Corrigés des épreuves de mathématiques sp (voie S et voie E)

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1 Mahémaiques voies S e E Corrigés des épreuves de mahémaiques sp (voie S e voie E) François Delaplace (voie E), Pierre Girard (voie S) Professeurs de mahémaiques en classes préparaoires économiques e commerciales, lycée Nore-Dame du Voie scienifique Numéro 38 Ocobre 5 Exrai graui de documen, le documen original compore pages.

2 5 cifiques à l EM Lyon Grandchamp (Versailles). Numéro 38 Ocobre 5 Exrai graui de documen, le documen original compore pages.

3 Numéro 38 Ocobre 5 Exrai graui de documen, le documen original compore pages.

4 Numéro 38 Ocobre 5 I- Éude de la suie de polynômes (T n) n N PREMIER PROBLÈME. En appliquan la définiion de la suie : T XT T X(X) 4X e T 3 X(4X }{{ } ) X 8X 3 4X T T. a. Monrons par récurrence sur n N la proposiion : P(n) Le monôme de plus hau degré de T n es n X n La proposiion es clairemen vraie pour n e pour n puisque T X e T X X. Soi n un enier naurel quelconque e fixé; Supposons que la proposiion P(k) soi vraie pour ou enier naurel k n ; Ce qui signifie que pour ou k n, il exise un polynôme U k de degré sricemen inférieur à k el que T k k X k + U k. E puisque P(n) e P(n ) son vraies, on a T n+ X ( n X n + U n ) ( ) n X n + U n c es à dire : T n+ n+ X n+ + ( XU n n X n U n ). Posons alors U n+ XU n n X n U n : On a deg(u n+ ) max ( deg(xu n ), deg( n X n ),deg(u n ) ) < max ( + (n ),n,n ) donc deg(u n+ ) < n e T n+ n+ + U n+. Ce qui prouve que la proposiion P(n + ) es vraie. Par le héorème de récurrence fore, on en dédui que Tn Tn n N, deg(t n ) n e son coefficien de degré n es n () b. Monrons par récurrence sur n N la proposiion : Q(n) T n ( X) ( ) n T n (X). La proposiion es clairemen vraie pour n e pour n puisque T e T X. Soi n un enier naurel quelconque e fixé; Supposons que la proposiion Q(k) soi vraie pour ou enier naurel k n ; On a alors : T n+ ( X) ( X)T n ( X) T n ( X) ( ) n+ XT n (X) ( ) n T n (X) ( ) n+ [XT n (X) T n (X)] ( ) n+ T n+ (X) Premier problème Ce qui prouve que la proposiion Q(n + ) es vraie. Par le héorème de récurrence fore, on en dédui que n N, T n ( X) ( ) n T n (X) () Conclusion : Si n es pair alors T n es pair e si n es impair alors T n es impair. 3. On peu faire quelques essais e s apercevoir que, pour n,, e 3, T n () n +. Monrons-le par récurrence : Soi R(n) T n () n. La proposiion es clairemen vraie pour n e pour n puisque T () e T ().. Soi n un enier naurel quelconque e fixé; Supposons que la proposiion R(k) soi vraie pour ou enier naurel k n ; On a alors : T n+ ().T n () T n () (n + ) n n + Ce qui prouve que la proposiion R(n + ) es vraie. Par le héorème de récurrence fore, on en dédui que n N, T n () n + (3) 4. a. On pourrai facilemen raisonner par récurrence mais pour changer, uilisons une méhode qui nous fera réviser une aure parie du programme. Posons, pour ou enier naurel : u n T n (cos θ) ; on définirai ainsi une suie numérique récurrene linéaire d ordre elle que : u T (cos θ), u T (cos θ) cos θ, n, u n cosθu n u n L équaion caracérisique de cee suie récurrene linéaire d ordre es : Z cos θz + son discriminan es 4(cos θ ) 4 sin θ < car θ ]; π[. Ses racines son donc : Z cos θ + i sin θ e iθ e Z cos θ i sin θ e iθ (puisque θ ]; π[, sin θ sin θ sin θ). Il exise donc deux consanes réelles A e B elles que n N, u n A cos nθ + B sin nθ. On rouve A e B en résolvan le sysème : { u A u cosθ A cos θ + B sin θ Ce qui donne immédiaemen : A e B cos θ (On rappelle que sinθ car θ ];π[) sin θ Finalemen : n N, u n cos nθ + cos θ cos nθ sin θ + sin nθ cos θ sin(n + )θ sin nθ sin θ sin θ sin θ En conclusion : T n (cos θ) sin(n + )θ sin θ π b. Soi n ; Pour ou réel θ k k. n + (avec k n) on a θ k ]; π[ e sin(n+)θ k sin kπ donc,d après la quesion précédene, k {,...,n} T n [cos θ k ]. cos θ,...,cos θ n son donc n racines réelles de T n. Elles son disinces car la foncion cos es sricemen décroissane sur ];π[. T n éan de degré n d après la quesion )a), On en dédui que l on a là oues les racines de T n. ( ) ( ) π nπ Conclusion : n N, T n a n racines : cos,...,cos n + n + (4) Exrai graui de documen, le documen original compore pages.

