Géométrie plane, transformations : translations, rotations, symétries orthogonales, homothéties

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1 Géométrie plane, transformations : translations, rotations, symétries orthogonales, homothéties Denis Vekemans Ceci n est pas un cours, c est une illustration du cours sur des exemples! Ceci peut donc aider à comprendre le cours!

2 Les isométries Les isométries sont des transformations qui conservent les longueurs, par définition. Parmi celles-ci, on trouve les translations, les rotations, les symétries centrales et symétries orthogonales. Les translations, les rotations et les symétries centrales ne retournent pas les figures : ce sont des déplacements. Les symétries orthogonales retournent les figures : ce sont des anti-déplacements.

3 Les transformations et le B.O (1) La symétrie orthogonale (souvent appelée symétrie axiale) au cycle 2 (approche intuitive) : Reconnaître si une figure présente un axe de symétrie (à trouver). Compléter une figure pour qu elle soit symétrique par rapport à un axe donné. Se limiter au quadrillage à maille carrée, avec un axe soit horizontal, soit vertical. Symétrie axiale. Une figure décalquée puis retournée qui coïncide avec la figure initiale est symétrique : elle a un axe de symétrie (à trouver) Calque!!!. Une figure symétrique pliée sur son axe de symétrie, se partage en deux parties qui coïncident exactement Pliage!!!.

4 Les transformations et le B.O (2) La symétrie orthogonale au cycle 3 (approche plus formelle) : Compléter une figure par symétrie axiale. Sur un quadrillage à maille carrée, on peut cette fois proposer un axe qui soit diagonal. On peut aussi varier la maille du quadrillage (rectangulaire (axes // à des côtés), triangulaire (triangles équilatéraux, axes // à des côtés ou à des médiatrices), hexagonal (hexagones réguliers, axes // à des côtés)). On peut également retirer tout quadrillage (bien que plutôt sixième).

5 Les transformations et le B.O (3) Construire la figure symétrique d une figure donnée par rapport à un axe donné que l axe de symétrie coupe ou non la figure, construire le symétrique d une droite, d un segment, d un point par rapport à un axe donné. Approche constructive de la définition (théoriquement sixième, mais pratiquement CM) Figure symétrique, axe de symétrie d une figure, figures symétriques par rapport à un axe. Définition de la symétrie orthogonale (sixième) Propriétés de conservation de la symétrie. Propriétés de la symétrie orthogonale (sixième) axiale. Médiatrice d un segment. Notion constitutive de la symétrie orthogonale (sixième)

6 Les transformations et le B.O (4) Au cycle 4 : Comprendre l effet d une translation, d une symétrie (axiale et centrale), d une rotation, d une homothétie sur une figure. La symétrie axiale a été introduite au cycle 3 définie en sixième. La symétrie centrale est travaillée dès le début du cycle 4, en liaison avec le parallélogramme définie en cinquième. Les translations, puis les rotations sont introduites en milieu de cycle, en liaison avec l analyse ou la construction des frises, pavages et rosaces, mais sans définition formalisée en tant qu applications ponctuelles pas de définition de la translation ou de la rotation au collège. Une fois ces notions consolidées, les homothéties sont amenées en troisième, en lien avec les configurations de Thalès, la proportionnalité, les fonctions linéaires, les rapports d agrandissement ou de réduction des grandeurs géométriques les homothéties de rapport positif sont définies en troisième.

7 Définition de la symétrie orthogonale On se donne une droite (d) (du plan). La symétrie orthogonale d axe (d) est une transformation du plan qui, à tout point M (du plan), associe un point M (du plan) tel que la droite (d) soit médiatrice du segment [MM ]. Un point M est invariant par la symétrie orthogonale d axe (d) si et seulement s il appartient à (d). Si M est symétrique de M par rapport à l axe (d), alors M est symétrique de M par rapport à l axe (d). On dit que M est symétrique de M par rapport à l axe (d) ; M est l image de M dans la symétrie d axe (d) ; M et M sont symétriques par rapport à l axe (d).

8 Définition de la symétrie centrale On se donne un point O (du plan). La symétrie centrale de centre O est une transformation du plan qui, à tout point M (du plan), associe un point M (du plan) tel que le point O soit milieu du segment [MM ]. Un point M est invariant par la symétrie de centre O si et seulement s il est O. Si M est symétrique de M par rapport au point O, alors M est symétrique de M par rapport au point O. On dit que M est symétrique de M par rapport au point O ; M est l image de M dans la symétrie de centre O ; M et M sont symétriques par rapport au point O.

9 Propriétés des isométries Conservation des longueurs, des milieux, de l alignement, de la perpendicularité, du parallélisme, des angles,... En particulier, elles transforment un cercle de centre Ω de rayon r en un cercle de centre Ω de rayon r où Ω est l image de Ω par la transformation en question ; un polygone régulier à n côtés de centre Ω de rayon r en un polygone régulier à n côtés de centre Ω de rayon r où Ω est l image de Ω par la transformation en question ;...

