SUITES ET SÉRIES * 3.1 Définition des suites * Convergence d une suite * Suite arithmétique * Suite géométrique * 7

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1 SUITES ET SÉRIES ème aée (ivea avacé). Défiitio des sites. Covergece d e site 4. Site arithmétiqe 6.4 Site géométriqe 7.5 Séries et sommes partielles.6 La démostratio par récrrece 9.7 Critères de covergece des séries à termes positifs.8 Séries alterées 8.9 Covergece des séries à termes qelcoqes 9.0 Ce q il fat absolmet savoir. Soltios des exercices Picchioe Serge 07-08

2 Picchioe Serge 07-08

3 Sites et séries. Défiitio des sites Défiitio Ue site (réelle) est e applicatio de das. O la ote : ( ) = otatio Les termes de la site sot doc ; ;...; ;... O appelle le terme de rag o terme gééral de la site ( ). Illstratio 4 4 :... Il y trois faços de défiir e site (réelle) : a) e doat le terme gééral : =. La site est doc : ;;7 ;4;... =. La site est doc : ; ; ; 4 ; = por la site est appelée site harmoiqe : def. ( ) =! = 4... por. ; ; ; ;... 4 La site (factorielle) est doc : ;;6 ;4 ;0 ;70 ;... Ue toche qi permet d effecter cette opératio, existe sr les calclatrices scietifiqes. P.S. / Sites et séries / N-A

4 b) e doat procédé de récrrece permettat de détermier le terme e foctio des termes précédats : = et = + 4 la site est doc : ;6;6;6;... et = = = + la site (de Fiboacci) est doc : ;;;;5;8;;;... L algorithme d Héro d'alexadrie : Calcler la racie carrée d' ombre 'est pas si facile (par exemple calcler la racie de ). Por calcler e valer approchée de N por ombre réel positif N, il existe e formle de récrrece dot la décoverte est attribée à Héro : + N = + et = N Activité : O cherche e approximatio de ( N = ) = = = 4 =... Remarqe : O itère jsq'à obteir la précisio sohaitée. Explicatios : O pet se covaicre facilemet d bie fodé de l'algorithme. Soit e approximatio par défat de N ; N/ e est alors e approximatio par excès. O choisit alors ler moyee arithmétiqe comme ovelle valer approchée de N. E porsivat de même, e calclat N/ pis, o obtiet des approximatios de pls e pls fies de N. Il est clair qe le choix d'e approximatio par excès pet assi être evisagé. Das ce cas N/ sera alors e approximatio par défat. N N/ P.S. / Sites et séries / N-A

5 c) e doat la liste partielle des termes : ;;;... ; ; ; ; ;; ;; ;; ;... Remarqe : Détermier le terme gééral d e site à partir d e liste partielle de terme pet s avérer compliqé. Exercice Écrire les qatre premiers termes des sites dot le terme gééral est doé ci-dessos : a) = b) ( ) = c) ( ) + = d) ( )! = por! Exercice Calcler les 6 premiers termes des sites ci-dessos défiies par récrrece : a) = 7 et = + b) = 0 et = = ; = ; = 0; = + c) Exercice Détermier le terme gééral des sites ci-dessos défiies par e liste : ( ) a) ;4;9;6;5;... b) ;5;0;7;6 ;... c) 4 5 ; ; ; ; d) ; ; ; ; e) ;;7;4; ;... f) ;8 ;7;64;5 ;... g) ;0;;0;;... h) ; ; ; ; i) k) ; ; ; ; ; ; ; ; j) 5;7;9;; ; l) 5 ; ; ; ; ; P.S. / Sites et séries / N-A

6 . Covergece d e site Défiitios Soit ( ) e site (réelle). La site est croissate (décroissate) ( + + ) La site est majorée (miorée) α tel qe α ( β tel qe β ) La site est borée elle est miorée et majorée. Exemples a) La site défiie par = est croissate E effet, + = = = > 0 + > + + ( + )( + ) ( + )( + ) b) La site défiie par = E effet, β = 0 ; ; ;... = α 4 8 est borée β= 0 = α Défiitio Soit e site ( ). O dit qe la site coverge si lim existe et est e valer réelle. O dit qe la site diverge si lim existe et est e valer ifiie. O dit qe la site diverge par oscillatio si lim existe pas. Exemples a) La site défiie par + = coverge. E effet, b) La site défiie par = 00 diverge. E effet, lim = lim 00 =+ c) La site défiie par ( ) + + lim = lim = lim = si est pair = diverge par oscillatio car : = si est impair Atremet dit : ;; ;; ;; ;... d) ; ;;4 ;; ;;4;; ;;4 ;... diverge par oscillatio. P.S. / Sites et séries / N-A

7 Théorème de covergece ) Si e site ( ) ) Si e site ( ) est croissate et majorée alors elle coverge. est décroissate et miorée alors elle coverge. Illstratio... α β... Démostratio (par l absrde) Cosidéros e site ( ) croissate et majorée. Atremet dit : et α α. + Spposos qe cette site diverge : O a alors qe lim o lim =+ = et o a e cotradictio avec ( ) Spposos qe cette site diverge par oscillatio : O a alors e cotradictio avec ( ) Coclsio : La site ( ) coverge. croissate. O motre de même q e site décroissate et miorée coverge. majorée. Exercice 4 Détermier si les sites défiies par ler terme gééral coverget o diverget. ( ) + a) = b) = = k π d) = 4 e) =,k f) = cos + g) = ( ) h) = + c) ( ) Exercice 5 a) Motrer qe la site b) Motrer qe la site Idicatio : tiliser le théorème de covergece. + = coverge sas calcler de limites. + = coverge sas calcler de limites. + P.S. / Sites et séries / N-A