5 Numéro 38 Ocobre 5 c. Pour ( ou ) enier n (, T n ) es de degré n, de coefficien dominan n e de racines θ nθ cos,...,cos, donc, d après le héorème de facorisaion des polynômes : n + n + n ( ) T n n kπ X cos n + k n d. En pariculier, pour X, T n () n kπ ( cos ), d où, compe enu de (3) : n + k n + n n k ( ) sin kπ,d où : (n + ) sin kπ (n+) n ( sin kπ (n + ) k n ( ) kπ n + sin (n + ) 4 n k ) n + 4 n c es à dire : 5. a. Comme indiqué dans l énoncé, uilisons la foncion g : θ sin θ T n (cos θ) sin(n + )θ. Cee foncion es bien la foncion nulle d après (4) elle es donc deux fois dérivable sur ]; π[ avec, successivemen : g (θ) cos θ T n (θ) sin θ T n(θ) (n + ) cos(n + )θ g (θ) sin θt n (cos θ) sin θ cos θt n(cos θ) sin θ cos θt n(cos θ) sin 3 θt n(cos θ) + (n + ) sin(n + )θ sin θ.tn(cos θ) C es à dire : g (θ) sin θ [ T n (cos θ) + 3 cosθt n(cos θ) sin θt n(cos θ) (n + ) T n (cos θ) ] En simplifian par le réel non nul ( sin θ), on en dédui que, pour ou θ de ];π[, c es à dire : T n (cos θ) + 3 cosθt n(cos θ) sin θt n(cos θ) (n + ) T n (cos θ) sin θt n(cos θ) 3 cos θt n(cos θ) + (n + n)t n (cos θ) b. On en dédui que, pour ou u de ] ; [, puisque cosθ décri ] ; [ lorsque θ décri ]; π[, ( u )T n(u) 3uT n(u) + (n + n)t n (u) D où enfin : u ] ; [, (u )T n(u) + 3uT n(u) (n + n)t n (u) Le polynôme (X )T n + 3XT n (n + n)t n a donc une infinié de racines, c es donc le polynôme nul. Conclusion : n N, (X )T n + 3XT n (n + n)t n II-. On noe déjà que si P es un élémen de E alors P e P son des élémens de E donc L(P) es aussi un élémen de E. Deplus, si P e Q son des élémens de E e si k es un réel alors L(kP + Q) (X )(kp + Q ) + 3X(kP + Q ) k [ (X )P + 3XP ] + (X )Q + 3XQ kl(p) + L(Q) Ce qui perme de conclure que L es un endomorphisme de E. a. Pour ou k de {,,...,n}, L(T k ) (X )T k + 3XT k donc, d après I-5-b, L(T k ) (k + k)t k b. Aucun des polynômes T k n éan nuls, on en dédui que k {,,...,n} T k es un veceur propre de L associé à la valeur propre k + k. Les nombres k + k éan ous disincs lorsque k décri {,,...,n} (par exemple parce que l applicaion + es sricemen croissane sur R + ), on en dédui que L a (n+) valeurs propres disinces e puisque c es un endomorphisme d un espace vecoriel de dimension n +, il es donc diagonalisable; le sous-espace propre associé à la valeur propre k + k éan vec{t k } (donc de dimension ). III-. Soien P, Q e R rois élémens de E e k un réel. D une par ϕ(p,q) es bien un réel (Il s agi de l inégrale d une foncion coninue sur [ ; ]), d aure par ϕ(kp + Q,R) x (kp(x) + Q(x))R(x)dx k x (kp(x)r(x) + Q(x)R(x)) dx x P(x)R(x)dx + x Q(x)R(x)dx kϕ(p,r) + ϕ(q,r) e ϕ(p,q) x P(x)Q(x)dx x Q(x)P(x)dx ϕ(q,p) ϕ es donc une forme bilinéaire symérique sur E e ϕ(p,p) x P (x) dx car c es l inégrale d une foncion posiive e coninue sur [ ; ]. Enfin, si ϕ(p, P) alors x P (x) dx or l inégrale d une foncion coninue posiive sur un segmen n es nulle que si cee foncion es nulle sur ce segmen; ce qui signifie ici que x [ ; ] x P (x) donc x ] ; [ P (x) donc P es nul sur ] ; [, il a donc une infinié de racine : c es donc le polynôme nul. Conclusion : (ϕ(p,p) ) (P ) Tous ces résulas nous démonren bien que ϕ es un produi scalaire sur E Exrai graui de documen, le documen original compore pages.

