Fonction logarithme népérien

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1 Foctio logarithme épérie A) Logarithme épérie d u réel strictemet positif Réel l() avec > 0 Défiitio : Pour tout réel 0, le réel l est l uique solutio de l équatio : y Pour tout réel 0 : l y e Aisi la foctio logarithme épérie, otée l, est défiie sur 0 ; : : l Représetatio graphique : e y, d icoue y l Propriétés : ) Comme 0 e alors 0 ) Pour tout réel 0 3) Pour tout réel y : l et comme e e : y l y e y y e aisi alors l e l e l aisi e y y l 4) L équatio e k avec k 0 a pour uique solutio lk 5) Pour tous réels et y strictemet positifs : ly y l Eemples : l e ; l 3 e 3 ; l le e 5 5 l e et comme 5 0, o peut aussi écrire O peut écrire L équatio 5 e a pour uique solutio l5 l 5 e 5 Eercice : Résoudre les équatios et l iéquatio suivates : ) e ) 4e 0 3) e 0 4) 4l 3 0 5) l 3 l 0 6) 9l 3 0 e 7) e 3e 0 Aée M Evao

2 Relatio foctioelle Théorème : La foctio logarithme épérie trasforme u produit de réels strictemet positifs e somme de logarithmes Autremet dit : pour tous réels 0 et 0 l y l l y y Démostratio : Soit et y deu réels strictemet positifs alors il eiste deu réels a et b tels que : Propriétés : a e et b y e O peut alors écrire que : a l et b ly a b ab Doc l y le e le a b l ly ) Pour tout réel 0 : l l ) Pour tous réels 0 et 0 3) Pour tout réel 0 4) Pour tous réels 0 y y : l l ly et pour tout etier relatif : l l q et q 0 : l q Eercice : ) Ecrire sous forme d ue somme de logarithmes : 3 A l 5 a) 3 5 b) B l 7 ) Ecrire à l aide d u seul logarithme : a) C l3 le 3l b) D 3l0 l0,08 5l E 3l c) l l q q e B) Etude de la foctio l() Dérivée et ses de variatio Théorème : Admis La foctio l est dérivable sur l itervalle 0 ; et sa dérivée est la foctio iverse sur ' 0 ; Autremet dit : pour tout réel 0 : l Aée M Evao

3 Propriétés : ' 0 ; : l 0 doc l est strictemet croissate sur ; 0 Si 0 ; alors l 0 et si ; alors l 0 La foctio l est dérivable sur 0 ; elle est doc aussi cotiue sur ; Pour tout réel k l équatio l k admet, das l itervalle ; k qui est e Pour tous réels 0 et 0 y : y l ly Propriétés de la courbe Cl représetat la foctio l 0 0, ue uique solutio Das u repère du pla, ue équatio de la tagete au poit d abscisse a est : y f ' a a f a ' Pour la foctio logarithme épérie o a : 0 ; l y a l a a y l y e l e e e D où l équatio de la tagete au poit d abscisse a est : Au poit d abscisse, l équatio réduite de la tagete est doc : Au poit d abscisse e, l équatio réduite de la tagete est doc : Propriétés : ) La foctio l est cocave sur 0 ; ) Pour tout réel 0 ; o a : e l Eercice 3 : Démostratios ) Soit f la foctio défiie sur 0 ; par : f l a) Détermier la cocavité de f sur 0 ; e étudiat le sige de sa dérivée secode b) Doer ue iterprétatio graphique de ce résultat ) Soit h et g les foctios défiies sur 0 ; par : h l et g e a) Etudier les variatios de h et dresser so tableau de variatios b) E déduire que pour tout réel 0 ; o a : l c) Etudier les variatios de g et dresser so tableau de variatios d) E déduire que pour tout réel 0 ; o a : e 3) E déduire que pour tout réel 0 ; o a : e l 4) Doer ue iterprétatio graphique de ce résultat Aée M Evao

