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1 Eercice : / a/ lim f() = lim(log( ) log ) = = f() D où f est continue à droite en. f() f() lim = lim log =. D où f n est pas dérivable à droite en. b/ lim log lim log( ) = on pose t= log( t) = lim = t t /a/ > ; f ()= log log ² = f ()= 4 ( = ) ( )² (. )² b/ lim f'() = log= D après les variations de f on a f () > c/ le tableau de variations de f f - f f f 3/ représentation graphique : A ζ (H) B - Page

2 4/ a/ soit ϕ()= f() ; >. ϕ ()= f () et ϕ ()=f ()<. ϕ continue et strictement décroissante sur ], [ donc réalise une bijection de ], [ sur ], [ ; ], [ Alors ϕ ()= admet dans ], [ une unique solution. f - ϕ - si ],] on a ϕ() > donc ϕ() si [, [ : ϕ continue et strictement décroissante donc ϕ réalise une bijection de [, [ sur ],ϕ( )] ; ],ϕ( )] donc ϕ()= admet dans [, [ une unique solutions α. ϕ()=f() =log3 > ϕ()=f() =log < ϕ()ϕ()< alors α ],[. b/ et f croissante alors f() f() f() comme f()= log3 et f()=log Alors f() f(). c/ [,] ; f () et f décroissante alors f () f ()= log3 3. D ou f () ; [,]. 5/ a/ P «U n ; n IN» On a U d où P est vraie pour le premier terme. Supposons que P est vraie à l ordre n On a U n alors f(u n ) (d après 4/b/) Donc U n alors P est vraie pour l indice n. D où Un ; n IN. b/ f définie, continue, dérivable sur [,] et pour tout [,], f (). On a α et U n, n IN dans [,] ; d après le théorème des accroissements finis : f(u n ) f(α) Un α donc U n α Un α ; n IN. c/ on a U α U α ϕ - ϕ( ) ϕ Page

3 U n α U n α On multipliant terme à terme on obtient : Un α U α n on a U α U α donc : U n α n ; n IN. lim = alors lim U n= α Ainsi U est convergente et sa limite est α. n n n Eercice : A/ log e log / >, f ()= = f - ² ² e - f - / T :y=f ()( )f() = 3/ représentation graphique 4/a/ on a : pour tout > ; f() e < donc (E) n admet pas de solutions pour tout > ; f() e < donc (E ) n a pas de solutions. b/ n 3 On pose ϕ()=f() ; > n ϕ ()= f () on a n 3 n 3 e e > n 3 * si ],e] ϕ continue strictement croissante donc réalise une bijection de ],e] sur ], e n ] ], e n ] alors ϕ()= admet dans ],e] une unique solution αn. * si ]e, [ ϕ est continue et strictement décroissante donc réalise une bijection de ]e, [ sur ] n,e [ n - e ϕ - e - n Page 3 ϕ - - n

4 ] n,e [ alors ϕ()= admet dans ]e, [ une unique solution β n. n par suite f()= admet dans ], [ deu solution α n et β n avec α n β n. n B/ /a/ > ; g ()= = ² - lim g() = g log( ) lim g() = lim ( ) = g - b/ - Sig(g) - pour tout ; g() donc ² log() c/ on pose h()= log() ; h ()= = h - h()= h pour tout ; h() par suite log() ;. log( ) /a/ on a pour tout ; log() ² = () donc. donc pour = n Par suite f( n ) n. ; log( n n n ) b/ [, ] ; soit u()=( ²) ( ²)= ² u ()= u() ; [, ] par suite ² ² log() ; [, ] d ou log( ) ; [, ] 4 u - u - Page 4

5 log( ) pour = ( n 4 [, ]) on a n f( ) n n n = n n c) n IN ; f( ) f(αn ) f( ) et f croissante ],e[ donc αn n n n n comme lim lim n = = alors n n n lim α n= n Eercice 3 : A/ / log lim f () = lim [ ² m ] = 4 m si m= ; lim f () 4 m = si m> ; lim f () = si m< ; lim f m m () = / > ; f m ()= m = ² m si m= f ()= si m> f f -/4 m f m - f m f( m) Si m < f m f m - 3/a/M (,y ) ζ m y = ² mlog 4 ² y m= 4 log ; d ou il eiste une seule courbe ζ m qui passe par M (,y ) b)m IR ; A(,y) ζ m y= mlog Page 5

