Ch.5èTrigonométrie. 1ere S. LFA / Première S mathématiques Mme MAINGUY 1. I. Mesure des angles orientés de vecteurs 1/ cercle trigonométrique

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1 LFA / Première S mathématiques Mme MAINGUY 1 Ch.5èTrigonométrie 1ere S I. Mesure des angles orientés de vecteurs 1/ cercle trigonométrique définition le cercle trigonométrique de centre O est celui qui a pour rayon 1 et qui est muni d'un sens direct : le sens inverse des aiguilles d'une montre. / Enroulement de la droite numérique sur un cercle Remarque C est le cercle trigonométrique de centre O.(O; I. J) est un repère orthonormé direct : sur le cercle C, on se déplace de I vers J, selon le trajet le plus court, dans le sens direct. K est le point de coordonnées (1;1). On munit la droite (IK) du repère (I;K) : cette droite représente l'ensemble R des réels, on l'appelle droite numérique. On enroule la droite (IK) sur le cercle trigonométrique C : on dit que M est le point image du réel x. définition A tout réel x, on peut associer un point M sur le cercle de la façon suivante : si x > 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point I dans le sens direct. si x < 0, on parcourt la distance x sur le cercle en partant du point I dans le sens indirect. Exemples Le périmètre du cercle de rayon 1 étant égal à : le point correspondant à est obtenu en, parcourant, dans le sens direct, un demi-cercle à partir de I. le point correspondant à est obtenu en, parcourant, dans le sens direct, un quart de cercle à partir de I. le point correspondant à 3 est obtenu en, parcourant, dans le sens direct, un tiers de demi-cercle à partir de I. le point correspondant à est obtenu en, parcourant, dans 4 le sens indirect (inverse des aiguilles d'une montre), le quart d'un demi-cercle à partir de I.

2 propriété Si un point de la droite numérique d'abscisse a se retrouve en M après enroulement sur C, alors les points d'abscisses, a 4, a, a, a +, a + 4, a +, se retrouvent également en M après enroulement sur C. Si M est le point du cercle trigonométrique C, image d'un nombre réel a, alors M est aussi le point image de tous les réels a+ k où k est un entier relatif. Une seule de ces mesures appartient à l intervalle ;, elle est appelée mesure principale de l arc orienté IM, dans ce cas x est la longueur du petit arc géométrique IM. Application Placer sur le cercle trigonométrique les points A, B, C images respectives de : ; ; 4 Remarque : on va chercher à effectuer la division euclidienne de l'abscisse du point par. 3/ Le radian définition Le radian est une unité de mesure angulaire, qui correspond à la longueur de l arc intercepté par un angle au centre du cercle trigonométrique. Cet angle est orienté, c'est-à-dire positif ou négatif suivant le sens dans lequel on tourne. Soit M un point du cercle trigonométrique. OI ; OM = x Remarques Sur la figure ci-contre, on a IM = 1. La mesure de l'angle orienté OI ; OM est alors de 1 radian. la longueur de l'arc IM est égale à 1. (vu précédemment) Les mesures des angles en degré et des angles en radians sont proportionnelles. 180 Le coefficient de proportionnalité est de pour passer des degrés au radians et de 180 radians aux degrés. CORRESPONDANCES Degrés Radians 3 Application a) Placer sur le cercle trigonométrique les I, J, A, I', points images de 0; ; ;. b) Quelles sont les longueurs des arcs IJ ; II' ; IA? 4 0 pour passer des

3 LFA / Première S mathématiques Mme MAINGUY 3 c) Quelles sont les mesures en degré des angles orientés ( OI ; OJ) OI ; OI' (, OI ; OA)? d) Quelles sont les mesures de ces angles en radian? 4/ Angle orienté de deux vecteurs Codage d'un angle orienté définitions Deux vecteurs u et v non nuls déterminent un angle orienté noté u ; v une mesure x en radians de l'angle orienté u ; v. En considérant un cercle trigonométrique, on définit. Si k et k ' sont des réels strictement positifs, les mesures des angles ku ; k ' v u ; v et sont identiques. Autrement dit, si u ' et v ' sont colinéaires aux vecteurs u et v alors u ; v et u ' ; v ' ont la même mesure. définitions Un vecteur u est unitaire si u = 1. Par conséquent les vecteurs unitaires sont les vecteurs OM où M décrit le cercle trigonométrique. Soit u et v deux vecteurs unitaires. Il existe deux points A et B sur le cercle trigonométrique tels que u = OA et v = OB. Les mesures en radian de l arc orienté AB sont les mesures de l angle orienté des vecteurs u et v. On note ( u ; v ) = ( OA ; OB). Si les points A et B sont repérés par les réels a et b, alors on a : u ; v ; OB Remarques : L'unique mesure en radian de l'angle orienté principale de cet angle orienté. Si a est une mesure de l'angle orienté a+ k où k. On note : u ; v mesures). 5 Attention, on n'écrira jamais u ; v u ; v = OA = b a + k appartenant à l'intervalle ] ; ] est appelée mesure, alors les autres mesures de cet angle orienté sont les réels = a ( ) qui se lit " a modulo ". (on assimile l'angle orienté à ses 5 =. = qui est une égalité fausse entre deux réels mais ( )