4 C) Equatio avec epoetielle Recherche de la base de l epoetielle Propriété : Soit k u réel strictemet positif cou et u etier aturel o ul Das 0 ; l équatio k possède ue uique solutio k Eemples : Le ombre ) Soit k est appelé racie ième de k u ue suite géométrique de raiso q 0 dot o coaît deu termes u 0 et u u u Alors u u 0 q doc q d où q u 0 u 0 ) CM est le coefficiet multiplicateur global sur aées, le tau moye d évolutio est tel que : t CM t CM t CM d où CM 00 Recherche de l eposat Propriété : Soit k u réel strictemet positif cou Das 0 ; l équatio k l q Or o peut écrire q e avec q 0 et q Doc l équatio q k s écrit e possède ue uique solutio lk q l e k l l Aisi, das R, l équatio q k lq lk k q Eercice 4 : Applicatios ) La cosommatio électrique par habitat e Chie est passée de 993kWh e 000 à 455kWh e 008 Détermier le tau d évolutio moye auel ) Ue productio est foctio de l ivestissemet e milliers d euros La quatité produite f, e toes, est modélisée par la foctio f telle que : f 0,03 4 Détermier l ivestissemet écessaire pour pouvoir produire, c'est-à-dire f 0 Eercice 5 : Résoudre les équatios suivates : ) e 3 ) e 3e 4 0 3) l 3 0 4) l l3 5) l 0 5l 3l 4 6) 0 7) l 0 Aée M Evao

5 Eercice 6 : Simplifier le plus possible, les epressios suivates : l 3l 4 ) e l e 4 ) 3) 4) l 3 l 4 e e l 3l 4 e 3 4 l e e 5) Eercice 7 : Résoudre les iéquatios suivates : ) 0l 3 ) 3 e e 34 3) 4e 5 0 4) 3l 3 6 5) e 3 6) 3l 4l 8 e 3 4 7) le e 8) epl 5 l l 3 3 9) l 4 e l 5 0) e 6) l 5 7) e 4 0 8) e 5e 0 9) e 3 3l 0 0) 7l 55 l 0 Eercice 8 : Détermier la foctio dérivée de chaque foctio défiie et dérivable sur 0 ; : 3 ) f l 4) 4 l 3 f e ) f l 5) f l 3l 3) f 6) f l 3l Eercice 9 : E utilisat le fait que l l, écrire le plus simplemet possible les epressios suivates : A 3l l 8 a) 4 b) B 3l e 3le Eercice 0 : Ue etreprise produit, chaque jour, etre 4 et 0 toes de sel pour ue idustrie O admet que, lorsque toes de sel sot produites, le coût moye de la productio, e 0, cetaie d euros par toe de sel, est : f 7 e avec 4 0 ) Calculer la foctio dérivée f ' de la foctio f et étudier le sige f ' sur 4 ; 0 ) Dresser le tableau de variatios de f sur 4 ; 0 3) Détermier, arrodi à 0, toe près, la quatité de sel à produire pour que le coût moye de productio soit miimal Détermier alors ce coût moye arrodi à 0, par toe près 4) Justifier que l équatio f 7 admet ue uique solutio 4 ; 0 5) A l aide de la calculatrice doer ue valeur approché à 0,00 près de 6) Détermier la masse de sel, au kg près, qu il faut produire pour que le coût moye de productio d ue toe de sel soit de 700 euros Aée M Evao

6 Eercice : Bac ES Nouvelle Calédoie 009 Partie A : Etude d ue foctio O cosidère la foctio f défiie et dérivable sur l itervalle ; 0 telle que pour tout réel de cet itervalle : f 5 l l ) Résoudre l équatio f 0 Les valeurs eactes sot demadées ) E déduire le sige de f sur ; 0 3) O ote f ' la dérivée de la foctio f 5 a) Calculer f ' et motrer que 3 l ; 0 f ' b) E déduire les variatios de f O précisera la valeur eacte du maimum de f et la valeur eacte de pour laquelle il est atteit c) Doer le ombre de solutios de l équatio f Partie B : Applicatio Ue etreprise fabrique et ved des jouets La foctio étudiée e Partie A f doe le résultat (bééfice ou perte) e milliers d euros qu elle réalise lorsqu elle fabrique cetaies de jouets, pour compris etre et 0 ) Détermier, à u jouet près, les quatités à fabriquer pour e pas produire à perte Iterpréter cocrètemet ce résultat de la questio ) de la Partie A ) Cette etreprise veut réaliser u bééfice supérieur ou égal à 000 Combie de jouets doit-elle fabriquer? Justifier la répose Eercice : Soit f la foctio défiie et dérivable sur 0 ; et représetée das le repère orthoormal ci-dessous par C f A ; 0 est sur C f et D est ue tagete horizotale e B à C f e ) Détermier graphiquemet : f ' a) f et b) les solutios de l iéquatio : f 0 c) les solutios de l iéquatio : ' 0 f ) La foctio f est e fait défiie sur 0 ; par : f ombres réels a) Eprimer f ' e foctio de, a et b b) E utilisat la questio ) détermier deu coditios sur a et b c) Détermier les valeurs de a et b d) Retrouver les résultats des questios )b) et )c) a bl où a et b sot deu Aée M Evao

