Chapitre 4. Similitudes du plan. 4.1 Définition et exemples

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1 Chapitre 4 Similitudes du plan Les isométries sont des transformations rigides, dans le sens où elles préservent toutes les mesures du plan affine : distances et angles. En effet, le terme isométrie est relativement moderne : Klein, Poincaré et autres pères de la géométrie auraient plutôt parlé de mouvement rigide. Et si on relâchait un peu les contraintes? Nous voulons préserver les formes, quitte à déformer les distances. Que veut-on dire par préserver les formes? Prenons par exemple un carré. Un carré est un quadrilatère dont les côtés sont de longueur égale ; une isométrie transformera donc un carré en un autre carré. Mais une dilatation, qui n est pas une isométrie, transformera aussi un carré en un carré, sauf que les longueurs auront changé. En effet, le rapport entre les longueurs des côtés demeure le même. On peut donc dire que préserver la forme d un objet, c est préserver les rapports entre les longueurs. Essayons d exprimer ceci de façon mathématiquement succinte. On observe qu une transformation préservant le rapport entre les longueurs de deux segments de droites préservera aussi tous les angles du triangle formé par ces segments. Voir la Figure 4.1. Nous nous servirons de cette observation pour définir la notion de similitude. 4.1 Définition et exemples Définition Soient u, v R n deux vecteurs non nuls. L angle entre les vecteurs est : ( u, v) cos 1 u, v u v 41

2 CHAPITRE 4. SIMILITUDES DU PLAN 42 dilatation α α non dilatation α β α Fig. 4.1 Une dilatation préserve les angles. De même, étant donnés X, Y, Z R n trois points distincts, l angle entre les segments de droites XY et XZ est l angle entre les vecteurs Y X et Z X. Notation On dénote l angle entre deux vecteurs u, v par ( u, v). De même, l angle entre les segments de droite XY et XZ est (XY, XZ) Définition Une transformation affine g : R n R n est une similitude si pour tous X, Y, Z R n : (g(x)g(y), g(x)g(z)) (XY, XZ) Une transformation linéaire est une similitude si et seulement si elle préserve les angles entre les vecteurs. Théorème Une isométrie est une similitude. ajouter la notation pour les segments de droite au chapitre 1 Preuve. Soit g : R n R n une isométrie avec partie linéaire f. Soient X, Y, Z R n. Puisque f est orthogonale, f( u), f( v) u, v pour tous vecteurs u, v R n. En particulier : f(y X), f(z X) f(y X) f(z X) Y X, Z X Y X Z X Théorème La composition de deux similitudes est une similitude.

3 CHAPITRE 4. SIMILITUDES DU PLAN 43 Preuve. Soient g i : R n R n, i 1, 2, deux similitudes. Alors pour tous X, Y, Z R n : (g 2 g 1 (X)g 2 g 1 (Y), g 2 g 1 (X)g 2 g 1 (Z)) (g 1 (X)g 1 (Y), g 1 (X)g 1 (Z)) (XY, XZ) La première égalité tient parce que g 2 est une similitude et la deuxième, parce que g 1 en est une. Exemple Soit λ > 0. Considérons l application linéaire d λ : R n R n, définie par d λ ( u) λ u. Alors d λ est une similitude puisque, pour tous u, v R n : (d λ ( u), d λ ( v)) cos 1 λ u, λ v λ u λ v cos 1 λ 2 u, v λ 2 u v cos 1 u, v u v ( u, v) Ceci est un exemple d homothétie linéaire. Définition Soit λ > 0 et C R n. L homothétie de rapport λ et centrée en C, dénotée d λ,c, est la conjugaison suivante : d λ,c (X) d λ (X C) + C Puisque les translations et les homothéties linéaires sont des similitudes : Théorème Une homothétie est une similitude Exercice 1. Soit λ > 0 et C R n. Trouvez l inverse de l homothétie d λ,c et concluez que c est une homothétie. 4.2 Classification des similitudes Nous proposerons dans cette section une description générale des similitudes de l espace affine R n. Par les résultats de la section précédente, nous savons qu une composition d isométries et d homothéties est une similitude. Nous allons montrer que nous obtenons ainsi toutes les similitudes.

