EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES

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1 EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES Exercce ) O doe : f ( z) = z z( z + ) Ecrre sous forme algébrque les ombres suvats : f ( ) et f ( + ) ) Ecrre sous forme algébrque : ( + ) + ( ) ) Résoudre das l esemble des ombres complexes les équatos suvates : a) ( z ) ( z + ) = ( )( z + ) b) + 7 = 0 z z c) z z = 9 + 4) Pour tout ombre complexe z O pose Z = z + z a) Détermer l esemble des pots M ( z) pour lesquels M '( Z ) appartet à l axe des réels. b) Détermer l esemble des pots M ( z) pour lesquels M '( Z ) appartet à l axe des magares. Exercce Le pla complexe est rapporté à u repère orthoorm é (O; u ; v ) (uté graphque :4 cm) O appelle A,B et C les pots d affxes respectves a = ; b= et c= +. O ote I le mleu de[a B],J celu de [B C],K celu de [C A] O cosdère l applcato f du pla, qu à tout pot M d affxe z, assoce le pot M d affxe z tel que z' = + z. ) a) Détermer les affxes a', b' et c' des pots A,B,C mages des pots A,B et C par f. b) Détermer les affxes des pots I,J,K. ) Calculer les affxes des vecteurs : IJ, IK et KJ. ) Motrer que le tragle IJK est équlatéral. 4) Sot E l esemble des pots M d affxes z tels que : z =. a) Détermer et costrure l esemble E. b) Détermer et costrure l mage E de E par l applcato f. c) Doer ue équato cartésee de E. page / 0

2 Exercce EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES Le pla complexe est rapporté à u repère othoormé drect (O ; u ; v ). ) Résoudre das l équato () : z z z =. O doera le module et u argumet de chaque soluto. ) Résoudre das l équato () : z z =. O doera la soluto sous forme algébrque. ) Sot M,A et B les pots d affxes respectves : z, et. O suppose que M est dstct des pots A et B. a) Iterpréter le module et u argumet de z z. b) Retrouver géométrquemet la soluto de l équato (). )a) Motrer, à l ade d ue terprétato géométrque, que toute soluto de l équato das C : ( z ) =, où désge u eter aturel o ul, a pour parte réelle. z z = z b) Résoudre alors das C l équato () : ( ) algébrque.. O cherchera les solutos sous forme Exercce 4 ) Ecrre les ombres complexes suvats sous forme trgoométrque : z = ; z = ; z = ; z = ( ) ; z = + ; z = ( ) 4 +. ) Détermer et costrure graphquemet l esemble des pots M d affxe z tels que : a) arg (z + ) = / (). b) arg ( - z) = 0 (). c) arg ((+ ) z + ) = (). page / 0

3 Exercce 5 EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES O doe les ombres complexes suvats : z = 5 ( + ) et z = -5( + ). ) Détermer le module et u argumet des ombres complexes : z, z, z _, ) Sot Z le ombre complexe tel que z Z = z. Ecrre Z sous forme algébrque, pus sous forme trgoométrque. z. ) Dédusez-e les valeurs exactes de cos( ) et s( ). Exercce 6 ) Sot ABC u tragle, I le mleu de [BC] et D le barycetre des pots (A ;-)(B ;)(C ;). a) Exprmer AD e focto de AI. Placer le pot D sur la fgure. b) Détermer l esemble (E) des pots M du pla tels que : MA + MB + MC = MA + MB + MC. Justfer que cet esemble cotet le pot I. ) L e pla (P) est c rapporté à u repère orthoormé drect ( o, u, v ). Das cette questo A est le pot d affxe, B celu d affxe. L affxe de C est otée z. z z a) Que représete géométrquemet et arg? Das toute la sute, o désge par α le réel de ]-,0] tel que cos α =. Le pot C est déf 0 par : ( BA, BC) = α et par BC = BA. 5 b) Calculer la valeur exacte de s α. z c) Démotrer que = ; e dédure z, et placer C. 5 d) Vérfer que le tragle ABC est socèle e A. page / 0

