Matrices. Résolution de systèmes linéaires

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Matrices. Résolution de systèmes linéaires"

Transcription

1 Chapitre 4 Matrices Résolution de systèmes linéaires K désigne Q, R ou C 41 Matrices, opérations sur les matrices 411 Définition et règles de calcul Définition 41 Soit n N + Un vecteur colonne (resp ligne à n composantes (ou coefficients) dans K est un tableau X = x 1 x n (resp X = (x 1,, x n )) L ensemble des vecteurs colonnes à n composantes se note M n,1 (K), ou simplement M n,1 L ensemble des vecteurs lignes à n composantes se note M 1,n (K), ou simplement M 1,n ; c est ensemble n est autre que K n, et M n,1 est clairement muni d une structure d espace vectoriel qui le rend isomorphe à K n (Notons que M 1,1 n est autre que K) Les vecteurs colonnes E j = (δ j,j) 1 j n, 1 j n forment une base de M n,1, et les vecteurs lignes E j = (δ j,j) 1 j n, 1 j n forment une base de M 1,n Définition 42 Soit n, p N + Une matrice n p à coefficients dans K est un tableau à n lignes et p colonnes A 11 A 1j A 1,p A = A i1 A ij A i,p = (A ij ) 1 i n A n1 A nj A n,p On note M n,p (K), ou simplement M n,p l ensemble des matrices n p Si n = p, on écrit M n (K) ou M n Exemple 41 Un vecteur colonne (resp ligne) est donc est une matrice colonne (resp ligne), ie à une colonne (resp ligne) On notera A j la j-ième colonne de A et A i la i-ième ligne de A Dans M n, sont particulièrement importants l ensemble des matrices diagonales D n (K) = {A M n (K) : A i,j = 0 si i j}, l ensemble des matrices triangulaires T n (K) = {A M n (K) : A i,j = 0 si i > j} {A M n (K) : A i,j = 0 si i < j}, l ensemble des matrices symétriques S n (K) = {A M n (K) : A i,j = A i,j i, j}, l ensemble des matrices antisymétriques S n (K) = {A M n (K) : A i,j = A i,j i, j}, les matrices de permutation, la matrice identité Proposition 41 L ensemble M n,p (K) est naturellement muni de l addition interne : A+B = (A ij +B i,j ) 1 i n et de la multiplication externe par les scalaires de K : λ A = λa = (λa i,j ) 1 i n, qui en font un K-espace vectoriel de dimension np 21

2 22 CHAPITRE 4 MATRICES RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES Définition 43 Soit n 1 Pour 1 i, j n on définit E i,j 0 0 1, E 3,1 = = (δ k,i δ l,j ) 1 k n Exemple : n = 3, E 2,3 = 1 l n En écrivant A = 1 i n A ij E i,j, on voit que (E i,j ) 1 i n est une base (lase canonique) de M n,p Définition 44 La transposée de A M n,p est la matrice de M p,n égale à (A j,i ) et notée t A Proposition 42 L application A M n,p t A M p,n est linéaire Si n = p c est une involution : c est la symétrie par rapport aux matrices symétriques et parallèlement aux matrices antisymétriques Définition 45 (Multiplication d un vecteur par une matrice) Soit A M n,p 1 Si X = x 1 x p M p,1, AX est le vecteur colonne t p A 1 X j=1 A 1jx j t A i X = p j=1 A ijx j M n,1 t A n X p j=1 A n,jx j L application f A : X M p,1 AX M n,1 est linéaire 2 Si X = (x 1, x n ) M 1,n, XA est le vecteur ligne ( t X A 1 n i=1 A i,jx i,, t X A p = n i=1 A i,px i ) M 1,p = n i=1 A i,1x i,, t X A j = L application g A : X M 1,n XA M 1,p est linéaire Exercice 41 Soit E j le vecteur colonne (δ j,j) Alors AE j = A j Donc f A (X) = f A ( p x j E j ) = j=1 p x j f A (E j ) = j=1 p x j A j Exercice 42 Si n = p on a f A (X) = X pour tout X M n,1 si et seulement si A = I n, la matrice identité, ie celle ayant des 1 sur sa diagonale et des 0 partout ailleurs Exercice 43 Soit E i le vecteur ligne (δ i,i) 1 i n Alors E i A = A i Définition 46 Le rang de la matrice A M n,p (K) est le rang de l application linéaire f A, ie la dimension de Vect(A 1,, A p ) Définition 47 (Multiplication de deux matrices) Soit n, p, m N + Soit A M n,p et B M p,m Ecrivons B = (B 1, B p ) avec B j M p,1 Le produit de AB de A et B est la matrice de M n,m dont les vecteurs colonnes sont les AB j Théorème 41 Ecrivons A = A 1 A n (AB) ij = p k=1 A imb mj = t A i B j pour 1 i n et 1 j m j=1 avec A i M 1,p AB est aussi la matrice dont les lignes sont les A i B et

3 42 OPÉRATIONS ÉLÉMENTAIRES SUR LES MATRICES 23 Exercice 44 D n (K) est stable par multiplication, ainsi que l ensemble des matrices triangulaires supérieures et celui des des matrices triangulaires inférieures La matrice identité I n est l élément neutre de la multiplication dans M n (K) Proposition 43 Soit A M m,n, B M n,p et C M p,q On a 1 (AB)C = A(BC) f AB = f A f B 2 Si C M n,p, A(B + C) = AB + AC 3 Si A M n,p, (A + B)C = AC + BC 4 t (AB) = t B t A Remarque 41 En général, si A, B M n, on n a pas AB = BA Exemple : A = ( ) 1 2 et B = 3 4 ( ) Définition 48 Une matrice A M n (K) est inversible s il existe B M n (K) telle que AB = BA = I n Il est équivalent de dire que f A est un automorphisme dont f B est l application linéaire réciproque Théorème 42 Pour que A soit inversible, il suffit qu il existe une matrice B telle que AB = I n Une telle matrice est unique On l appelle inverse de A et on la note A 1 Preuve : Pour voir que BA = I n, on transcrit d abord l égalité AB = I n en f A f B = Id, qui implique f B f A = Id En effet, pour tout Y de la forme f B (X), f A f B (X) = f A (Y ) = X implique f B f A (Y ) = f B (X) = Y Or, f A f B = Id, f B est injective, donc c est un isomorphisme, et Im(f B ) = M n,1, de sorte que f B f A (Y ) = Y pour tout Y dans M n,1 Donc f BA = Id et l on en déduit que BA = I n Alors, si AC = I n pour une autre matrice C, on a BAC = B donc C = B Exercice 45 Soit A = général ( ) 1 1 et B = 3 3 Exercice 46 Pour tout A M n inversible, t (A 1 ) = ( t A) 1 ( ) 1 1 Calculer AB En déduire que AB = AC B = C en 1 1 Exercice 47 Un produit quelconque de matrices carrées inversibles est inversible Exercice 48 A quelle CNS une matrice diagonale est-elle inversible? 42 Opérations élémentaires sur les matrices On formalise ici de façon matricielle les opérations usuelles auxquelles on procède pour résoudre un système linéaire Rappel : Définition 49 Soit n 1 Pour 1 i, j n on définit E i,j 0 0 1, E 3,1 = = (δ k,i δ l,j ) 1 k n Exemple : n = 3, E 2,3 = 1 l n Définition 410 (Matrices élémentaires) Soit n 1 1 Une matrice de dilatation est une matrice D i (a) de la forme I + (a 1)E i,i, avec a K et 1 i n a 0 0 Exemple : n = 3, D 1 (a) = 0 1 0, D 2 (a) = 0 a 0, D 3 (a) = a 2 Une matrice de transvection est une matrice de la forme T i,j (λ) = I + λe i,j, avec λ K et i j