4 CHAPITRE 4. SIMILITUDES DU PLAN 44 Lemme Supposons que g est une similitude. Soit f sa partie linéaire et A la matrice de f. Alors il existe λ > 0 tel que : A T A λ 2 I (4.1) Preuve. Soit e 1,..., e n la base habituelle de l espace vectoriel R n. Observons que, si A T A[i, j] dénote l entrée (i, j) de la matrice A T A : f( e i ), f( e j ) e T i AT A e j A T A[i, j] Pour 1 i j n, le fait que e i, e j 0 implique que f( e i ), f( e j ) 0. Donc A T A est une matrice diagonale. Pour i 1,... n, posons λ i f( e i ). Alors A T A[i, i] λ 2 i. D une part, nous avons : D autre part : cos ( e i, e i + e j ) e i, e i + e j e i e i + e j 2 2 cos (f( e i ), f( e i + e j )) f( e i), f( e i + e j ) f( e i ) f( e i + e j ) f( e i ), f( e i ) + f( e j ) f( e i ) f( e i + e j ), f( e i + e j ) f( e i ), f( e i ) f( e i ) f( e i ) + f( e j ), f( e i ) + f( e j ) λ 2 i λ i λ 2 i + λ2 j λ2 j λ 2 i Puisque f préserve les angles, cette valeur doit être égale à 2, ce qui implique que 2 λ i λ j. Observons que si g est une homothétie, la matrice de sa partie linéaire est un multiple de l identité : λi.

5 CHAPITRE 4. SIMILITUDES DU PLAN 45 Lemme Soit g t u f, une transformation affine de R n ; soit A la matrice de f. Supposons qu il existe λ > 0 tel que A satisfait l identité dans l Équation 4.1. Alors il existe une transformation orthogonale m telle que f d λ m. En particulier, g est une similitude. Remarque Rappelons qu une transformation orthogonale est une isométrie linéaire. Le lemme dit donc que la partie linéaire de g est la composition d une homothétie avec une isométrie. Preuve. Soient a 1,..., a n les colonnes de A pris comme vecteurs. implique que pour tous 1 i j n : L Équation (4.1) a i, a j 0 a i 2 a i, a i λ 2 Autrement dit, a i λ v i, où les vecteurs v 1,..., v n forment une base orthogonale. Par conséquent A λo, où O est une matrice orthogonale et : f d λ m où m est l isométrie associée à la matrice orthogonale O (Théorème 2.2.2). La transformation g étant la composition de la translation t u (une isométrie, donc une similitude), de l homothétie d λ et de l isométrie m, il s agit donc d une similitude. En plus de servir dans la preuve de notre Théorème de classification 4.2.5, le Lemme est un critère utile pour déterminer si une transformation affine est une similitude ou non. Exemple Soit g : R 2 R 2, la transformation affine définie comme suit : g(x 1, x 2 ) (x 1 x 2 + 4, x 1 + x 2 3) 4 Posant u, g t 3 u f, où f est la transformation linéaire ayant pour matrice : A

6 CHAPITRE 4. SIMILITUDES DU PLAN 46 Vérifions si g est une similitude : A T A I Donc g est une similitude. De plus : Donc g t u d 2 r π/4. A 2 [ Théorème (Théorème de classification) Une transformation affine g : R n R n est une similitude si et seulement si il existe un vecteur u R n, une homothétie d et une isométrie m tels que : Preuve. g t u d m ( ) Puisque g est une composition de similitudes, g est une similitude. ( ) Écrivons g t u f. Soit A la matrice de f. Par le Lemme 4.2.1, A satisfait l Équation (4.1) et donc par le Lemme (4.2.2), f est la composition d une transformation orthogonale et d une homothétie. Le théorème de classification dit que toute similitude s écrit sous la forme : x 1 (x 1,..., x n ) λo. x n ] + (u 1,..., u n ) où λ > 0, O est une matrice orthogonale et (u 1,..., u n ) R n. Le cas λ 1 correspond à une isométrie. Remarque Dans l énoncé du Théorème 4.2.5, nous n avons pas écrit par exemple d et m, puisqu il n est pas nécessaire de supposer que d et m sont linéaires. Néanmoins, nous pouvons nous ramener à ce cas : étant donné g t u d m, où d et m ne fixent pas l origine, nous pouvons trouver une homothétie linéaire d et une transformation orthogonale m et un nouveau vecteur de translation u tels que g t u d m. Voir à ce sujet l exercice 2.