6 m log y ² 4 = log = et y ² 4 = = et y= d ou ζm passent par l unique point A(,). 4/ représentation graphique : J O I B/ /a) > ; f4()= ² log 4 F()= log 3 F ()=f 4 () et F()= donc F est une primitive de f 4 qui s annule en. b) lim F() = 6 /a) sur ],[ f 4 continue strictement décroissante et lim f 4 () = ; f4()= log 4 3 < d après le théorème des valeurs intermédiaires il eiste unique tel que f 4 ( )= sur ], [ : f 4 continue, strictement croissante et lim f 4 () = tel que f 4 ( )= et f4()< ; d après le théorème des valeurs intermédiaires il eiste unique - f 4 - f 4 f()< Page 6

7 f 4 (3).f 4 (4) < donc ]3,4[. b) ² log 4 = ² =8log ²=8log = 8log car > 3/ a/ 3 log log3 8log 9 8log 3 8 b) ϕ ()= 8log log 6 < 6 8log d ou ϕ () 4 9 4/ a) U=3 3 donc vraie pour n= supposons que U n 3, pour un rang n IN et montrons que U n 3 on a U n 3 et ϕ croissante donc ϕ(u n ) ϕ(3) 3 d ou pour tout n IN, Un 3. b) ϕ continue sur [3, [, dérivable sur ]3, [ et ϕ () 4 ; d après le théorème des 9 accroissements finis : ϕ(un) ϕ() 9 4 Un soit Un 9 4 Un c) U 9 4 U U n 9 4 U n Un ( 9 4 ) n 3 n or lim ( ) 9 4 = donc limu n= n n Eercice 4 : A// t ; g (t)= t t. D après les variations de g on a : g(t) ; t Donc log(t) t ; t. - t g g Page 7

8 ) a) lim f() = = f() d ou f est continue à droite en. f() f() log( ) b) lim = lim [( ) log ] = d ou f n est pas dérivable à droite en. 3/ a) > ; f() log()=log() log=log( ) b) > ; on a : f() log= log( ) d ou f() log(). on a : log(t) t ; t pour t=, > : log( ) log( ) f() log() f() log() en conclusion : f() log() f(), pour tout > 4/a) > ; f ()=(log()) (log)=log() log=log( ) > car >. b) f continue et strictement croissante sur [, [ donc réalise une bijection de [, [ sur f<[, [>=[, lim f() [=[, [ en effet : on a f() log() et lim log( ) = lim f() = 5/a) on pose y=f () f(y)= f () y lim = lim = = donc f y f(y) f(y) f() dérivable à droite en. lim y y Pour tout > ; f est dérivable et f () donc f dérivable sur ], [. b)f()=log=log4 ; (f ) (log4)= f'() log = =. f'( f (log4)) 6/a) w ()=f () =log( ) w () log( ) e e w - e w( e on a : f() log() f() log() w log( ) lim log( ) = lim ( ) = donc lim w() = - b) on a w()= et sur [ e, [ : w continue et strictement croissante ; w( e ) > et lim w() = ; d après le théorème des valeurs intermédiaires, il eiste un unique réel a ] e, [ tel que w(a)= on a : w(,75) w() < donc a ],75 ;[ - Page 8

9 c) a w - position De ζ et ζ au dessus de ζ en dessous de c)représentation graphique : Etude des branches infinies : log( ) f() log( ) On a : log() f() log() log( ) lim = et lim log( ) f() = donc lim = d ou ζ f admet une branche infinie de direction ( ) au voisinage de. ζf y= ζf J O I Eercice 5: Partie A f() = 3ln a ( b c)ln = 3ln ; par ailleurs la dérivée s annule en et f() = : b c b c f '( ) = a bln a = a b c= ; f() = a = a=. On a donc ( b c)ln= 3ln b c= 3 ; avec b c= on tire c = et b =. Partie B. a. En, ln tend vers, donc g tend vers. - Page 9

10 = = ln ln g'( ) = ln = =. b. Mettons en facteur : g ( ) ( )ln [ ( ) ]. a. b. ln change de signe en, de même que puisque est positif. La dérivée est constituée de deu morceau qui changent de signe au même endroit : avant elle est positive, après elle est négative. 3. g '() g(). = 4. a. ( )ln = = ou = : la courbe coupe la droite en ces deu points. ln = b. g( ) = ( )ln est positif sur ; : C au dessus de ; sinon C est en dessous de. Eercice 6 : ln( ) f( ) = si >. ; f est continue en ssi lim f( ) = f(), or le cours donne justement la f() = ln( ) limite lim = a. g'( ) = ( ) = =. Donc g est décroissante et 3 comme g()=, on a également g ( ), soit ln( ) 3. b. On prend k ( ) = ln( ) k'( ) = = = et k () = donc k ( ), soit c. ln( ). 3 3 ln( ) ln( ) ln( ) Page