7 Eercice 3 : Bac ES Podichéry 05 Ue etreprise produit et ved des composats électroiques Sa capacité mesuelle de productio est comprise etre 000 et pièces O suppose que toute la productio est commercialisée Les parties A et B peuvet être traitées de faço idépedate Partie A : O doe ci-dessous R et C les représetatios graphiques respectives des foctios recette et coût sur l itervalle ; 30 : Par lecture graphique, doer ue estimatio des valeurs demadées ) Quel est le coût de productio de 000 pièces? ) Pour quelles quatités de pièces produites l etreprise réalise-t-elle u bééfice? 3) Pour quel ombre de pièces produites le bééfice est-il maimal? Partie B : Le bééfice e milliers d euros, réalisé pour la productio et la vete de milliers de pièces, est doé sur l itervalle ; 30 par : B 0,5 6 0 l ) Motrer que B' 8 l, où B ' est la dérivée de B sur ; 30 ) O admet que B' ', où B '' est la dérivée secode de B sur ; 30 Justifier le tableau de variatio ci-dessous de la foctio dérivée B ' sur ; 30 3) Motrer que l équatio B ' 0 admet ue uique solutio sur ; 30 4) Doer ue valeur approchée au millième de la valeur de 5) E déduire le sige de B' sur ; 30 et doer le tableau de variatios de la foctio bééfice B sur ce même itervalle 6) Quel est le ombre de pièces à produire, à l uité près, pour que l etreprise réalise u bééfice maimal? Quel est ce bééfice maimal (arrodi au millier d euros)? Eercice 4 : Das chacu des cas détermier le plus petit etier vérifiat l iéquatio doée : a) 0,8 0, 000 c) 0, 5000 b) 0,4 0, 999 d) Aée M Evao

8 Eercice 5 : Bac ES Métropole 004 La subvetio accordée par ue etreprise à so club sportif était de 3000 pour l aée 998 Depuis l aée 998, l évolutio de la subvetio e pourcetages d ue aée sur l autre est doée das le tableau suivat : Aée Evolutio e % +7% +5% +0% +9% +6% Par eemple, le tau d évolutio de la subvetio de 000 à 00 est de 0% ) Calculer, pour chacue des aées, le motat de la subvetio attribuée e euros ) Le resposable sportif se plait d ue dimiutio cotiuelle des subvetios depuis l aée 999 Quelle cofusio fait-il? 3) O admet que le motat de la subvetio e 003 est de 530 a) Calculer le pourcetage d évolutio de la subvetio de 998 à 003 b) Calculer le tau auel moye de l augmetatio de la subvetio etre 998 et 003 Eercice 6 : Les vetes d u joural dépedet e grade partie du ombre de ses aboés Au cours des ciq derières aées, le ombre d aboés a suivi la courbe ci-dessous où est le ombre d aées écoulées depuis le er javier 007 ) Répodre au questios suivates avec la précisio permise par le graphique a) Quel est le ombre d aboés au er javier 009? b) Quel est le ombre maimal d aboés à ce joural? Préciser le mois au cours duquel ce maimum a été atteit c) Sur quelle période le ombre d aboés a-t-il été croissat avec ue croissate accélérée? Epliquer commet se fait cette lecture ) La courbe C ci-dessus est la représetatio, sur 0 ; 5 uiquemet, de la foctio f 0,5 3,5 défiie sur 0 ; 0 par : f 0e a) Détermier la foctio dérivée f ' de la foctio f b) Etudier le sige de f ' et e déduire les variatios de f c) Retrouver la répose à ue des questios posées e ) 0,5 3,5 3) O admet que la dérivée secode est égale à : f '' 0 70,5e a) Etudier le sige de f '' sur ; 5 0 b) Retrouver la répose à ue des questios posées e ) 4) Das cette questio, toute trace de recherche, même icomplète, ou d iitiative même o fructueuse, sera prise e compte a) Résoudre sur 0 ; 0 l équatio : f 00 O utilisera la valeur 0 3 l b) O suppose que le modèle reste valable après 0 Les vetes de ce joural e sot plus retables si le ombre d aboés passe e dessous de 00 E quelle aée ce joural devra-t-il cesser de paraître? Aée M Evao