8 . Site arithmétiqe Défiitio O appelle site arithmétiqe (o progressio arithmétiqe) e site défiie par récrrece telle qe : = + + r r Le ombre r est appelé la raiso de la site arithmétiqe. Exemples a) Si = etr = alors o obtiet la site arithmétiqe : ; ;; ;5;... b) Si = 9etr = 5alors o obtiet la site arithmétiqe : 9 ;4; ; 6 ;... Remarqe Si la site est arithmétiqe alors r = + Propositio Si ( ) est e site arithmétiqe, le terme gééral est : = + r( ) Démostratio Par défiitio d e site arithmétiqe o a : = + r ( ) = + r = + r + r = + r... ( ) = + r =... = + r Remarqe Ue site arithmétiqe est etièremet détermiée par et r. Exemple O vet isérer 5 termes etre 4 et afi d obteir e site arithmétiqe. O a 7 termes avec = 4 7 = = 4 + r(7 ) r =. Les 5 termes à isérer sot : 7 ;0 ; ;6 ;9. Propositio Ue site arithmétiqe ( ) diverge (saf si r = 0 et das ce cas la site est costate). Exemples i) ; ;; ;5;... diverge ( r = ). ii) ;;;;;... coverge ( r = 0). Démostratio ( ) + si r > 0 lim = lim ( + r ) = + r = si r < 0 P.S. / Sites et séries / N-A

9 .4 Site géométriqe Défiitio O appelle site géométriqe (o progressio géométriqe) e site défiie par récrece telle qe : = + q q Le ombre q est appelé la raiso de la site géométriqe. Exemples a) Si = et q= alors o obtiet la site géométriqe : ; ; ; ; b) Si = et q= alors o obtiet la site géométriqe : + Remarqe Si la site est géométriqe alors q = Propositio Si ( ) ; ; ; ; ; est e site géométriqe, le terme gééral est : = q Démostratio Par défiitio d e site géométriqe o a = q = q= q... = q =... = q Remarqe Ue site géométriqe est etièremet détermiée par et q. Exemple O vet isérer 4 termes etre 4 et 4 afi d obteir e site géométriqe O a 6 termes avec = 4 = = 4 q q = 5 = 6 Les 4 termes à isérer sot : ;9; ; 4. P.S. / Sites et séries / N-A

10 Propositio Ue site géométriqe ( ) : i) coverge si q ] ; ] ii) diverge si q ] ; ] Exemples i) ;4 ;8 ;6 ;;... diverge ( q= ) car lim + = + ii) ; ; ; ; ; coverge q = car + lim = lim = = Démostratio E effet, si q lim lim ( q ) lim ( q ) si ( ) ( ) si ( ) ( ) > = = = ±= ± diverge q = lim = lim q = lim q = = coverge < q < lim = lim q = lim q = 0 = 0 coverge si q = ; ; ; ; ; ;... diverge par oscillatio. si 4 q < ; q ; q ; q ; q ;... diverge par oscillatio. > 0 < 0 > 0 < 0 > 0 Exercice 6 Soit ( ) e site arithmétiqe dot le premier terme vat 4 et dot la raiso vat 9. a) Écrire les 7 premiers termes de cette site. b) Écrire le 76 ème terme de cette site. Exercice 7 Soit ( ) e site arithmétiqe dot le dixième terme vat 6 et le dozième vat 40. a) Qe vat le ème terme de la site? b) Calcler le premier terme et la raiso de cette site. c) Écrire les 6 premiers termes de cette site. d) U terme de cette site vat 66. Détermier par calcl, le rag d terme. Exercice 8 O cosidère e site arithmétiqe ( ) a de raiso r. Démotrer qe la site ( ) par b = a + est assi e site arithmétiqe ; qelle e est la raiso? b défiie P.S. / Sites et séries / N-A

11 Exercice 9 Calcler la valer de k por qe k ; k + ; k ;... soiet les trois premiers termes d e site arithmétiqe. Exercice 0 Calcler les 5 premiers termes d'e site géométriqe de raiso et de premier terme. Exercice a) Doer la raiso et le treizième terme de la site géométriqe dot voici les 5 premiers termes : 7 ; ; 6 ; 89 ; 567 ;... b) U terme de cette site vat 00' 44' 49. Détermier par calcl, le rag d terme. Exercice a) Le dexième terme d'e site géométriqe ( ) Calcler le 8 ème terme de cette site. a b) Le premier terme d e site géométriqe ( ) Calcler le ciqième terme de cette site. b c) Le dixième terme d'e site géométriqe ( ) Détermier le terme gééral de cette site. c est et le ciqième 8 8. est 8 et le troisième 8. est 5 60 et le ozième terme Exercice a) Détermier si les sites ci-dessos formet des sites : arithmétiqes, géométriqes o atres. b) Doer la raiso de la site si elle est arthmétiqe o géométriqe. c) Détermier le terme gééral de chaqe site. ( ) d) Calcler le 0 e terme de chaqe site. e) Détermier si les sites ci-dessos coverget o diverget. ) 7 ; ; ;... ) ; ; ; ;... ) ; 4 ; 9 ;6 ;... 4) ; ; ;4 ; 5 ;... 5) ; 0, ; 0,0 ;... 6) x 8 ; x + ; x + ;... 7) 4 0 = 8) x+ x+ ; ; ;... 9) log ( ) ;log ( 9 ) ;log ( 7 ) ;... 0) ; ; ;... ) 0 = ) ; ; ; 4 ;... P.S. / Sites et séries / N-A

