CORRECTION TD 1 Chapitre 1 Semestre /2016

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1 CORRECTION TD 1 Chapitre 1 Semestre 1-015/016 Evolutio d'ue gradeur-idices Outils Exercice Quelle répose est exacte? 9 i=1 i est égale à 1²+² ² ou ( )² ou 1+1² O a le tableau suivat : 4 Calculer l= 009. Calculer k =945 x l y l, = i=1 i = 1²+² ²... 4 l= k x k y k 1,5,5 5,5 1,5 0,5 x y 1 x l y l = 1,5 8,5 6 5,5=64 =1 x y 1 = 1,5,5 8 5,5 =7, k = = k =945 1= = 1065=195 Exercice 1- La cosommatio de pommes d'u méage par a est doée selo le type de pommes das le tableau ci-dessous : Variété i Prix uitaire (par kg) e Quatité cosommée e kg Golde,80 10 Pik lady,90 5 Royal Gala,10 15 Espiouze Sadrie Correctio TD 1 L1DEG-S1-015/016 1

2 Calculer le prix moye du kg de pommes cosommées das ce méage. Arrodir à De quelle moyee s'agit-il? O appelle p i le prix de la pomme i et q i la quatité cosommée de la même pomme. Moyee arithmétique : x= i=1 Variatio d'ue gradeur p i q i =,8 10,9 5,10 15 = 79,6 [,10;,90 ] q i k =1 Exercice 1-1. Le ombre de vetes de roues électriques a triplé e u a! Calculer le taux de variatio correspodat.. Louiso fait u placemet à court terme de qui lui rapportera 4% d'itérêts simples à échéace. Quelle sera le motat de so éparge à échéace?. Le prix d'u article TTC lorsque la TVA était de 19,6% était de 65,78. Sas autre hausse que celle de la TVA, quel sera le ouveau prix après le passage du taux à 0%? 4. Début 1960, o déombrait rhiocéros oirs das le mode. Début 004, l'espèce e compte plus que 000 spécimes (source WWF). a. Calculer le taux de croissace global de la populatio de rhiocéros oirs etre 1960 et 004. b. Calculer le taux moye auel de cette populatio etre 1960 et 004. c. A ce rythme, e quelle aée l'extictio de l'espèce aurait-elle été irréversible? (o estime que c'est irréversible e deça de 000 idividus). 1. Coefficiet multiplicateur CM= doc taux t=(cm-1) 100=00. Doc tripler correspod à ue hausse de 00% (1+4/100)= ,04= Le taux de TVA s'applique sur le prix HT doc, calculos le prix HT : prix HT (1+19,6/100)=prix HT 1,196=65,78 doc prix HT=65,78/1,196=55. O applique maiteat la hausse de 0% ce qui doe : 55 (1+0/100)=55 1,=66. valeur fiale valeur iitiale 4.a. D'après la formule taux= 100, o obtiet : valeur iitiale taux= = 97. Etre 1960 et 004, le ombre de rhiocéros oirs a baissé de 97%. b. Etre début 1960 et début 004 se sot écoulées =44 aées. Si t est le taux auel moye d'évolutio etre début 1960 et début 004 alors le coefficiet =0,0. Aisi t multiplicateur est (1+t/100) 44 mais il est égalemet doé par vérifie l'équatio (1+t/100) 44 = 0,0 soit t=(0,0 1/44-1) 100-7,7. Doc le taux auel moye etre 1960 et 004 est -7,7%. c. O cherche le ombre d'aées (doc etier aturel) à partir de 004 à partir duquel o obtiet mois de 000 idividus partat de 000 idividus subissat ue baisse auelle de 7,7%. Le coefficiet multiplicateur sur aées avec u taux costat de -7,7% est (1-7,7/100) soit 0,9. O doit doc résoudre l'équatio d'icoue : 0, doc doit vérifier : Espiouze Sadrie Correctio TD 1 L1DEG-S1-015/016