4 24 CHAPITRE 4 MATRICES RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES Proposition 44 1 Les E i,j forment une base de M n (K) 2 t D i (a) = D i (a) et t T i,j (λ) = T j,i (λ) De plus ces matrices sont inversibles : D i (a) 1 = D i (a 1 ) et T i,j (λ) 1 = T i,j ( λ) Donc, un produit de matrices élémentaires est une matrice inversible On verra que la réciproque est vraie Proposition 45 Soit A M n,p (K) 1 Multiplier la colonne j de A par a, c est multiplier A à droite par D j (a) M p (K) On le voit en écrivant D j (a) = (E 1,, E j 1, ae j, E j+1,, E p ) 2 Multiplier la ligne i de A par a, c est multiplier A à gauche par D i (a) M n (K) On le voit en écrivant E 1 E i 1 D i (a) = ae i E i+1 E n Exemple : travailler sur A = ( ) Proposition 46 Soit A M n,p (K) 1 Ajouter à la j-ième colonne de A λ la i-ème, c est multiplier A à droite par T i,j (λ) M p (K) On le voit en écrivant T i,j (λ) = (E 1,, E j 1, E j + λe i, E j+1,, E p ) 2 Ajouter à la i-ième ligne de A λ la j-ème, c est multiplier A à gauche par T i,j (λ) M n (K) On le voit E 1 E i 1 en écrivant T i,j (λ) = E i + λe j E i+1 E n Exemple : (1) travailler sur A = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Exercice 49 Calculer T c d 1,2 (λ), T c d 2,1 (λ), T 1,2 (λ), T c d 2,1 (λ) c d Exercice 410 Soit A = Calculer AT 1,3 (1)T 3,1 ( 1)T 1,3 (1)D 1 ( 1) Proposition 47 1 Pour échanger les colonnes i et j, on muliplie successivement à droite par T i,j (1), T j,i ( 1), T i,j (1) et D i ( 1) 2 Pour échanger les lignes i et j, on muliplie successivement à gauche par T i,j (1), T j,i ( 1), T i,j (1) et D j ( 1) Remarque 42 On passe d un cas à l autre par transposition

5 43 RÉSOLUTION D UN SYSTÈME LINÉAIRE CALCUL DU RANG INVERSION DE MATRICES Résolution d un système linéaire Calcul du rang Inversion de matrices 431 Résolution d un système linéaire Calcul du rang On se donne une matrice A M n,p (K), B M n,1 = K n, et on cherche les solutions X M p,1 = K p de l équation f A (X) = AX = B, ie on cherche à résoudre le système d équations à n lignes et p inconnues A 1,1 x 1 + A 1,2 x A 1,p x p = b 1, A n,1 x 1 + A n,2 x A n,p x p = b n On notera S l ensemble des solutions Si B = 0, cela revient à déterminer Ker(f A ), et par conséquent on obtient dim Ker(A) et rg(f A ), c est à dire le rang de la famille de vecteurs A j, 1 j p On peut commencer par discuter qualitativement cette résolution Si f A est surjective, ce qui nécessite p n, il y aura toujours une solution, sinon, l ensemble des solutions peut être vide Cette solution sera unique si et seulement si Ker(f A ) = {0} Donc il y a toujours une et une seule solution si et seulement si n = p et A est inversible Le cas le plus trivial de non surjectivité est le cas A = 0 Alors, ou bien B = 0 et S = K p, ou bien B 0 et S = D une façon général, si S, on a S = X 0 + Ker(f A ), où X 0 est un élément quelconque de S On va utiliser les opérations élémentaires pour mettre le système sous forme échelonnée en travaillant sur les lignes Cela suffit pour résoudre le système Définition 411 On dit qu une matrice U M n,p (K) est de la forme échelonnée réduite si 1 chaque ligne est nulle ou commence par un 1 ; 2 si une ligne est nulle, toute les suivantes le sont ; 3 si sur la ligne i le premier coefficient non nul est en position j, alors si la ligne A i+1 est non nulle son premier coefficient non nul est en position j + 1 Il s ensuit que le premier coefficient non nul de A i est en position i Remarque 43 Si n = p, une matrice échelonnée est triangulaire supérieure Théorème 43 Soit A M n,p (K) 1 Il existe une suite finie de matrices élémentaires, Q (1),, Q (k), telle que U = Q (k) Q (k 1) Q (1) A soit échelonnée réduite 2 Le rang de A est égal au nombre de lignes non nulles de U, et c est aussi le nombre de colonnes libres de U C est aussi le rang de U 3 La dimension du noyau de f A est égale à p rg(a) 4 Si n = p, A est inversible si et seulement si les coefficients diagonaux de U sont tous égaux à 1 Admettons ce résultat et voyons comment résoudre le système Comme le produit Q (k) Q (k 1) Q (1) est inversible, on a AX = B UX = Q (k) Q (k 1) Q (1) B On obtient Ker(f A ) en résolvant UX = 0 L équation UX = Q (k) Q (k 1) Q (1) B a au moins une solution si et seulement si la i-ème coordonnée de Q (k) Q (k 1) Q (1) B est nulle quand la i-ème ligne de U est nulle Preuve du Théorème 43 : Le cas n = 1 est clair

