Physique Statistique

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1 Paris 7 PH Physique Statistique EXERCICES Feuille 6 : Distribution grand-canonique, statistiques quantiques 1 Réminiscences Calculer le potentiel chimique du gaz parfait monoatomique dans l approximation classique. Étudier son signe. 2 Adsorption (encore) À la surface d un solide se trouvent A sites, susceptibles d adsorber chacun au plus un atome. L énergie d un atome adsorbé est ε l. 1. Le système est en contact avec un réservoir (température T et potentiel chimique µ). Calculer le nombre moyen d atomes adsorbés sur la paroi. 2. Le solide précédent constitue la paroi d une enceinte de volume V dans laquelle on introduit N atomes de gaz parfait à la température T. Exprimer le nombre moyen d atomes adsorbés sur la paroi. 3. Les atomes adsorbés peuvent se déplacer librement sur la surface. Calculer le nombre moyen d atomes adsorbés. 3 Électrons piégés (encore) Un solide contient A sites discernables. Chaque site est susceptible de piéger : rien ; ou un électron de spin qui a alors l énergie ε = ε 0 ; ou un électron de spin qui a alors la même énergie ε = ε 0 ; ou une paire d électrons de spins opposés qui a alors l énergie ε = 2ε 0 +g, où ε 0 est une constante négative, g une constante positive qui représente l interaction de deux électrons situés sur le même site. On néglige les interactions entre électrons situés sur des sites différents. 1. L ensemble est en contact avec un réservoir d électrons et d énergie, de potentiel chimique µ et de température T. Calculer le nombre moyen d électrons piégés et l énergie moyenne du solide. 2. Le nombre total d électrons dans le solide est en fait égal à A. Calculer le potentiel chimique µ et les nombres moyens N 0 de sites vides, N 1 de sites contenant un électron et N 2 de sites contenant une paire. Que valent N 0, N 1, et N 2 à très basse et très haute température? 3. Le solide est placé dans un champ magnétique B. Soit m le module du moment magnétique de chaque électron. Calculer l aimantation moyenne du solide : quand il est en contact avec un réservoir d électrons de potentiel chimique µ ; quand le nombre d électrons est fixé et égal à A. 4 Sublimation Dans une enceinte maintenue à la température T, on place un corps solide de N atomes identiques. On décrit le solide au moyen du modèle d Einstein, et on désigne par ε l l énergie de liaison (ou de libération) de chaque atome (un oscillateur tridimensionnel isotrope, tout au moins aux basses excitations). 1. Calculer la fonction de partition du solide, ainsi que son potentiel chimique et son entropie. 2. Le solide s évapore partiellement dans l enceinte. On assimile sa vapeur à un gaz parfait monoatomique constitué de particules indiscernables de masse m qu on traitera dans l approximation classique. Calculer le nombre moyen d atomes à l état gazeux. En déduire la pression du gaz à l équilibre avec le solide. 3. Dans la mesure où le volume occupé par le solide saturé est négligeable par rapport au volume occupé, à la même température, par la vapeur saturée, vérifier la formule de Clapeyron pour la sublimation. 5 Un modèle pour jouer Deux partiqules sont en équilibre à la température T. Chacune de ces partiqules a trois niveaux d énergie (non dégénérés) : 0, ε, 2ε. Calculer la fonction de partition dans les cas suivants : les partiqules sont discernables (par exemple π + et π ) ; les partiqules sont des fermions identiques (par exemple deux électrons) ; les partiqules sont des bosons identiques (par exemple deux π 0 ). Et pour trois partiqules identiques?

2 2 Paris 7, Phy. Stat. 6 : distribution grand-canonique, statistiques quantiques. 6 Gaz parfait quantique 1. Établir les expressions de la densité énergétique d états stationnaires d une partiqule relativiste dans une caisse à 1, 2 et 3 dimensions. Que deviennent ces expressions dans le cas non-relativiste? Et dans le cas ultra-relativiste? 2. On considère un gaz de partiqules identiques, indépendantes, non relativistes, à 1, 2 et 3 dimensions. Trouver les relations entre l énergie moyenne et le grand potentiel dans l approximation thermodynamique (taille macroscopique, nombre de partiqules élevé) dans les cas : de fermions ; de bosons ; de l approximation classique (température élevée, faible densité). 3. Qu en est-il du cas relativiste? Et du cas ultra-relativiste? 7 Paramagnétisme de Pauli On assimile les électrons de conduction d un métal à un gaz parfait dégénéré de N électrons enfermés dans un volume V et on cherche à calculer l aimantation de spin de ces électrons lorsqu ils sont placés dans un champ magnétique uniforme B et maintenus à la température T. 1. Calculer les densités d état ρ + (ε) et ρ (ε) correspondant respectivement aux valeurs +1/2 et 1/2 du nombre quantique de spin S z (on appellera µ B le module du moment magnétique de spin des électrons). 2. Déterminer le potentiel chimique µ 0 à température et champ nuls. 3. Donner les expressions intégrales des nombres moyens N + et N en fonction de µ B, T, µ et B. 4. Déterminer le potentiel chimique µ et l aimantation moyenne M à température nulle et dans la limite où µ B B µ 0. Considérant que, typiquement, dans le cuivre, la densité d électrons de conduction vaut N/V 8, cm 3, évaluer µ 0. Pour quelles valeurs de B le calcul précédent est-il valable (µ B = 5, ev/tesla)? En deça de quelle valeur de la température est-il raisonnable de considérer celle-ci comme nulle? 5. Calculer l aimantation à température finie dans l approximation classique. Étudier la limite mb kt. Comparer cette aimantation avec celle trouvée à la question précédente. 8 Semiconducteur intrinsèque À température nulle, la bande de valence du semiconducteur intrinsèque est pleine et la bande de conduction est vide. On df appelle gap la différence d énergie ε g = ε 0c ε 0v entre le bas de la bande de conduction et le haut de la bande de valence. La valeur du gap ε g est typiquement de 0,5 à 1eV. 1. Montrer qu à température nulle le potentiel chimique est indéterminé. On le calculera donc comme limite de sa valeur à température finie. 2. À température finie, des électrons peuvent passer dans la bande de conduction, laissant des trous dans la bande de valence. Lorsqu un électron passe d un état de vecteur d onde k, énergie ε v (k) = ε 0v h 2 k 2 /2m v, dans la bande de valence à un état de vecteur d onde k, énergie ε c (k ) = ε 0c + h 2 k 2 /2m c, dans la bande de conduction, l énergie du système augmente de ε g + h 2 k 2 /2m c + h 2 k 2 /2m v, où les masses effectives m c et m v sont des mesures des courbures des bandes d énergie. Il est commode de considérer le système comme formé d électrons d énergies ε g + h 2 k 2 /2m c et de trous, d énergie h 2 k 2 /2m v, indépendants et en nombres égaux. i) Montrer que, en pratique (kt ε g ), on peut traiter les électrons et les trous dans l approximation de Maxwell-Boltzmann. ii) Déterminer la valeur du potentiel chimique des électrons. Quelle est sa limite lorsque T tend vers zéro? iii) Déterminer les nombres d électrons libres et de trous.

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