3 0,9 000/000 d'où 0,9 /. Ce type d'équatio se résoud e preat le logarithme épérie de chaque membre état doé que cette foctio est strictemet croissate sur ]0;+ [. O obtiet : l(0,9 ) l(/). A l'aide de la formule valable pour tout réel strictemet positif a et tout etier aturel, l(a )= l(a), l(0,9) l(/). ATTENTION : 0,9<1 doc l(0,9)<0 doc l(/)/l(0,9) soit 5,06 doc 6 ( état etier). Doc ue progressio similaire à celle etre 1960 et 004 aurait coduit à ue extictio irréversible 6 as après 004 soit e 010. Ue réactio modiale a permis d'iverser la courbe. O compte aujourd'hui idividus. Exercice 1-4 Le tableau ci-dessous doe, par aée, le ombre de titres de presse éditeur e Frace : aée Nombre de titres Taux de variatio Source : isee 1. Sachat que le ombre de titres a baissé de 4,6% etre 006 et 007, calculer le ombre de titres e 007 (arrodir à l'uité).. Calculer le taux de variatio d'ue aée à l'autre (arrodir à 10 - ).. Calculer le taux de variatio etre 005 et 008 (arrodir à 10 - ). 4. Calculer le taux de variatio auel moye etre 005 et 008 (arrodir à 10 - ). Quel type de moyee est alors utilisée? 1. Ue baisse de 4,6% correspod à u coefficiet multiplicateur de 1-4,6/100 soit 0,958 doc le ombre de titres e 007 vaut , A l'aide de la formule du taux de variatio e utilisat les ombres : valeur fiale valeur iitiale 100, o trouve les taux relevés das le tableau (ex de 005 à valeur iitiale 006, le taux est de ,7 : 4550 aée Nombre de titres Taux de variatio e % -0,64-0,6 +0,97-4,6 +4,7. Taux de variatio etre 005 et 008. O peut le calculer de deux faços : Première méthode : avec la défiitio du taux valeur e 005 : ; valeur e 008 : doc le taux est de , Deuxième méthode : avec les coefficiets multiplicateurs Le coefficiet multiplicateur de 005 à 008 est (1+4,7/100) (1-4,6/100) (1+0,97/100) soit eviro 1,008 dot le taux se calcule par la formule (CM-1) 100 et doe 0,8. 4. Soit t, le taux de variatio auel moye. O a trois périodes etre 005 et 008 doc Espiouze Sadrie Correctio TD 1 L1DEG-S1-015/016

4 le coefficiet multiplicateur est (1+t/100). Il est aussi égal à (1+4,7/100) (1-4,6/100) (1+0,97/100) 1,008. O utilise ici ue moyee géométrique. Il reste à résoudre (1+t/100) =(1+4,7/100) (1-4,6/100) (1+0,97/100). 1+t/100 1,008 1/ soit t (1,008 1/ -1) 100 0,8. Le taux auel moye est doc de 0,8%. Exercice 1-5 Le tableau ci-dessous doe l'évolutio du cours d'u titre e bourse par rapport au mois précédet : date 15/01/015 15/0/015 15/0/015 15/04/015 Taux de variatio +,4% -,1% -0,4% +4,6% Idice base 100 au 15/1/ Calculer le taux mesuel moye etre le 15/01/015 et le 15/04/015 (arrodir à 10 - ).. Calculer le taux de variatio etre le 15/1/014 et le 15/04/015.. Traduire les taux de variatio e idices base 100 au 15/1/014 (arrodir au 10-1 ). 1. Etre le 15/01/015 et le 15/04/015, o compte mois. Le coefficiet correspodat aux mois au taux t moye cherché est (1+t/100) et le coefficiet correspodat aux mois avec leur variatio est (1-,1/100) (1-0,4/100) (1+4,6/100) 1,0 Aisi, o a : (1+t/100) = (1-,1/100) (1-0,4/100) (1+4,6/100) doc : t=([(1+,1/100) (1-0,4/100) (1+4,6/100)] 1/ -1) 100 0,66%.. Coefficiet multiplicateur etre le 15/1/014 et le 15/04/015 : (1+,4/100) (1-,1/100) (1-0,4/100) (1+4,6/100) 1,0546. Le taux de variatio etre le 15/1/014 et le 15/04/015 est doé par la relatio etre le taux et le coefficiet : taux = (coefficiet 1) 100 (1,0546 1) 100 5,46%.. O cherche les idices e base 100 au 15/1/014, ils subisset les mêmes taux de variatio que le cours e bourse. Aisi l'idice au 15/1/014 état de 100, au 15/01/015, il est de 100 (1+,4/100)=10,4. Etre le 15/01/015 et le 15/0/015, la baisse est de,1% doc l'idice au 15/0/015 e base 100 au 15/1/014 se calcule par 10,4 (1,1/100) 101,. De la même faço, l'idice au 15/0/015 e base 100 au 15/1/014 se calcule par 101, (1 0,4/100) 100,8. Le derier calcul doe : 100,8 (1+4,6/100) 105,46. O retrouve le taux calculé à la questio. date 15/01/015 15/0/015 15/0/015 15/04/015 Taux de variatio +,4% -,1% -0,4% +4,6% Idice base 100 au 15/1/014 10,4 101, 100,8 105,46 Idices-gééralités Espiouze Sadrie Correctio TD 1 L1DEG-S1-015/016 4

