer les probabilités d occurence des événements : b(x, a, Y b T n ) intensité de naissance d(x, a, Y d T n ) intensité de décès e(x, a, Y b T n ) intensité de changement de trait 3 Tirage d une variable aléatoire sélectionnant un événement Décès : on retire l individu de la population Naissance : on ajoute un individu dans la population de trait x qui est tiré suivant une distribution k b (x, a, x ) Évolution de trait : l individu de trait x est remplacé par un individu de trait x qui est tiré suivant une distribution k e (x, a, x ) Rien : événement auxiliaire se produit

48 Introduction Modèlisation de processus d évolution Lien Micro/Macro Applications à la démographie PROCESSUS D ÉVOLUTION CÀD-LÀG N. FOURNIER, S. MÉLÉARD (2004) ET C. TRAN VIET (2006) Z t = N 0 t [ δ (Xi (Z 0 ),A i (Z 0 )+t) + 1 i Ns δ 1 i=0 0 Ξ (x,t s) 0 θ<m1 (s,z s,i,x ) δ (Xi (Z s ),A i (Z s )+t s) 1 m 1 (s,z s,i,x ) θ<m 2 (s,z s,i,x ) ] + (δ (x,ai (Z s )+t s) δ (X i (Z s ),A i (Z s )+t s)) 1 m 2 (s,z s,i,x ) θ<m 3 (s,z s,i,x Q(ds, di, dθ, dx ), ) où Q est une mesure ponctuelle de Poisson et où m 1 (s, Z s, i, x ) ( ) ( = b X i (Z s ), A i (Z s ), Ys b k b X i (Z s ), A i (Z s ), x ) m 2 (s, Z s, i, x ) ( ) ( = m 1 (s, Z s, i, x ) + d X i (Z s ), A i (Z s ), Ys d k d X i (Z s ), A i (Z s ), x ) m 3 (s, Z s, i, x ) = ( m 2 (s, Z s, i, x ) + e (X i (Z s ), A i (Z s ), Ys e ) ke X i (Z s ), A i (Z s ), x )

49 Introduction Modèlisation de processus d évolution Lien Micro/Macro Applications à la démographie LIEN MICRO/MACRO N. FOURNIER, S. MÉLÉARD (2004) ET C. TRAN VIET (2006) McKendrick (1926) et VonFoerster (1959) : Équation en démographique ( g t + g ) (a, t) = d(a)g(a, t), g(0, t) = a 0 b(a)g(a, t)da Approximation (p.s) à l échelle macroscopique (grandes populations) : ( g t + g ) [ ) ] (ω, x, a, t) = d (x, a, Yt d a (ω) + e (x, a, Yt e (ω)) g(ω, x, a, t) + e(x, a, Yt e )ke (x, a, x)g(ω, x, a, t)p(dx ) χ ) g(ω, x, 0, t) = b (x, a, Yt b (ω) k b (x, a, x)g(ω, x, a, t)p(dx )da χ g(ω, x, a, 0) = g 0 (ω, x, a),

50 SCÉNARIOS D ÉVOLUTION JUSQU EN 2097 Introduction Modèlisation de processus d évolution Lien Micro/Macro Applications à la démographie FIGURE: Scénarios d évolution de la taille de la population jusqu en 2097 avec un scénario de mortalité

51 Introduction Modèlisation de processus d évolution Lien Micro/Macro Applications à la démographie STATISTIQUES DE PROJECTIONS DÉMOGRAPHIQUES Statistiques (2050) Limite basse Centrale Limite hausse 10% 50% 90% Indice Standardisé de Fécondité Taille de la population (millions) ans (%) Potential Support Ratio Nombre de morts (millions) Nombre de naissances (millions) Number d immigrés (millions) TABLE: Statistiques de projections avec une natalité et une immigration statiques (2006)

52 SCÉNARIOS DE PROJECTION Introduction Modèlisation de processus d évolution Lien Micro/Macro Applications à la démographie Double stochasticité (processus de mortalité et processus d évolution) scénarios variés Approximation aux grandes population comportement pertinent Scénario moyen est réaliste et proche des projections INSEE Identification du panel de scénarios (extrêmes ou non) générés par le modèle