4 EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES Exercce 7 A tout ombre complexe z = x + y où x désge la parte réelle et y la parte magare de z, o assoce le y ombre complexe f ( z) = e (cos( x) + s( x)). ) Détermer et placer das le pla complexe mu d u repère orthoormal drect ( o; u; v), les pots d affxes f (0), f ( ), f ( ), f ( + ) et f ( ) ) Pour tout ombre complexe z = x + y, démotrer que f ( z ) est o ul, pus détermer e focto de x et de y le module et u argumet de f ( z ). ) a) Démotrer que pour tous les ombres complexes z et z ' : f ( z + z ') = f ( z) f ( z ') et f ( z z ') = f ( z) f ( z ') b) Démotrer que pour tout eter relatf, pour tout ombre complexe z, f ( z) = ( f ( z)). 4) Sot A le pot du pla d affxe w = +. B, C et D les pots d affxes respectves w, w et w. x a) Détermer l esemble L des pots du pla dot l affxe z = x + y vérfe y = pus détermer l esemble des pots du pla d affxe f ( z ), où z est l affxe d u élémet de L. x b) Détermer l esemble K des pots du pla dot l affxe z = x + y vérfe y pus détermer l esemble des pots du pla d affxe f ( z ), où z est l affxe d u élémet de K. page 4 / 0

5 EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES Exercce 8 z et z sot deux ombres complexes et o pose : ϕ ( z, z ') = zz ' + zz '. z et z 'désget les cojugués respectfs de z et z. Le pla est mu d'u repère orthoormé drect (uté graphque cm). 6. Calculer : ϕ(,) ; ϕ( +, + ), ϕ( +, + ), ϕ( e, e ). Motrer que pour tout couple ( z, z ) le ombre ϕ( z, z ') est réel.. a) O pose z = x + y et z = x + y ; x, y, x, y réels. Calculer ϕ( z, z ') e focto de x, x, y, y. b) Détermer l'esemble D des pots M d'affxe z tels que ϕ( z, + ) =. Desser D das le repère ( O; u ; v). '. a) O pose θ θ z = re et z ' = r ' e ; et ' réels, r et r ' θ θ réels postfs. Calculer ϕ( z, z ') e focto de r, r et cos( θ - θ '). b) Exprmer ϕ( z, z) e focto de r. Détermer l'esemble C des pots M d'affxe z tels que ϕ ( z, z) =. Desser C das le repère( O; u ; v ). Que peut-o dre de la posto relatve de C et D? Justfer la répose. page 5 / 0

6 EXERCICES SUR LES NOMBRES COMPLEXES Exercce 9 : Les partes A et B sot dépedates. O cosdère l équato (E) : z (4 + )z² + (7 + )z 4 = 0 où z désge u ombre complexe. Parte A :.. a. Motrer que (E) admet ue soluto réelle, otée z. b. Détermer les deux ombres complexes α et β tels que, pour tout ombre complexe z, o at : c. z (4 + )z² + (7 + )z 4 = (z z ) (z )(αz + β). Résoudre (E) Parte B : Das le pla mu d u repère orthoormal drect ( O; ; ), o cosdère les tros pots A, B et C d affxes respectves a =, b = + et c =.. Représeter A, B et C... a. O cosdère les pots M et M d affxes respectves z et z. Motrer que les vecteurs OM et OM sot orthogoaux s et seulemet s Re z z = 0. b. E dédure la ature du tragle OBC.. Que représete la drote (OA) pour le tragle OBC? Justfer votre affrmato. 4. Détermer la valeur du complexe d tel que le complexe c d c at pour module et pour argumet. 5. O ote D le pot d affxe d : quelle est la ature du quadrlatère OCDB? page 6 / 0