5 Exercice 1-6 O doe ci-dessous le tableau de la dette publique e Europe e 008. pays Allemage Espage Frace Grèce Italie Zoe euro Dette e % du PIB 65,9 9,7 67,4 99, 105,8 69, Idice base 100 zoe euro Source : eurostat (valeurs courates) 1. Calculer l'idice de chaque pays e base 100 la zoe euro I pays/zoe euro (arrodir à l'uité).. Expliquer le ses de I Espage/zoe euro.. A partir des idices précédemmet calculés, trouver : I zoe euro/espage, I italie/allemage. dette pays 1. Soit i pays/zoe euro = l'idice e base 1 zoe euro. Les propriétés sot dette zoe euro simples e base 1. O cherche doc les idices e base 1 puis o multiplie par 100 pour les obteir e base 100. O a I pays/zoe euro = i pays/zoe euro 100. pays Allemage Espage Frace Grèce Italie Zoe euro Dette e % du PIB 65,9 9,7 67,4 99, 105,8 69, Idice base 100 zoe euro O calcule par exemple, I Frace/ zoe euro = 67,4 69, I Espage/zoe euro =57 doc la part de la dette e Espage est =4% plus faible que celle de la zoe Euro.. Les idices sot des idices simples. D'après la propriété de réversibilité, i zoe euro/espage =1/i Espage/zoe euro et i Espage/zoe euro =0,57 doc i zoe euro/espage =1/0,57 soit I zoe euro/espage =100/0, D'après la propriété de circularité : i italie/allemage =i italie/zoe euro i zoe euro/allemage = i Italie /zoe euro = 1,5 i Allemage/ zoe euro 0,95 1,61, doc I italie/allemage= i italie/allemage 100 = 161. Exercice 1-7 O doe l'idice de référece des loyers (IRL) base 100 au 4 ème trimestre 1998 (Tri1 1= premier trimestre 01) : Tri1 1 Tri 1 Tri 1 Tri4 1 Tri1 14 Tri 14 Tri 14 Tri4 14 Tri1 15 Tri 15 14,5 14,44 14,66 14, ,15 15,4 15,9 15,19 15,5 Source : isee 1. Calculer le taux trimestriel moye etre le quatrième trimestre 01 et le quatrième trimestre U bail de logemet sigé le 1er août 014 pour u loyer mesuel de 500, est révisable auellemet à la date d'aiversaire du cotrat. La revalorisatio du loyer correspod à la variatio auelle de l'irl. Le trimestre à predre e compte à défaut de clauses particulières est le derier trimestre cou à la date de sigature du bail (pour iformatio Espiouze Sadrie Correctio TD 1 L1DEG-S1-015/016 5