6 26 CHAPITRE 4 MATRICES RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES Pour n 2, on raisonne par récurrence sur p 1 Supposons que p = 1 Si A = 0, on a fini, A est échelonnée (et ou bien B = 0 et S = K p ou bien S = ) Si A 0, on considère l indice j 0 de la première colonne non nulle Sans perte de généralité on supposera ici que j 0 = 1 Soit i 0 le plus petit indice tel que A i0,1 0 On échange les lignes i 0 et 1 en multipliant à gauche par K (1) = D i0 ( 1)T i0,1(1)t 1,i0 ( 1)T i0,1(1) On obtient U = K (1) A On rend le coefficient U 1,1 égal à 1 en multipliant à gauche par D 1 (1/U 1,1 ) On pose U := D 1 (1/U 1,1 )U = D 1 (1/U 1,1 )K (1) A Puis, on élimine le premier coefficient de chaque ligne i 2 de U en multipliant à gauche par T 2,1 ( U 2,1 ) T 2,1 ( U n,1 ) : U := T 2,1 ( U 2,1 ) T 2,1 ( U n,1 ) On appelle Q 1 la matrice produit de toutes les multiplications élémentaires effectuées 1 On ien U = Q (1) A échelonné : U = Q (1) 0 A =, et Q (1) est produit de matrices élémentaires 0 Supposons le résultat vrai pour p 1 avec p 1 Soit ( A M ) n,p (K) Si A 1 0, alors, on utilise la série de transformations précédente, et Q 1 (1) A est de la forme 0 A, où 0 est ici le vecteur nul de M n 1,1 (K) et A = M n 1,p 1 Si n 1 = 1, on a terminé Sinon, par hypothèse de récurrence on dispose de Q (2),, Q (k), matrices élémentaires dans M n 1,n 1 (K) avec k 1 p 1 telles que Q (k) Q(k 1) ( ) Q (2) A soit échelonnée 1 0 Alors, un calcul permet de voir que si l on pose Q (i) = pour i 2, on ien U = Q (k) Q (k 1) Q (1) A 0 Q(i) échelonnée et les Q (i) sont élémentaires Si la première colonne de A est nulle, on désigne par r le nombre des premières collonnes nulles On écrit A = (0A ) avec ici 0 égal à la matrice nulle de M n,r (K) et A M n,p r (K) Les matrices élémentaires Q (1),, Q (k) telles que U = Q (k) Q (k 1) Q (1) A soit échelonnée sont telles que U = Q (k) Q (k 1) Q (1) A = (0, U ) est échelonnée Remarque 44 CALCUL PRATIQUE Concrètement, on construit le produit P = Q (k) Q (k 1) Q (1) en faisant parallèlement les mêmes multiplications élémentaires sur un vecteur arbitraire B, puisque U X = Q (k) Q (k 1) Q (1) B = P B = f P (B) On n a pas besoin de faire apparaître les matrices élémentaires, on manipule seulement les lignes Exercice 411 Déterminer le rang de A et le noyau de f A avec A = Résoudre AX = Inversion d une matrice On se donne une matrice A M n (K) On se demande si A est inversible, et si oui on souhaite calculer A 1, c est à dire inverser A Etape 1 On construit d abord U = Q (k) Q (k 1) Q (1) A échelonnée Si aucun coefficient diagonal n est nul, f A est un automorphisme (cf Théorème 43) Parallèlement, on stocke le produit Q (k) Q (k 1) Q (1) en faisant subir à la matrice I n les mêmes opérations qu à A pour obtenir U L inversion de A, qui revient à résoudre l équation AX = Y, a donc pour première étape de se ramener à résoudre UX = P Y, avec P = Q (k) Q (k 1) Q (1) Etape 2 On résout UX = Z (c est facile puisque le système est échelonné), qui donne X = U 1 Z Cela revient à opérer sur les lignes à nouveau mais en partant du dernier pivot en bas à droite de la diagonale pour rendre

7 44 INVERSION D UNE MATRICE 27 nul les coefficients de la dernierès colonne au dessus de la diagonale, puis en faisant de même avec l avant dernier pivot et l avant dernière colonne, et ce jusqu à la première Il ne reste plus que I n Parallèlement on poursuit les mêmes opérations sur P = Q (k) Q (k 1) Q (1), et on a donc stocké le produit Q (l) Q (k+1 )Q (k) Q (k 1) Q (1) On a ainsi utilisé un nouveau produit Q (l) Q (k+1 ) de matrice élémentaires telles que Q (l) Q (k+1 )U = I n, ie Q (l) Q (k+1 ) = U 1, ou encore Q (l) Q (k+1 )Q (k) Q (k 1) Q (1) A = I n, ie Q (l) Q (k+1 )Q (k) Q (k 1) Q (1) = A 1 Donc on a l inverse de A, et les relations X = U 1 P Y et A 1 = U 1 P Remarque 45 On pourrait choisir de manipuler les colonnes Exercice 412 Appliquer l algorithme précédent au calcul de l inverse d une matrice Exercice 413 Soit A = Montrer que A est inversible et calculer son inverse 1 1 1

Chapitre 13. Calcul matriciel. Mathématiques PTSI. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 1 / 44

Chapitre 13. Calcul matriciel. Mathématiques PTSI. Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 1 / 44 Chapitre 13 Calcul matriciel Mathématiques PTSI Lycée Déodat de Séverac Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac) Calcul matriciel 1 / 44 On note K = R ou C Mathématiques PTSI (Lycée Déodat de Séverac)

Plus en détail

I-Définitions: A matrice à n lignes et p colonnes : np éléments réels (ou éventuellement complexes). p. 2/2

I-Définitions: A matrice à n lignes et p colonnes : np éléments réels (ou éventuellement complexes). p. 2/2 Matrice p. 1/2 I-Définitions: A matrice à n lignes et p colonnes : np éléments réels (ou éventuellement complexes). p. 2/2 I-Définitions: A matrice à n lignes et p colonnes : np éléments réels (ou éventuellement

Plus en détail

Chapitre 6. Algèbre matricielle. 6.1 Opérations linéaires sur les matrices

Chapitre 6. Algèbre matricielle. 6.1 Opérations linéaires sur les matrices Chapitre 6 Algèbre matricielle En plus d être des tableaux de nombres susceptibles d être manipulés par des algorithmes pour la résolution des systèmes linéaires et des outils de calcul pour les applications

Plus en détail

Calcul matriciel. matrices-ligne et colonne : on appelle matrice-ligne toute matrice n ayant qu une seule ligne. On peut identifier

Calcul matriciel. matrices-ligne et colonne : on appelle matrice-ligne toute matrice n ayant qu une seule ligne. On peut identifier Calcul matriciel Dans ce qui suit, K désigne R ou C. 1 Petite visite au zoo matriciel 1.1 matrices générales notion de matrice : une matrice à coefficients dans K est une liste d éléments de K disposés

Plus en détail

Matrices. () Matrices 1 / 45

Matrices. () Matrices 1 / 45 Matrices () Matrices 1 / 45 1 Matrices : définitions 2 Calcul matriciel 3 Opérations élémentaires sur les lignes d une matrice 4 Transposition On va principalement travailler avec R Mais on peut remplacer

Plus en détail

Calcul matriciel. 1.1 Définitions Matrices carrées particulières... 3

Calcul matriciel. 1.1 Définitions Matrices carrées particulières... 3 Chapitre 10 Calcul matriciel 1 Généralités 2 11 Définitions 2 12 Matrices carrées particulières 3 2 Opérations sur les matrices 4 21 L espace vectoriel M np (R 4 22 Produit de deux matrices 5 23 Transposée

Plus en détail

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (K) Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C.

