Baccalauréat S - Révisions de Printemps - VRAI-FAUX Correction Mai 2015

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1 Baccalauréat S - Révisions de Printemps - VRAI-FAUX 14 - Correction Mai 15 Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Pour montrer qu une proposition est fausse, un contre-exemple suffit. Par contre, pour montrer qu une proposition est vraie, il faut montrer qu elle est toujours vraie quelle que soit la suite, la fonction, pour tout n, pour tout x de l ensemble considéré, etc. Pondichéry 8 avril 14 - Exercice 4 points 1. Proposition 1 : Toute suite positive croissante tend vers +. FAUX. La suite 1 est positive, strictement croissante et tend vers. n+1 n N Une suite constante positive constituait ici aussi un contre-exemple suffisant.. g est la fonction définie sur ; + par gx = xlnx+1. Proposition : Sur ; +, l équation gx = x a une unique solution : e 1. FAUX. x = est aussi solution de gx = x sur ; +. Proposition 3 : Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction g au point d abscisse 1 est : 1+ln4. VRAI. g est dérivable sur ; + *, et on a : { u = x v = lnx+1 = lnw { w = x+1 > g x = u v +uv avec u et = v = w w = avec w. = x+1 D où g x = lnx+1+x 4x = lnx+1+ x+1 x+1. 1 Donc g = ln+ = ln+1 = ln +1 = 1+ln4. * en tant que produit de x x et x lnx+1 toutes deux dérivables sur ; +. x lnx+1 est en effet dérivable sur ; + en tant que composée de x x+1, dérivable sur ; + et à valeurs dans R +, par X lnx dérivable sur R +. Cette partie est en * car elle est au dessus des attendus du bac dans le cadre de ce vrai-faux. 3. L espace est muni d un repère orthonormé O, ı, j, k. P et R sont les plans d équations respectives : x+3y z 11 = et x+y +5z 11 =. Proposition 4 : Les plans P et R se coupent perpendiculairement. VRAI. Le plan P d équation x+3y z 11 = a pour vecteur normal n P ;3; 1. Le plan R d équation x+y +5z 11 = a pour vecteur normal n R 1;1;5. Le produit scalaire de ces deux vecteurs est = donc les deux vecteurs sont orthogonaux et donc les deux plans P et R sont perpendiculaires.

2 Liban 7 mai 14 - Exercice On se place dans l espace muni d un repère orthonormé. On considère le plan P d équation x y + 3z + 1 = x = t et la droite D dont une représentation paramétrique est y = 1+t, t R z = 5+3t On donne les points A1 ; 1;, B3 ; ; 1 et C7 ;1 ; x = 5 t Proposition 1 : Une représentation paramétrique de la droite AB est y = 1+t, t R z = +t VRAI. Il suffit de vérifier que les coordonnées des deux points A et B vérifient le système formé des trois équations paramétriques. Pour t = on retrouve les coordonnées du point A, et pour t = 1 celles du point B. Proposition : Les droites D et AB sont orthogonales. VRAI. D est dirigée par d de coordonnées, 1, 3 et AB par AB de coordonnées, 1, 1. Or AB d = =, les vecteurs AB et d sont donc orthogonaux, les droites D et AB sont donc bien orthogonales. Proposition 3 : Les droites D et AB sont coplanaires. FAUX. Pour savoir si ces deux droites sont coplanaires, il suffit de savoir si elles sont sécantes, car étant orthogonales elles ne pourront pas être parallèles. Pour cela on résout le système t = 5 t 1 1+t = 1+t 5+3t = +t 3 En soustrayant membre à membre 3 et, il vient t 6 = 1 soit t = 5. On remplace dans : t = +t = + 5 = 9. On vérifie dans 1 : t = 5, alors que 5 t = 5 9 = 4. Ce qui signifie que ce système n a pas de solution. Puisque ces deux droites sont orthogonales et non sécantes, elles seront donc non coplanaires. Proposition 4 : La droite D coupe le plan P au point E de coordonnées 8; 3; 4. FAUX. On vérifie facilement que E P, mais E / D. En effet, si on résout le système 8 = t 3 = 1+t 4 = 5+3t On trouve que t = 4 dans la première équation, valeur qui ne convient pas dans la seconde équation. Proposition 5 : Les plans P et ABC sont parallèles. VRAI. Le vecteur n de coordonnées 1, 1, 3 est un vecteur normal au plan P. Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées respectives, 1, 1 et 6,,, d où n AB = +1 3 = et n AC = 6+ 6 = n est donc normal au plan ABC. P et ABC ayant un vecteur normal commun sont donc parallèles.