12 Exercice 4 a) Isérer 7 termes etre 5 et afi de créé e progressio arithmétiqe. b) Isérer 7 termes etre 5 et 805 afi de créé e progressio géométriqe. Exercice 5 O sppose qe la poplatio P d'e ville croît aellemet sivat le même porcetage de 6 %. Atremet dit : 6 p = p + + p 00 E 980, la poplatio de cette ville était de '000'000 habitats. a) Détermier la poplatio e 98, 98 et 98. b) Motrer qe la site ( ) p c) Calcler la poplatio de cette ville e l'a 000. est e site géométriqe et doer so terme gééral. Exercice 6 Détermier les 4 agles d' qadrilatère sachat q'ils sot e progressio arithmétiqe et qe le pls petit agle vat 45. Exercice 7 Das récipiet coteat 4 litres d'alcool, o retire 6 litres d'alcool qe l'o remplace par de l'ea. Pis l'o retire 6 litres d mélage qe l'o remplace à ovea par de l'ea et aisi de site. a) Si l'o répète e tot 5 fois cette procédre, qelle qatité d'alcool restera-t-il das le réservoir? b) Combie de procédres fat-il appliqer, por qe la qatité d'alcool das le récipiet soit de litre. Idicatio : costrire e site ( ) après procédres. a dot a représete la qatité d alcool das le récipiet Exercice 8 La première marche d' escalier qi doe accès à e église a 0 m de loger, les atres dimiet réglièremet de 0,7 m de telle sorte qe la derière 'a qe 8, m. Combie l'escalier a t-il de marches? P.S. / Sites et séries / N-A

13 .5 Séries (ifiies) et sommes partielles Défiitio Soit e site ( ) la site. Atremet dit : m, le symbole k représete la somme des m premiers termes de m k= k= = k m m Exemples a) b) = et = et 0 k= 8 k= k = = 55 k = = 99 c) ( ) = et 4 k= k(k ) = ( ) + ( ) + 4(4 ) = 0 d) = et 0 = = 0 = 0 k= 0 fois Remarqes a) La lettre majscle grecqe sigma,, idiqe e somme et le symbole k le k ième terme. La lettre k est l idice de sommatio. b) m = = k m m j k= j= m Atremet dit : La lettre tilisée comme idice de sommatio est sas iflece sr le résltat. Exercice 9 a) Calcler/développer les sommes sivates : ) 6 ( i+ ) ) i= 0 4 k 4) ( ) 5) ( ) k= 8 i ) i= 5 k ck 6) k= 8 i= 4 j= (i ) j c j j + b) Écrire à l aide de la otatio Σ : ) ) ) ) P.S. / Sites et séries / N-A

14 Exercice 0 Soit dex sites ( a ) et ( ) Démotrer les égalités sivates : a) ( ) k k k k k= k= k= b. a + b = a + b b) ( ) a b = a b k k k k k= k= k= c) c ak = c ak k= k= Défiitios Soit ( ) e site. O appelle série (o série ifiie) l expressio : k = k +... Ue série à termes positifs est e série telle qe + k= k 0 k. O appelle ième somme partielle de la site ( ) de la site qe l o ote : S = , la somme des premiers termes ( ) S S = S = + S = + + forme e site appelée site de sommes partielles.... S = Ue série k = k +... est covergete si lim S k= = S. Le ombre S est appelé la somme de la série. Das le cas cotraire, la série est divergete et o dit q elle a pas de somme. P.S. / Sites et séries / N-A

15 Exemples a) Soit e site défiie par so terme gééral : Les sommes partielles sot : S = ; S = + ; S = + + ; =. S = = (la derière égalité est démotrée à la page sivate) + k k = est covergete car : k= La série (ifiie) à terme positif : lim S = lim = lim = = = =S b) Soit e site défiie par so terme gééral : Les sommes partielles sot : S = ; S = + ; S = + + ;... ( + ) =. S = = (la derière égalité est démotrée à la page sivate) La série (ifiie) à terme positif : (elle a pas de somme) car : lim S + k = k +... est divergete k= ( + ) = lim =+ c) Soit e site défiie par so terme gééral : ( ) Les sommes partielles sot : =. S = ; S = + = 0 ; S = + = ; S4 = + + = 0 ;... La série (ifiie) + k = est divergete (elle a pas de somme) car : k= ( ) S diverge par oscillatio. P.S. / Sites et séries / N-A

16 Propositio (somme partielle d e site arithmétiqe) Soit e site arithmétiqe défiie par so terme gééral = + r( ) alors la + = ème somme partielle pet s écrire : S Démostratio S = S = ( ) ( ) ( ) ( ) S = De pls Doc + = + r+ r = + + = + r+ r = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) S = S = + + S = Exemples a) Soit e site arithmétiqe de raiso r = défiie par so terme gééral O a : ( ) ( ) (prop) + + S = = = b) Soit e site arithmétiqe de raiso r = défiie par so terme gééral (prop) =. O a : ( ) ( ) =. + S = = = Remarqes est e site arithmétiqe alors la série (ifiie) k = k +... a) Si ( ) est appelée série arithmétiqe. b) Ue série arithmétiqe diverge (saf si = r = 0) car : ( ( )) r = = = + lim S lim lim + Exemple : k = k +... diverge k= + k= P.S. / Sites et séries / N-A