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (K) Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C. Matrices Dans tout ce chapitre, K désigne R ou C Matrices rectangulaires Soient n, p deux nombres entiers non-nuls On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients dans K tout tableau rectangulaire

Plus en détail

Chapitre 3 : Matrices

Chapitre 3 : Matrices Chapitre 3 : Matrices Sommaire I Notion de matrice et vocabulaire II Opérations de base sur les matrices 3 1 Addition de matrices et multiplication d un réel par une matrice 3 Multiplication matricielle

Plus en détail

Opérations élémentaires et déterminants

Opérations élémentaires et déterminants 10 Opérations élémentaires et déterminants On note toujours K le corps de réels ou des complexes On se donne un entier n 1 et M n (K désigne l espace vectoriel des matrices carrées d ordre n à coefficients

Plus en détail

MATRICES. 1. Définition. 2. Matrices carrées particulières. ADDITIONS ET MULTIPLICATION EXTERNE DANS M n,p (K)

MATRICES. 1. Définition. 2. Matrices carrées particulières. ADDITIONS ET MULTIPLICATION EXTERNE DANS M n,p (K) 21-10- 2007 JFC Mat p 1 MATRICES I GÉNÉRALITÉS 1 Définitions 2 Matrices carrées particulières II ADDITIONS ET MULTIPLICATION EXTERNE DANS M n,p (K) 1 Structure d espace vectoriel de M n,p (K) 2 Base canonique

Plus en détail

4.1 Définitions et notations 1 CHAPITRE 4. Matrices Définitions et notations

4.1 Définitions et notations 1 CHAPITRE 4. Matrices Définitions et notations 4 Définitions et notations CHAPITRE 4 Matrices 4 Définitions et notations On désigne par K un des deux ensembles R ou C et par n et p deux entiers strictement positifs 4 Matrices Définition On appelle

Plus en détail

2 Diverses interprétations des matrices

2 Diverses interprétations des matrices 1 Rappels Espace vectoriel M p,n (K) : Addition : dénition et propriétés élémentaires : commutativité, associativité, existence d'un neutre, toute matrice admet un(e) opposé(e) pour + Multiplication par

Plus en détail

Chapitre 3. Matrices. Définition 1.1. Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice : a 11 a a. 1q a 21 a 22...

Chapitre 3. Matrices. Définition 1.1. Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice : a 11 a a. 1q a 21 a 22... Chapitre 3 Matrices 1 Définitions et généralités Définition 11 Un tableau rectangulaire de la forme ci-dessous est appelé matrice : a 11 a 12 a 1q a 21 a 22 a 2q A a p1 a p2 a ps Les coefficients a ij,

Plus en détail

Lycée Dominique Villars ECE 1 CALCUL MATRICIEL

Lycée Dominique Villars ECE 1 CALCUL MATRICIEL Lycée Dominique Villars ECE 1 COURS CALCUL MATRICIEL 1 Définitions et Notations Soit n N et m N On appelle matrice à n lignes et m colonnes tout tableau de la forme suivant : a 1,1 a 1,2 a 1,m a 2,1 a

Plus en détail

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (R)

Matrices. 1 Matrices rectangulaires. 1.2 L espace vectoriel M n,p (R) Matrices Matrices rectangulaires Soient n, p deux nombres entiers non-nuls On appelle matrice à n lignes et p colonnes un tableau rectangulaire de nombres réels comportant n lignes et p colonnes } }{{}

Plus en détail

Matrices. 6 On appelle matrice triangulaire inférieure toute matrice carrée d ordre n telle que, si

Matrices. 6 On appelle matrice triangulaire inférieure toute matrice carrée d ordre n telle que, si Agrégation interne UFR MATHÉMATIQUES Matrices On note K un corps commutatif. n et p représentent deux entiers naturels non nuls. 1. Notion de matrice 1.1. Définitions Définition 1 On appelle matrice d

Plus en détail

Chapitre X. Chapitre X : Matrice inverse et réciproque d une application

Chapitre X. Chapitre X : Matrice inverse et réciproque d une application Chapitre X Chapitre X : Matrice inverse et réciproque d une application Introduction Dans ce chapitre, on fera le lien entre la matrice d une application linéaire et l inverse d une matrice (notion vue

Plus en détail

Chapitre 2. Introduction aux matrices

Chapitre 2. Introduction aux matrices L1 2012-2013 Université Paris 13 Algèbre linéaire Chapitre 2 Introduction aux matrices Référence: Liret-Martinais [2], chapitre 4 Nous avons déjà rencontré des tableaux de nombres, ou matrices Nous allons

Plus en détail

Cours de Mathématiques Calcul matriciel, systèmes linéaires. I Matrices à coefficients dans K... 3

Cours de Mathématiques Calcul matriciel, systèmes linéaires. I Matrices à coefficients dans K... 3 Table des matières I Matrices à coefficients dans K............................ 3 I.1 Généralités.................................. 3 I.2 Matrices particulières............................. 3 I.3 Matrices

Plus en détail

Applications linéaires

Applications linéaires Chapitre 4 Applications linéaires I) Généralités sur les applications linéaires 1) Définitions Définition 1 Soient E et F deux R-espaces vectoriels On appelle application linéaire de E dans F toute application

Plus en détail

À propos des transvections

À propos des transvections À propos des transvections Antoine Ducros Préparation à l agrégation de mathématiques 1 Les transvections : aspect matriciel On fixe pour toute la suite du texte un corps commutatif k. (1.1) Définition.

Plus en détail

Matrices à coecients réels

Matrices à coecients réels Matrices à coecients réels Dans tout ce chapitre d, n, p et q sont des entiers naturels non nuls 1 Systèmes linéaires : 11 Généralités : Dénition 1 : On appelle système linéaire de n équations à p inconnues

Plus en détail

Université Joseph Fourier, Grenoble I Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies 1 e année

Université Joseph Fourier, Grenoble I Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies 1 e année Université Joseph Fourier, Grenoble I Mathématiques, Informatique et Mathématiques Appliquées Licence Sciences et Technologies 1 e année Calcul matriciel Bernard Ycart Ce chapitre est essentiellement technique

Plus en détail

Résumé 02 : Matrices & Déterminants

Résumé 02 : Matrices & Déterminants http://mpbertholletwordpresscom Résumé 02 : Matrices & Déterminants Dans tout ce chapitre, K sera le corps R ou C 1 LES BASES 1 L opérateur L A Toute application linéaire de R p dans R n est l application

Plus en détail

Algèbre 4 CALCUL MATRICIEL SYSTEMES LINEAIRES

Algèbre 4 CALCUL MATRICIEL SYSTEMES LINEAIRES Algèbre - cha 4 /9 Dans tout le chaitre K désigne R ou C, n et désignent des entiers naturels non nuls.. OPERATIONS SUR LES MATRICES. Notion de matrice Algèbre 4 CALCUL MATRICIEL SYSTEMES LINEAIRES Définition

Plus en détail

deux matrices de M n,p (K) et λ K. On définit

deux matrices de M n,p (K) et λ K. On définit CHAPITRE 6 MATRICES Dans tout le chapitre, K désignera R ou C 1 Matrices à éléments dans K 11 Algèbre des matrices Définition 61 Soient n, p N On appelle matrice de taille (n, p) à coefficients dans K

Plus en détail

LES MATRICES. Chapitre Premières définitions

LES MATRICES. Chapitre Premières définitions Chapitre 1 LES MATRICES 11 Premières définitions Définition Une matrice à n lignes et p colonnes et à coefficients dans R est un tableau de np éléments de R que l on représente sous la forme : a 11 a 12

Plus en détail

9 : Matrices. 1. Opérations sur les matrices. 1.1 Les espaces vectoriels R n et C n

9 : Matrices. 1. Opérations sur les matrices. 1.1 Les espaces vectoriels R n et C n 9 : Matrices Opérations sur les matrices Les espaces vectoriels R n et C n Notation Dans tout le chapitre, K désigne R ou C, et n, p, q sont des entiers naturels non nuls On rappelle que si E est un ensemble,

Plus en détail

XIII. Matrices. 1 Opérations sur les matrices. On note K = R ou C.

XIII. Matrices. 1 Opérations sur les matrices. On note K = R ou C. XIII Matrices 1 Opérations sur les matrices On note K = R ou C Définition 1 On appelle matrice à n lignes et p colonnes à coefficients réels ou complexes un tableau rectangulaire à n lignes et p colonnes

Plus en détail

LFA / Terminale S SPÉCIALITÉ MATHS Mme MAINGUY. Les nombres contenus dans ce tableau sont appelés les coefficients de la matrice.