6 : IRL 1 er trimestre publié le 15 avril, IRL ème trimestre publié le 15 juillet, IRL ème trimestre publié le 15 octobre, IRL 4 ème trimestre publié le 15 javier suivat). Calculer le ouveau loyer au 1er août 015 (arrodir à 10 - ). 1. Le coefficiet multiplicateur etre le 4 ème trimestre 01 et le 4 ème trimestre 014 se valeur 4ème trimestre 014 calcule simplemet par la formule : valeur 4ème trimestre01 =15,9 14,8. Par ailleurs si t est le taux trimestriel moye, sachat que l'o a quatre périodes etre les deux trimestres cocerés, t doit vérifier : 1 t /100 4 = 15,9 14,8 doc t= 15,9 1 14, ,09 %.. Le trimestre à predre e compte pour la révisio du loyer est le ème trimestre. IRL ème trimestre 014 : 15,15 IRL ème trimestre 015 : 15,5 Etre ces deux périodes, l'irl a été multiplié par multiplié par 15,5 15,15 15,5 15,15. Le loyer est doc lui aussi. Après révisio, il vaut doc : ,5 15,15 500,40. Exercice 1-8 L'idice des prix à la cosommatio (esemble des méages, métropole, hors tabac) base 100 e 1990, valait 114 e juillet Le ouvel idice base 100 e 1998 valait 15,77 e juillet 014. Le coefficiet de raccordemet est 1,148. Calculer le taux de variatio de ce ouvel idice etre juillet 1997 et juillet 014. Notos par I l'acie idice (base 100 e 1990) et J le ouvel idice (base 100 e 1998). Pour trouver le taux de variatio du ouvel idice etre juillet 1997 et juillet 014, ous avos besoi de J 1997/1998 et J 014/1998. Or, l'éocé idique que J 014/1998 =15,77 et I 1997/1990 = 114. Pour trouver J 1997/1998 ous devos utiliser le coefficiet de raccordemet qui permet d'écrire : I 1997 /1990 =1,148 J 1997/1998. Or I 1997/1990 est cou : 114 doc J 1997/1998 = I 1997/1990 1,148 = 114 1,148 99,. J 014/1998 J 1997/1998 Taux d'évolutio de J etre 1997 et 014 : 100 6,7%. J 1997/1998 Idices sythétiques Exercice 1-9 U petit état réalise l'esemble de ses recettes e exportat e totalité ses ressources aturelles (pétrole et or). Le tableau suivat fourit les quatités exportées e 01 et 014 (exprimées e barils pour le pétrole et e oce pour l'or) de chacu des produits et les prix uitaires e $ de ces deux bies. bie 01/01/01 01/01/014 Quatité q Prix p Quatité q Prix p pétrole or Espiouze Sadrie Correctio TD 1 L1DEG-S1-015/016 6

7 1. Calculer l'idice du chiffre d'affaires (idice de valeur) le 01/01/014 base 100 le 01/01/01 I(V) 014/01 (avec ue précisio de 10-1 ). E déduire le taux de croissace des exportatios etre 01 et Calculer les idices de Laspeyres et de Paasche des prix et des quatités au 01/01/014 base 100 le 01/01/01. Retrouver I(V) 014/01 de deux faços.. Calculer l'idice de Fischer des prix. 1. O a la relatio : I V 014/01 = i=1 p i,014 q i, (attetio, si o cherche l'idice e base 100, il e faut i=1 p i,01 q i,01 pas oublier le produit par 100). Doc : I V 014 /01 = = ,8. L'idice est doc 105, E utilisat les défiitios, o obtiet : Idices de Laspeyres : des prix : L p 014/01 = i=1 p i,014 q i,01 100= = p i,01 q i, , i=1 doc L p 014 / des quatités : L q 014 /01 = i=1 i=1 p i,01 q i, = p i,01 q i, = , doc L q 014 /01 9,6. Idices de Paasche : des prix : P p 014 /01 = i=1 i=1 doc P p 014 / des quatités : P q 014/01 = i=1 i=1 p i,014 q i, = =1 p i,01 q i, p i,014 q i, = p i,014 q i, = doc P q 014/01 9,6. O a I(V) 014/01 =L(p) 014/01 P(q) 014/01 et I(V) 014/01 =L(q) 014/01 P(p) 014/01 0,96 1, ,8. Les relatios sot e base 1, e pas oublier de diviser chaque idice par 100 puis de multiplier le résultat par 100 pour avoir u idice base O a l'idice de Fischer des prix (avec les idices de Laspeyres et Paasche e base 1) : F p 014 /01 = L p 014 /01 P p 014 / doc F p 014/01 = 1,1 1,1 100 doc F p 014/01 =11. Espiouze Sadrie Correctio TD 1 L1DEG-S1-015/016 7