17 Problème Commet calcler rapidemet ? C est e somme partielle dot les termes sot e progressio arithmétiqe avec = = r = 5 Nos avos : = + 5( ) = 4 (prop) + Alors = S 4 = 4 = opératios élémetaires Propositio (somme partielle d e site géométriqe) opératios élémetaires Soit e site géométriqe défiie par so terme gééral = q ème q alors la somme partielle pet s écrire : S =. q Démostratio S = q S = q + q + q q + q q S = q 4 Doc S q S = q ( ) S q = q q ( ) ( ) S q = q q S = q Exemple Soit e site géométriqe de raiso q = défiie par so terme gééral O a : (prop) S = = =. Remarqes est e site géométriqe alors la série (ifiie) k = k +... a) Si ( ) est appelée série géométriqe. b) Ue série géométriqe coverge si q ] ;[ car : Ue série géométriqe diverge si q ] ;[. k lim S + k= q = lim = q q + Exemple : k = coverge. La somme de la série vat k=. P.S. / Sites et séries / N-A

18 Problème Commet calcler rapidemet : ? C est e somme partielle dot les termes sot e progressio géométriqe avec e raiso q = et de premier terme =. 04 = 04 = log 04 = = 0 Nos avos : ( ) Alors (prop) = S0 = = opératios élémetaires opératios élémetaires Exercice E tilisat les propositios cocerat le calcl de la somme partielle d e site arithmétiqe o géométriqe : a) Calcler la somme des 5 premiers termes de la site : ; 8; ; 8 ;... b) Calcler la somme des 0 premiers termes de la site : ; 8 ; 5 ; ;... c) Calcler la somme des 8 premiers termes de la site : ; 4;8; 6;... d) Calcler la somme des premiers termes de la site : 8 ; 4 ; ; e) Calcler la somme des 6 premiers termes de la site : f) Calcler la somme des 8 premiers termes de la site : 8 4 ; ; ; ;; ;. Exercice E tilisat les propositios cocerat le calcl de la somme partielle d e site arithmétiqe o géométriqe : a) Calcler la somme de tos les etiers de à 00 qi sot divisibles par. b) Calcler la somme des 8 premiers mltiples de 7. c) La somme des 7 premiers termes d'e site arithmétiqe est 98 et la somme des premiers termes est 88. Calcler la somme des 0 premiers termes. d) Calcler la somme des etiers compris etre 00 et 000 et divisibles par. e) Calcler la somme des etiers positifs strictemet ifériers à 00 et idivisibles par 6. Exercice Ue site arithmétiqe a comme 60 e terme 46 et la somme des 60 premiers termes vat Doer le terme gééral de la site ( ). Exercice 4 Détermier la somme por la site = 4 P.S. / Sites et séries / N-A

19 Exercice 5 Jea écoomise 0 cetimes le premier jor de l'aée, 0 cetimes le dexième, 0 cetimes le troisième, et aisi de site. Calcler la somme q'il ara écoomisée à la fi de l'aée. Exercice 6 La prodctio d'e etreprise est de 0'000 ités la première aée. Malheresemet, sa prodctio dimie de 500 ités par a. a) Calcler la prodctio de cette etreprise la qatrième aée, pis la dixième aée. b) A bot de combie d'aées la prodctio sera-t-elle lle? Calcler alors la somme des prodctios de totes ces aées. Exercice 7 Ue balle qi role sr pla iclié avace de mètres la première secode, de 5 mètres drat la dexième secode, de 7 mètres drat la troisième secode, et aisi de site. Combie de temps li fadra-t-il por parcorir 0 mètres e tot? Exercice 8 Détermier (si elle existe) la somme de chace des séries géométriqes sivates: a) b) 0,6+ 0,06+ 0, c) d) e) f) g) + r + r + r +... h) a + ap + ap + ap Exercice 9 Détermier la somme des séries sivates: a) b) = = c) + = 6 Exercice 0 Ue balle de caotchoc est lâchée d'e hater de 8 cm. A chaqe rebod, elle remote a dex tiers de sa hater. Qelle distace verticale totale la balle ara-t-elle parcore jsq'à so immobilisatio complète? Exercice Trover la fractio correspodat a développemet décimal périodiqe sivat : a),44... b) 0, P.S. / Sites et séries / N-A

20 Exercice a Calcler la loger de la spirale ifiie formée par les segmets de droites : a a a 45 a a Exercice 00 La figre ci-dessos représete plsiers termes d e site formée d e alterace de cercles et de carrés. Chaqe cercle est iscrit das carré, et chaqe carré (à l exceptio d pls grad carré) est iscrit das cercle. Soit S l aire d ième carré et C l aire d ième cercle. a) Calcler la relatio etre C et S et etre C et S +. b) Qelle portio d pls grad carré est ombrée sr la figre ci-dessos? Exercice 4 U certai médicamet a e drée de demi-vie () d eviro heres das le sag. Le médicamet est destié à être admiistré e doses de D milligrammes totes les 4 heres, mais D doit ecore être détermié. a) Démotrer qe le ombre de milligrammes de médicamet das le sag après qe la ième dose a été admiistrée est : D + D + D D et qe cette somme vat approximativemet 4 D por des valers élevées de. b) Ue qatité de pls de 500 mg de médicamet das le sag est cosidérée comme dagerese. Calcler la dose la pls grade possible qi pet être prescrite réglièremet pedat e grade période de temps. () Temps mis par e sbstace (médicamet o atres) por perdre la moitié de so activité pharmacologiqe, physiologiqe o radioactive) P.S. / Sites et séries / N-A

