Cours d algèbre. Licence appliquée. ISET Jerba

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Cours d algèbre. Licence appliquée. ISET Jerba"

Transcription

1 Cours d algèbre Licence appliquée ISET Jerba Haj Dahmane DHAFER 21 mars 2014

2 Table des matières I Généralités sur les matrices 1 I Définitions et notations 1 II Opérations sur les matrices 3 II1 Somme de deux matrices 3 II2 Multiplication d une matrice par un scalaire 8 II3 Produit de deux matrices 13 III Transposée d une matrice 25 IV Série d exercices 28 II Matrices Carrées 31 I Déterminant d une matrice carrée 31 I1 Déterminant d une matrice carrée d ordre n 2 31 I2 Déterminant d une matrice d ordre n > 2 32 I3 Les propriétés des déterminants 39 II Matrices carrées inversibles 45 III Méthode de Gauss 49 IV Série d exercices 50 III Systèmes d équations linéaires 54 I Définitions 54 II Méthodes de résolutions 56 II1 Méthode d élimination substitution 56 II2 Méthode de Pivot 57 II3 Méthode de la matrice inverse 57 II4 Méthode de Cramer 58 III Série d exercices 61 IV Nombres complexes (rappels 63 I Introduction 63 II Règles de calculs dans C 63 III Interprétation géométrique d un nombre complexe 64

3 TABLE DES MATIÈRES ii IV Nombres complexes conjugués 64 V Module d un nombre complexe 65 VI Forme trigonométrique d un nombre complexe 65 VII Racines n ièmme d un nombre complexe 69 VIII Equations dans C 71 IX Série d exercices 72 V Polynômes 74 I Généralités 74 II Division euclidienne 79 III PPCM, PGCD de deux polynômes 82 IV Polynômes irréductibles : 85 V Racines d un polynôme 86 VI Algorithmes 90 VI1 Algorithme de Horner 90 VI2 Exponentiation rapide 91 VII Série d éxercices 92 VI Fractions rationnelles 94 I Généralités 94 I1 Définitions et règles de calcul 94 I2 Degré d une fraction rationnelle 95 II Racines et pôles d une fraction rationelle 96 III Décomposition en éléments simples 97 III1 Partie entière d une fraction rationnelle 97 III2 Partie polaire d une fraction rationnelle 98 III3 Décomposition en éléments simples dans C(x 102 III4 Méthodes pratiques 103 III5 Décomposition en éléments simples dans R(x 105 IV Série d exercices 107 VII Introduction a l algèbre linéaire 110 I Espaces vectoriels et applications linéaires 114 II Espaces vectoriels de dimension fini 116 III Matrice d une application linéaire 116 IV Série d exercices 117 Bibliographie 119 Index 121

4 Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Jerba «On n enseigne pas ce que l on sait, on enseigne ce que l on est» Jean Jaurès

5 Chapitre I Généralités sur les matrices Sommaire I Définitions et notations 1 II Opérations sur les matrices 3 II1 Somme de deux matrices 3 II2 Multiplication d une matrice par un scalaire 8 II3 Produit de deux matrices 13 III Transposée d une matrice 25 IV Série d exercices 28 Dans tout ce chapitre, n et p sont des entiers naturels non nuls et K désigne l ensemble R des réels ou l ensemble C des nombres complexes I Définitions et notations Définition 1 Une matrice de dimension (n, p est un tableau rectangulaire de nombres comportant n lignes et p colonnes Ces nombres sont appelés coefficients de la matrice Lorsque n p, on dit que la matrice et une matrice carrée d ordre n Remarque Une matrice sera représentée par une lettre majuscule, la même lettre en miniscule sera utilisée pour désigner les coefficients de cette matrice Exemple 1 Si A est une matrice de n lignes et p colonnes alors pour tout 1 i, j n on désigne par a ij (la même lettre en miniscule l élément de la i ième ligne et j ième colonne de A Notations : 1 L ensemble des matrices de dimension (n, p à coefficient dans K est noté M (n,p (K

6 I Définitions et notations 2 2 L ensemble des matrices carrées d ordre n est noté M n (K Exemple Soit M 1 π M est une matrice de 3 lignes et 2 colonnes à coefficients réels donc M est un élément de M (3,2 (R M est une matrice de 3 lignes et 2 colonnes alors on dit que M est une matrice de dimension (3, 2 m 12 est l élément de la 1 ère ligne et 2 ième colonne de M donc m 12 2 m 21 est l élément de la 2 ième ligne et 1 ière colonne de M alors m m 32 est l élément de la 3 ième ligne et 2 ième colonne de M d où m M est une matrice de 3 lignes et de 2 colonnes donc M 23 n existe pas ( i Soient A et N 0 2 6i A est une matrice carrée d ordre 2 à coefficients complexes alors A M 2 (C a i, a , a 21 0 et a i N est une matrice carrée d ordre 3 ( 3 Soit B B est une matrice d une seule ligne et 4 colonnes On dit que B est une matrice ligne ou "vecteur ligne" B est de dimension (1, 4 et ses coefficients sont réels donc B M (1,4 (R ( 1 4 Soit C 2 + 5i C est une matrice de 2 lignes et 1 colonne C M (2,1 (C On dit que C est une matrice colonne ou "vecteur colonne" C est une matrice de dimension (2, 1 Remarques Toute matrice A de n lignes et p colonnes s écrit a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p A a ij a n1 a n2 a np