3 Polynésie 13 juin 14 - Exercice 3 1. Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre. Lorsqu il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans 8% des cas. Lorsqu il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à,6. Affirmation n o 1 : «Zoé utilise la voiture un jour sur deux.» VRAI,8 V,5 Pl, P,4 V,75 Pl,6 P Pl: «il pleut»; V : «en voiture»; P : «à pied» On cherche pv : pv = pv Pl+pV Pl = p Pl V ppl+p Pl V ppl =,8,5+,4,75 =,5 «Zoé utilise la voiture un jour sur deux.» Ou plutôt : la probabilité de l événement «Zoé utilise la voiture» est 1.. Dans l ensemble E des issues d une expérience aléatoire, on considère deux évènements A et B. Affirmation n o : «Si A et B sont indépendants, alors A et B sont aussi indépendants.» VRAI A et B sont indépendants signifie que pa B = pa pb : On a pa = pa B+pA B = pa pb+pa B Donc pa B = pa pa pb = pa1 pb = pa pb Donc «si A et B sont indépendants, alors A et B sont aussi indépendants.» C est une R.O.C. 3. On modélise le temps d attente, exprimé en minutes, à un guichet, par une variable aléatoire T qui suit la loi exponentielle de paramètre,7. Affirmation n o 3 : «La probabilité qu un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est,7 environ.» 5 FAUX : pt 5 =,7e,7x dx = [ e,7x] 5 = 1 e,7 5,97 La probabilité qu un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est : pt > 5 = 1 pt 5,3 Ou directement pt > 5 = e,7 5,3 Affirmation n o 4 : «Le temps d attente moyen à ce guichet est de sept minutes.» FAUX : EX = 1 λ = 1,7 1,4 Le temps d attente moyen à ce guichet est d environ 1 minute et demi. 4. On sait que 39% de la population française est du groupe sanguin A+. On cherche à savoir si cette proportion est la même parmi les donneurs de sang. On interroge 183 donneurs de sang et parmi eux, 34% sont du groupe sanguin A+. Affirmation n o 5 : «On ne peut pas rejeter, au seuil de 5%, l hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39% comme dans l ensemble de la population.» VRAI : La proportion de personnes de groupe sanguin A+ dans la population française est p =,39. La taille de l échantillon est n = 183 3; np = 183,39 = 71,37 5 et n1 p = 183 1,39 = 111,63 5. Donc on peut déterminer l intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 5% de la proportion de personnes ayant un groupe sanguin A+ : I = [ p 1,96 I [,319;,461 ] p1 p n ; p+1,96 p1 p n ] = [,39 1,96 ],39,61,39,61 ;,39+1, Or,34 I, donc on ne peut pas rejeter, au seuil de 5%, l hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39% comme dans l ensemble de la population.