4 Exemples : OI ; OJ = + k avec k. On a donc ( OI ; OJ) = = 3 Soit J' symétrique de J par rapport à O. On a : OI ; OJ' ( k = 1). et sa mesure principale est ( ) et sa mesure principale est Application Dans le plan rapporté au repère orthonormé (O, i, j ), placer les points M 1, M tels que : OM 1 = et ( i ; OM 1 ) = OM = 3 et i ; OM 4 ( ) = 11. 4/ s des angles orientés de vecteurs s Angle nul ou plat : Relation de Chasles : u ; u = 0 et u ; v + v ; w = u ; w Conséquences : pour tous vecteurs u et v, on a : v ; u u ; u = u ; u = = ( u ; v ) ( ) ( u ; v ) = ( u ; v ) ( ) w ( u ; v ) = ( u ; v ) = ( u ; v ) + ( ) II. Cosinus et sinus d'un angle 1/ Cosinus et sinus d'un angle orienté On travaille dans le repère ( O ; i ; j ) du plan. Soit α un nombre réel et M le point du cercle trigonométrique C tel qu'une mesure de i ; OM soit égale à α. L'abscisse et l'ordonnée du point M sont indiquées part les points H et K, projetés orthogonaux de M respectivement sur les deux axes O ; i et ( O ; j )

5 LFA / Première S mathématiques Mme MAINGUY 5 définitions Le cosinus du nombre réel α est l'abscisse du point M; cette valeur se note cosα. Le sinus du nombre réel α est l'ordonnée du point M; cette valeur se note sinα. Valeurs particulières Remarques : Les coordonnées du point M, situé sur le cercle trigonométrique, sont : (cosα ; sinα ) Si α et β sont deux mesures en radians d'un angle orienté ( u ; v ), alors β = α + k. Donc le point M tel que i ; OM = β sont confondus. = α soit égale à α et le point N tel que ( i ; ON ) On en déduit que sinα = sin β et cosα = cos β. Autrement dit : cosα = cos( α + k) et sinα = sin( α + k) définitions Soit u r et v r deux vecteurs non nuls et α une mesure quelconque de l'angle Le cosinus de l'angle orienté u ; v Le sinus de l'angle orienté Remarque : par la suite, on notera cosα pour cos radians de l'angle orienté u ; v u ; v. u ; v est le cosinus d'une de ses mesures et se note cos. ( u ; v ) est le sinus d'une de ses mesures et se note sin ( u ; v ).., A est un point distinct de O, Dans le repère O ; i ; j tel qu'une mesure en radians de l'angle ( i ; OA) = α. Les coordonnées de A sont ( OAcosα; OAsinα ) u ; v et sinα pour sin u ; v où α est une mesure en Démonstration : Soit M le point d'intersection de la demi-droite [OA) et du cercle trigonométrique. Les coordonnées de M sont ( cosα ; sinα ). Ce sont aussi les coordonnées de OM. Or OA = OA OM donc les coordonnées de OA OAcosα; OAsinα qui sont aussi les coordonnées du point A. sont Pour tout nombre réel α, on a : cos α+ sin α = 1 1 cosα 1 et 1 sinα 1

6 Idée de démonstration : utilisation du théorème de Pythagore dans le triangle OMM 1, M 1 étant le projeté orthogonal de M. sur O ; j Le cercle trigonométrique étant de rayon 1, abscisse et ordonnée d'un point sont comprises entre 1 et 1. / Cosinus et sinus d'angles associés On donne : ( OA ; OM) = α M 1 symétrique de M par rapport à ( Ox ) : OA ; OM 1 M symétrique de M par rapport à O : OA ; OM M 3 symétrique de M par rapport à ( Oy ) : OA ; OM 3 = α = α + = α M 4 symétrique de M par rapport à la 1ère bissectrice (Δ) : OA ; OM 4 Ces angles sont dits associés à l'angle OA ; OM = α Pour tout nombre réel α, on a : sin cos ( α) = sinα ( α) et = cosα sin α + = sinα et cos α + = cosα sin α = sinα et cos α = cosα sin α = cos α et cos α = sin α remarque : on a aussi : sin + α = cosα et cos + α = sinα il suffit de visualiser sur le cercle trigonométrique!!!

