( ) tout nombre réel x associé au point M.

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1 Trigonométrie I. Mesures des angles orientés de vecteurs 1. Rappels On appelle «plan orienté» un plan dans lequel tous les cercles sont orientés dans le sens contraire des aiguilles d une montre, appelé «sent direct». On considère dans un plan orienté un cercle C de centre O passant par le point I. En traçant la tangente à C en I, on peut associer à tout réel x un unique point de C, en «enroulant» la droite autour du cercle. Le point J de C, associé au réel, permet de définir un repère orthonormé direct 2 ( O, I, J ) du plan orienté. Si le point M est associé à un réel x, alors il est aussi associé à tout réel de la forme x + k 2 où k est un entier relatif. Si M est le point du cercle associé au réel x, les coordonnées de M dans le repère( O, I, J ) sont ( cos x;sin x). 2. Le radian Définition Soit M un point du cercle trigonométrique. On appelle mesure en radian de l angle orienté OI!!!! ",OM Remarques ( ) tout nombre réel x associé au point M. La longueur du cercle trigonométrique étant égale à 2 et l angle plein mesurant 0 degrés, on a la correspondance rad = ère S Gan Ami 1

2 . Angle orienté de deux vecteurs Définitions Le plan est muni d un repère orthonormé direct ( O, I, J ). On considère deux vecteurs non nuls u! et v!! et on construit sur le cercle trigonométrique les points F et H tels que OF soit colinéaire et de même sens que u! et OH! soit colinéaire et de même sens que v!. La mesure de l angle orienté u!,v!! ( ) est égale à celle de l angle orienté OF!!! ( ",OH ). Pour tout réel x associé au point F et tout réel y associé au point H, y x est une mesure en radian de l angle orienté u!,v! ( ). L unique mesure en radian de l angle orienté u!,v! Exercice 1 appelée la mesure principale de cet angle orienté. Déterminer la mesure principale des angles : 21 2 ; 199 Méthode ( ) appartenant à l intervalle ; ; 77 ; Pour calculer la mesure principale d'un angle orienté de mesure a, on ajoute ou on soustrait un multiple entier de 2 afin d'obtenir un réel de ; ] ]. est Exercice 2 Placer sur le cercle trigonométrique les points M 7, N 10 1 et P Propriété des angles orientés de vecteurs Angle nul ou plat Pour tout vecteur non nul u!, on a : u!,u! ( ) = 0 2 ( ) u!,u! ( ) = ( u!, u! ) = 2 ( ) 2

3 Relations de Chasles Pour tous vecteurs non nuls u!, v! et w!" on a : u!,v! ( ) + v!,w "! ( ) = u!,w "! ( ). Conséquences Pour tous vecteurs non nuls u! et v! on a : v!,u! ( ) = ( u!,v! ) 2 ( ) u!, v! ( ) = ( u!,v! ) 2 ( ) u!,v! ( ) = ( u!, v! ) = ( u!,v! ) + 2 ( ) Exercice Soit ABC un triangle isocèle en C. on donne CA!!! ",CB ( ) = 2 AC tel que BJ!!! ( ", BA ) = ( 4 2 ). Déterminer la mesure principale des angles orientés! JA!",!!! BA " ( ). Soit J le point du segment ( ) et! JB " (!,! BC ).

4 Exercice 4 Soit ( u!,v! ) = 9 et ( u!,w "! ) = 4 a. ( v!,w "! " ) b. ( u,v ) c. ( v!, 2w "! ) d. ( 2u!,w "! ).. Déterminer une mesure principale de : II. Cosinus et sinus d'angles «associés» 1. Définition Dans le plan orienté, si x est une mesure en radian de l'angle orienté u!,v! cos u!,v! ( ) = cos x et sin( u!,v! ) = sin x. ( ), alors on pose : On dit que deux angles orientés sont «associés» s'ils admettent des cosinus ou des sinus égaux ou opposés. Propriétés Pour tout réel x : cos 2 x + sin 2 x = 1 1 cos x 1 1 sin x 1 cos x + 2k ( ) = cos x sin( x + 2k ) = sin x, k!. 2. Cosinus et sinus d angles associés Pour tout réel x : Angles opposés cos x ( ) = cos x ; sin x ( ) = sin x. Angles supplémentaires cos x ( ) = cos x sin( x) = sin x ( ) = cos x sin( x + ) = sin x cos x + Angles complémentaires cos 2 + x = sin x cos 2 x = sin x sin 2 + x = cos x sin 2 x = cos x 4

5 Exercice 5 1. Compléter le tableau suivant : x 0 cos x sin x Donner les valeurs exactes de : a. cos 2 b. sin 4 c. cos 5 d. sin 2 x. Sachant que cos x = 2 avec < x < 2, sans calculer x, déterminer la valeur exacte de sin x. III. Formulaire et résolution d équations 1. Formules de trigonométrie Pour tous réels a et b on a : Formules d addition ( ) = cos acosb sin asinb cos( a b) = cos acosb + sin asinb ( ) = sin acosb + cos asinb sin( a b) = sin acosb cos asinb cos a + b sin a + b Formules de duplication cos2a = cos 2 a sin 2 a = 2cos 2 a 1= 1 2sin 2 a sin2a = 2sin acos a Exercice 1. Calculer la valeur exacte de cos 12 et sin Calculer la valeur exacte de cos 8 et sin Résolution des équations du type cos x = cosa et sin x = sina Soit a un réel donné. Les solutions de l équation cos x = cos a sont les réels a + k 2 et a + k 2, k!. En effet, sur le cercle trigonométrique, deux points symétriques par rapport à l axe des abscisses ont la même abscisse. Soit a un réel donné. Les solutions de l équation sin x = sin a sont les réels a + k 2 et a + k 2, k!. 5

6 En effet, sur le cercle trigonométrique, deux points symétriques par rapport à l axe des ordonnées ont la même ordonnée. Exercice 7 Résoudre les équations suivantes : 1. cos x = 2 dans I =!. 2. sin x = 1 2 dans I = 0;2. cos x = cos x cos 2 x + cos x = 1dans I = 0;2 5. cos x + dans I =!, puis dans I = ; = sin x dans I = ;. cos 2x + 4 = cos x dans I = ;