COURS DE MECANIQUE. 2ème année AVANT-PROPOS. Catherine POTEL, Philippe GATIGNOL. Chapitre 5. L'ENERGIE EN MECANIQUE DU SOLIDE

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1 VNT-PROPOS COURS DE MECNIQUE ème année note que la numéotaton des paagaphes adoptée c est calquée su celle du cous oal afn de faclte le suv du cous magstal, mas ne épond pas au nomes de pésentaton usuelles d'un document éct Cathene POTEL, Phlppe GTIGNOL Chapte 5 L'ENERGIE EN MECNIQUE DU SOLIDE Unvesté du Mane - UFR Scences et Technques Cathene Potel, Phlppe Gatgnol Unvesté du Mane, Le Mans Cathene Potel, Phlppe Gatgnol Unvesté du Mane, Le Mans

2 Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS Les ponts mpotants de ce chapte sont : La pussance et le taval d'une foce Le théoème de l'énege cnétque 3 Cas d'actons s'eeçant su un système gde F HG Hypothèse : les foces, F solde S en mouvement pa appot à un epèe R o I J d'un ensemble F s'applquent au ponts d'un même I RETOUR SUR L PUISSNCE On a déjà vu au Chapte, V, la pussance des actons d'un solde su un aute en lason sans fottement, elatvement à un epèe, pa antcpaton su le pésent chapte Pussance d'une foce Sot une foce F applquée en un pont en mouvement pa appot à un epèe R = do, B Défnton : On défnt la "pussance de la foce F applquée en elatvement au epèe R " pa le podut scalae : P F / R = F V / R La pussance, ans défne, dépend donc : - de la foce consdéée, - du pont d'applcaton, - du epèe R Cas généal d'un système défomable Dans le cas d'un ensemble de foces d d (5) F HG, F I J applquées au ponts d'un système Σ, la pussance totale est défne comme la somme des pussances de chacune des foces On peut donc en donne la défnton suvante : Défnton : la pussance d'un ensemble de foces F = F H G I J, F applquées au ponts d'un système Σ dans son mouvement pa appot à un epèe R est égale à la somme des pussances de chacune des foces : n PF Σ / R = F V / R (5) d d = La pussance de l'ensemble F de foces consdéées s'éct alos : PF d S/ R = F VdS/ R o, (53) où VdS / R oest le toseu dstbuteu des vtesses pou le mouvement du solde S pa appot au epèe R o Dans le cas des actons d'un solde S su un solde S, elatvement au epèe R, la elaton (53) peut donc s'éce P S S / R = S S V R R (54) On peut également éce : ( ) { } ( ) / ( S/ R ) = R( F )V ( P S/ R ) + M P ( F ) Ω( B B ) P F où B est la base assocée au epèe lé au solde S / Notatons : On a vu au chapte, que, s les composantes de la ésultante RF moment au pont P M P bf Sg du toseu { F S} su la même base B sont RF b Sg X M PbF Sg L Y et M, B Z B N R X LU alos on peut auss note lf Sq = S Y MV P Z N B S, de plus, les composantes du vecteu otaton ( ) T W b, (55) Sg et du Ω B/B et de la vtesse du pont P appatenant à S pa appot au epèe R sont notées Ω ( B / B ) ω V( P S/ R ) v ω v ω y et v y alos V = ω y v y B ω B v P ω v B La elaton (55) s'éct donc P F S/ R = Xv + Yv + Zv + Lω + Mω + ω (56) ( ) y y N Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans

3 Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS 4 Pussance des effots ntéeus à un système a) Cas généal En généal, la pussance des foces ntéeues à un système Σ est dfféente de d d d (58) P F, F / R = F V / R V / R = Ce ésultat se généalse mmédatement au cas d'un système consttué de n ponts et l'on est condut à l'énoncé suvant : F F Fgue 5 Consdéons d'abod un système Σ consttué de deu ponts et (fgue 5) Σ est soums à des actons etéeues qu se tadusent pa des foces applquées à et à, et à des actons ntéeues qu sont les foces d'nteacton ente les deu ponts Désgnons ces denèes pa F et F En vetu du pncpe d'acton-éacton, ces foces sont opposées : F = F S