7 Correcto des exercces sur les ombres complexes Exercce z f ( z) = z( z + ) ( ) ( )( + 5 ) 7 ) f ( ) = = = = ( )( + ) 4 4 ( 5 )( + 5 ) 4 4 ) ( ) ( z z z z f ( z) = = = = = f ( z) z( z + ) z( z + ) z( z + ) z( z + ) 7 Doc f ( + ) = f ( ) = u = + + ) = = 9 )a) ( z ) ( z + ) = ( )( z + ) z z z + z = (5 + )( + ) 7 z(4 4 ) = 0 z = = = = 4 4 ( ) ( )( + ) 4 4 b) z z + 7 = 0 = 4 68 = 64 = (8 ) L'équato admet deux solutos complexes cojuguées: 4 8 z = = 4 z = z = + 4 c) z z = 9 + Pour résoudre cette équato o pose: z = x + y, z = x y z z = 9 + x + y = 9 + x = 9 et y = d'où z = 9 + z + 4) Z = avec z. O pose z = x + y et Z = X + Y z a) Esemble des pots M(z) pour lesquels Le pot M'(Z) appartet à l'axe des réels (E) ère méthode: O exprme X,Y e focto de x et y x + y + ( x ) + ( y + ) ( x ) + ( y + ) x ( y ) X + Y = = = x + y x + ( y ) x + ( y ) x ( y ) après smplfcato, o obtet: x x + y + y x + y X + Y = + x + ( y ) x + ( y ) x x + y + y x + y D'où Re( Z) = X = et Im( Z) = Y = x + ( y ) x + ( y ) x + y M ' appartet à l'axe des réels sgfe que Im( Z) = 0 = 0 x + y = 0 x + ( y ) Les pots M sot doc sur la drote d'équato x + y = 0 prvé du pot A d'affxe z =. ème méthode: utlsato des argumets M ' appartet à l'axe des réels sgfe que arg( Z) = k avec k Z Sot B le pot d'affxe z = B z + z ( ) z z arg Z = arg ( ) arg Z = arg = arg z z z z A B ( ) page 7 / 0

8 Correcto des exercces sur les ombres complexes z z A arg = arg( z za) arg( z zb ) ( ) z zb = ( u ; AM ) ( u ; BM ) ( ) = ( BM ; AM ) ( ) d'où arg( Z) = k ( BM ; AM ) = k les pots M, Aet B sot algés. (E) est la drote (AB) prvé du pot A. b) Esemble des pots M(z) pour lesquels Le pot M'(Z) appartet à l'axe des magares (E) x + ( y ) x + ( y ) ère x x y y x y méthode: Re( Z) = X = et Im( Z) = Y = M'(Z) appartet à l'axe des magares sgfe que Re( Z) = x x + y + y X = = x x + y + y = x y + + = x + ( y ) x + y + = 0 x + y + = 5 0 O recoat l'équato cartésèe du cercle Γ de cetre le pot I ; et de rayo r = =. L'esemble (E) est le cercle Γ prvé du pot A( ). ème méthode: utlsato des argumets M ' appartet à l'axe des magares sgfe que arg Z = + k avec k Z Sot B le pot d'affxe zb = z + z z A D ' après a)arg Z = arg = arg = ( BM ; AM ) ( ) z z zb arg Z = + k ( BM ; AM ) = + k le tragle AMB est rectagle e M. Doc l'esemble cherché est le cercle de damètre [ AB] prvé du pot A. za + zb + Ce cercle a pour cetre le pot I mleu du segmet [ AB], zi = = =. Sot I ;. O retrouve be le résultat de la premère méthode. Costructo des esembles de pots E et E page 8 / 0

