Épreuve de Mathématiques

Transcription

1 Sujet Gr A IRIS 8 Épreuve de Mathématiques La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l appréciation des copies. L usage d un instrument de calcul et du formulaire officiel de mathématiques est autorisé. Exercice points On considère un système «entrée-sortie» dans lequel le signal d entrée est représenté par une fonction e et celui de sortie par une fonction s. Une fonction définie sur R est dite causale si elle est nulle sur l intervalle ], [. Les fonctions e et s sont des fonctions causales et on suppose qu elles admettent des transformée de Laplace notées E et S. On rappelle que la fonction échelon unité est définie sur R par : { U t = si t < U : U t = si t La fonction de transfert H du système est définie par : Sp = Hp Ep On suppose, dans le cadre de cette étude, que : Hp = et et = U t + p a Déterminer Sp b Déterminer les nombres réels α et β tels que : Sp = α p + β p + c En déduire st On se propose d approcher la fonction de transfert analogique H par la fonction de transfert numérique F telle que : F z = H z z = H + z z + L entrée et la sortie du système numérique sont modélisées respectivement par deux signaux causaux discrets x et y, admettant des transformées en Z notées respectivement X et Y. On se place dans le cas où le signal d entrée du système analogique est U t. Le signal d entrée du système analogique est échantilloné au pas de, Ainsi, le signal d entrée x du système numérique est défini par xn = U, n pour tout nombre entier naturel n. Les transformées en Z des signaux x et y vérifient Y z = F z Xz / 4 BTS-IRIS-8.tex

2 Sujet Gr A IRIS 8 a Montrer que F z = z + z 9 b Déterminer Xz c Vérifier que Y z = z z z z 9 En déduire l expression de yn, pour tout nombre entier naturel n. 3 Compléter, sur l annexe, à rendre avec la copie, le tableau en donnant des valeurs approchées à 3 près des résultats demandés. La méthode utilisées dans l exercice, pour discrétiser le système analogique, est souvent appelée transformation bilinéaire. Dans le cadre de l exemple étudié, nous observons que cette transformation préserve la stabilité du système et que les signaux de sortie analogique et numérique convergent vers la même limite. Exercice Dans ce problème, on approche un signal à l aide d une fonction affine par morceaux. On désigne par E un nombre réel de l intervalle ], 3 [. On consière la fonction f définie sur R, paire, périodique de période, telle que : ft = E t si t < f : ft = 3 Et + E 3 si t < ft = 3 si t 9 points Partie A Dans cette partie, et uniquement dans cette partie, on se place dans le cas où E =. Préciser l écriture de ft sur les intervalles [ [ [ [ [ ], et,,. Représenter graphiquement la fonction f sur l intervalle ], [. / 4 BTS-IRIS-8.tex

3 Sujet Gr A IRIS 8 Partie B Dans cette partie, on se place dans le cas général, c est à dire dans le cas où la valeur de E n est pas spécifiée. On appelle S la série de Fourier associée à la fonction f. + On note St = a + a n cos n= t + b n sin t Montrer que la valeur moyenne de la fonction f sur une période est a = E + 3 Déterminer b n pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à. 3 a Montrer que pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à : t cos t dt = nπ sin + cos 4n π b On a calculé les intégrales ft cos t dt et On a ainsi obtenu pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à : ft cos t dt = 3E 3 cos 4n π + 3 E cos En déduire que pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à : a n = 4nπ 3E 3 cos + 3 E cos E n π ft cos t 4nπ E dt 4 Pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à, on appelle u n l harmonique de rang n. On a alors u n t = a n cos t + b n sin t pour tout nombre réel t. a Montrer qu au rang, u t est nul pour tout nombre réel t. b On appelle E la valeur de E pour laquelle l harmonique de rang 3 est nulle, c est à dire la valeur de E telle que u 3 t est nul pour tout nombre réel t. Déterminer la valeur exacte, puis la valeur approchée à 3 près, de E. 3 / 4 BTS-IRIS-8.tex