Σ est en mouvement pa appot à un epèe R (fgue 5), la pussance totale de ces deu foces, ntéeues à Σ, pa appot à R est donnée pa : La pussance totale des nteactons ntéeues à un solde gde est nulle pa appot à tout epèe de éféence c) Retou au cas généal Coollae : La pussance totale des nteactons ntéeues à un système quelconque est ndépendante du epèe pa appot auquel est étudé le mouvement, et pa sute : d nt d nt, (59) PF Σ/ R = PF Σ/ R P ( F,F / R ) = F V( / R ) + F V( / R ) = F / R ) V( / R ) F F [ ] V V( R/ ) o (57) où F nt désgne les nteactons ntéeues à un système quelconque D'apès le pncpe de l'acton-éacton, on a donc pou le toseu :Fnt = O En effet, sot un ensemble de foces de toseu F applquées à un système quelconque Σ (défomable en généal) Soent R et R deu epèes d'obsevaton pou le mouvement de Σ Pou chaque pont de Σ, le théoème de composton des vtesses s'éct : d d d v v v V/ R = V/ R + V R / R (5) V( / ) R o Fgue 5 On en dédut la elaton coespondante pou les pussances du toseu de foces F : Dans le cas généal, le vecteu V est non nul et l n'est même pas pependculae à F comme dans le cas d'un solde en ason de l'équpojectvté Pa conséquent, la pussance de ces foces ntéeues à Σ est dfféente de b) Cas d'un solde gde S les deu ponts et sont en mouvement de solde gde, leu dstance est constante et leus vecteus vtesses, pa appot à un epèe quelconque, véfent la popété d'équpojectvté Comme la foce ntéeue F admet la dote d comme suppot d'apès le pncpe d'acton-éacton, on a dans ce cas : d d d (5) PF Σ/ R = PF Σ/ R + PF Σ R / R Dans le second teme du second membe, le système Σ R auquel sont applquées les foces F est "soldfé" dans le epèe d'entaînement R (système "coïncdent") La pussance coespondante s'éca donc, en applquant l'équaton (53) : d d (5) P F R / R = F V R / R Σ Dans le cas patcule où le toseu F est nul, ce qu est le cas pou l'ensemble des foces ntéeues au système Σ, on aua : Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans

4 Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS et pa sute : d, (53-a) PF Σ R / R = d d (53-b) PF Σ/ R = PF Σ/ R Coollae : La pussance totale des nteactons ntéeues à un système quelconque est ndépendante du epèe pa appot auquel est étudé le mouvement et pa sute : PF Σ/ R = PF Σ/ R d nt d nt (54) Concluson : La pussance d'un toseu de foces nul n'est pas nulle en généal, mas elle est ndépendante du epèe d'obsevaton Eemple : Cas de deu soldes S et S en contact ponctuel Σ est c consttué des deu soldes S et S en contact ponctuel au pont (vo fgue 53) R d F S S S fgue 53 d V / R d S F S S Les nteactons de contact ente S et S au pont se tadusent pa deu foces FS d S et FS d S applquées au pont, ou, plus pécsément, au pont pou FS d S et au pont pou FS d S Ces deu foces sont opposées en vetu du pncpe d'acton-éacton La pussance totale de ces deu foces ne dépendant pas du epèe, on peut l'évalue pa appot à un epèe R lé à S P ( S S ) = P ( S S / R) + P ( S S / R) = F( S S ) V( / R) + F( S S) V( / R), où la notaton ( S ) (55) P S désgne la pussance des foces ntéeues au système consttué des soldes S et S La vtesse de étant nulle pa appot au epèe R, la pussance totale se édut donc à la seule pussance de FS d S pa appot à R On econnaît pa alleus dans V d / R la vtesse de glssement au pont du solde S pa appot au solde S Cette vtesse est stuée dans le plan tangent commun au deu soldes en Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS S le contact est sans fottement, FS d S est nomale au plan tangent Pa sute le podut scalae est nul : P S S = d (56-a) S le contact est sans glssement, la vtesse V / R également P S S = d est nulle et l'on