9 Exercce Correcto des exercces sur les ombres complexes a) Affxes des pots A', B ', C ' a = b = c = +, I = ml[ A' B], J = ml[ B ' C], K = ml[ C ' A] + M ( z) M '( z ') tel que f ( M ) = M ' z ' = z + + ) f ( A) = A' a ' = a a ' = a ' = f ( B) = B ' b ' = b b ' = + + f ( C) = C ' c ' = ' + c = b) Affxes des pots I, J, K : a ' + b + zi = = zi + + = + b' + c c ' + a zj = = + zk = zk = ) Affxes des vecteurs : IJ, IK, KJ : Z = z z Z = IJ J I IJ + + Z = + IJ Z = zk zi Z = ; Z = zj zk Z = + + IK IK KJ KJ ) motros que IJK est équlatéral Z Z IJ + = + + = + + = 4 4 O a doc D'ue part Z = Z IK + IJ Z = + Z I IK IJ K = IJ car + = d'autre part arg ( Z ) = arg Z arg arg ( Z ) ( ) IK + = + + IJ IJ arg ( Z ) arg ( Z ) = arg ( ) ; arg ( ) IK IJ + + = arg ( Z ) arg ( Z ) = ( u ; IK ) ( u ; IJ) = ( IJ ; IK) ( ). As ( IJ ; IK) = ( ). IK IJ IK page 9 / 0

10 Correcto des exercces sur les ombres complexes Doc le tragle IJK à deux côtés égaux et u agle égale à, l est équlatéral. Autre méthode: calcul des logueurs: IJ, IK et KJ. 4) Sot E l'esemble des pots M d'affxes z tels que: z = a) z = z z = AM =, E est doc le cercle de cetre A et de rayo. A + b) Sot E ' l'mage de E par la l'applcato f : f ( M ) = M ' z ' = z arg ( ) et, doc o = = = e d'où: z ' = e z,c'est l'écrture complexe de la rotato de cetre O et d'agle. L'mage E ' de E est le cercle de cetre A' mage de A par f et de même rayo. Costructo : Exercce ) Pour tout ombre complexe z, z = z z z = z z z + = z + = z ( z ) = 0 ( z )( z + ) = 0 () ( ) 0 ( ) 0 z = + ou z = z = + =, u argumet de z est ( ). 4 z = z, doc z = z =, et arg z = arg z = ( ). 4 ) L'équato () est équvalete à : z = ( z ) z z = z =, sot z = + page 0 / 0

11 Correcto des exercces sur les ombres complexes ) Sot M,A et B les pots d'affxes respectves: z,et. z z BM a) = = z z AM z z arg = arg( z ) arg( z )( ) arg = ( AM ; BM ) ( ) z z = ( u ; BM ) ( u ; AM ) = ( AM ; BM ) ( ) z BM = = BM = AM z z b) () AM = z z ( AM ; BM ) ( ) arg arg( ) ( ) ( AM ; BM ) ( ) = = = z S z est soluto de l'équato (), le pot M mage de z, se trouve sur l'tersecto de la medatrce du segmet [AB] et le cercle de damètre [AB]. z )a) Sot u eter aturel o ul, et z ue soluto de l'équato das C: = z z z = z z Proprété des modules z z z = = = = BM = AM d'après la questo précédete. z z z le pot M est sur la medatrce de [AB], doc Re( z) = + E effet le mleu I de [AB] a pour affxe : z = =. z )b) D'après a) s z est soluto de léquato =, alors z s'écrt sous la forme z z = + y, où y est u ombre réel. page / 0