8 Exercice 1-10 D'après partiel 014/015 La société autosecur spécialiste de l'automatisatio de fermetures commercialise trois types d'automatisme de portails coulissats. Le tableau ci-dessous idique e jui 014 la répartitio du chiffre d'affaires du poste automatisme de portails aisi que l'idice des prix e jui 014 base 100 e jui 010 pour chaque type d'automatisme : Part de chaque portails e jui 010 das le budget Idice des prix e jui 014 base 100 e jui 010 Type 1 45% 108 Type 0% 11 Type 5% Calculer le taux de variatio auel moye du prix de l'automatisme de type etre jui 010 et jui O souhaite calculer e jui 014, u idice base 100 e jui 010 permettat de quatifier l'évolutio des prix de cet esemble d'automatismes. a. Quel idice pouvez-vous calculer? Pourquoi? b. Calculer cet idice.. O vous idique que l'idice de Paasche des quatités e jui 014 base 100 e jui 010 est égal à 106,50. Détermier l'évolutio du chiffre d'affaires du poste automatisme de portails etre jui 010 et jui 014. Commeter le résultat. 1. idice e jui 014 : 11 et e jui 010 : 100 doc le coefficiet multiplicateur etre ces deux dates est de 11/100=1,1. 4 aées se sot écoulées etre jui 010 et jui 014. Si t est le taux auel moye, le coefficiet correspodat est (1+t/100) 4, d'où l'égalité (1+t/100) 4 =1,1 doc t=(1,1 1/4-1) 100,87%..a. Les parts budgétaires sot celles de 010, o e peut doc calculer que l'idice de Laspeyres des prix. b. L p 014/010 = i=1 q i,010 i=1 où les q i sot les parts budgétaires e 010 et I p i 014/010 q i,010 I(p i ) 014/010 sot les idices des prix base 100 e 010 pour chaque type de portails i. L p 014/010 =0, ,0 11 0,5 110=109,7. L'idice est doc de 109,7. Soit I(V) 014/010, l'idice du chiffre d'affaires e 014 base 100 e 010 (idice de valeur). O a la relatio : I(V) 014/010 =L(p) 014/010 P(q) 014/010 doc I(V) 014/010 =(109,7/100) (106,5/100) 100 I(V) 014/ ,8. das la relatio, I(V) 014/010 =L(p) 014/010 P(q) 014/010, les idices sot e base 1. Exercice 1-11 Les résultats serot arrodis à Le service statistique d'ue grade etreprise américaie a réalisé ue étude sur l'évolutio des prix d'u esemble de services répartis sur trois groupes A, B et C etre Espiouze Sadrie Correctio TD 1 L1DEG-S1-015/016 8

9 009 et 01. Les résultats sot les suivats : groupes Prix uitaires e 009 p i Idice des prix e 01 base 100 e 009 Quatités cosommées e 009, q i A B C Les résultats cocerat la cosommatio etre 009 et 01 sot les suivats: augmetatio de 10% pour le service A, dimiutio de 15% pour le service B, aucue variatio pour le service C, 1. Calculer les prix uitaires et les quatités cosommées e 01.. Calculer e 01, l'idice de Laspeyres base 100 e 009 permettat de quatifier l'évolutio des prix de cet esemble de services.. Calculer e 01, l'idice de Paasche base 100 e 009 permettat de quatifier l'évolutio des quatités de cet esemble de services. a. A l'aide des deux idices précédets, calculer le taux de variatio du chiffre d'affaires etre 009 et 01. b. Retrouver le résultat précédet par u autre calcul. 1. D'après l'éocé : groupes Prix uitaires e 01 Quatités cosommées e 01 A 50 11/100= (1+10/100)=176 B /100=154 0(1 15/100)=187 C 0 10/100= Idice des prix de Laspeyres e 01 base 100 e 009 = L p 01/009 = i=1 p i,01 q i, = = i=1 p i,009 q i, ,89.. Idice des quatités de Paasche e 01 base 100 e 009 = P q 01/009 = i=1 p i,01 q i,01 100= =104 i=1 p i,01 q i, ,4. 4.a. Si I(V) 01/009 est l'idice du chiffre d'affaires (idice de valeur) e 01 base 100 e 009, O a : I(V) 01/009 =L(p) 01/009 P(q) 01/009 doc I(V) 01/009 =(11,89/100) (99,4/100) ,. Α partir de l'idice e 01 base e 009 ous pouvos calculer directemet le taux de variatio du chiffre d'affaires etre 009 et 01 : I(V) 01/ (car l'idice est e base 100 e 009). Doc le taux est 11,-100 soit +1,%. b.o peut calculer directemet l'idice e appliquat : I V 01/009 = i=1 p i,01 q i,01 100= =104 p i,009 q i, ,. Pour aller plus loi i=1 Espiouze Sadrie Correctio TD 1 L1DEG-S1-015/016 9