21 .6 La démostratio par récrrece U exemple por compredre le pricipe Por décovrir e formle doat la somme des premiers ombres impairs, o commece par qelqes essais : Si = : = Si = : + = 4 Si = : = 9 Si = 4 : = 6 Il semblerait qe cette somme soit tojors égale a carré d ombre de termes, c'est-à-dire qe por tot : ( ) = Mais commet e être certai? U pls grad ombre d'essais cofirme cette cojectre ; il restera cepedat tojors e ifiité de cas o vérifiés. Le raisoemet qi sit permettra de procéder à cette vérificatio e temps record, pisqe fii : Spposos qe la formle ( ) = soit vraie por e valer de fixée, ce qi est le cas por = 4, par exemple. E additioat ( ) sivat, o obtiet : ( ) + ( + ) = + ( + ) ( ) + ( + ) = ( + ) O observe qe le membre de droite de l égalité vat jstemet ( + ). La formle est ecore + = +, le ombre impair vraie por + ; elle est doc vraie por = 5. La formle état maiteat provée por = 5, le même raisoemet motrera q'elle est ecore vraie por = 6, pis por = 7. Le passage de à + foctioe comme «moter qi vérifie atomatiqemet» la formle por totes les valers de spérieres à 4. De maière géérale, o caractérise le raisoemet par récrrece de la maière sivate : Soit p() e coditio por la variable.por démotrer qe la propositio p() est vraie por tot, o motre qe : ) p ( ) est e propositio vraie. ) p ( ) p( + ) por tot Illstratio d pricipe de récrrece O pet comparer e démostratio par récrrece a je qi cosiste à faire tomber e file de pièces de domios : Cosidéros e ragée ifiie de domios, étiqetés,,,, où chaqe domio est e positio verticale. Soit p() la propositio «o fait tomber le domio por tot Si o arrive à faire tomber le premier domio, atremet dit p ( )». est vraie et si, pe importe qad le ième domio est possé, il fait tomber le ( + ) ième domio c'est-à-dire p ( ) p( + ) est vraie, alors tos les domios pevet tomber les s après les atres. P.S. / Sites et séries / N-A

22 Exemples a) Démotros par récrrece qe : ( + ) = ) Si ( + ) = alors =. La propositio est vrai por =. ( ) + ) Spposos qe la propositio est vraie por : = Vérifios por + : Hyp. ( + ) ( +) = + ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) = ( + )( + ) ( + ) = ( + ) (( + ) + ) ( + ) = La propositio reste vraie por + doc la propositio est vraie. b) Démotros par récrrece qe : est divisible par 9. ) Si = alors = 7 = 9. La propositio est vraie por =. ) Spposos qe la propositio est vraie por : est divisible par = k 9 k Vérifios por + : Hyp ( +) ( +) = = ( ) ( ) ( ) = = ( ) ( ) = 5 k k = 5k 6 9 k = m 9 m La propositio reste vraie por + doc la propositio est vraie. P.S. / Sites et séries / N-A

23 Exercice 5 a) Effecter les sommes sivates : = = = = b) À l aide de ces résltats, cojectrer e propositio doat la somme sivate, pis démoter votre cojectre par récrrece : ( ) Exercice 6 a) Démotrer par récrrece la propositio : ( )( + ) ( ) = b) Utiliser la propositio ci-desss por détermier : S = S = c) Utiliser la propositio ci-desss por détermier : ( ) Exercice 7 Démotrer par récrrece la propositio sivate : i= ( )( ) ( + ) ( ) i = i i + +. Exercice 8 Vrai o fax? Jstifier e tilisat le raisoemet de récrrece. a) b) ( + )( + ) = = 6 ( )( ) Exercice 9 Démotrer par récrrece les propositios sivates : a) est divisible par b) + + est ombre pair c) est mltiple de 5 d) a b est divisible par a b P.S. / Sites et séries / N-A

24 .7 Critères de covergece des séries à termes positifs Propositio ( Coditio écessaire mais pas sffisate ) Si e série coverge alors so terme gééral ted vers 0 lorsqe ted vers l ifii. Exemple La série S = est covergete car géométriqe de raiso Le terme gééral est : O a : = lim = lim = lim = 0 q =. Démostratio Soit S = e série covergete, alors Mais o a assi, lim s = lim k s =. k = Doc par sostractio : lim s = lim k s = k = 0 = s s = lim s lim s = lim ( s s ) = lim = lim k k k= k= Remarqes a) La réciproqe de la propositio est fasse. Exemple : Cosidéros la série harmoiqe S = Le terme gééral est =. O a lim = 0. Cepedat la série harmoiqe S diverge (voir propositio 5 : série de Riema). b) La cotraposée de la propositio est tojors vraie : «Si le terme gééral e ted pas vers 0 alors la série diverge». Exemple : Cosidéros la série S = Le terme gééral est =. O a lim = +. E tlisat la cotraposée de la propositio os povos coclre qe la série S diverge. P.S. / Sites et séries / N-A