12 Exercce 4 Correcto des exercces sur les ombres complexes Esembles de pots et argumets ) arg( z + ) = ( ). Sot A le pot d'affxe za = arg( z + ) = arg( z za) = ( u ; MA)( ) arg( z + ) = ( ) ( u ; MA) = ( ) M est sur la dem drote d'orge A exclu et de vecteur drecteur v. ) arg( z) = 0( ) arg( ( z )) = 0( ) arg( ) + arg( z ) = 0( ) + arg( z za) = 0( ) arg( z za) = ( ) ( u ; MA) = ( ) M est sur la drote d'orge A exclu et de vecteur drecteur -u ) arg(( + ) z + ) = ( ) ( + ) z + = ( + )( z + ) = ( + ) z + + arg(( + ) z + ) = arg( + ) z + = arg( + ) + arg z + arg( + ) = ( ). Sot A le pot d'affxe za = 4 arg(( + ) z + ) = ( ) arg( + ) + arg ( z z A ) = ( ) + ( u ; MA) = ( ) ( u ; MA) = ( ). 4 4 M est sur la deme drote d'orge A exclu et de vecteur drecteur w( ;) Exercce 5 z = 5 ( + ) et z = 5( + ).Posos arg z = θ ( ) et arg z = θ ( ) ) Module et argumets des ombres complexes: z, z, z, z z = 5 ( + ) = 5 + = 5 = 0 5 O a cosθ = s θ = = doc θ = ( ). 0 4 z = 5( + ) = 5 + = cosθ = = et s θ = = doc θ = ( ). 0 0 z = z = 0 ; arg z = arg z = ( ). = = ; arg = arg z = ( ) z z z page / 0

13 Correcto des exercces sur les ombres complexes ) Sot Z le ombre complexe tel que : z Z = z z z z = ' = =. arg = arg = arg arg ( ) Z d où Z Z z z z z z arg Z = ( ) arg Z = ( ) = ( ). 4 O e dédut la forme trgoométrque de Z : Z = cos + s Forme algébrque de Z: Z z 5( + ) + ( + )( ) ( ) + ( ) z 5 ( + ) + ( + )( ) = = = = = 6 6 Z = + Z = ) E égalsat les formes algébrque et trgoométrque de Z o a 6 6 Z = + = cos + s o e dédut que : cos = et s = 4 4 Exercce 6 )a) ABC est u tragle, I le mleu de [BC] et D le barycetre des pots: ( A; ),( B;),( C;) I le mleu de [BC] I sobarycetre des pots ( B; ),( C; ). D le barycetre des pots: ( A; ),( B;),( C; ) DA + DB + DC = 0 D'après l'assocatcté des barycetres o a, D est auss barycetre des pots ( A; ),( I;4) 4 D'où la relato : DA + 4DI = 0 AD = AI. b) Sot E l'esemble des pots M du pla tels que: MA + MB + MC = MA + MB + MC * S G le cetre de gravté du tragle ABC, alors o a GA + GB + GC = 0 La relato * devet: MD = MG MD = MG. l'esemble E est la medatrce du segmet [ DG].Cet esemble passe par le pot I car s M=I, o a IA + IB + IC = IA + IB + IC IA = IA pusque IB + IC = 0. Par le calcul, o motre que I est le mleu de [DG]: d'ue part o a AG = AI IG = IA. 4 D'autre part: AD = AI ID = AI. d'où IG + ID = IA + AI = 0 page / 0

14 Correcto des exercces sur les ombres complexes ) Le pla P est rapporté au repère orthoormal drect ( O; u; v) A a pour affxe z =, B a pour affxe z =, C a pour affxe z A z z z z z B B BC z BC a) = = =. = z z z z BA BA A B A B B z z z arg = B arg = arg( z zb ) arg( za zb ) ( ) za zb z zb est l'affxe du vecteur BC, za zb est l'affxe du vecteur BA. arg( z zb ) arg( za zb ) = ( u ; BC) ( u ; BA) ( ) e utlsat la relato de Chasles, o obtet: arg( z z ) arg( z z ) = ( BA; BC) ( ). B A B z Doc arg = ( BA; BC) ( ) Sot α le réel de ] ;0] tel que cos α =. 0 BC 0 Le pot C est déf par: ( BA; BC) = α et par BC = BA = =. 5 BA 5 5 b) Valeur exacte de s α : o a cos s s cos s cos car s 0 α + α = α = α α = α α < 0 D'où sα = sot s α =. 0 0 [ ] ( α ] ;0]). c) la forme trgoométrque de tout ombre complexe z est: z = z cos(arg z) + s(arg z) z BC z z Comme = et arg = ( BA; BC) = α ( ), alors s'écrt sous la forme: BA z BC 0 0 z = (cosα + s α) = après smplfcato, o obtet: = BA z O résoud l'équato d'coue z : = z = ( ) z = d) AB = = 5, AC = z = + = 5. Le tragle ABC est socèle e A. page 4 / 0