53 Introduction Modèlisation de processus d évolution Lien Micro/Macro Applications à la démographie PROBLÈME DES RETRAITES DU POINT DE VUE DÉMOGRAPHIQUE OBJECTIF : Conserver une situation démographique acceptable Politiques d immigration et d âge de départ à la retraite Estimations pour l horizon 2050 en conservant 3 actifs pour un inactif : Immigration seule : plus de immigrés par an (politique irréaliste) Immigration + report de l âge de la retraite : environ immigrés par an

54 PLAN DE L EXPOSÉ Étude du modèle de Wishart (Actions) Risque de base Transfert de risque de taux Life Nominal Chooser Swaption Étude quantitative du produit 1 ÉTUDE DU MODÈLE DE WISHART (ACTIONS) 2 MODÉLISATION D UN TAUX DE MORTALITÉ INDIVIDUEL 3 MODÉLISATION DE LA DYNAMIQUE DE POPULATION 4 APPLICATIONS À L ASSURANCE-VIE

55 INTRODUCTION Étude du modèle de Wishart (Actions) Risque de base Transfert de risque de taux Life Nominal Chooser Swaption Étude quantitative du produit Les compagnies d assurance font face à de nombreux défis : Risque systémique lié à la longévité à l échelle nationale Risque spécifique (risque de base) lié à l hétérogénéité des portefeuilles Transfert des risques financiers

56 SCÉNARIOS D ÉVOLUTION Risque de base Transfert de risque de taux Life Nominal Chooser Swaption Étude quantitative du produit Scénarios de survie d un groupe spécifique de N individus : Méthode standard (sans modèle de dynamique de population): Modèle de mortalité 1 scénario de mortalité N scénarios de survie (pour chaque individu) fournit 1 scénario d évolution du groupe de N individus Modélisation proposée : Modèle de mortalité individuelle 1 scénario de mortalité Modèle microscopique de dynamique de population fournit directement 1 scénario d évolution d un groupe de N individus Modélisation efficace numériquement

57 Risque de base Transfert de risque de taux Life Nominal Chooser Swaption Étude quantitative du produit INFLUENCE DU STATUT MATRIMONIAL (HOMMES) FIGURE: Scénario central de flux d un portefeuille de rentes viagères pour des français agés de 60 ans ayant différents statuts matrimoniaux

58 TRANSFERT DE RISQUE FINANCIER Risque de base Transfert de risque de taux Life Nominal Chooser Swaption Étude quantitative du produit Les assurances sont fortement soumises à un risque de taux d intérêt Rente au taux k Investissement sur produits de taux (obligations,...) Produit de transfert de risque de taux Assurances spécialisées dans le risque de longévité Banques spécialisées dans le risque de taux Produit décorrélant les deux risques : l assurance transfert son risque de taux en conservant son risque de longévité

59 PROBLÉMATIQUE Étude du modèle de Wishart (Actions) Risque de base Transfert de risque de taux Life Nominal Chooser Swaption Étude quantitative du produit Difficultés liées à la mise en place d un produit de longévité : Pas de marché de longévité (absence de référence commune) Assymétrie d information Modélisation et évaluation complexes (évaluation en probabilité historique) Mise en place d un produit de taux pur

60 PORTEFEUILLE RÉEL Étude du modèle de Wishart (Actions) Risque de base Transfert de risque de taux Life Nominal Chooser Swaption Étude quantitative du produit FIGURE: Répartition des âges des assurés du portefeuille

61 ÉVOLUTION DU PORTEFEUILLE Risque de base Transfert de risque de taux Life Nominal Chooser Swaption Étude quantitative du produit FIGURE: Exemple de scénarios extrêmes de survie des assurés du portefeuille

62 PROBLÉMATIQUE Étude du modèle de Wishart (Actions) Risque de base Transfert de risque de taux Life Nominal Chooser Swaption Étude quantitative du produit Couverture des produits d assurance-vie : Couverture statique du risque de taux d intérêt Swaps Couverture dynamique du risque futur Swaptions Longévité des individus Swaptions à nominal variable Incertitude sur l évolution de la longévité Choix de la série de nominaux