7 II Opérations sur les matrices 3 Pour i, j indices "génériques", on appelle a ij le terme général de A et on note A (a ij 1 i n 1 j n Le premier indice désigne, toujours, le numéro de la ligne et le second celui de la colonne S il y a un risque de confondre les numéros, on les sépare par un "," et on écrit a i,j au lieu de a ij On écrit, par exemple a 3,12 et non pas a 312 Définition 2 Deux matrices A et B sont égales si (i elles ont la même dimension (n, p (ii a ij b ij pour tout 1 i n et pour tout 1 j p On note dans ce cas A B Exemple 3 1 Soient A ( π 6 5 ( a b c et B d e f a 1 b 0 c 24 A B d 5 e π f 6 5 ( Soient M et B A et B n ont pas la même dimension donc A B II II1 Opérations sur les matrices Somme de deux matrices Définition 3 Soient A et B deux matrices de même dimension (n, p On appelle matrice somme de A et B, et on note A + B, la matrice C de M (n,p (K qui vérifie c i,j a ij + b ij ; 1 i n et 1 j p

8 II Opérations sur les matrices 4 A (a ij 1 i n 1 j p B (b ij 1 i n 1 j p A + B (a ij + b ij 1 i n 1 j p Exemple 4 ( ( Soient A et B ( 1 + ( A + B ( ( ( M et N ( M + N ( ( E et F E et F n ont pas la même dimension donc E + F n est pas définie (ie la matrice somme E + F n existe pas Attention : L addition de deux matrices n est possible qu à condition que les deux matrices appartiennent toutes deux au même ensemble Sinon, la somme n existe pas! Définition 4 On appelle matrice nulle de M (n,p (K l élément de M (n,p (K dont tous les coefficients sont nuls Remarque La matrice nulle sera représentée par 0 et on doit distinguer, à partir des expressions, entre la matrice nulle et le nombre zéro Exemple 5 ( La matrice nulle de M 2 (K est 0 0 0

9 II Opérations sur les matrices 5 2 La matrice nulle de M (2,3 (K est 0 ( p colonnes { }} { La matrice nulle de M (n,p (K est 0 n lignes 0 0 Définition 5 Soit A M (n,p (K On appelle matrice opposée de A la matrice A ( a ij 1 i n 1 j p Exemple( 6 a b Soit A c d ( a b A c d Propriétés Soient A, B et C trois matrices de M (n,p (K 1 A + B M (n,p (K 2 A + (B + C (A + B + C l addition dans l ensemble M (n,p (K est associative 3 A + B B + A l addition dans l ensemble M (n,p (K est commutative 4 A + ( A A + A 0 (ici 0 matrice nulle 5 A A A La matrice nulle est un élément neutre de l addition dans M (n,p (K On démontre que 0 est l unique élément neutre de l addition dans M n (K Preuve A, B et C sont trois matrices de M (n,p (K donc elles peuvent être représenter de la façon suivante : a 11 a 12 a 1p b 11 b 12 b 1p c 11 c 12 c 1p a 21 a 22 a 2p b 21 b 22 b 2p c 21 c 22 c 2p A, B et C a n1 a n2 a np b n1 b n2 b np c n1 c n2 c np 1 Par définition même 2 Soit M A + (B + C et N (A + B + C D après 1 on a M, N M (n,p (K donc

10 II Opérations sur les matrices 6 M et N ont la même dimension De plus a 11 a 12 a 1p b 11 b 12 b 1p a 21 a 22 a 2p b 21 b 22 b 2p A + (B + C + a n1 a n2 a np b n1 b n2 b np c 11 c 12 c 1p c 21 c 22 c 2p + c n1 c n2 c np a 11 + b 11 + c 11 a 12 + b 12 + c 12 a 1p + b 1p + c 1p a 21 + b 21 + c 21 a 22 + b 22 + c 22 a 2n + b 2n + c 2p a n1 + b n1 + c n1 a n2 + b n2 + c n2 a np + b np + c np a 11 a 12 a 1p b 11 b 12 b 1p a 21 a 22 a 2p b 21 b 22 b 2p + a n1 a n2 a np b n1 b n2 b np c 11 c 12 c 1p c 21 c 22 c 2p + c n1 c n2 c np (A + B + C autrement on peut écrire : 1 i n et 1 j p on a : m ij a ij + (b ij + c ij (a ij + b ij + c ij car l addition dans K est associative n ij Par conséquent, M N 3 Soit E A + B et F B + A Il est claire que E et F ont la même dimension 1 i n et 1 j p e ij a ij + b ij b ij + a ij car l addition dans K est commutative f ij

11 II Opérations sur les matrices 7 d où E F autrement on peut écrire : a 11 a 12 a 1p b 11 b 12 b 1p a 21 a 22 a 2p b 21 b 22 b 2p A + B + a n1 a n2 a np b n1 b n2 b np a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1p + b 1p a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n a n1 + b n1 a n2 + b n2 a np + b np b 11 b 12 b 1p a 11 a 12 a 1p b 21 b 22 b 2p a 21 a 22 a 2p + b n1 b n2 b np a n1 a n2 a np B + A 4 Soit P A + ( A 1 i n et 1 j p on a : p ij a ij + ( a ij 0 donc P est la matrice nulle De même on démontre que A + A 0 autrement on peut écrire : A + ( A a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p + a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a n1 a n2 a np a n1 a n2 a np a 11 a 11 a 12 a 12 a 1p a 1p a 21 a 21 a 22 a 22 a 2p a 2p a n1 a n1 a n2 a n2 a np a np