15 Correcto des exercces sur les ombres complexes Exercce 7 A tout ombre complexe z = x + y y o assoce le ombre complexe f ( z) = e [cos( x) + s( x)]. 0 ) z = 0 x = y = 0 f (0) = e [cos(0) + s(0)] =. z = x = et y = f = e + = e 0 ( ) [cos(0) s(0)]. 0 ( ) [cos(0) s(0)] =. z = x = et y = f = e + z = + x = et y = f + = e + = e ( ) [cos( ) s( )]. z = x = et y = f = e + = e ( ) [cos( ) s( )]. Notos ces pots M, M, M, M et M : 4 5 y )Motros que f ( z) est o ul: o a f ( z) = e [cos( x) + s( x)] E utlsat la otato expoetelle d'u ombre complexe cos( x) + s( x) = e, doc f ( z) s'écrt f ( z) = e e = e Comme e a x y x y + x > 0, o e dédut que f ( z) est o ul. x cos( x) + s( x) = e est u ombre complexe d'argumet ( x) et de module ( ) ( ) ( ) y x y x y x x f ( z) = e e = e e =, arg f ( z) = arg e e = arg e = x ( ). y f ( z) a pour module et pour argumet x ( ). f ( z) = e e a + e )Pour cette questo, o utlse les proprétés de la focto expoetelle: e = e e ; = e ; e b e = e a) Sot z et z ' deux ombres complexs: z + z ' = ( x + x ') + ( y + y ') f ( z + z ') = e e ( y+ y ') ( x+ x') = e e e e = e e e e y y ' x x' y x y ' x' y+ x y ' + x' = e e f ( z + z ') = f ( z) f ( z ') = f ( z) f ( z '). z z ' = ( x x ') + ( y y ') f ( z z ') = e e = e e e e ( y y ') ( x x') y x y ' x' = e e = e e y+ x y ' x ' y+ x ( y ' + x') y+ x e f ( z) = = ( y ' + x '). e f ( z ') b) Pour tout eter relatf : z = ( x + y) = ( x) + ( y), f ( z) = e e = e y x y+ x e x f ( z z ') = y x ( ) ( ) ( ( )) = = = ( y+ x) + e e f z f z y x ( e e ) ( f ( z) ) = = ( ) a b a b a b a a f ( z) f ( z ') page 5 / 0

16 Correcto des exercces sur les ombres complexes 4) Sot le ombre complexe w = +. A, B, C et D les pots d'affxes respectves: z = w = + A z = w = B z = w = C z = w = + D x a) Sot Ll'esemble des pots d'affxe z = x + y qu vérfe : y = x x x x ou y = y = ou y = y = y = U pot M ( x, y) L s ses coordoées verfet les deux systèmes x Le système correspod au segmet [ AD] y = x Le système correspod au segmet [ BC] y = L'esemble L est doc la réuo de ces deux segmets. Sot z l'affxe d'u pot de L z = x ± y f z = e ( f z ) = x ( y = et x ) ou ( y = et x ) D'après la questo ) ( ) et arg ( ) c o a.o a doc deux esembles x x, l'argumet de f ( z), x décrt doc [ ; ] y ( y = et x ) f ( z) = e = e et arg( f ( z)) [ ; ], doc les pos d'affxes f ( z) sot sur le cercle C de cetre 0 et de rayo e. ( ) y = et x f z = e = e f z y ( ) et arg( ( )) [ ; ], doc les pos d'affxes f ( z) sot sur le cercle C de cetre 0 et de rayo e =. e S M ( z) L, le pot d'affxe f ( z) est sur C ou C. x b) Sot K l'esemble des pots d'affxe z = x + y qu vérfe : y x x M ( x; y) se trouve à l'téreur du carré ABCD cotés comprs. y y Le même rasoemet que a) x x, l'argumet de f ( z), x décrt doc [ ; ] f z = e y e e e y y ( ), or. Le module de f ( z) vérfe doc: e f ( z) e L'esemble des pots d'affxe f ( z) est doc la parte du pla lmtée par les cercles C de la questo précédete. C'est la couroe comprse etre ces deux cercles. et C page 6 / 0