63 LIFE NOMINAL CHOOSER SWAPTION Risque de base Transfert de risque de taux Life Nominal Chooser Swaption Étude quantitative du produit Swaption sur swap à nominal variable au strike k : [ P N ] swaption = E Q T (k SV T (T 0, T N, δ, N t)) + B(T, T i )N Ti δb(0, T) Choix d un nombre α T [0, 1] par l assureur en T (avec l information disponible) Couverture sur la série de nominal N α T t = α TN t + (1 α T)N + t i=1 Taux forward de swap à nominal variable SV T(T 0, T N, δ, α T, N t, N + t ) pour la série N t déterminée par le α T Évaluation de la "Life Nominal Chooser Swaption" (LNCS) au strike k : P LNCS δb(0, T) = E Q N T max 0 α T 1 (k SV T (T 0, T N, δ, α T, N, N + )) + B(T, T i )(α T N T + (1 α T )N + i T ) i i=1 E Q T max 0 l n (k SV T (T 0, T N, δ, l N n, N, N + )) + B(T, T i )( l n N T + (1 l i n )N+ T ) i i=1

64 EXEMPLE DE CHOIX D UN α T (SUITE) Risque de base Transfert de risque de taux Life Nominal Chooser Swaption Étude quantitative du produit FIGURE: Choix du paramètre α T en 2029

65 ÉTUDE DU PRODUIT Étude du modèle de Wishart (Actions) Risque de base Transfert de risque de taux Life Nominal Chooser Swaption Étude quantitative du produit Produit sur max : influence corrélation des taux HJM 2 facteurs calibré sur la courbe de taux européenne et sur certaines swaptions spécifiques (maturité et tenor adaptés) La corrélation des taux forward successifs est supposée constante : Prix du produit en fonction de k et ρ ρ = correl(f (., T), f (., T + dt))

66 COURBE DES TAUX INITIALE Risque de base Transfert de risque de taux Life Nominal Chooser Swaption Étude quantitative du produit FIGURE: Courbe de taux européenne du 8 Avril 2009

67 NOTION DE COÛT SUR RENTE Risque de base Transfert de risque de taux Life Nominal Chooser Swaption Étude quantitative du produit Rente viagère : P rente = k LVL(α), où LVL(α) = N i=1 (αn T i + (1 α)n + T i )B(T, T i) Life Nominal Chooser Swaption : c = P LNCS est appelé coût sur rente LVL(α) P LNCS = c LVL(α) Interprétation : Sans achat du produit : rente au taux k sans couverture du risque de taux Avec achat du produit : rente au taux k + c avec couverture du risque de taux

68 INFLUENCE CORRÉLATION Risque de base Transfert de risque de taux Life Nominal Chooser Swaption Étude quantitative du produit Corrélation taux Corrélation swap Prix Prix Prix Prix Coût sur successifs 10Y/12Y α = 0 α = 0.5 α = 1 LNCS rente ρ = % 3015 bp 2656 bp 2244 bp 3020 bp 0.87% ρ = % 2954 bp 2580 bp 2215 bp 2960 bp 0.853% ρ = % 2886 bp 2529 bp 2183 bp 2897 bp 0.835% ρ = % 2813 bp 2474 bp 2147 bp 2828 bp 0.815% ρ = % 2732 bp 2412 bp 2107 bp 2751 bp 0.793% ρ = % 2641 bp 2342 bp 2061 bp 2667 bp 0.769% ρ = % 2540 bp 2264 bp 2009 bp 2574 bp 0.742% TABLE: Évolution du prix du produit à k = 4.3% en fonction de la corrélation des taux successifs Lorsque ρ diminue Prix des swaptions à nominal variable diminue Prix de la switch option augmente de = 5bp à = 34bp Caractère exotique augmente mais reste relativement faible

69 BILAN Étude du modèle de Wishart (Actions) Risque de base Transfert de risque de taux Life Nominal Chooser Swaption Étude quantitative du produit Estimation du risque de base : hétérogénéité du portefeuille Produit pur de taux adapté aux attentes des deux contreparties Utilisation d un modèle de taux plus riche (Wishart sur les taux)

70 CONCLUSION Étude du modèle de Wishart (Actions) Risque de base Transfert de risque de taux Life Nominal Chooser Swaption Étude quantitative du produit Merci de votre attention

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