LFA / Terminale S SPÉCIALITÉ MATHS Mme MAINGUY. Les nombres contenus dans ce tableau sont appelés les coefficients de la matrice. Les matrices chapitre 2 : calcul matriciel I / Définitions Soit n et p deux entiers naturels non nuls Une matrice n p (on dit aussi de format n ; p ( ) est un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes

Plus en détail

Chapitre VIII Calcul matriciel

Chapitre VIII Calcul matriciel Chapitre VIII Calcul matriciel Dans ce cours, désigne, ou un corps commutatif quelconque. I Matrices et applications Les matrices sont un outil de calcul et de représentation des applications linéaires.

Plus en détail

Fiche méthodologique Rang d une matrice et applications

Fiche méthodologique Rang d une matrice et applications Fiche méthodologique Rang d une matrice et applications BCPST Lycée Hoche $\ CC BY: Pelletier Sylvain Les deu définitions du rang d une matrice Le rang d une matrice M M n,p (K) est défini de deu manières

Plus en détail

Révisions sur les matrices

Révisions sur les matrices BCPST2 9 5 2 10Révisions sur les matrices I Dénition et structure A) Ensemble des matrices Soient n, p N des entiers xés On appelle matrice à n lignes et p colonnes et à coecients à K la donnée d'une famille

Plus en détail

Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge

Cours PCSI ( ) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge Cours PCSI (203-204) Les systèmes linéaires Lycée Baimbridge Table des matières Introduction...2 - Des tablettes d'argile aux ordinateurs...2 2- Premiers systèmes linéaires...2 a- Système linéaire le plus

Plus en détail

et Systèmes d équations linéaires

et Systèmes d équations linéaires Opérations élémentaires et Systèmes d équations linéaires MPSI-Schwarz Prytanée National Militaire Pascal Delahaye 2 avril 2015 1 Les opérations élémentaires 11 Matrices associées aux OEL et aux OEC Lemme

Plus en détail

Chapitre 2 : Les matrices

Chapitre 2 : Les matrices Chapitre 2 : Les matrices I. Définitions On appelle matrice à lignes et colonnes N, N à coefficients dans =R C un tableau à lignes et colonnes contenant un élément de à l intersection de chaque ligne et

Plus en détail

Formes bilinéaires et quadratiques

Formes bilinéaires et quadratiques Formes bilinéaires et quadratiques 0 Prolégomènes Caractéristique d un corps Si K, +, est un corps commutatif, alors l application ϕ : n n K, où K est l élément neutre de K pour le produit, est un morphisme

Plus en détail

Résumé de Math Sup : Matrices

Résumé de Math Sup : Matrices Résumé de Math Sup : Matrices I - Opérations dans M n,p (K) Une matrice à n lignes et p colonnes (n et p entiers naturels non nuls) est une application de 1, n 1, p dans K qui à un couple d indices (i,

Plus en détail

1/2 2/2. 2. Matrices. Sections 2.4 et 2.5 MTH1007. J. Guérin, N. Lahrichi, S. Le Digabel École Polytechnique de Montréal A2016.

1/2 2/2. 2. Matrices. Sections 2.4 et 2.5 MTH1007. J. Guérin, N. Lahrichi, S. Le Digabel École Polytechnique de Montréal A2016. 2. Matrices Sections 2.4 et 2.5 MTH1007 J. Guérin, N. Lahrichi, S. Le Digabel École Polytechnique de Montréal A2016 (v4) MTH1007: algèbre linéaire 1/18 Plan 1. Les règles des opérations matricielles 2.

Plus en détail

Matrice et vocabulaire associé

Matrice et vocabulaire associé I Matrice et vocabulaire associé I1 Définitions Définition 1 Deux entiers naturels m et n étant donnés non nuls, on appelle matrice de format m, n tout tableau rectangulaire ayant m n éléments, disposés

Plus en détail

ISET Jerba wwww.isetjb.rnu.tn Département Génie Électrique. Cours d algèbre2. Haj Dahmane DHAFER

ISET Jerba wwww.isetjb.rnu.tn Département Génie Électrique. Cours d algèbre2. Haj Dahmane DHAFER ISET Jerba wwwwisetjbrnutn Département Génie Électrique Cours d algèbre2 Haj Dahmane DHAFER 19 février 2015 Chapitre I Généralités sur les matrices Sommaire I Définitions et notations 1 II Opérations sur

Plus en détail

Calcul matriciel : rappels et compléments

Calcul matriciel : rappels et compléments CHAPITRE 5 Calcul matriciel : rappels et compléments 5 L ensemble M n,p (K) 5 Structure d espace vectoriel Définition Soit K = R ou C On note M n,p (K) l ensemble des matrices ayant n lignes et p colonnes

Plus en détail

Ch. 03 MATRICES et SUITES

Ch. 03 MATRICES et SUITES Ch 03 MATRICES et SUITES I Notion de matrice Une matrice est un tableau de nombres réels à n lignes et p colonnes, de taille (n, p) ou n p Notation La matrice M ci-dessous peut être notée M = (a ij ) où

Plus en détail

MATRICES - DEFINITION 1 Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres.

MATRICES - DEFINITION 1 Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres. MATRICES - DEFINITION 1 Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres. Exemple: A = 1 17 1.12 3 π 6. Une matrice est de format mxn ssi elle a m lignes et n colonnes (m,n IN 0) Exemple : A est de

Plus en détail

Rappels sur l algèbre linéaire

Rappels sur l algèbre linéaire Rappels sur l algèbre linéaire Dans tout ce chapitre n et p sont des entiers naturels non nuls et K = R ou C, E un K-espace vectoriel, I un ensemble non vide. I- Espace vectoriel I-1 Définition et exemples

Plus en détail

Calcul matriciel. λa n,1 λa n,2... λa n,p. a 2,1 a 2,2... a 2,p... a n,1 a n,2... a n,p ... a n,1 + b n,1 a n,2 + b n,2...

