Position relative de trois plans dans l espace Géométrie Exercices corrigés
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- Gisèle Gravel
- il y a 6 ans
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1 Position relative de trois plans dans l espace Géométrie Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour y accéder directement) Exercice 1 : point d intersection de trois plans et coordonnées du point d intersection Exercice 2 : droite d intersection de trois plans et représentation paramétrique de la droite d intersection Exercice 3 : plan d intersection de trois plans et représentation paramétrique du plan d intersection Exercice 4 : intersection vide de trois plans Accès direct au site 1
2 Exercice 1 (1 question) Niveau : facile On munit l espace d un repère ( ). On considère les plans, et d équations cartésiennes respectives, et. Déterminer l intersection de ces trois plans. Correction de l exercice 1 Retour au menu Finalement, l intersection des plans, et est le point de coordonnées. 2
3 Exercice 2 (2 questions) Niveau : moyen On munit l espace d un repère ( ). On considère les plans, et d équations cartésiennes respectives, et. 1) Montrer que les plans, et sont sécants selon une droite. 2) Donner une représentation paramétrique de la droite d intersection de ces trois plans. Correction de l exercice 2 Retour au menu 1) Montrons que les plans, et sont sécants selon une droite. Ainsi, l intersection des plans, et est équivalente à l intersection des plans et d équations cartésiennes respectives et, c est-à-dire d équations cartésiennes respectives et. Rappel : Vecteur normal à un plan Dire qu un vecteur non nul est normal à un plan signifie que toute droite de vecteur directeur est orthogonale à ce plan. L ensemble des points de l espace qui vérifient l équation cartésienne (où,, désignent des réels non tous nuls et un réel) est un plan de vecteur normal. Réciproquement, si un plan a pour vecteur normal, alors ce plan a une équation cartésienne de la forme (où,, désignent des réels non tous nuls et un réel). Or, un vecteur normal à est le vecteur et un vecteur normal à est le vecteur ( ). Les vecteurs et ne sont pas colinéaires donc les plans et sont sécants selon une droite. 3
4 Rappel : Vecteurs normaux non colinéaires et intersection de plans Soient les plans et de vecteurs normaux respectifs et. Point de vue géométrique : Les plans et sont sécants si et seulement si et ne sont pas colinéaires. L intersection des plans et est une droite. Point de vue analytique : Les plans et sont sécants si et seulement si les triplets et ne sont pas proportionnels. L intersection des plans et est une droite. 2) Donnons une représentation paramétrique de la droite d intersection des plans, et. Rappel : Représentation paramétrique d une droite On munit l espace d un repère ( ). Soit la droite passant par le point et admettant le vecteur ( ) pour vecteur directeur. Dire qu un point appartient à équivaut à dire qu il existe un réel tel que. Autrement dit, paramétrique de la droite. Remarques :. Ce système est appelé représentation On note aussi ( ) la droite. A chaque valeur du paramètre correspond un point et réciproquement. Une droite admet une infinité de représentations paramétriques. D après la question précédente, Finalement, l intersection des plans, et est la droite passant par le point de coordonnées et de coefficient directeur. 4
5 Exercice 3 (4 questions) Niveau : moyen On munit l espace d un repère ( ). On considère les plans, et d équations cartésiennes respectives, et où désigne un réel. 1) Donner un vecteur normal à chacun des plans, et. 2) En déduire que les plans sont parallèles. 3) Pour quelle(s) valeur(s) de les plans sont-ils strictement parallèles? 4) Donner une représentation paramétrique du plan d intersection de ces trois plans lorsque. Correction de l exercice 3 Retour au menu 1) Donnons un vecteur normal à chacun des plans, et. Tout d abord, a pour équation cartésienne, c est-à-dire donc est un vecteur normal au plan. Ensuite, a pour équation cartésienne, c est-à-dire donc est un vecteur normal au plan. Enfin, a pour équation cartésienne, c est-à-dire donc est un vecteur normal au plan. 2) Montrons que les plans sont parallèles. Rappel : Vecteurs normaux colinéaires et parallélisme de plans Soient les plans et de vecteurs normaux respectifs et. Point de vue géométrique : Les plans et sont parallèles (c est-à-dire confondus ou strictement parallèles) si et seulement si et sont colinéaires. Point de vue analytique : Les plans et sont parallèles (c est-à-dire confondus ou strictement parallèles) si et seulement si les triplets et ne sont pas proportionnels. Remarque : Dans le cas où les plans et sont parallèles, si le point appartient à mais n appartient pas à, alors ils sont strictement parallèles. Dans le cas contraire, ils sont confondus. 5
6 D après la question précédente,, ( ) et sont des vecteurs normaux respectifs aux plans, et. Or, et donc les vecteurs, et sont colinéaires. Il vient que les plans, et sont parallèles, c est-à-dire confondus ou strictement parallèles. 3) Déterminons, suivant le paramètre réel, lorsque les plans sont strictement parallèles ou confondus. Les plans, et ont pour équations respectives, et. Ainsi,, et sont confondus si et seulement si les quadruplets, et sont proportionnels. Or, d après la question précédente, et. Autrement dit, les triplets, et sont proportionnels. Par conséquent,, et sont confondus si et seulement si : En conclusion,, et sont confondus si et seulement si seulement si. et sont strictement parallèles si et 4) Rappel : Représentation paramétrique d un plan On munit l espace d un repère ( ). Soit le point et soient les vecteurs non colinéaires ( ) et ( ). Dire qu un point appartient au plan passant par et de vecteurs directeurs et équivaut à dire qu il existe un couple de réels et tels que. Autrement dit,. Ce système est appelé représentation paramétrique du plan. Remarques : On note aussi ( ) le plan. A chaque couple de valeurs des paramètres et correspond un point et réciproquement. Un plan admet une infinité de représentations paramétriques. D après la question qui précède, lorsque, les plans, et sont confondus. Autrement dit, 6
7 Donnons une représentation paramétrique de. Pour cela, cherchons deux vecteurs directeurs non colinéaires de et un point de. D après la première question, est un vecteur normal à donc et sont deux vecteurs directeurs non colinéaires de. En effet, d une part et d autre part. En outre, le point appartient à. En effet,. Par conséquent, pour tous réels et, Une représentation paramétrique de l intersection des plans, et lorsque est. 7
8 Exercice 4 (1 question) Niveau : facile On munit l espace d un repère ( ). On considère les plans, et d équations cartésiennes respectives, et. Déterminer l intersection de ces trois plans. Correction de l exercice 4 Retour au menu Les équations et sont incompatibles donc le système n admet aucune solution. On en déduit que les plans, et ont une intersection vide. 8
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