12 II Opérations sur les matrices 8 5 Soit Q A i n et 1 j p q ij a ij + 0 a ij donc Q A et de même on démontre que 0 + A A ou autrement : A + 0 a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a n1 a n2 a np a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a n1 a n2 a np A Remarque On définit la soustraction dans l ensemble M (n,p (K par : A B A + ( B II2 Multiplication d une matrice par un scalaire Définition 6 Soient A M (n,p (K et λ K On appelle matrice produit de A par λ la matrice B de M (n,p (K qui vérifie b ij λa ij 1 i n et 1 j p On note cette matrice par λ A ou simplement λa λ K A (a ij 1 i n 1 j p λa (λa ij 1 i n 1 j p Exemple 7

13 II Opérations sur les matrices 9 Soit A A 1 3 A ( 2 5 ( ( ( Remarque Le scalaire s écrit toujours à gauche de la matrice Ainsi on écrit 5A mais surtout pas A5! De même on écrit 1 3 A mais jamais A 3 Propriétés Soient deux matrices A et B de M (n,p (K et deux ombres λ et µ (réels ou complexes 1 λ(a + B λa + λb 2 (λ + µa λa + µa 3 λ(µa (λµa 4 1A A 5 0 A 0 0 de K Preuve matrice nulle Soient A a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p et B b 11 b 12 b 1p b 21 b 22 b 2p a n1 a n2 a np b n1 b n2 b np

14 II Opérations sur les matrices 10 1 a 11 a 12 a 1p b 11 b 12 b 1p a 21 a 22 a 2p b 21 b 22 b 2p λ(a + B λ + a n1 a n2 a np b n1 b n2 b np a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1p + b 1p a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n λ a n1 + b n1 a n2 + b n2 a np + b np λa 11 + λb 11 λa 12 + λb 12 λa 1p + λb 1p λa 21 + λb 21 λa 22 + λb 22 λa 2n + λb 2n λa n1 + λb n1 λa n2 + λb n2 λa np + λb np λa + λb On peut aussi démontrer cette propriété de la façon suivante : λ(a + B λ(a ij + b ij (λa ij + λb ij λa + λb 2 a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p (λ + µa (λ + µ a n1 a n2 a np λa 11 + µa 11 λa 12 + µa 12 λa 1p + µa 1p λa 21 + µa 21 λa 22 + µa 22 λa 2n + µa 2n λa n1 + µa n1 λa n2 + µa n2 λa np + µa np λa + µa

15 II Opérations sur les matrices 11 3 µa 11 µa 12 µa 1p µa 21 µa 22 µa 2p λ(µa λ µa n1 µa n2 µa np λµa 11 λa 12 λµa 1p λµa 21 λµa 22 λµa 2n λµa n1 λµa n2 λµa np (λµa 4 a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p 1A 1 a n1 a n2 a np a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a n1 a n2 a np A 5 a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p 0A 0 a n1 a n2 a np

16 II Opérations sur les matrices 12 Exercice 1( ( Soient A et B Calculer 3A 2B 2 Trouver la matrice C tel que 2A + C B Solution : 1 ( ( A 2B ( A + C B C B 2A ( ( (

17 II Opérations sur les matrices 13 II3 Produit de deux matrices Définition 7 Soient A M (n,m (K et B M (m,p (K On appelle produit AB la matrice C de M (n,p (K qui vérifie c ij Le produit AB se note aussi A B Remarques m a ik b kj (11 k1 1 Dans le calcule de c ij interviennent les coefficients de la i ème ligne de A et les coefficients de la j ème colonne de B ce que l on peut visualiser de la façon suivante : b 11 b 1j b 1m b k1 b kj b km b m1 b mj b mp a 11 a 1k a 1m c 11 c 1p a i1 a ik a im c ij a n1 a nk a nm c n1 c nm c ij a i1 b 1j +a i2 b 2j +a i3 b 3j + +a im b mj 2 La matrice produit AB n est définie que si le nombre de colonnes de A soit égale au nombre de lignes de B Exemple 8 ( ( A et B (a Soit C AB D après l équation (11 de la définition (7 on a :

18 II Opérations sur les matrices 14 Pour i j 1 2 c 11 a 1k b k1 k1 a 11 b 11 + a 12 b ( 7 (12 11 On remarque, a partir de l équation (12, que pour calculer c 11 il suffit de considérer la première ligne de A (première matrice et la première colonne de B (deuxième matrice 2 3 et 5-7 et de calculer ( 7 Pour i 1 et j 2 2 c 12 a 1k b k2 k1 a 11 b 12 + a 12 b (13 39 Donc, à partir de l équation (13 on remarque que pour calculer c 12 il suffit de considérer la première ligne de A (première matrice et la deuxième colonne de B (deuxième matrice 2 3 et 6 9 et de calculer Pour calculer c 21 on considère la deuxième linge de A et la première colonne de B et -7 c ( 7 33 Pour calculer c 22 on considère la deuxième linge de A et la deuxième colonne

19 II Opérations sur les matrices 15 de B -1 4 et 6 9 c ( Par conséquent AB (b Calculons BA! BA 5 6 ( ( ( ( ( Il est bien claire que dans ce cas on a AB BA ( A et B (a A M (2,3 (K et B M (3,2 (K donc la matrice produit AB existe (car le nombre de colonne de A nombre de ligne de B De plus AB M (2,2 (K M 2 (K AB ( ( 3 ( ( ( ( (b B M (3,2 (K et A M (2,3 (K donc la matrice produit BA existe (car B est une matrice de deux colonnes et A est une matrice de deux lignes De plus BA M (3,3 (K M 3 (K