25 Propositio ( Critère de comparaiso des séries à termes positifs ) Soit les séries a) Si diverge alors = b) Si v coverge alors = et v à termes positifs telles qe = = v diverge assi. = coverge assi. = 0 v. Exemples a) O aimerait établir la covergece o la divergece de la série = = Nos avos = = v La série v = est géométriqe q = = et coverge vers = q E tilisat la propositio (b) o pet coclre qe : la série coverge assi. = b) O aimerait établir la covergece o la divergece de la série v = = Nos avos = v = = est la série harmoiqe et diverge (voir propositio 5). = E tilisat la propositio (a) o pet coclre qe : la série v diverge assi. =. Démostratio Par hypothèse : 0 v = = = S S' Par hyp: diverge a)... v v v... v lim S lim S' v b) Par hypotèse : v = v+ v + v +... = v (la série coverge) i) = S= S' = v v S= + S' = v+ v v S est e site borée.... S S' v ii) S S S... car 0 S est e site croissate. Coclsio : S est e site croissate et borée Thm. S coverge P.S. / Sites et séries / N-A

26 Propositio ( Critère d qotiet o de d Alembert ) Soit e série à termes positifs ( 0 ) = i) Si L < alors la série coverge. ii) Si L > alors la série diverge. et lim + iii) Si L = alors le critère e permet pas de coclre. = L. Exemple O aimerait établir la covergece o la divergece de la série Calclos : +!... ( ) = = ! Pr op ( i ) + lim = lim = lim = lim = 0 = L < coverge ( ) =! Démostratio + i) Spposos qe L <. Alors r tel qe L< r <. Comme lim = L < r alors il existe rag p tel qe + < r p Aisi : < p+ r r p < r < r L O a doc : p+ p+ p p+ < p+ < p r r.. = = < r + r +... p p p+ p p p p ( ) = r + r +... p p somme existe car fiie Série géométriqe de raiso r< doc coverge. Comme est majorée terme à terme par e série covergete, elle coverge égalemet = (voir propostio ). p ii) Spposos qe L >, alors il existe rag p L + tel qe > p. O a doc + 0 > > p. Le terme gééral e ted pas vers 0, la série est doc divergete. (voir cotraposée de la propositio ) p P.S. / Sites et séries / N-A

27 Propositio 4 ( Critère de la racie o de Cachy ) Soit e série à termes positifs ( 0 ) = i) Si L < alors la série coverge. ii) Si L > alors la série diverge. et lim = L iii) Si L = alors le critère e permet pas de coclre. Exemple O aimerait établir la covergece o la divergece de la série : Calclos : = = Pr op 4 ( i ) lim = lim = lim = = L < coverge + + = Démostratio i) Spposos qe L <. Alors alors il existe rag Aisi : O a doc : p < r p r + < p p+ p < p r r tel qe L< r <. Comme lim = L < r p tel qe < r p p p+ p+ = p + p + p < p + r + r + r +... = p = p + r ( + r + r +...) somme existe car fiie Série géométriqe de raiso r< doc coverge. Comme est majorée terme à terme par e série covergete, elle coverge égalemet = (voir propostio ). L ii) Spposos qe L >, alors il existe rag p tel qe > p. O a doc > p Le terme gééral e ted pas vers 0, la série est doc divergete. (voir cotraposée de la propositio ) p Remarqe Les critères de covergece permettet parfois de détermier si la série S est covergete o divergete. E revache ils e doet ace idicatio de la valer de la somme de la série S. r L p P.S. / Sites et séries / N-A

28 Propositio 5 ( Série de Riema ) Soit la série à termes positifs = = α α α α α + (série de Riema) La série = + si α diverge = α si α > coverge α Exemples a) Si α = alors b) Si α = alors = diverge. α 4 = = diverge (série harmoiqe). α 4 = c) Si α = alors = coverge. α 4 = Démostratio La démostratio de cette propositio tilise le critère de l itégrale, Le cocept d itégrale e faisat pas partie d programme de e, os e porros doc pas démotrer cette propostio cette aée. Exercice 40 E tilisat la cotraposée de la propositio, motrer qe les séries sivates diverget : a) b) c) 4 Exercice Détermier la covergece des séries sivates e tilisat la propositio (critère de comparaiso des séries à termes positifs ) : a) b) = + Exercice 4 + c) + = = 5 Détermier la covergece des séries sivates e tilisat la propositio ( critère d qotiet o de d Alembert ) : a) + + b)! = 5 c)! = = 4 P.S. / Sites et séries / N-A

29 Exercice 4 Détermier la covergece des séries sivates e tilisat la propositio 4 ( critère de la racie o de Cachy) : a) b) = = + c) = Exercice 44 Détermier la covergece des séries de Riema ( propositio 5 ) : a) b) c) Exercice 45 Etdier la covergece des séries sivates : a) b) c) d) e) g) f) h)!! 4! Idicatio : Détermier d abord le terme gééral de la série. P.S. / Sites et séries / N-A

30 .8 Séries alterées Défiitio Ue série v est alterée si + = v v = Exemple ( ) ( ) ( ) Remarqe Le terme gééral v d e série alterée pet-être oté : + v = avec 0 Théorème (Leibiz) Soit Si + ( ) = (avec lim = 0 et ( ) + 0 ) e série alterée. alors la série + ( ) = coverge. Exemple + ( )... avec = = = + = = La série + = Soit la série harmoiqe alterée : O a : coverge. et lim lim 0 = + + = 4 ( ) Démostratio k+ Posos s = ( ) k avec k 0 k. O a doc les sommes partielles sivates : k= sj =... + j j sj+ =... + j j + j+ s = j+ j j j+ j+ Doc sj+ sj = j+ j+ 0 par hypothèse. Aisi les s j (idices paires) formet e site croissate car sj+ sj. De pls s = = ( )... ( ) < j j j j j j j > 0 > 0 > 0 Et doc la site des s j est borée. Comme l o sait q e site croissate et borée coverge, o pet dire qe lim sj = s. j Cosidéros maiteat sj+ = sj + j+ lim sj+ = lim sj + lim j+ = s + 0 = s j j j Ce qi motre qe les dex séries s j et s j + coverget vers la même limite, qi est égalemet la + limite de la série alterée ( ) qi est doc covergete. = + P.S. / Sites et séries / N-A

