n n ) d où dega= degb F = X. ω =. X ω ω = donne k= 0. En posant bl= Montrer qu il n existe pas de fraction rationnelle F telle que

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1 Les fractos ratoelles Exercce Motrer qu l exste as de fracto ratoelle F telle que F S F est soluto alors degf degf avec degf Z C est mossble Exercce Détermer u sulémetare de K [ ] das K ( Sot V { F K ( / degf< } V K [ ], V et λµ, K, FG, V, deg( λ F+ µ G max(deg F, deg G < doc λ F+ µ G V V est u sous-esace vectorel Claremet V K [ ] {} De lus F K (, F P+ G avec P Et( F K [ ] et G V Exercce Sot F K ( Motrer que degf < degf degf A AB AB Suosos degf < degf F et F B B S A ou B sot costats : c est assez rade So : degf < degf deg( AB AB < degab degab doc coeff( AB coeff( AB d où dega degb us degf Exercce 4 Sot F K ( de rerésetat rréductble P Motrer que F est are ss P et sot tous deux ars ou mars S F est are alors F ( F ( doc P( ( P ( ( ( P ( ( et P doc ( ( De même ( ( Or coeff( ( et coeff( ( ( avec deg S est ar alors ( ( us P( P ( S est mar alors ( ( us P( P ( Exercce 5 π Sot N et e ω a Sot P C [ ] u olyôme vérfat P( ω P ( Motrer qu l exste u olyôme C [ ] tel que P ( ( + ω b E dédure la réducto au même déomateur de la fracto ratoelle F ω a P( P ( + P a ω doe + + aω a us l + Par sute [ ], a E osat bl a et l b l l N, a a ω o a P ( ( + ω P b La réducto au même déomateur de F doe F ω P( ω P ( Comme F ( ω F ( o obtet us P( ω P ( Par sute P est de la forme P a + b E étudat la arte etère de F o a : a + E étudat la valeur de F e o a : b Par sute F avec degp

2 Races et ôles Exercce 6 Sot et q deux eters aturels o uls remers etre eux Détermer les races et les ôles de F q e récsat les multlctés resectves q Détermos les races commues à et Sot ω u telle races O a q ω ω Pusque et q sot remers etre eux, l exste uv Z, tels que u+ qv u+ qv u q v O a alors ω ω ( ω ( ω Iversemet, est race commue q De lus, otos que toutes les races de et sot smles Les races de F sot les races ème de l uté autres que Elles sot smles Les ôles de F sot les races q ème de l uté autres que Ils sot smles est ôle, race Exercce 7 Sot F K ( a Sot a u zéro d ordre α de F Motrer que a est zéro d ordre α de F b Comarer les ôles de F et de F, as que leur ordre de multlcté Notos P le rerésetat rréductble de F a Sot a zéro de multlcté α O a P ( a α Pˆ avec Pa ˆ ( et a ( α ( a ( αp ˆ + ( ap ˆ ( ap ˆ F a est as race de α P ˆ + ( ap ˆ ( ap ˆ, doc a est race de multlcté α de F b Sot a ôle de F de multlcté α O a Pa ( et ( a α ˆ avec a ˆ( ( ap ˆ αpˆ ( ap ˆ F α+ ˆ ( a a est as race de ( ap ˆ αpˆ ( ap ˆ, doc a est ôle de multlcté α+ de F Exercce 8 Motrer qu l exste as de F C ( telle que F Par l absurde, suosos qu l exste F C ( telle que F Notos P so rerésetat rréductble F doe ( P P dvse doc est race de et doc a fortor de Posos α N sa multlcté das P et état remer etre eux, est as race de P est race de multlcté α de P et race de multlcté au mos α de P doc est race de multlcté exactemet α de P P D autre art est race de multlcté α de ( P P Par égalté de multlcté α ( α + d où α Absurde Décomosto e élémets smles Exercce 9 Motrer que l alcato Et : K( K [ ] est léare et détermer so oyau Sot λµ K, et FG, K ( F Et( F + Fˆ et G Et( G + Gˆ avec deg Fˆ,degG< ˆ Pusque λ F+ µ G λ Et( F + µ Et( G + λ Fˆ + µ Gˆ avec deg( λ Fˆ + µ Gˆ < o a Et( λ F+ µ G λ Et( F + µ Et( G As Et est léare er Et { F K ( / degf< }