20 II Opérations sur les matrices 16 BA 6 7 ( ( ( ( A et B (a A est une matrice de quatre colonnes et B est une matrice de deux lignes donc AB n est pas définie (b B M (2,2 (K et A M (2,4 (K donc la matrice produit BA existe (car B est une matrice de deux colonnes et A est une matrice de deux lignes De plus BA M (2,4 (K ( ( BA ( si BA existe, AB n existe pas forcément ( ( A et B ( 0 0 AB Pourtant, A 0 et B 0 on a : AB 0! donc si A et B sont deux matrices qui vérifient AB 0 (A 0 où B 0

21 II Opérations sur les matrices 17 Attention : Si A et B sont des matrices alors : 1 On ne peut calculer AB que quand le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B 2 Si AB est définie, BA n est pas toujours définie 3 Si AB et BA sont définies, elled n ont pas en général la même dimension 4 La matrice AB, si elle existe, possède le nombre de lignes de la première matrice (ici A et le nombre de colonnes de la deuxième (ici B 5 Dans M n (K, ensemble des matrices carrées d ordre n, on peut toujours multiplier deux matrices A, B quelconques AB et BA seront encore des matrices carrées d ordre n mais en général AB BA 6 AB 0 n implique pas A 0 ou B 0 Définition 8 Soit A M n (K 1 On dit que A est une matrice triangulaire inférieure si a ij 0 pour tout j > i 2 On dit que A est une matrice triangulaire supérieure si a ij 0 pour tout j < i 3 On dit que A est une matrice diagonale si a ij 0 pour tout i j Définition 9 Pour A (a ij 1 i,j n M n (K, on appelle termes diagonaux de A les termes a 11, a 22,, a nn c est à dire a ii avec 1 i n Exemple 9 1 A est une matrice triangulaire inférieure 1, 2 et 11 sont les éléments diagonaux de A B est une matrice triangulaire supérieure , 1, 0 et 7 sont les éléments de la diagonale de B

22 II Opérations sur les matrices 18 3 D ( et C sont deux matrices diagonales 1, 5 sont les éléments de la diagonale de D Les éléments 1, 0 et 4 forment la diagonale de C Remarques On peut aussi donner les définitions suivantes : 1 On dit qu une matrice carrée est diagonale si ses termes non diagonaux sont nuls On dit qu une matrice carrée est triangulaire supérieure si ses termes strictement au-dessous de la diagonale principale sont nuls On dit qu une matrice carrée est triangulaire inférieure si ses termes strictement au-dessus la diagonale principale sont nuls où * représente n importe quel scalaire (évidement «*» peut être nul On pose, pour tous 1 i, j n, δ ij Définition 10 { 1 si i j 0 si i j La matrice I n (δ ij 1 i n est appelée matrice unité ou matrice identité d ordre n 1 j n Exemple 10

23 II Opérations sur les matrices 19 1 La matrice unité de d ordre 2 est I 2 2 La matrice identité d ordre 3 est I 3 ( D une façon plus générale : La matrice unité (ou identité d ordre n s écrit I n Exercice( Soit A Vérifier que A I 3 I 2 A A Remarque S il n y a pas de risque de confusion, la matrice I n sera notée simplement par I Propriétés 1 Pour toutes matrices A de M (n,m (K, B de M (m,k (K et C de M (k,p (K on a : A(BC (ABC 2 (a Pour toute matrice A M (n,p (K on a : AI p A (b Pour toute matrice A M (n,p (K on a : I n A A (c En particulier si n p on a : AI IA A I est l élément neutre de la multiplication des matrices dans M n (K 3 Pour toutes matrices A de M (n,m (K, B et C de M (m,p (K on a : A(B + C AB + AC 4 Pour toutes matrices A de M (m,p (K, B et C de M (n,m (K on a : (B + CA BA + CA

24 II Opérations sur les matrices 20 5 Pour toutes matrices A de M (n,m (K et B de M (m,p (K et pour tous nombres (réels ou complexes α, β on a : (αa(βb (αβab Preuve 1 Il est bien claire que A(BC et (ABC sont deux matrices de M (n,p (K Soient α ij l élément de la i ième ligne j ième colonne de A(BC et β ij l élément de la i ième ligne j ième colonne de (ABC α ij m a il (bc lj l1 où (bc lj désigne l élément de la l ième ligne j ième colonne de BC or (bc lj donc k b lq c qj q1 α ij m a il l1 q1 m l1 q1 k b lq c qj k a il b lq c qj ( k m a il b lq c qj q1 l1 k (ab iq c qj q1 (ab iq désigne l élément de la i me ligne q ime colonne de AB β ij

25 II Opérations sur les matrices 21 2 (a AI p a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a np a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a np A (b Même démonstration que (a (c Il suffit d appliquer (a et (b pour n p 3 A(B + C et AB + AC sont deux matrices de M (n,p (K Soient α ij l élément de la i ième ligne j ième colonne de A(B + C et β ij l élément de la i ième ligne j ième colonne de AB + AC α ij m a ik (b kj + ckj k1 m a ik b kj + a ik ckj k1 m a ik b kj + k1 β ij m a ik ckj k1 4 même démonstration que 3 5 (αa(βb et (αβab sont deux matrices de M (n,p (K Soient α ij l élément de la i ième ligne j ième colonne de (αa(βb et β ij l élément de la i ième ligne j ième colonne de (αβab m α ij (αa ik (βb kj k1 αβ β ij m a ik b kj k1