6 Numéro 38 Ocobre 5. Par inégraion par paries : u : x u(x) ( x ) 3 P (x) e Q son de classe C sur [ ; ], u (x) 3x( x ) P (x) ( x ) 3 P (x) ( x ) [3xP (x) ( x )P (x)] ϕ (L(P),Q) x [L(P)](x)Q(x) dx C es à dire : x [(x )P (x) + 3xP (x)]q(x) dx x [ ( x )P (x) + 3xP (x)]q(x)dx u (x)q(x)dx u()q() u( )Q( ) ( x ) 3 P (x)q (x) dx ϕ (L(P),Q) ( x ) 3 P (x)q (x)dx u(x)q (x) dx Par le même calcul e en échangean les rôles de P e Q, on rouverai : ( x ) 3 Q (x)p (x) dx ϕ (L(Q),P) ; on a donc bien : ϕ (L(P),Q) ϕ (P, L(Q)) 3. L es donc un endomorphisme symérique de E. On sai alors que des veceurs propres de L associés à des valeurs propres disinces formeron oujours une famille libre orhogonale; c es le cas de {T,...,T n } qui es donc une famille libre e orhogonale; puisqu elle conien n + élémens de E qui es de dimension n +, on en conclu que {T,...,T n } es une base orhogonale de E 4. DEUXIÈME PROBLÈME I-. La foncion à inégrer es clairemen coninue sur [;π], on effecue alors une inégraion par paries en posan u() π e v() n sin(n), on défini des foncions de classe C sur [;π] e : ( ) [( )( )] π π cos(n)d π n sin(n) n ( ) n π sin(n) d ( ) π sin(n) d De la même façon, on effecue une inégraion par paries en posan u () π e v () n cos(n), on défini des foncions de classe C sur [; π] e : ( ) [( )( π sin(n)d π )] π n cos(n) + n Finalemen, n + ( ) π cos(n) d n π cos(n)d. De façon classique, aucun des dénominaeurs des fracions suivanes n éan nuls car ], π], Finalemen eim e i e i sin(m/) On a alors : cos(n) n n e im eim (e im/ e im/ ) e i e i (e i/ e i/ ) i sin(m/) i sin(/) ei(m ) sin(m/) sin(/) ei(m ) sin(/) ei(m+) ( m ) Re(e in ) Re (e i ) n e en uilisan les propriéés des n suies géomériques de raison différene de : ) ( cos(n) Re (e i ein sin(m/) Re e i En conclusion : n n cos(n) sin(m ) sin( ) cos(m + ) sin(/) ei(m+) 3. Soi v : λ cos(λ), u e v son de classe C e v () sin(λ) donc avec une inégraion par paries : Deuxième problème ) u() sin(λ)d u(π)v(π) u()v() + u () cos(λ)d λ u(π) u() cos(λπ) + λ λ + u () cos(λ)d λ Exrai graui de documen, le documen original compore pages.

7 Numéro 38 Ocobre 5 Or, pour ou λ >, u(π) λ u() cos(λπ) + λ u() cos(λπ) + u(π) + u() λ On en dédui que lim u(π) par le héorème d encadremen des li- λ + λ λ mies. De même π u () cos(λ)d λ u () cos(λ) d u () d; puisque λ λ π u π () d es un réel indépendan de λ, on en dédui que lim u () d Finalemen, on a λ + λ bien lim λ + u() sin(λ)d 4. Nous allons appliquer ici le héorème mal nommé du prolongemen des foncions de classes C : i. f es C sur ]; π] comme quoien de deux foncions C sur ]; π] don le dénominaeur ne s annule pas. En effe, sur ]; π ], la foncion sin ne s annule pas donc sur ];π], la foncion sin ne s annule pas non plus. ii. f es coninue en ; en effe d une par π, d aure par sin donc f(). Ainsi limf() f(). D où la coninuié de f en e donc sur [;π] (puisque, f éan C sur ];π], es aussi coninue sur ];π]). iii. Enfin f a une limie en + ; En effe : ]; π], f () ( π ) sin ( π ) cos sin ( π )( + o( )) ( π )( 4 + o( )) + o( ) π 4π o( ) + o( ) c es à dire f (). D où enfin : π lim f () De ces rois poins, on dédui de ce héorème que : π f es C sur [;π] e f () π 4π 5. a) En uilisan la quesion, la quesion e la linéarié de l inégraion, on écri : m N, n n ( ) π cos(n) d ( ) π cos(n) d n ( ) m π cos(n) d n ( ) sin(m π n ) sin( ) cos(m + ) d f() sin(m ) cos(m + ) f() sin f() sin f() sin sin(m+) sin (m + ) d d f() sin d }{{ } π ] π (m + ) d [ 3 6π (m + ) d + π 6 b) f éan de classe C d après la quesion 4, nous savons d après la quesion 3 (avec u f (m + ) π (m + ) e λ ) que lim f() sin d. Il s en sui que m + n a une n limie lorsque n + (mais nous le savions déjà par un héorème sur les séries de référence...) e que : n n π 6 II-. a) Clairemen : pour ou couple (x,y) de ([; + [), la série de erme général (n + x)(n + y) es à ermes posiifs e (n + x)(n + y) n + n e puisque la série es une série de n Riemann convergene, le crière d équivalence des séries à ermes posiifs perme d affirmer que la série converge. Un raisonnemen analogue perme d affirmer de (n + x)(n + y) même que la série (n + x) (n + y) converge. b) ( n ) x donc la série converge d après )a) avec y. n + x n(n + x). S() ( n ) N ( e N N n n ) n + N + n ainsi, S() lim N + N +. Exrai graui de documen, le documen original compore pages.