Calcul matriciel. λa n,1 λa n,2... λa n,p. a 2,1 a 2,2... a 2,p... a n,1 a n,2... a n,p ... a n,1 + b n,1 a n,2 + b n,2... 11 mars 014 Calcul matriciel I IA Matrices : définition, opérations et propriétés Définitions et structure d espace vectoriel Définition 1 (Définition Une matrice de type (n, p est un tableau à n lignes

Plus en détail

Chapitre 2 : Matrices

Chapitre 2 : Matrices Chapitre 2 : Matrices 1 Notion de matrice et vocabulaire Notation 1 Dans tout le chapitre n, p, q sont des entiers naturels non nuls Définition 1 Une matrice A à n lignes et p colonnes est un tableau défini

Plus en détail

Systèmes d équations linéaires, Résumé

Systèmes d équations linéaires, Résumé Systèmes d équations linéaires, Résumé ycée Berthollet, PCSI1 2016-17 Exemple introductif (fil rouge) Exemple 1 On considère le système suivant : (S) x +2y 2z +3t = 2 2x +4y 3z +4t = 5 5x +10y 8z +11t

Plus en détail

Calcul matriciel CHAPITRE L'ensemble des matrices Dénitions. Dans tout le chapitre, K désigne le corps R ou C.

Calcul matriciel CHAPITRE L'ensemble des matrices Dénitions. Dans tout le chapitre, K désigne le corps R ou C. CHAPITRE 0 Calcul matriciel Dans tout le chapitre, K désigne le corps R ou C 0 L'ensemble des matrices 0 Dénitions Dénition Soient n, p N On appelle matrice à coecients dans K à n lignes et p colonnes

Plus en détail

APPLICATIONS LINÉAIRES ET MATRICES. Résumé de cours d algèbre linéaire L1 de B. Calmès, Université d Artois (version du 1 er février 2016)

APPLICATIONS LINÉAIRES ET MATRICES. Résumé de cours d algèbre linéaire L1 de B. Calmès, Université d Artois (version du 1 er février 2016) APPLICATIONS LINÉAIRES ET MATRICES Résumé de cours d algèbre linéaire L de B. Calmès, Université d Artois (version du er février 206). Applications linéaires Soient E et F des espaces vectoriels sur K...

Plus en détail

Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct

Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct Exercices du chapitre 3 avec corrigé succinct Exercice III.1 Ch3-Exercice1 Calculer les déterminants suivants : a b c d, 3a 3b c d, 4 2 3 0 3 4 0 0 5, 4 2 3 0 1 2 4 1 2, 4 3 2 0 2 1 4 2 1, 1 2 2 3 1 1

Plus en détail

Matrice et espaces vectoriel de dimension finies MPSI

Matrice et espaces vectoriel de dimension finies MPSI Matrice et espaces vectoriel de dimension finies MPSI 27 mai 2008 Table des matières 1 Matrice 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Matrice carrée........................... 3 1.3 Vecteur

Plus en détail

Matrices. 1 Structure d espace vectoriel sur l ensemble des matrices

Matrices. 1 Structure d espace vectoriel sur l ensemble des matrices Matrices Structure d espace vectoriel sur l ensemble des matrices Soient K un corps (i.e. R où C), m,n N. Une matrice de type (m,n) à coefficients dans K est la donnée de mn éléments de K. On représentera

Plus en détail

Calcul matriciel. Julien Reichert. m1;1 m 1;2 m 1;3 m 2;1 m 2;2 m 2;3

Calcul matriciel. Julien Reichert. m1;1 m 1;2 m 1;3 m 2;1 m 2;2 m 2;3 Calcul matriciel Julien Reichert Notions de base Une matrice est un tableau comportant m lignes et n colonnes, dont les cellules contiennent des réels. La dimension de la matrice est m n, on parle alors

Plus en détail

Feuille d exercices 6 : Familles libres, génératrices. Applications linéaires.

Feuille d exercices 6 : Familles libres, génératrices. Applications linéaires. Université Denis Diderot Paris 7 (4-5) TD Maths, Agro wwwprobajussieufr/ merle Mathieu Merle : merle@mathuniv-paris-diderotfr Feuille d exercices 6 : Familles libres, génératrices Applications linéaires

Plus en détail

a 11 a 1n A = (a ij ) = ... a m1 a mn

a 11 a 1n A = (a ij ) = ... a m1 a mn Chapitre 4 Les matrices 4 Notions de bases Définition Une matrice est un tableau rectangulaire contenant des nombres : a a n A a ij a m a mn Les matrices peuvent représenter toutes sortes d informations

Plus en détail

Chap. I. Calcul Matriciel

Chap. I. Calcul Matriciel Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel 1 Chap. I. Calcul Matriciel Printemps 2010 Printemps 2010 Chap. I. Calcul Matriciel 2 Dans tout ce qui suit, K désigne R ou C. 1 Dénitions et propriétés Un tableau

Plus en détail

Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel. 1. Vecteurs

Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel. 1. Vecteurs Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Base d algèbre Chapitre 1. Calcul matriciel 1. Vecteurs Définition. On appelle un vecteur réel en dimension n une colonne x 1 x 2. x n de n nombres

Plus en détail

Table des matières 1/15

Table des matières 1/15 Table des matières Introduction : histoire et modernité...2 I- Généralités...3 - Définitions...3 2- Interprétations d'un système linéaire....3 a- Application linéaire u de Kp dans Kn...3 b- Vecteurs de

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot DÉTERMINANTS Dans tout ce chapitre, n désigne un entier naturel non nul. 1 Groupe symétrique 1.1 Permutation Définition 1.1 Permutation, groupe symétrique On appelle permutation de 1, n toute bijection

Plus en détail

Plan (1/2) Support au cours. Plan (2/2) Vecteurs de R N et opérations Produit scalaire de deux vecteurs de R N Norme d un vecteur

Plan (1/2) Support au cours. Plan (2/2) Vecteurs de R N et opérations Produit scalaire de deux vecteurs de R N Norme d un vecteur Plan (1/2) Mathématique Élémentaire Introduction à l algèbre linéaire Support au cours S. Bridoux Université de Mons-Hainaut 1 L espace R N Vecteurs de R N et opérations Produit scalaire de deux vecteurs

Plus en détail

Montrer qu il s agit d un produit scalaire, et trouver une base orthogonale pour ce produit scalaire. (x e k ).e k

Montrer qu il s agit d un produit scalaire, et trouver une base orthogonale pour ce produit scalaire. (x e k ).e k Ex 1 Facile Soit un espace préhilbertien réel E et deux vecteurs x,y E. a) Développer l expression y 2.x (x y).y b) Retrouver l inégalité de Cauchy-Schwarz ainsi que le cas d égalité. Ex 2 Cours, à faire

Plus en détail

ENSI 98 - Filière MP - MATHÉMATIQUES 2. Thème : Pseudo-inverse d une matrice - Méthode des moindres carrés discrets

ENSI 98 - Filière MP - MATHÉMATIQUES 2. Thème : Pseudo-inverse d une matrice - Méthode des moindres carrés discrets ENSI 98 - Filière MP - MATHÉMATIQUES 2 Thème : Pseudo-inverse d une matrice - Méthode des moindres carrés discrets PARTIE I - CONSTRUCTION D UNE MATRICE INVERSE A GAUCHE On suppose dans cette partie que

Plus en détail

Calcul matriciel 1. Calcul matriciel

Calcul matriciel 1. Calcul matriciel Calcul matriciel 1 le 29 Novembre 2008 UTBM MT11 Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr Calcul matriciel Introduction. A un système linéaire de p équations à n inconnues on associe un tableau avec