31 .9 Covergece des séries à termes qelcoqes Défiitios O dit qe la série est absolmet covergete si = coverge. = Théorème Si e série est absolmet covergete alors = coverge. = Exemple La série (qi est pas à termes positifs) est absolmet covergete car = est e série géométriqe q = qi coverge La série état absolmet covergete, elle coverge Démostratio Soit telle qe = = coverge. O créé dex ovelles séries : Alors v et w v si 0 0 si 0 = et w = 0 si < 0 si < 0 sot dex séries à termes positifs et o a v w = = coverge, alors ( v + w) = v + w = = = = Par hypothèse, coverget. et doc v et w = = = v w = v w = = = = Fialemet : ( ) Remarqe coverge coverge assi. = et = v + w La réciproqe d théorème est fasse : «Si coverge alors est absolmet covergete = =». Cotre-exemple : La série altreée ( ) + coverge mais ( ) + = diverge (série harmoiqe). = = = P.S. / Sites et séries / N-A

32 Exercice 46 Etdier la covergece des séries alterées sivates à l aide d théorème de Leibiz. a) b) = = ( )! ( ) + c) d) 4 Exercice 47 a) Etdier la covergece des séries sivates qi e sot pas à termes positifs i alterées. ) ) ) Idicatio : détermier si la série est absolmet covergete b) Démotrer la propositio sivate : «Cosidéros e série à termes positifs qi coverge. Si o chage le sige à e = ifiité de termes de cette série alors la série obtee v coverge assi». = P.S. / Sites et séries / N-A

33 .0 Ce q il fat absolmet savoir Coaître la défiitio d e site et ses différetes formes. Détermier das des cas simples, le terme gééral d e site. Détermier la covergece o la divergece d e site. Détermier le er terme et la raiso d e site arithmétiqe et géométriqe. 4 Détermier le terme gééral d e site arithmétiqe et géométriqe. 5 Coaître la défiitio d e série et d e somme partielle. 5 Calcler la ième somme partielle lorsqe la site est e progressio arithmétiqe o géométriqe. 6 Compredre et tiliser le raisoemet par récrrece. 7 Coaître la coditio écessaire mais pas sffisate por la covergece d e série. 8 Coaître les critères de covergece des séries à termes positifs (critère de comparaiso, qotiet, racie et Riema). 9 Coaître le théorème de Leibiz sr la covergece d e série alterée. 0 Coaître le théorème sr la covergece des séries à terme qelqoqes. ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok ok P.S. / Sites et séries / N-A

34 . Soltios des exercices Ex a) 4 ;; ; b) ; ; ; c) ; ;; d) ; ;0 ; Ex a) 7 ;;7;5 ;647 ;94 b) 0;;;4;6;65' 56 c) ;;0;7;;4 Ex a) = b) = + c) = d) = e) = f) = g) = ( + ( ) ) h) = ( ) + + i) = j) = + k) = l) = ( + ) + Ex 4 + a) lim = coverge b) lim = diverge c) lim =+ diverge d) lim 4 = 0 coverge + si k > 0 diverge k e) lim = si k = 0 coverge 0 si k < 0 coverge f) 0; ;0;;0; ;0;;0; ;... diverge par oscillatio + g) lim( ) = lim( ) diverge par oscillatio h) lim + = 0 coverge Ex 6 a) 4 ;;;;40 ;49 ;58 b) 76 = + r( 76 ) = = 579 Ex 7 a) = 78 b) r = 6 et = 54 c) 54; 480; 48; 56; 94; d) = 0 Ex 8 ( ) b est e site arithmétiqe dot la raiso est : r = r Ex 9 k = 4 Ex 0 ; ;4 ;8 ;6 Ex a) raiso : q = = q = 7 = ' 70' 087 b) = Ex a) a8 = b) b5 = c) 64 Terme gééral : c = 0 _ P.S. / Soltios des exercices / N-A