26 II Opérations sur les matrices 22 Attention : Si A, B et C sont des matrices alors : 1 AB + CA A(B + C 2 AB + CA (B + CA En effet, A(B + C AB + AC, comme le produit n est pas commutatif alors AC CA Par conséquent AB + CA A(B + C de même (B + CA BA + CA AB + CA car AB BA Définition 11 Soit A M n (K et p un entier naturel strictement supérieur à 1 On appelle A puissance p (où A exposant p la matrice Convention A 1 A Pour toute matrice carrée A Si A 0, A 0 I n Exemple 11 A p A A A }{{} P facteurs ( Soit A 2 3 ( 1 0 A 0 I ( 1 1 A 1 A 2 3 ( ( ( A 2 AA ( 9 11 A 3 A 2 A AA

27 II Opérations sur les matrices 23 2 Soit B B 0 I B 2 BB Remarque On a déjà remarqué que la multiplication dans l ensemble des matrices carrées d ordre n n est pas une loi commutative, cependant l associativité du produit nous permet de conclure que : A M n (K; A 3 AA 2 A 2 A En effet, A 3 A A A comme le produit est aasociatif alors, A A A (A A A A (A A Il en résulte que A 3 A 2 A A A 2 Définition 12 Soient A et B deux matrices de M n (K 1 On dit que les matrices A et B commutent (on dit aussi permutent si AB BA 2 On dit que les matrices A et B ne commutent pas (ou ne permutent pas si AB BA Exercice 3 ( ( (I Soient A et B Vérifier que les matrices A et B ne commutent pas 2 Calculer A + B, A B, A 2, AB, B 2, (A + B 2, (A B 2, (A B(A + B, A 2 B 2, A 2 + 2AB + B 2 et A 2 2AB + B 2 3 Comparer (a (A + B 2 et A 2 + 2AB + B 2 (b (A B 2 et A 2 2AB + B 2

28 II Opérations sur les matrices 24 (c (A B(A + B et A 2 B 2 ( ( (II Soient A et B Vérifier que les matrices A et B commutent 2 Comparer (a (A + B 2 et A 2 + 2AB + B 2 (b (A B 2 et A 2 2AB + B 2 (c (A B(A + B et A 2 B 2 (III Expliquer ces résultats Conclusion : A partir de l exercice (3 on peut déduire que pour toutes matrices A, B M n (K on a : 1 Si A et B ne commutent pas alors (a (A + B 2 A 2 + 2AB + B 2 (b (A B 2 A 2 2AB + B 2 (c (A B(A + B A 2 B 2 2 Si A et B commutent alors (a (A + B 2 A 2 + 2AB + B 2 (b (A B 2 A 2 2AB + B 2 (c (A B(A + B A 2 B 2 Attention : On ne peut utiliser les identités remarquables que lorsque les matrices commutent Théorème 1 (Binôme de Newton A, B M p (K et n N Si A et B commutent alors avec, C k n n! k!(n k! (A + B n n CnA k n k B k k0

29 III Transposée d une matrice 25 III Transposée d une matrice Définition 13 Soit A M (n,p (K on appelle matrice transposée de A la matrice B de M (p,n (K qui vérifie b ij a ji 1 i p et 1 j n La matrice transposée de A est notée t A ou T A Remarques Soit A M (n,p (K 1 A est une matrice à n lignes et p colonnes t A est une matrice à p lignes et n colonnes 2 Pour tout 1 i n ; la i-ième ligne de A devient la i-ème colonne de t A De même, Pour tout 1 j p ; la j-ième colonne de A devient la j-ème ligne de t A Exemple 12 1 A 2 Soit A i i A M (2,3 (R donc t A ( alors t A 2-i i M (3,2(R Propriétés Soient A M (n,m (K et B M (m,p (K et soit λ K 1 t A M (m,n (K 2 t ( t A A 3 t (AB t B t A 4 t (A + B t A + t B 5 t (λa λ t A Preuve 1 Par définition on a si A M (n,m (K alors t A M (m,p(k

30 III Transposée d une matrice 26 2 Soit A a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m alors t A a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 d où a n1 a n2 a nm a 1m a 2m a nm t ( t A a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m A a n1 a n2 a nm 3 Il est claire que AB M (n,p (K et que t (AB et t B t A sont deux matrices de M (p,n (K On note : (AB (α ij 1 i n 1 j p t (AB (β ij 1 i p 1 j n et t B t A (γ ij 1 i p 1 j n (AB (α ij 1 i n alors 1 j p α ij m a ik b kj k1 t (AB (β ij 1 i p donc 1 j n m m β ij α ji a jk b ki b ki a jk γ ij k1 k1 d où t (AB t B t A Définition 14 Soit une matrice carrée A de M n (K 1 On dit que A est une matrice symétrique si t A A 2 dit que A est une matrice antisymétrique si t A A Exemple 13 ( Soit A 9 11 ( 5 9 t A A donc A est une matrice symétrique Soit B

31 III Transposée d une matrice 27 t B Remarque B donc B est une matrice antisymétrique Soit A M n (K Si A est une matrice antisymétrique alors a ii 0 1 i n Exercice 4 Soit A M (n,p (K 1 Montrer que les produits t A A et A t A sont bien définis 2 Montrer que les matrices t AA et A t A sont des matrices symétriques