7 LFA / Première S mathématiques Mme MAINGUY 7 Exemples Calcul de valeurs de cosα et sinα à parir de valeurs connues : 3 cos = cos = cos = sin = sin = sin = 7 3 cos = cos + = cos = 7 cos = cos = cos = cos = / Formules d'addition (admises) cos a+ b = cos a cosb sin a sin b cos a b = cos a cosb+ sin a sin b sin a+ b = sin a cosb+ sin b cos a sin a b = sin a cosb sin b cos a Remarques : on peut retrouver toutes les formules à partir de la première. En effet : cos a b : Retrouvons cos( a b) = cos( a+ ( b) ) = cos a cos( b) sin a sin( b) = cos a cosb sin a ( sinb) = cos a cosb+ sin a sinb Retrouvons sin( a b) sin cos + : ( a+ b) = + ( a+ b) = cos + a + b = cos + a cosb sin + a sinb = [ sin acosb cos asinb] = sin acosb+ sinbcos a On retrouve alors sin( a b) à partir de Exemple Trouver les valeurs exactes de cos et sin. 1 1 Solution on utilise l'égalité : = sin a b = sin( a+ b )

8 4/ Formules de duplication = on écrit : sin a sin( a a) = on écrit : cos a cos( a a) sin a sin a cos a cosa cos a sin a cosa= cos a 1 on utilise : cosa= 1 sin a = + =K = + =K cos a+ sin a= 1 5/ Formules de linéarisation 1 cos a sin a = on utilise les formules de cosa 1+ cos a cos a = Exemples Trouver les valeurs exactes de cos et sin en utilisant les formules de linéarisation 1 1 Ax= 1+ cosx+ cosx Bx= 1 cosx+ sinx Factoriser les expressions : III. Équations trigonométriques 1/ Équations cos x= cosa Soit a un nombre réel et l'équation d'inconnue x, cos x= cosa. si cosa 1 et cosa 1, les solutions de l'équation cos x= cosa sont les nombres a+ k et a+ k' où k et k ' sont des entiers relatifs quelconques. si cosa = 1, l'équation devient cos x = 1 et ses solutions sont les nombres k où k. si cosa = 1, l'équation devient cos x = 1 et ses solutions sont les nombres + k où k. Remarques : Graphiquement il existe deux points M et M' (symétriques par rapport à (O i ) sur le cercle C qui correspondent à des angles qui ont le même cosinus. On retrouve ainsi la formule des angles associés : cosα = cos( α). Attention : la calculatrice ne donne que la solution dands l'intervalle [ 0; ]. Exemple a) Résoudre dans R l' équation cos x = cos. 3 b) Utiliser la calculatrice pour résoudre l'équation cos x = 0,3 Solution

9 LFA / Première S mathématiques Mme MAINGUY 9 a) Sur C, il existe deux points d'abscisse cos 3. Donc les solutions de l'équation cos x = cos sont : 3 x = + k, k 3 x = + k, k 3 b) L'équation est de la forme cos x= b. b n'étant pas une valeur remarquable, on utilise la calculatrice en mode radian. On utilise la fonction Acs pour Casio et Arcos pour TI qui donne la solution entre 0 et. Donc les solutions de l'équation cos x = 0,3 sont : x = 1, + k, k x = 1, + k, k Remarque : la fonction Asn pour CASIO et Arcsin pour TI donne la solution entre et. / Équations sin x= sina Soit a un nombre réel et l'équation d'inconnue x, sin x= sin a. si sin a 1 et sin a 1, les solutions de l'équation sin x= sin a sont les nombres a+ k et a+ k' où k et k ' sont des entiers relatifs quelconques. si sin a = 1, l'équation devient sin x = 1 et ses solutions sont les nombres + k où k. si sin a = 1, l'équation devient sin x = 1 et ses solutions sont les nombres + k où k. Exemple : Résoudre dans R l' équation 5 sin x = sin. Solution : Sur C, il existe deux points d'ordonnée 5 sin. Donc les solutions de l'équation x = 5 + k, k 5 sin x = sin sont : x = + k, k