10 Exercice Ecrire avec le symbole Σ, la somme suivate : S = a. Motrer par récurrece que pour tout etier >0, i=1 i= 1. b. E déduire l'expressio de i=1 i 1.. a. O défiit!= k=1 k (se lit factorielle ). Par covetio 0!=1. Calculer 1!, 6! Vérifier avec la calculatrice. b. A partir de cette foctio, o défiit, pour tous etiers aturels et k tels que k k! C par. Calculer C k! k!, C, C et C. Que valet C, C et 1 C quelles que soiet les valeurs de? c. La formule du biôme de Newto permet de développer (a+b) pour tous réels a et b grâce à la formule : a b = k =0 C k a k b k. Appliquer cette formule à (a+b) pour tous réels a et b. k d. E utilisat cette formule à des valeurs particulières de a et b, calculer k =0 C. 1.. a. 1. Défiitio de la propriété Soit P() la propriété défiie pour etier aturel >0 par : P() : '' i=1 i= 1.. Vérificatio de la propriété au rag de départ Motros que P() est vraie au premier rag : Pour =1, 1= doc P(1) est vraie.. Vérificatio de l'hérédité Héréditié : motros que P() est héréditaire à partir du rag 1. Supposos que pour UN etier 1, P() soit vérifiée. O a doc : i=1 i= 1 Calculos 1 i=1 i à partir de P() : 1 i=1 i= i=1 i 1= 1 1= 1 1 = 1 O trouve alors que la propriété est vraie au rag +1. Doc P(+1) est vérifiée. 4. Coclusio La propriété P() est vraie au rag 1 ET elle est héréditaire. Aisi, 1, i=1 i= 1 b. i=1 i=1 S = = = 10 i 10 i=1. i i 1 = i=1 i i=1 i 1 = 1 = 5. a. 1!=1 et 6!= = O applique P(), doc :. Espiouze Sadrie Correctio TD 1 L1DEG-S1-015/016 10

11 b. C 0! = 0! 0! =1;C 1! = 1! 1! = ;C! =!! =;C! =!! =1. De même, C 0! = 0! 0! =1 ;C 1! = 1! 1! = ;C 1! = 1! 1! = ;C! =!! =1. c. a b = k=0 C k a k b k =a a b ab b. d. Pour a=b=1, o obtiet : 1 1 = k=0 C k 1 k 1 k k = k=0 C or (1+1) = doc k =0 C k =. Exercice 1-1 U automobiliste parcourt 7 km à la vitesse de 90 km/h puis sur l'autoroute, il parcourt 104 km à 10 km/h. Quelle est sa vitesse moyee sur l'esemble de trajet? Arrodir à l'uité. Quelle est la moyee appropriée? Moyee harmoique : A partir de la formule v= d t où v est la vitesse e km/h, d est la distace e km et t le temps e heure, o trouve t= d v. O applique ceci pour trouver le temps de parcours de chaque portio : première portio : t 1 = 7 ; deuxième portio : t 90 = Aisi le temps total de parcourt est t=t 1 +t = De plus la distace totale parcourue est 7+104=11 km. Doc la vitesse moyee est doée par v= O recoaît aisi la formule de la moyee harmoique. O obtiet : v= km /h. 1,1 Exercice 1-14 Das u pays, le taux auel d'iflatio est costat égal à 10%. Combie d'aées cela predra t-il pour que les prix doublet? Si les prix doublet alors le coefficet multiplicateur est de sur aées, état le ombre cherché. Par ailleurs, u taux auel costat égal à 10% sur aées doe u coefficiet multiplicateur de (1+10/100) =1,1. doit doc vérifier l'égalité 1,1 =. Pour résoudre cette équatio, o doit predre le logarithme épérie de chaque membre, doc : l( 1,1 )=l() doc l(1,1)=l() soit =l()/l(1,1) 7, doc 8 aées sot écessaires pour que les prix doublet. Exercice Calculer j=1 i= i j et i= i j pour tout réel j.. Démotrer que pour tout etier et toute suite de valeurs x i, i=1 où x désige la moyee arithmétique des valeurs x i j=1 i= i j= j=1 j j 4j 5j 6j = j=1 0j=0 j=1 j=0 1 = i= i j = i= i j i= 1= 4 5 j 5 1 =14 4j.. i=1 x i x = i=1 x i x x i x = i=1 x i x i=1 x i x i=1 1= i=1 x Par défiitio de la moyee arithmétique, i x= i=1 doc i=1 x i = x. Doc i=1 x i x = i=1 x i x i=1 x i x = i=1 x i x x x = i=1 x i x. x i x = i=1 x i x x i x i=1 x i x. Espiouze Sadrie Correctio TD 1 L1DEG-S1-015/016 11