32 IV Série d exercices 28 IV Série d exercices Série n 1 Exercice 1 Calculer, si cela est possible, 3A 1 2 B A 1 1 et B i A et B A 7 2 et B 5i 0 4 A 3 π et B Exercice 2 Calculer, si cela est possible, AB et BA A 1 + i et B 2 1 i A et B ( ( 5 A et B ( 3 + i 7 A 1 2 i 3 et B A 4 A 6 A et B et B et B ( 8 A 2 1 2i et B Exercice 3 Calculer, si cela est possible, A 2, AB, BA, t BA et t A t B

33 IV Série d exercices 29 1 A et B A et B A 1 1 i 0 et B A et B A et B A et B Exercice 4 ( 5 4 Soit la matrice A Calculer A ( 1 1 (On peut remarquer que A I + 4J ou J 1 1 Exercice 5 ( 1 2 On considère la matrice et A 1 2 que AB 0? existe-t-il une matrice carrée non nul B tel Exercice 6 Soit A M n (K On considère les matrices S A + t A et R A t A 1 Montrer que S est une matrice symétrique 2 Montrer que R est une matrice antisymétrique 3 Déduire une décomposition de A en une somme d une matrice symétrique et une matrice antisymétrique Exercice 7 1 Soit n N On considère la matrice diagonale A a a a n Montrer

34 Institut Supérieur des Etudes Technologiques de Jerba a p que pour tout p N on a A p 0 a p a p n 2 Peut-on trouver une matrice carrée non nulle M tel que (a M 2 M (b M 2 0 Un homme peut se permettre de prendre, son argent, tous ses biens mais jamais son temps Un étudiant n a ni argent ni biens il a son temps

35 Index K, 74 A B, 82 A B, 83 A p, 22 A 1, 45 A ij, 32 I n, 18 M (n,p (K, 1 P ( k, 78 V (P, 77 z, 64 δ ij, 18 C, 63 A, 31 det A, 31, 34 com(a, 46 Im(z, 63 R(z, 63 arg(z, 65 deg(p, 77 i, 63 T A, 25 ta, 25 affixe, 64 Algorithme d exponentiation, 91 Binôme de Newton, 24 Bézout, 84 comatrice, 46 Conjugué, 64 degré d un polynôme, 77 dimension d une matrice, 1 diviseur d un polynôme, 81 Division euclidienne, 79 déterminant d une matrice d ordre 1, 31 d une matrice d ordre 2, 31 d une matrice d ordre >2, 34, 35, 37 Forme trigonométrique, 65 Gauss, 84 Horner, Algorithme, 90 inverse d une matrice, 45 liniarisation, 68, 69 Matrice adjointe, 46 matrice, 1 carrée, 1 opposée, 5 antisymétrique, 26 diagonale, 17 identité, 18 nulle, 4 symétrique, 26 transposée, 25 triangulaire, 17 unité, 18 Module, 65 Moivre, 67

36 INDEX 32 ordre d une matrice carrée, 1 PGCD, 83 Plan complexe, 64 polynôme dérivé, 78 polynôme irréductible, 85 polynôme nul, 75 polynôme unitaire, 81 polynômes associés, 82 Polynômes premiers entre eux, 84 PPCM, 82 racine n ièmme, 69 racine d ordre k, 87 racine d un polynôme, 75 Règle de Srrus, 44 signature, 32 sous-matrice, 32 Taylor, 89 transposée d une matrice, 25 valuation d un polynôme, 77

37 INDEX 33

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.

Calcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. 1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes

Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)

Plus en détail

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.

Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin. Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).

Plus en détail

Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier

Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Triangle de Pascal dans Z/pZ avec p premier Vincent Lefèvre (Lycée P. de Fermat, Toulouse) 1990, 1991 1 Introduction Nous allons étudier des propriétés du triangle de Pascal dans Z/pZ, p étant un nombre

Plus en détail

Cours d analyse numérique SMI-S4

Cours d analyse numérique SMI-S4 ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,

Plus en détail

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire

Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =

Plus en détail

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites. Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.

Plus en détail

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que

De même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer

Plus en détail

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables

Cours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........

Plus en détail

Polynômes à plusieurs variables. Résultant

Polynômes à plusieurs variables. Résultant Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \

Plus en détail

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes

Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.

Plus en détail

Structures algébriques

Structures algébriques Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe

Plus en détail

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010

Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 MINI-COURS SUR LES POLYNÔMES À UNE VARIABLE Extrait du poly de Stage de Grésillon 1, août 2010 Table des matières I Opérations sur les polynômes 3 II Division euclidienne et racines 5 1 Division euclidienne

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Introduction à l étude des Corps Finis

Introduction à l étude des Corps Finis Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur

Plus en détail

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015

Première partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015 Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables

Fonctions de plusieurs variables Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

3 Approximation de solutions d équations

3 Approximation de solutions d équations 3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

Mathématiques Algèbre et géométrie

Mathématiques Algèbre et géométrie Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches

Plus en détail

Probabilités sur un univers fini

Probabilités sur un univers fini [http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur

Plus en détail

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.

Exo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2. Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

C algèbre d un certain groupe de Lie nilpotent.