17 Exercce 8 Correcto des exercces sur les ombres complexes ) Pour tout couple de ombre complexes ( z, z '),o pose: ϕ( z, z ') = zz ' + zz '. ϕ(,) = + ( ) = 0 ϕ( +, + ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) = ( + )( ) + ( )( + ) = 0 ϕ( +, + ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) = ( + )( ) + ( )( + ) = 8. ( ) ( + ) ϕ( e, e ) = e e + e e = e + e = e + e = + = 0. Motros que pour tout couple ( z, z ') le ombre ϕ( z, z ') est réel: Rappel: u ombre complexe quelcoque z est réel s et seulemet s I m( z) = 0 z z = 0 Doc ϕ( z, z ') est réel s et seulemet s ϕ( z, z ') ϕ( z, z ') = 0 ϕ( z, z ') = zz ' + zz ' et ϕ( z, z ') = zz ' + zz ' = z z ' + z z ' = z z ' + z z ' d'où ϕ( z, z ') ϕ( z, z ') = zz ' + zz ' z z ' z z ' = 0. Doc o a be ϕ( z, z ') u réel. )a) O pose z = x + y et z ' = x ' + y ' ; x, y, x ', y ' des réels. ϕ( z, z ') = zz ' + zz ' = ( x + y)( x ' + y ') + ( x + y)( x ' + y ') = ( x + y)( x ' y ') + ( x y)( x ' + y ') = xx ' xy ' + yx ' + yy ' + xx ' + xy ' yx ' + yy ' ϕ( z, z ') = xx ' + yy ' b) Sot D l'esemble des pots M d'affxes z tels que: ϕ( z, + ) = E applquat la relato précédete avec x ' = y ' =, o a ϕ( z, + ) = x + y = x + y =. D est doc la drote d'équato cartésee x + y =. vor Fgure. θ θ ' )a) O pose z = re et z ' = r ' e ; et ' réels, r et r ' réels postfs. θ z = re et z ' = r ' e ϕ θ ' θ θ ' θ θ ' θ θ ' θ θ ' ( z, z ') = zz ' + zz ' = re r ' e + re r ' e = rr '[ e e + e e ] ϕ( z, z ') = rr '[ e + e ] = rr '[ e θ θ ' θ + θ ' ( θ θ ') ( θ θ ') θ θ e + e Rappel Formule d'euler: pour tout réel θ, o a: cos θ =. ϕ z z = rr e + e = rr θ θ ( θ θ ') ( θ θ ') Doc, (, ') '[ ] ' cos( '). ( ) θ θ + e ( ) sot ϕ( z, z ') = rr 'cos θ θ ' b) ϕ( z, z) = rr cos θ θ = r ϕ( z, z) = r Sot C l'esemble des pots M d'affxes z tels que ϕ( z, z) =. ϕ ( z, z) = r = r = r = z = OM =. C est doc le cercle trgoométrque (cetre O et rayo ). C et D sot taget. E effet sot A le pot d'tersecto de C et D. x + y = y = x A( x, y) vérfe le système: x + y = x + ( x) = ] page 7 / 0