Plus en détail

[ [ [ ] 1. Définitions et Vocabulaire. Chapitre 3 Calcul matriciel. a. Définitions d'une matrice

[ [ [ ] 1. Définitions et Vocabulaire. Chapitre 3 Calcul matriciel. a. Définitions d'une matrice Chapitre Calcul matriciel. Définitions et Vocabulaire a. Définitions d'une matrice Définition Une matrice de dimension n p est un tableau de nombres comportant n lignes et p colonnes s [ 8 6 0 [ 6 8 0

Plus en détail

Déterminants. Chapitre 23. Objectifs. Plan

Déterminants. Chapitre 23. Objectifs. Plan Chapitre 23 Déterminants Objectifs Étudier le groupe des permutations de [[1n]] Définir les notions : de cycles, de transpositions, de décomposition en produit de cylces, de signature Définir les notions

Plus en détail

Comme pour toutes les autres questions, d autres méthodes ou options sont évidemment possibles à condition d être justifiées.

Comme pour toutes les autres questions, d autres méthodes ou options sont évidemment possibles à condition d être justifiées. 0 0 3 3 EXERCICE Soit les matrices A = et B = 2 3 0 0. Calculer le déterminant de A. En déduire le rang de cette matrice. 0 0 0 Dét(A) = dét = dét 0 0 car (propriété P ) le déterminant d une matrice ne

Plus en détail

Rappels d algèbre linéaire

Rappels d algèbre linéaire Rappels d algèbre linéaire Ce chapitre se consacre à rappeler un certain nombre de résultats d algèbre linéaire qui seront utiles pour le cours d analyse numérique matricielle et optimisation Nous décomposons

Plus en détail

Géométrie dans les espaces préhilbertiens

Géométrie dans les espaces préhilbertiens 13 Géométrie dans les espaces préhilbertiens Pour ce chapitre (E, ) est un espace préhilbertien et est la norme associée. 13.1 Mesures de l angle non orienté de deux vecteurs non nuls L inégalité de Cauchy-Schwarz

Plus en détail

Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Applications linéaires

Cours de remise à niveau Maths 2ème année. Applications linéaires Cours de remise à niveau Maths 2ème année Applications linéaires C. Maugis-Rabusseau GMM Bureau 116 cathy.maugis@insa-toulouse.fr C. Maugis-Rabusseau (INSA) 1 / 40 Plan 1 Applications linéaires Définitions

Plus en détail

Matrices et applications linéaires

Matrices et applications linéaires Matrices et applications linéaires Vidéo partie Rang d'une famille de vecteurs Vidéo partie Applications linéaires en dimension finie Vidéo partie Matrice d'une application linéaire Vidéo partie 4 Changement

Plus en détail

Matrices et Applications linéaires

Matrices et Applications linéaires Matrices et Applications linéaires Matrices d une application linéaire Dans toute cette section, E et F sont deux K ev de dimension finie. Soit B E = ( e,..., e p ) une base de E, et B F = ( ɛ,..., ɛ n

Plus en détail

UE MAT234. Notes de cours sur l algèbre linéaire

UE MAT234. Notes de cours sur l algèbre linéaire UE MAT234 Notes de cours sur l algèbre linéaire Matrices - Systèmes linéaires - Déterminants - Diagonalisation Dans tout ce document, K désigne indifféremment le corps des nombres réels IR, ou celui des

Plus en détail

Déterminants. Théorème 3 On suppose que F est une somme directe de n sous-espaces vectoriels F i. Alors. i=1

Déterminants. Théorème 3 On suppose que F est une somme directe de n sous-espaces vectoriels F i. Alors. i=1 Déterminants Dans tout le chapitre, K représente un corps commutatif 1 Applications et formes multilinéaires Soient E 1,, E p et F des espaces vectoriels sur K et ϕ une application de E 1 E p dans F Définition

Plus en détail

Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants

Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants Opérations sur les matrices, groupe symétrique et déterminants (Taisez-vous! Le maître parle) 2008 1 Opérations élémentaires sur les matrices 1 Opérations élémentaires sur les matrices 1 Opérations élémentaires

Plus en détail

Exercices Corrigés Applications linéaires. Exercice 1 On considère l application linéaire :

Exercices Corrigés Applications linéaires. Exercice 1 On considère l application linéaire : Exercices Corrigés Applications linéaires Exercice 1 On considère l application linéaire : f : R 4 R 2, x 1, x 2, x 3, x 4 x 1 + x 2 + x 3 + x 4, x 1 + 2x 2 + 3x 3 + 4x 4 1 Quelle est la matrice de f dans

Plus en détail

Exercices Corrigés Matrices 1 2 A = 2 1

Exercices Corrigés Matrices 1 2 A = 2 1 Exercices Corrigés Matrices Exercice Considérons les matrices à coefficients réels : A =, B = 4 C =, D = 0, E = Si elles ont un sens, calculer les matrices AB, BA, CD, DC, AE, CE Exercice extrait partiel

Plus en détail

Méthodes directes de résolution du système linéaire Ax = b

Méthodes directes de résolution du système linéaire Ax = b Chapitre 3 Méthodes directes de résolution du système linéaire Ax = b 3.1 Introduction Dans ce chapitre, on étudie quelques méthodes directes permettant de résoudre le système Ax = b (3.1) où A M n (R),

Plus en détail

( ) dx t dt. ( ) B( t) Le principe de la résolution se base sur la diagonalisation de la matrice A ou à défaut sa trigonalisation.

( ) dx t dt. ( ) B( t) Le principe de la résolution se base sur la diagonalisation de la matrice A ou à défaut sa trigonalisation. Equations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants (ou système d équation différentielles linéaires scalaire à coefficients constants du premier ordre) dx t dt B( t) + AX t x

Plus en détail

Exercice I.1 Montrer que la somme de vecteurs et le produit d un vecteur par un nombre réel donnent à IR 3 une structure d espace vectoriel sur IR.

Exercice I.1 Montrer que la somme de vecteurs et le produit d un vecteur par un nombre réel donnent à IR 3 une structure d espace vectoriel sur IR. Exercices avec corrigé succinct du chapitre 1 (Remarque : les références ne sont pas gérées dans ce document, par contre les quelques?? qui apparaissent dans ce texte sont bien définis dans la version

Plus en détail

Table des matières. Cours PCSI ( ) Les matrices Lycée Baimbridge

Table des matières. Cours PCSI ( ) Les matrices Lycée Baimbridge Table des matières Introduction...2 I- Opérations sur les matrices...3 1- s et ensembles de matrices...3 2- Structure d'espace vectoriel de Mnp(K)...4 a- Somme de deux matrices de même dimension...4 b-

Plus en détail

12.5. Trace d une matrice, d un endomorphisme

12.5. Trace d une matrice, d un endomorphisme 12 Calcul matriciel, systèmes linéaires 121 Matrices à coefficients dans un corps IK 1211 Généralités 1212 Matrices particulières 1213 Matrices carrées particulières 122 Opérations sur les matrices 1221