C algèbre d un certain groupe de Lie nilpotent. Université Paul Verlaine - METZ LMAM 6 décembre 2011 1 2 3 4 Les transformations de Fourier. Le C algèbre de G/ Z. Le C algèbre du sous-groupe G 5 / vect{u,v }. Conclusion. G un groupe de Lie, Ĝ l ensemble

Plus en détail

Problème 1 : applications du plan affine

Problème 1 : applications du plan affine Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées

Plus en détail

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010

Corrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010 Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =

Plus en détail

I. Polynômes de Tchebychev

I. Polynômes de Tchebychev Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire

Plus en détail

Développement décimal d un réel

Développement décimal d un réel 4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.

Plus en détail

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé

Baccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue

Plus en détail

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale

Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion

Plus en détail

UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1

UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir. Filière SMA & SMI. Semestre 1. Module : Algèbre 1 UNIVERSITE IBN ZOHR Faculté des sciences Agadir Filière SMA & SMI Semestre 1 Module : Algèbre 1 Année universitaire : 011-01 A. Redouani & E. Elqorachi 1 Contenu du Module : Chapitre 1 : Introduction Logique

Plus en détail

Déterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3

Déterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3 Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)

Plus en détail

Plus courts chemins, programmation dynamique

Plus courts chemins, programmation dynamique 1 Plus courts chemins, programmation dynamique 1. Plus courts chemins à partir d un sommet 2. Plus courts chemins entre tous les sommets 3. Semi-anneau 4. Programmation dynamique 5. Applications à la bio-informatique

Plus en détail

avec des nombres entiers

avec des nombres entiers Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0

Plus en détail

Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion

Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme Hababou Hella Université Virtuelle de Tunis 2008 Continuité et dérivation1 1- La continuité Théorème : On considère un intervalle

Plus en détail

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé

Planche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.

Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

Limites finies en un point

Limites finies en un point 8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,

Plus en détail

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES

I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et

Plus en détail

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.

DOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur

Plus en détail

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.

CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES. CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires

Plus en détail

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10

Comparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10 PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?

Plus en détail

Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015

Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015 et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L

Plus en détail

Calcul différentiel sur R n Première partie

Calcul différentiel sur R n Première partie Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité

Plus en détail

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes.

Sujet proposé par Yves M. LEROY. Cet examen se compose d un exercice et de deux problèmes. Ces trois parties sont indépendantes. Promotion X 004 COURS D ANALYSE DES STRUCTURES MÉCANIQUES PAR LA MÉTHODE DES ELEMENTS FINIS (MEC 568) contrôle non classant (7 mars 007, heures) Documents autorisés : polycopié ; documents et notes de

Plus en détail

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés

Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés 2012-2013 1 Petites questions 1) Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? 2) Si F et G sont deux tribus, est-ce que F G est toujours une tribu?

Plus en détail

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles

Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2

Plus en détail

Coefficients binomiaux

Coefficients binomiaux Probabilités L2 Exercices Chapitre 2 Coefficients binomiaux 1 ( ) On appelle chemin une suite de segments de longueur 1, dirigés soit vers le haut, soit vers la droite 1 Dénombrer tous les chemins allant

Plus en détail

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1

La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois

Plus en détail

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................

Plus en détail

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA

Exercices du Cours de la programmation linéaire donné par le Dr. Ali DERBALA 75. Un plombier connaît la disposition de trois tuyaux sous des dalles ( voir figure ci dessous ) et il lui suffit de découvrir une partie de chacun d eux pour pouvoir y poser les robinets. Il cherche

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

Quelques contrôle de Première S

Quelques contrôle de Première S Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage

Plus en détail

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions

Formes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires

Plus en détail

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!»

CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» Corrigé Cours de Mr JULES v3.3 Classe de Quatrième Contrat 1 Page 1 sur 13 CORRIGE LES NOMBRES DECIMAUX RELATIFS. «Réfléchir avant d agir!» «Correction en rouge et italique.» I. Les nombres décimaux relatifs.

Plus en détail

Programme de la classe de première année MPSI

Programme de la classe de première année MPSI Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire

Plus en détail

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels

Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3

Plus en détail

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples

Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples 45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et

Plus en détail

Partie 1 - Séquence 3 Original d une fonction

Partie 1 - Séquence 3 Original d une fonction Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)

Plus en détail

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2

Corrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2 33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre

Plus en détail

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.

Soit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée. ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle

Plus en détail

Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008)

Algèbre binaire et Circuits logiques (2007-2008) Université Mohammed V Faculté des Sciences Département de Mathématiques et Informatique Filière : SMI Algèbre binaire et Circuits logiques (27-28) Prof. Abdelhakim El Imrani Plan. Algèbre de Boole 2. Circuits

Plus en détail

Chapitre VI - Méthodes de factorisation

Chapitre VI - Méthodes de factorisation Université Pierre et Marie Curie Cours de cryptographie MM067-2012/13 Alain Kraus Chapitre VI - Méthodes de factorisation Le problème de la factorisation des grands entiers est a priori très difficile.