4 Antilles-Guyane 19 juin 14 - Exercice 3 L espace est muni d un repère orthonormé O, ı, j, k On considère les points A1; ; 5, B 1 ; 6 ; 4, C7 ; 1 ; 8 et D 1 ; 3 ; points 1. Proposition 1 : Les points A, B et C définissent un plan. FAUX : en effet, on a : AB ; 4 ; 1 et AC 6 ; 1 ; 3, ces deux vecteurs sont colinéaires car AC = 3 AB, donc les trois points A, B et C sont alignés et ne définissent pas un plan.. On admet que les points A, B et D définissent un plan. Proposition : Une équation cartésienne du plan ABD est x z +9 =. VRAI : on vérifie aisément que les coordonnées de chacun des points A, B et D vérifient l équation x z +9 =. A titre d exercice, recherchons quand-même une équation de ABD : On a AD ; 1 ; 1 et AB ; 4 ; 1 non colinéaires. Soit na { n ; b ; c un vecteur normal à ABD. { AD = a+b c = On a n AD = a+4b c = Posons a = 1 par exemple. Il vient { b c = 4b c =. D où 3b = puis b = en soustrayant membre à membre puis c =. n1 ; ; convient. Donc ABD : x z +d =. Or A1; ; 5 ABD, donc 1 1+d = d = 9 et ABD : x z +9 =. 3. Proposition 3 : Une représentation paramétrique de la droite AC est x = 3 t 5 y = 3t+14 z = 3 t+ FAUX : la droite dont la représentation paramétrique est donnée dans l énoncé est dirigée par le vecteur 3 u ; 3 ; 3, ce vecteur n étant pas colinéaire à AC, il ne peut diriger AC. Une autre manière est de chercher t pour que A vérifie le système : les deux premières équations donnent t = 4, mais t = 4 pour la dernière! 4. SoitP le plan d équation cartésiennex y+5z+7 = etp le plan d équation cartésienne 3x y+z+5 =. Proposition 4 : Les plans P et P sont parallèles. FAUX : le plan P a pour vecteur normal n ; 1; 5, le plan P a pour vecteur normal n 3; 1; 1. Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, donc les deux plans ne sont pas parallèles. t R

5 Nouvelle-Calédonie 17 novembre 14 - Exercice Dans les questions 1. et., le plan est rapporté au repère orthonormé direct On désigne par R l ensemble des nombres réels. O, u, v. 1. Affirmation 1 : Le point d affixe 1+i 1 est situé sur l axe imaginaire. VRAI : z = 1+i 1 = 1+i 5 ; 1+i = i donc z = i 5 = 3i 5 i = 1 donc i 4 = 1 et donc i 5 = i; on en déduit que z = 3i qui est un imaginaire pur. Ou 1+i = + i = e iπ 4 et 1+i 1 = e i π 4 1 = 1 e iπ 4 1 = 5 e i5π = 3e iπ = 3i.. Affirmation : Dans l ensemble des nombres complexes, l équation z z + 4i = admet une solution unique. FAUX : On écrit z sous la forme a+ib où a et b sont des réels et on résout l équation E : z z+ 4i = E a+ib a+ib+ 4i = a+ib a ib+ 4i = a+ib a+ib+ 4i = ib+ 4i = b 4i = ce qui est impossible. 3. Affirmation 3 : ln e 7 + ln e 9 lne = eln+ln3 e ln3 ln4 VRAI : ln e 7 = 1 ln e 7 = 7 ; ln e 9 = 9 et ln e = donc ln e 9 Donc ln e 7 + ln e 9 lne = = 16 = 8 lne = 9 ln+ln3 = ln 3 = ln6 donc e ln+ln3 = e ln6 = 6; ln3 ln4 = ln 3 4 donc eln3 ln4 = e ln 3 4 = 3 4 Donc eln+ln3 e ln3 ln4 = 6 = = 8 également. 4 ln3 e x 3 4. Affirmation 4 : e x dx = ln + 5 VRAI : Soit u la fonction définie sur R par ux = e x +; cette fonction est dérivable sur R et u x = e x. De plus cette fonction est strictement positive sur R. Une primitive de x ex e x + = u x ux est x lnux = lnex + sur R. Donc ln3 e x e x + dx = [lnex +] ln3 = ln e ln3 + = ln3+ ln1+ = ln5 ln3 = ln3 ln5 = ln 3 5 ln e + 5. Affirmation 5 : L équation lnx 1 lnx+ = ln4 admet une solution unique dans R. FAUX : L expression lnx 1 lnx + n existe que si x 1 > et x + > donc on va résoudre l équation lnx 1 lnx+ = ln4 dans l intervalle I = ]1; + [. lnx 1 lnx+ = ln4 ln x 1 x 1 = ln4 x+ x+ = 4 x 1 = 4x+ et x 3x = 9 x = 3 sur I. Mais 3 I donc l équation n a pas de solution dans R.