9 Eercice 7 : Atilles Guyae 009 Les parties A et B de cet eercice sot idépedates O cosidère la foctio f défiie sur ; das le repère ci-dessous : 0 dot o doe la représetatio graphique C O admet que : le poit A de coordoées ; appartiet à la courbe C la tagete T e A à la courbe la courbe C admet ue tagete horizotale au poit d abscisse C passe par le poit de coordoées ; 0 Partie A : lectures graphiques Doer, par lecture graphique ou e utilisat les doées de l éocé, les valeurs de : f ; f ' et f ' où f ' est la foctio dérivée de f sur 0 ; Partie B : Calculs algébriques O admet que l epressio de f sur ; f des ombres réels) f ' e foctio de et de a, b et c ) Calculer 0 est : a b cl ) Démotrer que les réels a, b et c vérifiet le système : (où a, b et c sot a b a c a 0,5c 0 3) Déduire de la questio précédete les valeurs de a, b et c puis l epressio de 4) Détermier les variatios de f sur 0 ; et dresser so tableau de variatios 5) Calculer la dérivée secode f '' de f sur 0 ; et étudier so sige 6) E déduire la coveité de f sur 0 ; Eercice 8 : Bac ES Métropole 05 O cosidère la foctio f défiie sur 0 ; par : f 3 3l O ote C sa courbe représetative das u repère orthoormé et T la tagete à f d abscisse Quelle est la positio relative de C f par rapport à T? f C f au poit Aée M Evao

10 Eercice 9 : Bac ES Podichéry 04 U artisa glacier commercialise des «sorbets bio» Il peut e produire etre 0 et 300 litres par semaie Cette productio est vedue das sa totalité Le coût total de fabricatio est modélisé par la foctio f défiie pour tout ombre réel de l itervalle I 0 ; 3 par : f 0 0l La recette, e cetaies d euros, est doée par ue foctio r défiie sur I Partie A : La courbe C représetative de la foctio f et la droite D représetative de la foctio liéaire r sot doées ci-dessous : Répodre au questios suivates par lecture graphique et sas justificatio ) Doer le pri de vete e euros de 00 litres de sorbet ) Doer l epressio de r e foctio de 3) Combie l artisa doit-il produire au miimum de litres de sorbet pour que l etreprise dégage u bééfice? Partie B : O ote B le bééfice réalisé par l artisa pour la vete de cetaies de litres de sorbet produits D après les doées précédetes, pour tout de l itervalle ; 3, o a : B 0 0 0l où B est eprimé e cetaies d euros ) O ote B ' la foctio dérivée de la foctio B Motrer que, pour tout ombre de l itervalle ; 3, o a : B ' 0 0l 30 ) O doe le tableau de variatio de la foctio dérivée B ' sur l itervalle ; 3 a) Motrer que l équatio B ' 0 admet ue uique solutio das l itervalle ; 3 Doer ue valeur approchée de à 0 b) E déduire le sige de B' sur l itervalle ; 3 puis dresser le tableau de variatio de la foctio B sur ce même itervalle c) L artisa a décidé de maiteir sa productio das les mêmes coditios s il peut atteidre u bééfice d au mois 850 euros Est-ce evisageable? Aée M Evao