Plus en détail

Dimension des espaces vectoriels

Dimension des espaces vectoriels Dimension des espaces vectoriels (2) (2) () Dimension des espaces vectoriels 1 / 22 Plan 1 Matrices (2) () Dimension des espaces vectoriels 2 / 22 Propriétés de l ensemble des matrices Proposition Pour

Plus en détail

EXERCICES MPSI A 8 B. MATRICES R. FERRÉOL 13/14

EXERCICES MPSI A 8 B. MATRICES R. FERRÉOL 13/14 EXERCICES MPSI A 8 B MATRICES R FERRÉOL 13/14 1 : Calculer si c est possible : (a) (b) (c) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 i i 0 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 1 i 0 i 1 2 1 0 ; 1 2 3 4 5 6 2 1 2 1 2 3 1 2 1 2 MATRICES 1 0 2

Plus en détail

Les opérations sur les matrices Algèbre linéaire I MATH 1057 F

Les opérations sur les matrices Algèbre linéaire I MATH 1057 F Les opérations sur les matrices Algèbre linéaire I MATH 1057 F Julien Dompierre Département de mathématiques et d informatique Université Laurentienne Sudbury, 30 janvier 2011 Matrices (p. 107) Définition

Plus en détail

Préparation à l'agrégation Interne Ce devoir est constitué de deux problèmes totalement indépendants. PROBLÈME 1

Préparation à l'agrégation Interne Ce devoir est constitué de deux problèmes totalement indépendants. PROBLÈME 1 Préparation à l'agrégation Interne 2005-2006 F. Dupré Ce devoir est constitué de deux problèmes totalement indépendants. PROBLÈME On notera N n l'ensemble des entiers compris entre et n, n désignant un

Plus en détail

Lorsque la matrice M est de format (2,2), le déterminant s écrit :

Lorsque la matrice M est de format (2,2), le déterminant s écrit : Fiche 6. Le déterminant. Le déterminant Le déterminant est un outil très utile lorsque l on manipule des matrices carrées. Nous allons construire une fonction appelée déterminant qui associe un nombre

Plus en détail

Énoncés des exercices

Énoncés des exercices Énoncés Énoncés des exercices Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ] Donner une base de M 2 (R) qui soit formée de matrices inversibles Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ] 1 a 0 0 0 1 a 0 Calculer

Plus en détail

Chapitre 1 : Matrices

Chapitre 1 : Matrices Mr Dunstetter - ENC-Bessières 24\25 Chapitre : I inversibles Dénition : Matrice inversible et matrice inverse Une matrice carrée A M n (R) est dite inversible s'il existe une matrice B M n (R) telle que

Plus en détail

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées.

Calcul Matriciel. Chapitre 10. 10.1 Qu est-ce qu une matrice? 10.2 Indexation des coefficients. 10.3 Exemples de matrices carrées. Chapitre 10 Calcul Matriciel 101 Qu est-ce qu une matrice? Définition : Soit K un ensemble de nombres exemples, K = N, Z, Q, R, C, n, p N On appelle matrice à n lignes et p colonnes la données de np nombres

Plus en détail

Université de Nice Sophia-Antipolis Licence L3 Mathématiques Année 2008/2009. Analyse Numérique. Corrigé du TD 6

Université de Nice Sophia-Antipolis Licence L3 Mathématiques Année 2008/2009. Analyse Numérique. Corrigé du TD 6 Analyse Numérique Corrigé du TD 6 EXERCICE 1 Matrices diagonales, triangulaires 11 Matrices diagonales Soit D = (d ii ),,n une matrice diagonale d ordre n > 0 Donner une condition nécessaire et suffisante

Plus en détail

3. SYSTEMES LINEAIRES

3. SYSTEMES LINEAIRES 3 SYSTEMES LINEAIRES 31 Définition Un système linéaire est un ensemble de m équations linéaires à n variables Il a la forme générale suivante : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x

Plus en détail

Chapitre 2. Matrices

Chapitre 2. Matrices Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce

Plus en détail

Faculté des sciences et ingénierie (Toulouse III) Département de mathématiques L3 MMESI Analyse numérique I

Faculté des sciences et ingénierie (Toulouse III) Département de mathématiques L3 MMESI Analyse numérique I Nom : Date : Prénom : Faculté des sciences et ingénierie (Toulouse III) Année scolaire Département de mathématiques L3 MMESI 2011-2012 Analyse numérique I TP n o 3 Pivot de Gauss et décomposition LU Aller

Plus en détail

Puissances n-ieme d une matrice. Application aux systèmes linéaires. x + 2y = 6 Exemple : soit à résoudre le système linéaire ( )

Puissances n-ieme d une matrice. Application aux systèmes linéaires. x + 2y = 6 Exemple : soit à résoudre le système linéaire ( ) II Application aux systèmes linéaires { x + 2y = 6 Exemple : soit à résoudre le système linéaire où x et y sont les inconnues x + 2y = 5 x 6 On forme ensuite les matrices suivantes : A =, X = et B = Donc

Plus en détail

Notes de cours L1 LM 125. Sophie Chemla

Notes de cours L1 LM 125. Sophie Chemla Notes de cours L1 LM 125 Sophie Chemla 10 septembre 2009 2 Table des matières 1 Matrices 7 1.1 Matrices : définitions, opérations.................... 7 1.1.1 Définitions........................... 7 1.1.2

Plus en détail

TD-COURS 5 REVISIONS D ALGÈBRE 2 : MATRICES

TD-COURS 5 REVISIONS D ALGÈBRE 2 : MATRICES 22-10- 2011 JFC Mat p 1 TD-COURS 5 REVISIONS D ALGÈBRE 2 : MATRICES 2011-2012 LES NOTIONS Généralités (définition, matrices particulières) Opérations sur les matrices Matrice d une application linéaire

Plus en détail

Orsay IFIPS S2 Mathématiques (M160). Table des matières

Orsay IFIPS S2 Mathématiques (M160). Table des matières Orsay 2008-2009 IFIPS S2 Mathématiques (M60). COURS DE MATHÉMATIQUES : ALGÈBRE LINÉAIRE III. Table des matières. Opérations sur les matrices... Somme..2. Produit par un réel. 2.3. Produit de deux matrices.

Plus en détail

Déterminants. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Geoffriau

Déterminants. Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle F. Geoffriau Agrégation interne de Mathématiques Département de Mathématiques Université de La Rochelle 2006-2007 Déterminants Définition Déterminant d une matrice On définit par récurrence le déterminant, noté det(a),

Plus en détail

Algèbre linéaire pour GM Jeudi 07 novembre 2013 Prof. A. Abdulle. Exercice 1 Calculer les produits suivants en utilisant la multiplication par bloc :

Algèbre linéaire pour GM Jeudi 07 novembre 2013 Prof. A. Abdulle. Exercice 1 Calculer les produits suivants en utilisant la multiplication par bloc : Algèbre linéaire pour GM Jeudi 07 novembre 2013 Prof A Abdulle EPFL Série 7 Corrigé Exercice 1 Calculer les produits suivants en utilisant la multiplication par bloc : a b c 3 1 0 4 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1

Plus en détail