2 B DEVOIR N 1 29 SEPTEMBRE 2010
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- Léonie St-Jacques
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1 2 B DEVOIR N 1 29 SEPTEMBRE 2010 Durée : 50 min Calculatrice autorisée NOM : Prénom : Classe : «Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.» Aucun prêt n est autorisé entre les élèves. Bilan Algèbre Géométrie Rédaction / Présentation / 20 / 13 (+ 1 bonus) / 8 / 1 ALGEBRE 13 POINTS ( + 1 BONUS) Exercice 1-1 point - Écriture décimale 0, ,9 Plus petit ensemble (au sens de l inclusion) auquel appartient le nombre Entier et puissance de 10 Écriture scientifique Exercice 2-1 point - Donner 2 nombres qui appartiennent à Z et pas à N. Donner 2 nombres qui appartiennent à IQ et pas à D. 1er nombre 2ème nombre Exercice 3 - points - Résoudre les équations suivantes : 7(x 2) + 2(x + 5) = x x1 x 3 5 Exercice - 2 points - Résoudre l inéquation suivante : ( x 7) + 11x x + 6 Exercice 5-5 points (+1 bonus) - On considère A et B définies par : A( x) x( x 2) (2x 1)( x 2) et B( x) (2x 1)² ( x 3)² 1) Développer A(x) et B(x). 2) Factoriser A(x) et B(x). 3) Calculer A ( 2) et B( 2 2) (B : Bonus)
2 Exercice 6-3 points - On considère la figure suivante, où les droites (KL) et (AB) sont parallèles. On sait que, l unité étant le mm : GEOMETRIE 6 POINTS OA = 20 ; OD = 28 ; OB = 15 ; OK = 13 ; KC = 8. 1) Calculer OL en justifiant les étapes. 2) Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles? Justifier. Exercice 7-3 points - ABC est un triangle tel que AB= 6 cm, AC = 10 cm et BC = 8 cm E est le point du segment [AC] pour lequel AE 1 AC. Le cercle de diamètre [AE] coupe [AB] en F (La figure ci-contre n est pas à l échelle) 1) On veut démontrer que ABC est un triangle rectangle. a) Quelle propriété peut-on utiliser? b) Rédiger la démonstration en indiquant les calculs nécessaires 2) Démontrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles.
3 2 B CORRECTION - DEVOIR N 1 29 / 09 / 10 Exercice 1-1 point - Écriture décimale ALGEBRE 1 POINTS Plus petit ensemble (au sens de l inclusion) auquel appartient le nombre Entier et puissance de 10 Écriture scientifique 0,0053 D , ,9 D , Exercice 2-1 point - 1er nombre 2ème nombre Donner 2 nombres qui appartiennent à Z et pas à N. 2 Donner 2 nombres qui appartiennent à IQ et pas à D. 1/3 1/7 Exercice 3 - points- Résoudre les équations suivantes : 7(x 2) + 2(x + 5) = x 7 x 2 2 x 5 x 7x 1 2x 10 x 5x 2 x 5x x 2 x 2 2 x 6 S = { 6 } x1 x 3 5 5( x1) ( x ) ( x1) ( x) ( x1) ( x ) 60 5x 5 x16 60 x x x 39 S = { 39 } Exercice - 2 points - Résoudre l inéquation suivante : ( x 7) +11x x +2 ( x 7) 11 x x 6 x 28 11x x 6 15x 28 x 6 15x x x x 3 x x S ; 8
4 Exercice 5-6 points - On considère A et B définies par : A( x) x( x 2) (2x 1)( x 2) et B( x) (2x 1)² ( x 3)² 1) Développer A(x) et B(x). A( x) x( x 2) (2x 1)( x 2) B( x) (2x 1)² ( x 3)² x² 2 x (2 x² x x 2) ( x² x 1) ( x² 6x 9) x² 2x 2 x² x x 2 x² x 1 x² 6x 9 3 x² 5x 2 3 x² 2x8 A( x) 3 x² 5x 2 B( x) 3 x² 2x 8 2) Factoriser A(x) et B(x). A( x) x( x 2) (2x 1)( x 2) ( x 2)[ x (2x 1)] ( x 2)( x 2x 1) ( x 2)(3x1) A( x) ( x 2)(3x 1) 3) Calculer A ( 2) et B( 2 2) A( x) x( x 2) (2x 1)( x 2) 3 x² 5x 2 A( 2) 3( 2)² A( 2) 5 2 B( x) (2x 1)² ( x 3)² [(2x 1) ( x 3)][(2x 1) ( x 3)] (2x 1 x 3)(2x 1 x 3) ( x 2)(3x ) B( x) ( x 2)(3x ) B( x) (2x 1)² ( x 3)² ( x 2)(3x ) B( 2 2) ( 2 2 2)(3( 2 2) ) ( 2)(3 2 6 ) ( 2)(3 2 10) B( 2 2)
5 GEOMETRIE 6 POINTS Exercice 6 On considère la figure suivante, où les droites (KL) et (AB) sont parallèles. On sait que, l unité étant le mm : OA = 20 ; OD = 28 ; OB = 15 ; OK = 13 ; KC = 8. 1) Calculons OL en justifiant les étapes. On sait que : A, O et L alignés dans cet ordre B, O et K alignés dans cet ordre (AB) // (KL) Alors d après le théorème de Thalès AO OB AB On obtient OL OK KL OL OL Donc OL 3 2) Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles? On calcule les rapports suivants séparément : OA OD OB OC OA OB Comme OD OC A, O et D sont alignés dans cet ordre B, O et C sont alignés dans cet ordre Alors d après la réciproque du théorème de Thalès On obtient (AB) // (CD) OC OK KC car les points O, K et C sont alignés Exercice 7 ABC est un triangle tel que AB= 6 cm, AC = 10 cm et BC = 8 cm 1 E est le point du segment [AC] pour lequel AE AC. Le cercle de diamètre [AE] coupe [AB] en F (La figure ci-contre n est pas à l échelle) 1) On veut démontrer que ABC est un triangle rectangle. a) Quelle propriété peut-on utiliser? On peut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore b) Rédiger la démonstration en indiquant les calculs nécessaires On a : AB² + BC² = 6² + 8² =100 AC² =10² =100 Donc AB² + BC² = AC² Alors on applique la réciproque du théorème de Pythagore Donc ABC est un triangle rectangle en B 2) Démontrer que les droites (EF) et (BC) sont parallèles. On sait que F appartient au cercle de diamètre [AE] Or Si un triangle est inscrit dans un cercle et a pour côté un diamètre de ce cercle alors ce triangle est rectangle. Donc AEF est un triangle rectangle en F. Comme (EF ) (AB) et (CB) (AB), Or Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors ces deux droites sont parallèles. Donc (EF )//(BC)
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