3 Exercce Effectuer la décomosto e élémets smles des fractos ratoelles suvates : a b c + ( ( ( ( a b d + ( + g ( ( ( ( + ( c d j + j e 4 ( + ( ( f ( + ( + ( + g h e + + h ( j 6 ( j 6 ( j 6 ( j j j + j + j 4 E exlotat l astuce F ( j F ( j F ( : j j j j ( ( ( + ( j ( j + ( j ( j! Exercce Sot N Former la décomosto e élémets smles de F ( (! a avec a ( ( ( 4 f ( + (!! ( ( ( ( (!(! Alcatos de la décomosto e élémets smles Exercce Sot la fracto F ( + a Réalser la décomosto e élémets smles de F b E dédure ue smlfcato our de ( + c Procéder de même our calculer : ( + ( +

4 + a F ( + + b Par télescoage : c O a ( ( + ( doc + ( + ( Exercce Exrmer la dérvée d ordre de ( + ( (! et o sat : ( + ( + a ( a + ( doc (! ( ( ( + + Exercce 4 Sot F C ( + a E réalsat la DES de F, exrmer ( F b Motrer qu l exste P R [ ] tel que F c Détermer les zéros de P ( P ( + a F +, ( (! F + + ( ( + b F ( P ( + + Mas P P doc P R [ ] + (! ( + ( C + + avec P ( [ ] + + π c Pour x R : P ( x ( x+ ( x {,, }, x cot + Cela fourt races réelles et l e eut y e avor d autres comlexes Exercce 5 Sot F ( ( + a uelle relato exste etre la arte olare de F e et celle e b Former la décomosto e élémets smles de la fracto F a F ( F ( P ( S ( c E dédure u coule ( UV, R [ ] tel que : ( + U+ ( V P ( est la arte olare de F e, alors ( + est sa arte olare e b ( ( ( ( + ( ( c E rédusat au même déomateur : ( ( ( U + et V ( + ( + + ( / Exercce 6 O ose e π ω avec {,, } Smlfer F ω

5 P Arès réducto au même déomateur F avec degp < P ( {, }, ( ω doc P( ω ω Pusque P R [ ] et ossède races, c est le olyôme ul Exercce 7 Sot N tel que et {,,, } O ose our {,,, }, ω π ω ex Mettre sous forme rréductble : ω ω ω P avec degp < P( ω De lus, ar décomosto e élémets smles : ( ( ω ω Par sute o a P( ω ω ω ω Ces relatos ermettet de recoaître P usqu o sat deg P< O obtet : P s ou P s Exercce 8 Sot N et z, z,, z C deux à deux dstcts O ose ( z a Pour {,,, }, exrmer la décomosto e élémets smles de ( z b E dédure, our {,,, }, la valeur de z ( z à l ade des a λ avec z b E multlat ar, z λ ( z + λ z ( z et de l autre s + et so us e fasat «tedre vers +», o obtet d u côté z Exercce 9 Sot P C [ ] u olyôme scdé à races smles : x, x a a Former la DES de P b O suose P( Observer : λ P x x x λ ( ( b E évaluat e : xp ( x P( xp ( x P( avec λ P ( x Exercce Sot P C [ ] u olyôme scdé à races smles : x, x a Former la DES de P P P ( x b E dédure que P ( x,,

6 P P λ a P ( x ( x x λ P b Pusque deg < o a λ P avec λ P ( x P ( x Exercce Sot a,, a C deux à deux dstcts, α,, α C tels que j, {,,, }, a+ αj x x x + + a+ α a+ α a+ α x x x Résoudre le système a α + + a+ α + a+ α x x x + + a+ α a+ α a+ α x Sot F Le système équvaut à F ( α F ( α a+ E rédusat F au même déomateur P F avec P utare, degp et F ( α F ( α mlque P ( α ( α ( ( α+ a La DES de F doe x ( a a ( + a davd Delauay htt://msddlfreefr

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