11 Eercice 0 : Bac ES Polyésie 06 Pour chacue des quatre affirmatios suivates, idiquer si elle est vraie ou fausse e justifiat la répose Il est attribué u poit par répose eacte correctemet justifiée Ue répose o justifiée est pas prise e compte Ue absece de répose est pas péalisée Les questios et sot idépedates ) O rappelle que IR désige l esemble des ombres réels O cosidère la foctio f défiie sur l itervalle 0 ; par f l Affirmatio A : La foctio f est croissate sur l itervalle 0 ; Affirmatio B : La foctio f est covee sur l itervalle 0 ; Affirmatio C : Pour tout apparteat à l itervalle 0 ;, f ( ) 50 ) O doe ci-dessous la courbe représetative C g d ue foctio g défiie sur IR O admet que g est dérivable sur IR et o rappelle que g ' désige la foctio dérivée de la foctio g O a tracé la tagete T à la courbe C au poit A de cette courbe, d abscisse et d ordoée Cette tagete coupe l ae des abscisses au poit d abscisse g Affirmatio D : ' g Eercice : Bac ES Métropole 06 O défiit ue foctio g sur l itervalle 0,5 ; 5 par g 5 3l ) Motrer que pour apparteat à 0,5 ; 5, g' 3l ) Étudier le sige de g' et e déduire le ses de variatio de g sur 0,5 ; 5 3) E déduire pour quelle valeur 0, arrodie au cetième, la foctio g atteit u maimum 4) Motrer que l équatio g 4 admet deu solutios sur 0,5 ; 5 que l o ote α et β E doer u ecadremet d amplitude 0,0 5) Résoudre g 4 Aée M Evao

12 Eercices préparés à la maiso Niveau : Thème : Foctio logarithme épérie Eercice : l Soit f la foctio défiie sur l itervalle 0 ; par : f La figure ci-dessous doe ue partie de la courbe représetative C de la foctio f das u repère orthoormal (O ; i ; j ) Le poit A ; appartiet à C f et la courbe f C f coupe l ae des abscisses e B La tagete e C à la courbe C f est parallèle à l ae des abscisses ) Détermier la valeur eacte des coordoées du poit B ) O ote f ' la foctio dérivée de f sur 0 ; a) Démotrer que pour tout de l itervalle 0 ; o a : f ' b) E déduire les variatios de f sur ; 0 c) Détermier l abscisse du poit C d) Détermier l équatio de la tagete e A à la courbe C f e) Motrer que, das l itervalle ; e, l équatio l f admet ue uique solutio dot o doera ue valeur approchée à 0 3) O admet que la dérivée secode de f (otée f '' ) est défiie sur 0 ; par : 4l 0 f '' 3 a) Etudier la coveité de f sur 0 ; et e déduire les positios relatives de C f et de ses tagetes T a au poit d abscisse a e foctio des valeurs de a b) La courbe C f admet-elle u poit d ifleio? Si oui, doer ses coordoées? Aée M Evao

13 Eercice : Partie A : O cosidère la foctio g défiie sur, ; ) Etudier les variatios de g sur 0, ; ) Résoudre l équatio 0 0, ; 3) E déduire que 0 g das g si et seulemet si 0 par : l 0, 5 0,5 e g Partie B : O cosidère la foctio f défiie sur 0, ; par : f l O appelle f ' la foctio dérivée de la foctio f sur 0, ; O doe, ci-dessous la représetatio graphique C de la foctio f et aisi que de sa tagete e B ; 0 qui passe par le poit 0 ; A f ) Détermier f ' sas calculer la dérivée de f ) Motrer que pour tout ombre réel de 0, ;, o a : f 4g 3) Etudier le sige de f ' sur, ; f sur 0, ; 4) Motrer que, das l itervalle ; 3, l équatio 0 5) Détermier u ecadremet d amplitude ' 0 et e déduire le tableau de variatios de la foctio 0 de f admet ue solutio uique Partie C : O appelle f '' la foctio dérivée secode de la foctio f sur 0, ; ) Motrer que pour tout ombre réel de 0, ;, o a : f '' 4l ) Etudier la coveité de f sur 0, ; 3) Détermier les coordoées du poit d ifleio I de C f Aée M Evao

14 Eercice 3 : Cet eercice est u questioaire à choi multiples (QCM) Pour chacue des questios posées, ue seule des quatre réposes est eacte Idiquer sur la copie le uméro de la questio et la lettre correspodat à la répose choisie Aucue justificatio est demadée Ue répose eacte rapporte poit Ue répose fausse, ue répose multiple ou l absece de répose e rapportet i elèvet aucu poit ) Soit f la foctio défiie sur l itervalle 0 ; par : f l f e de e par f est égale à : L image a) b) c) e e 0,5e d) e ) L iéquatio u ,8 050 est vraie lorsque : a) 3 b) 4 c) 4 d) 3 3) O doe ci-dessous la populatio africaie e millios depuis 950 pour quelques aées Aée Populatio Le tau de croissace moye auel de la populatio africaie etre 990 et 000 arrodi au cetième est : a),3% b),53% c),8% d),83% Aée M Evao