12 Exercice 1-16 U objet voit so prix augmeter de % par a pedat 5 as puis de 60% e 10 as et passe esuite e 5 as de l'idice 15 à 178 pour esuite baisser de % par a pedat 4 as. Quel est le taux auel d'évolutio de ce prix? O arrodira le résultat avec décimales. Le calcul du taux passe par le coefficiet multiplicateur. Calculos ce taux, par période évoquée das le texte : augmetatio de % par a pedat 5 as : coef=(1+/100) 5 =1,0 5 augmetatio de 60% e 10 as : coef=1+60/100=1,6 passage e 5 as de l'idice 15 à 178 : coef =178/15 baisse de % par a pedat 4 as : coef=(1-/100) 4 =0,98 4 Pour trouver le taux moye auel, ous devos coaître le ombre d'aées : =4 as. Aisi, si t est le taux moye auel, il vérifie : (1+t/100) 4 =1,0 5 1, ,984 1, Doc t (1, /4-1) 100 1,69%. Le taux moye auel est doc d'eviro +1,69%. Exercice 1-17 Le tableau suivat type isee doe l'évolutio des prix d'u esemble de produits par catégories : Produits Coefficiets budgétaires Idice des prix base 100 e 008 Catégorie A 0,5 0,0 Produit A1 0,10 0,07 10 Produit A1 0,08 0, Produit A1 0,07 0, Catégorie B 0,0 0,40 Produit B1 0,06 0,1 190 Produit B 0,1 0,1 165 Produit B 0,07 0, Espiouze Sadrie Correctio TD 1 L1DEG-S1-015/016 1

13 Produit B4 0,05 0, Produit C 0,45 0,40 Produit C1 0,5 0,5 105 Produit C 0,0 0, Calculer l'idice des prix de Laspeyres e 01 base 100 e 008 pour chacue des trois catégories de produits. Calculer l'idice des prix de Laspeyres e 01 base 100 e 008 pour l'esemble des produits e utilisat la propriété d'agrégatio puis par u calcul direct. Idice des prix de Laspeyres e 01 base 100 e 008 pour la catégorie A : q L p 01/008 = i,008 i=1 I p i 01/008 = i=1 q i,008 I p i 01/008 où les q i sot les parts i=1 q i,008 i=1 q i,008 budgétaires e 008 et I(p i ) 01/008 sot les idices des prix base 100 e 008 pour chaque type de produits A. Doc L A p 01/008 = 0, , , =19,6.. 0,5 Idice des prix de Laspeyres e 01 base 100 e 008 pour la catégorie B: 4 L B 4 q p 01/008 = i,008 i=1 I p 4 i 01 /008 = i=1q i,008 I p i 01/008 4 où les q i sot les parts i=1 q i,008 i=1 q i,008 budgétaires e 008 et I(p i ) 01/008 sot les idices des prix base 100 e 008 pour chaque type de produits B. Doc L B p 01/008 = 0, , , , ,7. 0,0 Idice des prix de Laspeyres e 01 base 100 e 008 pour la catégorie C: L C q p 01/008 = i,008 i=1 I p i 01/008 = i=1 q i,008 I p i 01/008 où les q i sot les parts i=1 q i,008 i=1 q i,008 budgétaires e 008 et I(p i ) 01/008 sot les idices des prix base 100 e 008 pour chaque type de produits C. Doc L C p 01 /008 = 0, , ,6. 0,45 Les dépeses état doées par groupe (A, B et C) et coaissat les idices des prix de Laspeyres e 01 base 100 e 008 de chaque groupe, ous pouvos calculer l'idice des prix de Laspeyres e 01 base 100 e 008 e calculat la moyee podérée par la proportio de chaque groupe, des idices (propriété d'agrégatio). Doc Espiouze Sadrie Correctio TD 1 L1DEG-S1-015/016 1

14 part de A part de B part dec L p 01/008 = somme des parts LA p 01 /008 somme des parts LB p 01/008 somme des parts LC p 01/008 soit L p 01 /008 0,5 19,6 0, 165,7 0,45 10,6 15,8 (car 0,5+0,+0,45=1). Le calcul direct est : L p 01/ 008 =0, , , , , , , , ,0 140=15,5 Espiouze Sadrie Correctio TD 1 L1DEG-S1-015/016 14

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