35 Ex ) 7 ; ; 8 7 ;... Site géométriqe / raiso : 4 q = / terme gééral : ' 85' = = 0, ' 88' 856 lim 0 =, c est-à-dire : coverge vers 0 car site géométriqe avec q ] ;] _ P.S. / Soltios des exercices / N-A 7 4 = =. 7 ) ; ; 5 ; 7 ;... Site arithmétiqe / raiso : r 9 0 = + 9 = / lim =+, c est-à-dire : diverge car site arithmétiqe avec ) ; 4 ; 9 ;6 ;... Ace / terme gééral : = / ) ; ; ;4 ; 5 ;... = + = / terme gééral : ( ) Ace / terme gééral : ( ) 5) ; 0, ; 0,0 ;... Site géométriqe / raiso : 9 0 = = 0 ' 000' 000' 000 lim 0 0 r = 0. = = / diverge car lim = + = / 0 = 0 / diverge par oscillatio q = / terme gééral : 0 =. 0 =, c est-à-dire : coverge vers 0 car site géométriqe avec q ] ;] 6) x 8 ; x + ; x + ;... Site arithmétiqe / raiso : r 5 7) 8) 0 = x+ 7 / lim 4 0 =+, c est-à-dire : diverge = Site arithmétiqe / raiso : r 4 0 = 0 / lim x+ x+ ; ; ;... 0 ( ) 9 = = + x 9x = 0 = / terme gééral : = x 8+ 5 ( ) x car site arithmétiqe avec r = 5 0 = / terme gééral : ( ) =+, c est-à-dire : diverge car site arithmétiqe avec r = 4 0 Site géométriqe / raiso : 0 si x < 0 coverge lim = si x = 0 coverge + si x > 0 diverge x q = 6+ 4 = / terme gééral : ( ) = x 9) ( ) ( ) ( ) = log ;log ;log ;... = ( ) ( ) ( ) Site arithmétiqe / raiso : r = log( ) / terme gééral : = log ( ) + log ( ) ( ) 0 = 0 log( ) lim =+, c est-à-dire : diverge car site arithmétiqe avec r = log( ) 0 log ;log 9 ;log 7 ;... ( ) ( ) ( ) 0) ; ; ;... Site géométriqe / raiso : q ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = 8 diverge par oscillatio car site géométriqe avec q= < ) = 0 Ace / terme gééral : = 0 / diverge car lim =+ log ;log ;log ;... = = / terme gééral : ( ) 0 = 0 0 = 90 ) ; ; ; 4 ;... Ace / terme gééral : =... ( ) =! / 0 = 0! = ' 68' 800 diverge car lim =+

36 Ex 4 a) 5 ; 7 ;9 ; ; ; 5 ; 7 ; 9 ; b) 5 ; 5 ;45 ; 5 ; 405 ; 5 ; 645 ; 095 ; 805 Ex 5 a) ( 980 ) p = ' 000' 000 ( 98) p = ' 060' 000 ( 98 ) p = ' ' 600 ( 98 ) p4 = ' 9' p = p + p = p b) + q 6 06 O a e site géométriqe de raiso : q= + = =, Le terme gééral est : p = '000' c) ( ) 000 p = ' 000' 000,06 ' 07' 5. Ex 6 r = 0 Doc 45 ; 75 ; 05 ; 5 Ex 7 a) a5 Ex 8 = 8 5,7 litres b) 6 8 Ex9 a) ) ( i+ )=49 ) i = 0 i= 0 i= 8 4 k ) (i ) = 5 = 0 4) ( ) i= k= 4 k c k = c c + c4 c5 6) k= j= 5 5) ( ) j cj 4 = c + c + c + c j b) ) 6 ( i+ ) ) i= 0 8 i i= ) i 4) i= 6 i = i + i 0 Ex a) S5 = 570 b) S0 = 50 c) S8 = d) S = 6 e) S6 = f) S8 = Ex a) S66 = 66 b) S8 = 97 c) S0 = 800 d) 66' 8 66 = 60' 00 e) 9' = 6' 54 Ex = 0+ 4( ) = 6+ 4 Ex 4 65 Ex ,50 fracs Ex 6 a) 4 = 8' 500 ités 0 = 5' 500 b) = 4 S4 = 40'000ités Ex 7 0 secodes _ P.S. / Soltios des exercices / N-A

37 Ex 8 a) q ] ;[ b) 0,6 0,06 0, ] [ c) d) e) f) ] [ ] [ ] [ + + ] [ = S = 54 q= ; 0 S = 0,6 q 4 5 = ; S = 5 9 q= ; diverge q= ; S = q 6 = ; S = 4 5 g) h) + r + r + r +... q= r a + ap + ap + ap +... q= p si r ; S = r diverge si r ] ;[ ] [ a si p ; S = p diverge si p ] ;[ ] [ Ex 9 a) = b) = = = c) + = = 6 Ex 0 Doc a total = 405 cm Ex a),44... = b) 0, = Ex Série géométriqe : S = a+ a + a + a = 4,4 π π Ex a) C = S C = S+ b) Ex 4 a) O a e série géométriqe de raiso : q = et de premier terme = 4 4 Doc S = D D D = = b) S = D< 500 D< = 75 mg 4 Ex 6 b) S = = 855 c) S 6 0 ( 4 ) ( )( + ) 4 = = _ P.S. / Soltios des exercices / N-A

38 Ex 8 a) La propositio est vrai por =. La propositio est fasse por =. + + La propositio : = ( )( ) b) La propositio est vrai por =. ( + )( + ) La propositio = est vraie 6 6 est doc fasse.. Ex 40 + a) terme gééral : = lim = 0 La série diverge b) terme gééral : = lim = 0 La série diverge c) terme gééral : = lim = 0 La série diverge Ex 4 a) La série coverge b) La série diverge c) La série diverge Ex 4 a) La série coverge b) La série coverge c) La série diverge Ex 4 a) La série coverge b) La série diverge c) La série coverge Ex 44 a) La série diverge b) La série diverge c) La série coverge! Ex 45 a) terme gééral : ()! b) terme gééral : = et α = La série coverge. = La série coverge. α c) terme gééral : + d) terme gééral : = + La série diverge. e) terme gééral : = La série diverge. f) terme gééral : ( ) = 0 La série diverge g) terme gééral : = 9 La série coverge! h) terme gééral : = La série diverge. = La série coverge. Ex 46 a) La série coverge. b) La série diverge. c) La série coverge. d) La série coverge. Ex 47 a.) est absolmet covergete doc coverge. = = a.) a est absolmet covergete doc a coverge. = = a.) b est absolmet covergete doc b = = coverge. _ P.S. / Soltios des exercices / N-A

39 Notes persoelles

40 Notes persoelles