10 Définition de l homothétie de rapport positif On se donne un point O (du plan) et un nombre k réel et positif. L homothétie de centre O et de rapport k est une transformation du plan qui, à tout point M (du plan), associe un point M (du plan) tel que le point M soit sur la demi-droite [OM) et que OM = k OM. Un point M est invariant par l homothétie de centre O et de rapport k si et seulement s il est O. À supposer que k soit non nul. Si M est homothétique de M par l homothétie de centre O et de rapport k, alors M est homothétique de M par l homothétie de centre O et de rapport 1 k. On dit que M est homothétique de M l homothétie de centre O et de rapport k ; M est l image de M par l homothétie de centre O et de rapport k.

11 Propriétés des homothéties Conservation des rapports de longueurs, des milieux, de l alignement, de la perpendicularité, du parallélisme, des angles,... En particulier, elles transforment un cercle de centre Ω de rayon r en un cercle de centre Ω de rayon k r où k est le rapport de l homothétie et où Ω est l image de Ω par l homothétie en question ; un polygone régulier à n côtés de centre Ω de rayon r en un polygone régulier à n côtés de centre Ω de rayon k r où k est le rapport de l homothétie et où Ω est l image de Ω par l homothétie en question ;...

12 Triangles isométriques (1) Pour montrer que les triangles ABC et A B C sont isométriques, on a trois égalités de longueurs à considérer : AB = A B, BC = B C et AC = A C, et on a trois égalités d angles à considérer : ÂBC = Â B C, BCA = B C A et ĈAB = Ĉ A B. 1. Si les trois égalités de longueurs sont satisfaites, alors les triangles ABC et A B C sont isométriques. 2. Si deux des trois égalités de longueurs et une des trois égalités d angles sont satisfaites, alors les triangles ABC et A B C sont isométriques. 3. Si une des trois égalités de longueurs et deux des trois égalités d angles sont satisfaites, alors les triangles ABC et A B C sont isométriques. 4. Mais attention, si les trois égalités d angles sont satisfaites, on ne peut pas conclure que les triangles ABC et A B C sont isométriques : ce n est pas forcément le cas. Tout ce qu on peut déduire, c est qu ils sont semblables (de même forme, mais pas forcément de même dimension).

13 Triangles isométriques (2) Deux triangles sont dits isométriques si on peut passer de l un à l autre par une isométrie. Pourtant, ce n est pas toujours utile de connaître explicitement cette isométrie. Ce qu on gagne à montrer que deux triangles sont isométriques, ce sont les autres égalités. Ce qu on gagne à montrer que deux triangles sont semblables, c est l égalité des rapports de longueurs suivants : AB A B = BC B C = AC A C.

14 Agrandissement/réduction Une homothétie de rapport k est un agrandissement lorsque k > 1 et une réduction lorsque 0 < k < 1. On peut parler d homothétie dans le plan, mais aussi dans l espace. On a le théorème suivant : une homothétie de rapport k 1. multiplie par k les longueurs (dans le plan comme dans l espace) ; 2. multiplie par k 2 les aires (dans le plan comme dans l espace) ; 3. multiplie par k 3 les volumes (dans l espace).

15 Sur quadrillage CP (1) Reproduis cette figure.

16 Sur quadrillage CE1 (2) Complète la figure. Le trait rouge est l axe de symétrie de la figure.

17 Sur quadrillage CE1 (3) Complète la figure. Le trait rouge est l axe de symétrie de la figure.

18 Sur quadrillage CE2 (4) Reproduis cette figure.

19 Sur quadrillage CE2 (5) Imagine que tu as décalqué chacune des deux figures. Peux-tu superposer le calque après l avoir retourné? Si non, rectifie la figure pour que ce soit possible.

20 Sur quadrillage CE2 (6) Complète les deux figures. Le trait rouge est l axe de symétrie de chacune des deux figures.

21 Sur quadrillage CM1 (7) Construis le symétrique de la figure par rapport à l axe rouge.

22 Sur quadrillage CM1 (8) Construis le symétrique de la figure par rapport à l axe rouge.

23 Sur quadrillage CM2 (9) Construis le symétrique de la figure par rapport à l axe rouge.

24 Sur quadrillage CM2 (10) Construis le symétrique de la figure par rapport à l axe rouge.

25 Agrandissements CM2 La figure de droite est une ébauche d un agrandissement de la figure de gauche. Achève la figure de droite.

26 Continue la frise... Frise

27 Pavage Continue un pavage en utilisant le modèle ci-dessous!

28 Pavage Continue un pavage en utilisant le modèle ci-dessous!

29 Continue la rosace... Rosace