Plus en détail

Correction de l examen de la première session

Correction de l examen de la première session de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi

Plus en détail

Chapitre 1 : Évolution COURS

Chapitre 1 : Évolution COURS Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir

Plus en détail

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique

La programmation linéaire : une introduction. Qu est-ce qu un programme linéaire? Terminologie. Écriture mathématique La programmation linéaire : une introduction Qu est-ce qu un programme linéaire? Qu est-ce qu un programme linéaire? Exemples : allocation de ressources problème de recouvrement Hypothèses de la programmation

Plus en détail

Quelques tests de primalité

Quelques tests de primalité Quelques tests de primalité J.-M. Couveignes (merci à T. Ezome et R. Lercier) Institut de Mathématiques de Bordeaux & INRIA Bordeaux Sud-Ouest Jean-Marc.Couveignes@u-bordeaux.fr École de printemps C2 Mars

Plus en détail

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations

Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire

Plus en détail

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer

Exercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy

Plus en détail

Cours d arithmétique Première partie

Cours d arithmétique Première partie Cours d arithmétique Première partie Pierre Bornsztein Xavier Caruso Pierre Nolin Mehdi Tibouchi Décembre 2004 Ce document est la première partie d un cours d arithmétique écrit pour les élèves préparant

Plus en détail

Cours de Probabilités et de Statistique

Cours de Probabilités et de Statistique Cours de Probabilités et de Statistique Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université Paris-Est Cours de Proba-Stat 2 L1.2 Science-Éco Chapitre Notions de théorie des ensembles 1 1.1 Ensembles

Plus en détail

Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon

Premiers exercices d Algèbre. Anne-Marie Simon Premiers exercices d Algèbre Anne-Marie Simon première version: 17 août 2005 version corrigée et complétée le 12 octobre 2010 ii Table des matières 1 Quelques structures ensemblistes 1 1.0 Ensembles, relations,

Plus en détail

PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS?

PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? PEUT-ON «VOIR» DANS L ESPACE À N DIMENSIONS? Pierre Baumann, Michel Émery Résumé : Comment une propriété évidente visuellement en dimensions deux et trois s étend-elle aux autres dimensions? Voici une

Plus en détail

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE

STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point

Plus en détail

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES

NOTATIONS PRÉLIMINAIRES Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel

Plus en détail

Programmation linéaire

Programmation linéaire 1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit

Plus en détail

Le théorème de Thalès et sa réciproque

Le théorème de Thalès et sa réciproque Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre

Plus en détail

L ALGORITHMIQUE. Algorithme

L ALGORITHMIQUE. Algorithme L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques

Plus en détail

La classification automatique de données quantitatives

La classification automatique de données quantitatives La classification automatique de données quantitatives 1 Introduction Parmi les méthodes de statistique exploratoire multidimensionnelle, dont l objectif est d extraire d une masse de données des informations

Plus en détail

Plan du cours : électricité 1

Plan du cours : électricité 1 Semestre : S2 Module Physique II 1 Electricité 1 2 Optique géométrique Plan du cours : électricité 1 Partie A : Electrostatique (discipline de l étude des phénomènes liés aux distributions de charges stationnaires)

Plus en détail

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach

Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte

Plus en détail

= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m

= 1 si n = m& où n et m sont souvent des indices entiers, par exemple, n, m = 0, 1, 2, 3, 4... En fait,! n m 1 épartement de Physique, Université Laval, Québec Pierre Amiot, 1. La fonction delta et certaines de ses utilisations. Clientèle Ce texte est destiné aux physiciens, ingénieurs et autres scientifiques.

Plus en détail

Module 2 : Déterminant d une matrice

Module 2 : Déterminant d une matrice L Mth Stt Module les déterminnts M Module : Déterminnt d une mtrice Unité : Déterminnt d une mtrice x Soit une mtrice lignes et colonnes (,) c b d Pr définition, son déterminnt est le nombre réel noté

Plus en détail

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E

Un K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie

Plus en détail

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence

Chapitre 3. Mesures stationnaires. et théorèmes de convergence Chapitre 3 Mesures stationnaires et théorèmes de convergence Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée p.1 I. Mesures stationnaires Christiane Cocozza-Thivent, Université de Marne-la-Vallée

Plus en détail

Compter à Babylone. L écriture des nombres

Compter à Babylone. L écriture des nombres Compter à Babylone d après l article de Christine Proust «Le calcul sexagésimal en Mésopotamie : enseignement dans les écoles de scribes» disponible sur http://www.dma.ens.fr/culturemath/ Les mathématiciens

Plus en détail

Optimisation Discrète

Optimisation Discrète Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et

Plus en détail

4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE

4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Introduction. 1. 1 Justication historique. La résolution de l'équation du degré (par la méthode de Cardan) amena les mathématiciens italiens du seizième 3ème siècle

Plus en détail

INTRODUCTION. 1 k 2. k=1

INTRODUCTION. 1 k 2. k=1 Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à

Plus en détail

Une forme générale de la conjecture abc

Une forme générale de la conjecture abc Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante

Plus en détail

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R

2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R 2. RAPPEL DES TECHNIQUES DE CALCUL DANS R Dans la mesure où les résultats de ce chapitre devraient normalement être bien connus, il n'est rappelé que les formules les plus intéressantes; les justications

Plus en détail

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets

Programmation linéaire et Optimisation. Didier Smets Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des

Plus en détail

Couples de variables aléatoires discrètes

Couples de variables aléatoires discrètes Couples de variables aléatoires discrètes ECE Lycée Carnot mai Dans ce dernier chapitre de probabilités de l'année, nous allons introduire l'étude de couples de variables aléatoires, c'est-à-dire l'étude

Plus en détail

Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise

Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Comment démontrer des formules sans effort? exposé de maîtrise Marc Mezzarobba Sam Zoghaib Sujet proposé par François Loeser Résumé Nous exposons un ensemble de méthodes qui permettent d évaluer «en forme

Plus en détail