11 ln( ) f( ) f() ln( ) f dérivable en zéro : on calcule lim lim = = lim ; or le résultat précédent montre que cette limite est précisément qui est donc f (). 3. a. h ( ) = ln( ), h'( ) = = = ; on a h () = et h décroissante ( ) ( ) ( ) donc h ( ). ln( ) ( ) b. '( ) h f = =. ln( ) ln c. lim f( ) = lim lim =., y,8,6,4, Eercice 7 : Partie A f( ) = ln( ), D f = ] ; [.. f est dérivable comme somme de fonctions dérivables : en effet, u: est dérivable sur D f et v: = y ln y est dérivable sur D f. - Page

12 ( ) f '( ) = = = ( )² ( )² ( )² f '( ).. > >. - f () f() ( )ln( ) lim f( ) = lim = car X f( /) lim Xln X =. lim ln( ) = car lim = et lim ln( ) =. / f ( / ) = ln = ln,39, f() =. / 3. f est continue et strictement croissante sur l intervalle ] ; /[ et f() change de signe sur cet intervalle ; il eiste donc un nombre α de ] ; /[ tel que f( α ) =. f (,7),7 et f(,7),5 donc,7 < α <,7. Signe de f() : α f() Partie B ln( ) g ( ) =, D = ] ; [ ] ; [. ² ln( ) ln( ). a. lim g ( ) = lim = car lim = et < < De même b. ln( ) lim g ( ) = lim =. > > lim g ( ) = et ln( ) lim g ( ) = lim = ( ) ² lim =. Page car < ln X lim = et X ² ln( ) ln( ) ( ). a. '( ) f g = = = α f() 3 g () ln( α ) α b. g( α) = ; or on sait que f( α ) = donc ln( α ) ln( α ) α ² α X lim =. ² α = = ( α ).

13 On déduit que ln( α ) α g( α ) = = =,455 α² ( α ) α² α( α ). α g () g() 5 y Eercice 8 :. a. g est dérivable comme somme de fonctions dérivables. En effet, ln est dérivable ² comme composée de fonctions dérivables, de même que ² ( ² ) 4 ² ( ² ) '( ) g = = = = =. ( ² ) ² ( ² ) ( ² ) ( ² ) ( ² ) ( ² ) ² ² * b. Le signe de g'() est celui de = ( )( ). Comme g' est définie sur, on a : si < <, g'() est négatif ; si >, g'() est positif. - Page 3

14 . lim g ( ) = lim ln lim ² ² donc lim g ( ) = 3. lim g ( ) = lim ln lim ; lim ² ² ² X = ² et lim = donc lim g ( ) =. ² 4. a. ; lim = donc ² = donc lim ln = ln = ² et lim ln = lim ln X = ² X g'() g(),3 lim = ² avec g () = ln( ) = ln, 3. ² ² 4. b. La fonction est continue et dérivable sur ] ; ], de plus elle est strictement décroissante sur cet intervalle en changeant de signe, donc il eiste une valeur α > telle que g( α ) =. On a g(,5),9438 et g(,6),445 donc g(,5) > = g( α) > g(,6) et comme g est décroissante,,5 < α <,6. 5. Pour < < α, alors g() est positif ; pour > α alors g() est négatif. - Page 4

15 ln ln( ). a. lim ( ) lim ² ln lim X f = lim = = = (cours). X X ² b. lim f( ) = lim f( ) = lim = f( ) = ln( ), f '( ) =.ln( ). = ln( ). = ln( ) = g( ). ² ² ² ² ² ² ² ² α f '() f() f(α ) ² ² ² 3. a. lim ln = lim ln = lim ( ln( ² ) ln ² ), > > > lim ln( ² ) = car lim ln( ² ) = ln =. > > ln ln ln ln lim ln ² lim lim lim X = = = = lim = avec X =. X X > > > > Conclusion : lim ln =. ² > b. f dérivable en si et seulement si la limite de son tau d'accroissement est finie. f( ) f() f( ) lim = lim = lim ln = ² La fonction n'est donc pas dérivable en. c. La tangente en O à f est verticale. Son équation est =. 4. La tangente au point d'abscisse a pour équation y = f '()( ) f() : f () = ln( ) = ln, ² f '() = g() = ln d où y = (ln )( ) ln y = (ln ) Page 5

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