7 CHAPITRE 4. SIMILITUDES DU PLAN Exercices 1. Déterminez si les transformations affines suivantes sont des similitudes. Si oui, décrivez la partie linéaire comme la composition d une homothétie et d une isométrie, en précisant le rapport de l homothétie et de quelle isométrie il s agit. (a) g : (x 1, x 2 ) (b) g : (x 1, x 2 ) (c) g : (x 1, x 2 ) [ [ ] [ x1 x 2 [ ] + (1, 2) ] x1 + (1, 2) 1 x 2 ] x1 + (1, 2) (d) g : (x 1, x 2 ) ( 3x 1 + 3x 2 + 1, 3x 1 3x 2 + 2) (e) g : (x 1, x 2 ) ( 2x 1 2x 1 + 1, 3 2x x 2 + 2) 1 2. Soit l (1, 0) + R. Soit g d 1 2,(1,0) m l. x 2 (a) Trouvez un vecteur u, ainsi qu une homothétie linéaire d et une transformation orthogonale m tels que g t u d m. (b) Trouvez tous les points fixes de g, s il y en a. 4.3 Classification des similitudes du plan Le Théorème tient pour tout espace affine R n. Dans le cas n 2, nous savons que la partie linéaire est ou bien une rotation, possiblement l identité, ou bien une réflexion. Nous appliquons ceci aux similitudes. Plus précisément, nous nous intéressons ici aux similitudes qui ne sont pas des isométries : celles qui comportent une homothétie non triviale. Théorème Soit g t u d λ m, une similitude du plan, telle que λ 1 et m est orthogonale. Alors g admet un unique point fixe. Preuve. Soit O la matrice de m et u [ u1 u 2 ]. Alors g admet un unique point fixe si et seulement si l équation suivante admet une solution unique en (x 1, x 2 ) : x1 λo + (u 1, u 2 ) (x 1, x 2 ) x 2

8 CHAPITRE 4. SIMILITUDES DU PLAN 48 La solution existe et est unique si et seulement si λo I est inversible. cos θ sin θ Cas 1 : O. Nous incluons la possibilité que O I. Alors : sin θ cos θ () λ cos θ 1 λ sin θ det(λo I) det λ sin θ λ cos θ 1 (λ cos θ 1) 2 + λ 2 sin 2 θ λ 2 2λ cos θ + 1 λ 2 2λ + 1 puisque cos θ 1 (λ 1) 2 > 0 puisque λ 1 Donc λo I est inversible. cos θ sin θ Cas 2 : O. Alors : sin θ cos θ () λ cos θ 1 λ sin θ det(λo I) det λ sin θ λ cos θ 1 (λ 2 cos 2 θ 1) λ 2 sin 2 θ 1 λ 2 0 Donc λo I est inversible. On remarque que dans les deux cas, le point fixe est : O (λo I) 1 u Rappelons que si g est une transformation affine admettant un point fixe C, g peut s écrire de la forme suivante : g : C + u C + f( u) où f est la partie linéaire de g. Autrement dit : g : X C + f( u C) Ainsi, lorsque g est une similitude comportant une homothétie non triviale, g est conjuguée à une transformation linéaire. Nous avons donc montré : Théorème Soit g t u d λ m, une similitude du plan, telle que λ 1 et m est orthogonale. Soit C le point fixe de g. Alors : où c C O. g t c d λ m t c (4.2)

9 CHAPITRE 4. SIMILITUDES DU PLAN 49 g(z) g(y) g(x) Z λδ C δ θ X Y Fig. 4.2 L effet de la composition de la rotation r (θ,c) avec l homothétie d λ,c. Remarque En fait, les Théorèmes 4.3.1et tiennent dans R n en général, comme nous le verrons pour les similitudes de l espace. Supposons donc qu on ait une similitude du plan g qui n est pas une isométrie. Donc elle peut s écrire sous la forme de l Équation (4.2). Le facteur orthogonal m est ou bien une rotation autour de l origine ou bien une réflexion dans une droite passant par l origine. Examinons de plus près ces deux cas Cas 1 : m est une rotation Disons m r θ, θ R. Soit C le point fixe de g. Nous pouvons montrer que : g d λ,c r (θ,c) Ceci ce montre en développant cette expression et celle à l Équation (4.2), ou encore en examinant l effet sur trois points non collinéaires. (Exercice!) Observons de plus que les deux facteurs commutent : g r (θ,c) d λ,c C est en effet une conséquence de l exercice 2. La Figure 4.2 illustre l effet d une telle similitude sur un triangle Cas 2 : m est une réflexion Disons m m l, où l est la droite ayant pour équation y tan θx. Montrons cos θ que que la droite C + l est invariante pour g. Soit v ( v est parallèle à l) et sin θ

10 CHAPITRE 4. SIMILITUDES DU PLAN 50 Z Y X C C + l g(x) g(z) g(y) Fig. 4.3 L effet de la composition de la réflexion m C+l avec l homothétie d λ,c. soit C + k v, k R, un point quelconque de la droite. Alors, posant c C O : g(c + k v) t c d λ m t c (C + k v) d λ m l (k v) + C λk v + C C + l La dernière égalité est due au fait que v est fixée par la réflexion. Comme pour le cas avec une rotation, on peut voir que : g d λ,c m C+l m C+l d λ,c La Figure 4.3 illustre l effet d une telle similitude sur un triangle Exercices 1. Écrire les similitudes suivantes sous la forme de l Équation (4.2). 0 2 x1 (a) g : (x 1, x 2 ) + (1, 1) 2 0 x x1 (b) g : (x 1, x 2 ) + (0, 2) 1 1 (c) g d 4,(1,1) r ((1,1),π/2) (d) g d 2,( 1,1) r ((1,0),π) (e) g r ((1,1),π/4) d 2,( 1,1) (f) g d 2,( 1,1) m l, où l est la droite d équation y x x 2 (g) g d 1/3,(2,0) m l, où l est la droite d équation y x + 1