8 Numéro 38 Ocobre 5 3. a. Puisque oues les séries en présence son convergenes, on peu écrire : (x,y) de ([; + [) S(y) S(x) ( n ) ( n + y n ) n + x n n ( n + x ) y x n + y (n + x)(n + y) n n (y x) (n + x)(n + y) n b. On en dédui, puisque x e y son posiifs : S(y) S(x) (y x) (n + x)(n + y) y x e donc, d après I-5 -b) : n n n S(y) S(x) π y x 6 c. Soi x un réel posiif fixé. D après ce qui précède, pour ou réel posiif y : S(y) S(x ) π 6 y x or le membre de droie de cee inégalié end vers lorque y end vers x, ainsi, par le héorème d encadremen des limies : lim S(y) S(x ) e donc lim S(y) S(x ). y x y x C es la preuve que S es coninue en x. Ceci éan vrai pour ou x de R +, on peu en déduire que S es coninue sur R +. S(y) S(x) 4. a. En reprenan 3 a) : (x,y) de ([; + [) y x puisque oues les séries en présence son convergenes : S(y) S(x) y x n (n + x) [ n n y x n y x n n (n + x)(n + y) (n + x) (n + y) (n + x) (n + y) (n + x) (n + y) n 3 (n + x)(n + y) Donc, (n + x) (x e y éan posiifs). b. Pour x fixé dans R +, faisan endre y vers x dans le membre de droie de l inégalié précédene, le héorème d encadremen des limies perme d affirmer que : lim y x S(y) S(x) y x n (n + x) e donc lim y x S(y) S(x) y x preuve que la foncion S es dérivable en ou x de R + avec : S (x) n (n + x) n ] (n + x). C es la c. En remplaçan dans l égalié précédene x par, il vien immédiaemen, d après I-5 )b) : S () π 6. De même, avec x : S () n (n + ) n n, c es à dire : S () π 6 5. Clairemen, la série donnan S (x) es convergene e à erme posiifs, donc S e donc S es concave. (en noan ou de même que pour êre ou à fai en règle avec le programme officiel, il aurai fallu admere que S soi de classe C sur R + ) 6. a) Soi A > la foncion ϕ es une foncion raionnelle sur [; + [, elle es coninue sur A [,A] e l inégrale ϕ() d exise e vau : ( ) A [ln() ln( + x)] A ln(a) ln(a + x) ln + ln( + x) ln + ln( + x) ( ) A + x A A A or lim donc lim A + A + x ln, ainsi : lim ϕ()d exise e vau A + A + x A + ln( + x) : + ϕ()d ln( + x) b) Si ϕ () + ( + x) <. Donc ϕ es décroissane sur [; + [ e n N, [n; n + ], ϕ(n + ) ϕ() ϕ(n). On peu alors inégrer ce encadremen sur [n,n+], les bornes éan dans le bon sens : ϕ(n + ) n+ n varian de à N : ϕ()d ϕ(n), e pour N N, sommons ce encadremen pour n ϕ(n + ) n n c es à dire, par la relaion de Chasles : d où : ϕ(n + ) n N+ ϕ(n) n n+ n N+ N+ ϕ()d ϕ()d ϕ()d ϕ(n) n ϕ(n) n ϕ(n) Les rois membres de ce encadremen convergen lorsque N end vers + donc : ou encore : S(x) ϕ() + (car ϕ() ) + x c) En uilisan le résula de 6 )a) : + ϕ() d S(x) + n ϕ()d S(x) + ln( + x) S(x) + ln( + x) ϕ() d Exrai graui de documen, le documen original compore pages.