18 Correcto des exercces sur les ombres complexes x + x = x x + = L'équato ( ) 0 So dscrmat est = 0, elle admet ue seule soluto double: x =. d'où y = x = = Les coordoées du pot A, sot ;. Sot w u vecteur drecteur de la drote D, w a pour coordoées: w( ;). Motros que les vecteurs OA et w sot perpedculares. Calculos le produt scalare: OA w = + = 0 Doc les vecteurs OA et w sot perpedculares, OA état u rayo du cercle C, O e dédut que C et D sot taget e A. Fgure : page 8 / 0

19 Correcto des exercces sur les ombres complexes Exercce 9 : Les partes A et B sot dépedates. PARTIE A ) Dre que le réel x est soluto de (E) sgfe que x (4 + )x² + (7 + )x 4 = 0 d où x 4x² - x² + 7x + x 4 = 0 sot ( ) ( ) x 4x² + 7x 4 + x x² = 0 d où doc x 4x² + 7x 4= 4 0 x = 0 + = x 4x² 7x 4 0 x( x) = 0 ou + = + = x 4x² 7x x = Falemet le réel est soluto de l équato (E). ) (z ) (z )(αz + β) = ( z² z z z+ + )( α z+β ) = z² + ( ) z+ ( + ) ( α z+β) (z ) (z )(αz + β) = α z +β z² +α( ) z² +β( ) z+α ( + ) z+β ( + ) (z ) (z )(αz + β) = α z + β+α( ) z² + β( ) +α ( + ) z+β ( + ) Ecrre que, pour tout ombre complexe z, z (4 + )z² + (7 + )z 4 = (z ) (z )(αz + β) équvaut à, pour tout ombre complexe z, z (4 + )z² + (7 + )z 4 = α z + β+α( ) z² + β( ) +α ( + ) z+β ( + ) d où α= β+α ( ) = ( 4 + ) β ( ) +α ( + ) = 7 + β ( + ) = 4 doc α= β= = + β( ) = 5 β ( + ) = 4 sot α= β= + 5 ( 5 )( + ) β= = = = = ( ) β= = = = + + ( + ) + Falemet, pour tout ombre complexe z, z (4 + )z² + (7 + )z 4 = (z ) (z )(z + ) ) (E) équvaut à (z ) (z )(z + ) = 0 L équato (E) a doc tros solutos : le réel et les complexes + et page 9 / 0

20 Correcto des exercces sur les ombres complexes PARTIE B ). a. M est le pot d affxe z = x + y, avec x et y réels doc z = z= x+ y OM d où M est le pot d affxe z = x + y, avec x et y réels doc z = z ' = x ' + y' OM ' d où z ' z = ( x ' + y ')( x y) = x 'x x ' y+ y'x+ yy' sot z ' z = ( xx ' + yy ') + ( xy ' yx ') x OM y x ' OM ' y ' x OM y et x ' OM ' y ' x x ' sot orthogoaux s et seulemet s OM. OM ' y y ' s et seulemet s xx + yy = 0 s et seulemet s Re( z ' z ) = 0 = 0 b c = + + = + + = 4 b. c b= ( )( ) = = 4 ou ( )( ) doc Re( c b ) = 0 ou Re( b c ) = 0 d où OB et OC sot orthogoaux sot OBC est u tragle rectagle e O ) * b = 8 = doc b= + = cos + s 4 4 OA; OB = u; OB = arg(b) = 4 ( ) ( ) * c = doc c= = cos + s 4 4 ( OC;OA) = ( OC; u) = arg(c) = 4 * ( OC;OA) = ( OA; OB) doc (OA) est la bssectrce de l agle (drot) e O ). a. Le ombre complexe dot le module est et dot u argumet est est c d = = = + = + = + c O a doc c d c d c c d c( ) d ( )( ) b. * c d = DC = OC= CD c OC = = c OC CD c d * arg ( OC; DC) doc d = doc ( OC) ( CD) Pusque l o a ( ) ( ) et ( OC) ( OB), o e dédut que les drotes (OB) et (CD) sot pa rallèles. * OCDB est doc u trapèze rectagle et socèle e C page 0 / 0