4 Sujet Gr A IRIS 8 Annexe Document-réponse à rendre avec la copie n yn t =, n st, / 4 BTS-IRIS-8.tex

5 Sujet Gr A IRIS 8 Exercice Corrigé de l Épreuve de Mathématiques points La fonction de transfert H du système est définie par : Sp = Hp Ep On suppose, dans le cadre de cette étude, que : Hp = et et = U t + p a Déterminer Sp On a Ep = p et donc : Sp = p = + p p b Déterminer les nombres réels α et β tels que : Sp = α p + β p + Sp = p = + p p = p p + = p + p + et donc : α = et β = c En déduire st On a donc : st = e t U t On se propose d approcher la fonction de transfert analogique H par la fonction de transfert numérique F telle que : F z = H z z = H + z z + On se place dans le cas où le signal d entrée du système analogique est U t. Le signal d entrée du système analogique est échantilloné au pas de, Les transformées en Z des signaux x et y vérifient Y z = F z Xz a Montrer que F z = z + On sait que Hp = donc : z 9 + p z z + F z = H = = et F z = z + z + z z + + z z 9 + z + b Déterminer Xz x est causal, et pour tout x N, on a, et xn = U, n = en Donc xn = en et, pour tout n : Xz = z z c Vérifier que Y z = z z z z 9 z Y z = z z = z z 9 z 9 z + z z 9 = z z = z z 9 z + z z 9 / 9 BTS-IRIS-8.tex

6 Sujet Gr A IRIS 8 On a donc : z z + z z 9 = z + z 9 z z = F z Xz = Y z En déduire l expression de yn, pour tout n N. Comme Y z = z z z z 9 on a yn = 9 n en 3 Compléter, sur l annexe, à rendre avec la copie, le tableau en donnant des valeurs approchées à 3 près des résultats demandés. Annexe Document-réponse n yn t =, n st, 47 6,, 38 3,, 9, 4, 393 4, 649 9, 63, , 776 8, , 864 6, 9 9, 97 9, 993 6, / 9 BTS-IRIS-8.tex

7 Sujet Gr A IRIS 8 Exercice Dans ce problème, on approche un signal à l aide d une fonction affine par morceaux. On désigne par E un nombre réel de l intervalle ], 3 [. On consière la fonction f définie sur R, paire, périodique de période, telle que : ft = E t si t < f : ft = 3 Et + E 3 si t < ft = 3 si t Partie A 9 points Dans cette partie, et uniquement dans cette partie, on se place dans le cas où E =. Préciser l écriture de ft par intervalles : f : ft = t si t [ ; [ ft = t + si t [ ; [ ft = 3 si t [ ] ; Représenter graphiquement la fonction f sur l intervalle ], [. 3 ft t Partie B Dans cette partie, on se place dans le cas général, c est à dire dans le cas où la valeur de E n est pas spécifiée. On appelle S la série de Fourier associée à la fonction f. + On note St = a + a n cos n= t + b n sin t 7 / 9 BTS-IRIS-8.tex

8 Sujet Gr A IRIS 8 Montrer que la valeur moyenne de la fonction f sur une période est a = E + 3 a = ft dt = = E t dt + [ = ] E t + = = ft dt 3 Et + E 3 dt + [ 3 E t + E 3t ] + E + 3 E + E 3 E + 3 = E + 3 [ 3 t ] 3 dt 3 E + E 3 + Déterminer b n pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à. Comme f est une fonction paire : b n = 6 3 a Montrer que pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à : t cos t dt = nπ sin + cos 4n π u = t On fait une intégration par partie : du = dt dv = cos t dt v = nπ sin t [ t ] t cos t dt = nπ sin t sin nπ t dt = nπ sin + [ ] cos 4n π t = nπ sin + cos 4n π b On a calculé les intégrales ft cos t dt et On a ainsi obtenu pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à : nπ ft cos t dt = 4nπ E 3 cos + 3 E cos 4n π En déduire la valeur de a n tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à. a n = = n π ft cos E 3 cos t dt = E cos ft cos t dt 4nπ E ft cos t car f est paire E dt 8 / 9 BTS-IRIS-8.tex

9 Sujet Gr A IRIS 8 4 Pour tout nombre entier naturel n supérieur ou égal à, on appelle u n l harmonique de rang n. On a alors u n t = a n cos t + b n sin t a Montrer qu au rang, u t est nul pour tout nombre réel t. π u t = a cos t = π 4 π E 3 cos + 3 E cos π = E E E cosπt π = cosπt u t = E cosπt b On appelle E la valeur de E pour laquelle l harmonique de rang 3 est nulle, c est à dire la valeur de E telle que u 3 t est nul pour tout nombre réel t. Déterminer la valeur exacte, puis la valeur approchée à 3 près, de E. 3π u 3 t = a 3 cos t = 3π 4 3π E 3 cos + 3 E cos 3 π = 6π π E 3 cos + 3 E cos E 9π = [ 6π π cos cos E + 3 cos 9π On a donc : t R, u 3 t = E = E = 6π cos cos 6π 3 cos 3 cos π π = + 3 E 6π cos t 6π cos t π 6π cos ] cos 6π t 6π π cos cos 6π π 3 cos 3 cos, 74 9 / 9 BTS-IRIS-8.tex