11 CHAPITRE 4. SIMILITUDES DU PLAN Le but de cet exercice est de montrer le fait suivant. Soit g une transformation affine quelconque ; soit λ > 0 et C R n. Alors d λ,c g g d λ,c si et seulement si g(c) C. (a) Montrez la direction ( ) en développant d λ,c g(x) pour un X quelconque. Utilisez le fait que g(x) C + f(x C), où f est la partie linéaire de g. (b) Montrez que si g(c) d λ,c g(x) d λ 1,C, alors g(c) est une point fixe de l homothétie d λ,c. (c) Utilisez (b) pour montrer la direction ( ). (Indice : quels sont les points fixes d une homothétie?) 4.4 Les nombres complexes et les similitudes Rappelons la correspondance entre le plan affine R 2 et le plan complexe C : (x 1, x 2 ) R 2 x 1 + x 2 i C Nous allons voir que les similitudes du plan affine correspondent à des opérations algébriques du plan complexe Les translations La translation par le vecteur u [ u1 u 2 ] : (x 1, x 2 ) (x 1 + u 1, x 2 + u 2 ) correspond à l addition du nombre complexe u 1 + u 2 i : x 1 + x 2 i (x 1 + u 1 ) + (x 2 + u 2 )i Les rotations Rappelons que : e θi cos θ + sin θi Montrons qu une rotation autour de l origine correspond à une multiplication par un nombre complexe unitaire. Pour z x 1 + x 2 i C : e θi z (cos θ + sin θi)(x 1 + x 2 i) cos θx 1 + sin θx 2 i 2 + (cos θx 2 + sin θx 1 )i cos θx 1 sin θx 2 + (cos θx 2 + sin θx 1 )i

12 CHAPITRE 4. SIMILITUDES DU PLAN 52 Dans le plan affine, ce dernier correspond à : (cos θx 1 sin θx 2, cos θx 2 + sin θx 1 ) cos θ sin θ x1 O + sin θ cos θ x Les réflexions Rappelons que le conjugué de z x 1 + x 2 i est : z x 1 x 2 i Observez que la conjugaison correspond à m x, la réflexion dans l axe des x. Pour obtenir une réflexion linéaire quelconque, nous nous servirons du fait que toute réflexion est conjuguée à m x. Lemme Soit l la droite ayant pour équation y tan θx, 0 θ π. Alors m l r θ m x r θ. Preuve. Exercice! Par conséquent, la réflexion dans la droite y tan θx correspond à la composition suivante : z e θi e θi z e θi e θi z e 2θi z Les similitudes λ. Bien sûr, l homothétie linéaire d λ correspond à la multiplication par le nombre Par conséquent, toute similitude correspond à une composition d opérations algébriques dans le plan complexe. Cas 1 : g préserve l orientation. Dans ce cas-ci : g t u d λ r θ correspond à : z λe θi z + b

13 CHAPITRE 4. SIMILITUDES DU PLAN 53 où b est le nombre complexe correspondant au vecteur u. Cas 2 : g renverse l orientation. Dans ce cas-ci : g t u d λ m l où l est la droite ayant pour équation y tan θx, correspond à : z λe 2θi z + b où b est le nombre complexe correspondant au vecteur u. Finalement, observez que pour tout a C différent de 0, il existe λ 0 et θ R tels que a λe θi. Nous avons donc montré : Théorème Toute similitude du plan affine correspond à une transformation algébrique du plan complexe : z az + b si la similitude préserve l orientation ; z a z + b si la similitude renverse l orientation Exercices 1. Écrire les transformations affines suivantes sous forme d opérations algébriques du plan complexe. 1 1 x1 1 (a) g : (x 1, x 2 ) x 2 3 [ ] 3 3 (b) g : (x 1, x 2 ) x x 2 1 (c) la rotation d angle π/3 autour du point ( 2, 1). (d) la réflexion dans la droite y 3x Écrire les opérations suivantes sous forme de transformation affine, en donnant la règle. (a) z 2 z i (b) z 3e πi/2 z 2 + i (c) z (1 + i)z + 1 (d) z 3e πi/2 z 2