a, dans ce cas d (56-b) Dans chacun de ces cas, la lason s'effectue sans consommaton d'énege : on dt qu'elle est consevatve Pou une lason avec fottement (de coeffcent de fottement f ) et avec glssement, en vetu des los de Coulomb, on a : La lason est alos consommatce d'énege II TRVIL P Taval d'une foce d d d S S = T S S V / R < (57) Défnton : Le taval d'une foce s'eeçant su un pont pou un déplacement fn de ce pont le long de sa tajectoe C, losque s'est déplacé du pont au pont, est défn pa : où δw ( F / R ) pou un déplacement élémentae d O / ( C ) = δw ( F R ) W /, (58) désgne le "taval élémentae" de la foce F applquée au pont B O et de base assocée B Ce taval élémentae est tel que δw F / R = Fd O de ce pont pa appot au epèe R d'ogne ( ) / B d / B où O = V( / R ) d t, (59) (5) Le epot de la elaton (59) dans l'epesson (58) du taval s'éct W ( ) = C F d O / B, (5) Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans

5 Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS sot, en utlsant la défnton (5) de la pussance de la foce F applquée en elatvement au epèe R : t W ( ) = ( ) C P F / R t d t (5) o C C ' Fgue 54 ( C ) W dépend de manèe essentelle du tajet C suv pa le pont pou alle de à (Fgue 54) En généal, le taval de F ente ces deu postons ne sea pas le même selon que sut le tajet C ou le tajet C ' : ( C ) W ( C ') W (53) Cas d'un champ de foces à potentel a) Potentel et énege potentelle ) Potentel (eemples) Le potentel est une popété de "l'espace" consdéé (assocé à la gavté, l'électostatque, le noyau atomque, l'élastcté, ) qu est évélée pa l'acton qu'l eece su une "sonde" g Fgue 55 ns, l'estence de la gavté (potentel) est-elle évélée pa une masse (sonde) (fgue 55), et le pods P (l'acton) de la masse est tel que, pou l'oentaton etenue pou l'ae (vo dscusson IId) P = m g = m gad ( g ) { U où U est un potentel auquel est assocée la foncton de foce suvant) dont déve le pods P E Fgue 56, (54) U = m g (vo IIc De même, l'estence d'un champ électque E (déve d'un potentel, cas du condensateu plan su la fgue 56) est évélée pa une sonde (chage électque ponctuelle), et la foce F (l'acton) coespondante est telle que F = q E = q gad ( V), (55) 3 où U est un potentel dont déve le champ électque E, V désgnant le potentel électque qu ègne dans l'espace nteélectode (ente l'électode chagée postvement et celle chagée négatvement su la fgue 56) U ) Enege potentelle (eemple) L'énege potentelle est une énege (aute que cnétque notamment) emmagasnée (c'est-àde eçue) pa un système, qu ne dépend que de son "état" (c'est-à-de en mécanque de sa poston ou du pont consdéé), et qu peut ête esttuée ntégalement en evenant au même état (en l'absence de phénomènes évesbles tels les fottements en mécanque) l F (t) M Fgue 57 Enfn, l'estence de l'énege potentelle élastque e d'un essot de adeu k est évélée pa un système sensble à la foce que peut eece le essot (une masse accochée au essot et lbe d'osclle pa eemple, fgue 57) L'acton F du essot su ce système sensble (la masse M) est telle que ( F = k e = gad k ), (56) 443 où la foncton de foce U dont déve la foce F, est l'opposé de l'énege potentelle (vo II et IId suvant) b) Champ de foces Défnton : Losqu'une foce F est donnée en foncton unquement du pont de l'espace (, y, ) où est stuée la patcule su laquelle elle s'eece, on dt que l'on a défn un "champ de foces" ns un champ de foces peut ête défn pa une foncton vectoelle des coodonnées spatales du pont : Fy,, b g Eemples : champ de foces dû à l'attacton newtonenne d'un cops donné (le Solel, une planète, ), champ de foces dû au champ électque, Dans le cas d'un champ de pesanteu supposé unfome, la foncton Fy b,, g est constante : F= mge, (57) s e est un vecteu untae vetcal ascendant, g étant le module de l'accéléaton de la pesanteu Dans le cas d'une attacton pa un pont fe O, popotonnelle à la dstance = O (cas d'un système élastque sotope) : F O = k O = k e + y e + e (58) b g d U y Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans

6 Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS Conte-eemples : la foce de fottement sube pa une patcule en mouvement su une suface ou dans l'a, ou la foce eecée pa un champ électomagnétque su une chage en mouvement Ces foces ne sont détemnées que s l'on connaît la vtesse de la patcule d) Enege potentelle Dans le domane de la mécanque, l est ntéessant de consdée l'opposé de la foncton U : c) Foncton de foce Défnton : On dt qu'un champ de foces "déve d'une foncton de foce" s'l este une foncton Uby,, g (défne à une constante addtve pès), appelée foncton de foce, telle que le champ F en sot le champ de gadent Dans une base catésenne othonomée B, les composantes de F s'epment sous la fome : U F = U, Fy = U, F = (59) y U sot F gad U e U y e U = = + y + e (53) L'epesson (53) du gadent de la foncton F n'est valable qu'en coodonnées catésennes : l'epesson est totalement dfféente en coodonnées cylndques ou sphéques (nnee 5B) g ns, l'acton de la gavté teeste locale su une masse m est-elle epésentée pa le pods P tel que, pou l'oentaton etenue pou l'ae (vo fgue 58-a et dscusson au IId- suvant) Fgue 58-a P = mg = gad( mg ), (53) où U = mg est la foncton de foce dont déve le pods P (c - g epésente un potentel) F M e De même, l'acton d'un essot de adeu k su une masse M (accochée au essot de longueu à vde l (t) l et lbe d'osclle pa eemple, fgue 58-b) est Fgue 58-b telle que d F = k e = gad k = k e, (53) ( ) ( ) où U = k est la foncton de foce dont déve la foce F Ces deu eemples sont eps au IIf d Défnton : On appelle "énege potentelle" assocée au champ de foce l'opposé de la foncton de foce U : E p (, y,) = U(, y,) (533) Le vecteu F = gad U est alos dgé des gandes valeus de E p ves les plus pettes (on peut auss de qu'l "descend les potentels") On pale d'un champ de foce qu "déve d'une foncton de foce" (vo la emaque su la temnologe en fn de ) ) Eemples Champ de foce d'attacton popotonnelle à la dstance (pa appot à un pont O chos comme ogne, essot de adeu k pa eemple) : La foncton de foce U s'éct ( ) U = k + y + = k (534) ns, l'énege potentelle dsponble, due à la défomaton élastque du essot, est donnée pa l'epesson V = k Champ unfome de la pesanteu ( e vetcal ascendant), ogne des coodonnées donnée (non spécfée c) : - Losque e est vetcal descendant (fgue 59-a), la foncton de g g foce est U = +mg, et donc l'énege potentelle de gavté de la masse est E p = mg a) b) - u contae, s e est vetcal ascendant (fgue 59-b), la foncton Fgue 59 de foce est U = mg, et donc l'énege potentelle de gavté de la masse est E p = +mg ns, plus la masse est stuée à une alttude élevée, plus son énege potentelle est gande ) Vaatons de l'énege potentelle L'énege potentelle (comme la foncton de foce) est toujous défne à une constante addtve pès (dans le cas de la pesanteu, la valeu éo de ces gandeus a été chose en =, pont abtae) En patque, les quanttés d'ntéêt sont les vaatons possbles d'énege potentelle qu peuvent ête tansfomées en d'autes fomes d'éneges Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans

7 Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS ns, plus la vaaton d'alttude possble de la h masse est gande, plus l'énege qu'elle peut esttue est gande Pa eemple, la masse m stuée à une h hauteu h d'une table peut esttue mons d'énege que s elle est stuée à une hauteu h du sol (fgue 5), alos que dans les deu cas elle est à Fgue 5 la même alttude note que l'énege potentelle peut ête postve ou négatve en foncton du cho de la constante défnssant l'ogne des éneges Pa conte, la défnton admse pou l'énege cnétque (vo III) mpose que cette énege sot postve ou nulle ) Remaque su la temnologe Il est féquent, en mécanque, d'appele "potentel" ce qu vent d'ête défn comme étant l'énege potentelle assocée à un champ de foces ns, dans cette accepton du teme, le potentel V est l'opposé de la foncton de foces U, et l'on dt couamment que le champ de foces, s'l déve d'une foncton de foces, "déve d'un potentel" Cependant, dans nombe de tatés de physque, le teme de "potentel" est ésevé à une gandeu n'ayant pas la dmenson d'une énege ns, le potentel électque désgne-t-l l'énege potentelle électque pa unté de chage de la patcule utlsée somme sonde De même, le potentel gavtatonnel ndut pa un cetan nombe de cops attacteus (de masses données) epésentea l'énege potentelle dsponble pou une patcule sonde de masse unté Le potentel gavtatonnel, dans ce dene cas, dot s'epme en J/kg Dans la même logque, le teme de "champ" est ntodut : le champ électque epésente la foce électque qu s'eece su une chage unté en un pont donné ; le champ gavtatonnel désgne la foce d'attacton newtonenne sube pa une patcule de masse unté Dans ce type de pésentaton, on péfèe ans le concept de "champ" à celu de champ de foces ntodut au IIb : en effet, le "champ" est alos ndépendant de toute popété ntnsèque de la patcule sonde e) Pussance et taval élémentae Losque le champ déve d'une foncton de foces, la pussance, podut scalae du vecteu foce F d d y d (Equaton (53)) et du vecteu vtesse V( / R ) = e + e y + e, d t d t d t s'epme sous la fome : U d U dy U d du de p P ( F / R ) = FV ( / R ) = + + = = dt y dt dt dt dt (535) La pussance que peut engende une foce dévant d'une foncton de foces appaaît donc comme la dévée totale de la foncton de foces U pa appot au temps Il convent de note c que, l'énege potentelle ne dépendant pas eplctement du temps pa défnton, l'epesson (535) est ben (au sgne pès) le appot de la dfféentelle d E p de l'énege potentelle E p su le scalae d t (en toute gueu d d t = t + V( / R ) gad, avec c E p t = ) De même, le taval élémentae de F peut s'éce : U U U δw ( F / R ) = Fd O / B = d + dy + d = du = de p y (536) Ce taval élémentae appaaît donc, dans ce cas, comme une dfféentelle totale eacte : la dfféentelle de la foncton de foce U ( note que cette popété n'est pas vae dans le cas de foces ne dévant pas d'une foncton de foces : c'est la ason pou laquelle dans ce cas le taval élémentae est noté δ W et non d W ) Pa sute, on peut énonce le ésultat fondamental suvant : Dans le cas patcule où la foce déve d'un potentel, le taval ne dépend que de la poston ntale et de la poston fnale utement dt, le taval ne dépend pas du chemn suv pou alle de à : W F / = d U = U U R ( ) ( ) ( ) = [ E ( ) E ( )] p p (537) On vot alos que le taval effectué pa la foce est égal à la vaaton de l'énege potentelle ente la poston ntale et la poston fnale f) Eemples de calcul d'énege potentelle pou deu champs de foce dévant d'un potentel ) Pélmnae Il convent de note que les éneges sont des quanttés le plus souvent postves, ecepton fate des éneges potentelles qu dépendent de la éféence chose (potentel de éféence, vo IId-) u notons d'énege sont assocées les notons de flu d'énege (ou de tansfet ou d'échange d'énege) En mécanque (en patcule), on asonne tès souvent en chechant quelles sont les actons eecées su le système étudé Pa sute, pa conventon, les éneges sont consdéées comme étant eçues pa le (ou encoe founes au) système auquel on s'ntéesse Pa sute, pa eemple, une "énege eçue" pa un système négatve, est en éalté une "énege foune" postve, foune pa le système consdéé à un aute système etéeu (éneges founes au système ou founes pa le système ont des sgnes opposés) Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans

8 Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS Pou le système de la fgue 57, l'énege potentelle élastque est donc égale au taval foun au essot (c'est-à-de l'énege eçue pa le essot) de la pat du système capable d'applque la foce F à chacune de ses etémtés (la même en module) ; elle est donc l'opposé du taval que eceva le essot losqu'l esttuea l'énege emmagasnée à un système qu lu est etéeu (vo IIf-) suvant) De même, l'énege potentelle de gavté (fgue 55) est le taval foun à la masse pou l'amene à la cote ; cette énege est donc l'opposé du taval de l'acton de la gavté su la masse au cous de ce déplacement (vo IIf-) suvant) Eemple : O e e T M a (t) Fgue 5-b On attache à l'etémté d'un essot de masse néglgeable, de adeu k, un cube M (fgue 5-b) On l'écate de O= a de sa poston d'équlbe O et on epèe la poston de la masse pa son abscsse (t) L'acton du essot su le cube est : T= ke L'énege potentelle élastque de défomaton d'un cops est ce qu est appelé "énege ntene de défomaton", c'est-à-de le taval foun au cops élastque pa un système etéeu qu eece des foces opposées au foces ntenes de cohéson De manèe généale, son epesson est donnée pa V = T S d D = D c S S d D j j D jk l k l j, où T j désgne les composantes du tenseu des contantes, S j les composantes du tenseu des défomatons, D le domane consdéé et c jk l les composantes du tenseu des gdtés élastques Ces denèes notons dépassent lagement le cade de ce cous ute eemple : l'énege ntene d'un ga (énege potentelle) est l'énege emmagasnée sous l'effet d'un écat de pesson et/ou d'un écat de tempéatue ente le système étudé et son envonnement (énege eçue pa le système consdéé sous fome d'un taval et/ou d'une quantté de chaleu eçus pa ce système) Dene eemple : les nucléons consttuant un noyau atomque sont "pégés" dans un "puts de potentel", ce qu sgnfe que leu énege, éféencée pa appot à une ogne assocée à leu état lbe au epos (hos du noyau), est négatve (elle est lée à l'énege nécessae à son etacton du noyau) Fgue 5-a ) ttacton popotonnelle à la dstance (essot) L'acton eecée pa le essot su (fgue 5-a) est : F = k = F (538) Le taval pou alle de O à de T est : ( ) = t a t a WO T M / R T d OM = P ( T M / R) d t = T V( M / R) d t (539) O t t O OM = e donc d VM b / Rg= e & = dt e, d'où VM b / Rg dt= de et T VbM / Rg dt = kd a a Fnalement, WO ( T M / R) = k d = k [ ] = k a (54) On peut défn l'énege potentelle élastque du essot au pont pa : O α ) M P Fgue 5 E p e ( ) = W O = k a (54) Champ de la pesanteu h u Une blle M, de masse m se déplace du pont O au pont d'abscsse u= a (fgue 5) Le pods de la blle est P= mge Le taval pou alle de O à de P est : WO O t t O O M = u e u donc du VM b / Rg= ue & u = dt e u, d'où VM b / Rg dt= due u et P V M / R dt = mgdu e u e t a t a ( P M / R) = Pd OM = P ( P M / R) d t = P V( M / R) b g d t (54) Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans

9 Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS O e = cosα e + sn α e donc e e = sn α, d'où P V M / R dt = mgsn du u u b g α III ENERGIE CINETIQUE On obtent alos : W O P M / R O h a a a ( ) = m g sn α d u = m g sn α [ u] = m g a sn α WO P M / R = sn α d'où ( ) = m g h On peut défn l'énege potentelle de gavté au pont pa : Remaque Ben note le sgne 3 Rappel des untés E ( ) m g h p g O = = W (543) ± m g h selon l'oentaton de l'ae (vo IId-) Cas du pont matéel Défnton : Un pont matéel de masse m étant en mouvement pa appot à un epèe (quelconque) R, on appelle énege cnétque (à l'nstant consdéé) du pont pa appot à R l'epesson : T ( / R ) mv ( R ) = / (544) Théoème de l'énege cnétque (TEC) : Losqu'un pont matéel de masse m est en mouvement pa appot à un epèe galléen R, la dévée tempoelle de son énege cnétque pa appot à R est égale à la pussance de la foce totale F applquée au pont elatvement au epèe R, L'équaton au dmensons de la pussance mécanque est la suvante : 3 P = F V = MLT LT = ML T sot d T ( / R ) d t = P ( F / R ) (545) L'unté MS est le watt : 3 W = kg m s = N m s Cas patcule du solde gde - Plus ancennement, on a utlsé le klogamme foce (kgf) au leu du Newton : kgf = kg g = kg 9, 8 m s = 9, 8 N, et la pussance s'epmat alos en kgf m s : = kgf m s 9, 8W - Le cheval-vapeu (CV) vaut 75 kgf m s, sot : CV = 75 9, 8 = 736 W =, 736 kw L'équaton au dmensons du taval, ou encoe de l'énege, est donnée pa : ML W = P t = T [ ] [ ] [ ] [ ] a) Enege cnétque L'énege cnétque d'un solde gde ( S ) elatvement à un epèe R est ( R ) = mv ( S/ R ) + mv( S/ R ) Ω( B / B ) T S/ + Ω { }, ( B / B ) I ( S) Ω( B / B ) où B est la base assocée au epèe lé au solde ( S ) G (546) L'unté MS est le joule : J = kg m s Le joule et le watt sont des untés asse fables En patque, on utlse souvent le klowatt (kw) pou la pussance et le klowattheue pou l'énege : kwh = 36 5 J Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans

10 Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS Remaques : S G, l'équaton (546) s'éct alos T S/ R = m V G / R ( ) ( ) + Ω( B / B ) I ( S) { Ω( B B )} G / (547) Le mouvement généal d'un solde bsg pa appot à R étant, à l'nstant t, la composton d'un mouvement de otaton et d'un mouvement de tanslaton, on etouve dans cette epesson que l'énege cnétque de bsg dans son mouvement pa appot à R est la somme d'une énege cnétque de tanslaton, mv dg/ R, et d'une énege cnétque de ΩdS/ B I GbSgoΩdS/ B t otaton, S est fe pa appot à R, alos l'énege cnétque est smplement une énege cnétque de otaton : T( S/ R ) = + Ω( B / B ) I ( S) { Ω( B / B )} (548) Cas d'un solde gde en mouvement de tanslaton (quelconque) La otaton nstantanée Ω ( B /B ) est nulle et l'on a alos smplement : ( S/ R ) = mv ( G / R ) = mv ( / R ) ( S) T (549) Cas d'un solde gde en otaton (quelconque) autou d'un ae fe (fgue 53) Sot doe, (S) cet ae de otaton On est alos dans le cas patcule d'un solde bsg ayant un pont fe O dans R Son vecteu otaton nstantanée est dgé selon le vecteu e : ΩdS /B ΩdS/B =ω e avec ω() t = θ& O Fgue 53 L'énege cnétque est donnée pa : T S/ R = Ω B / B I O S Ω B / B ( ) ( ) ( ){ ( )} O O ( S) { Ω( B / B )} = E ω e D ω e y + C ω e (55) I, donc : TS d / R = Cω = I O ω (55) b) Théoème de l'énege cnétque Théoème de l'énege cnétque (TEC) : Losqu'un solde gde ( S ) est en mouvement pa appot à un epèe galléen R, la dévée tempoelle de son énege cnétque pa appot à R est égale à la pussance des actons mécanques etéeues eecées su ce solde, elatvement au epèe R, d dt { T( S/ R )} P ( et S R ) = (55) / La pussance des foces ntéeues à un solde gde étant nulle pa appot à n'mpote quel epèe, ne fgue dans cet énoncé que la pussance des foces etéeues à S b g 3 Cas d'un système matéel consttué de soldes gdes De manèe généale, un système mécanque Σ est consttué de pluseus soldes gdes ds, ds, ds n, tous en mouvement pa appot à un epèe R = do, B L'énege cnétque de Σ est la somme des éneges cnétques de chaque solde ds pa appot à R : n TdΣ / R = TdS / R = (553) S le système Σ est consttué de pluseus consttuants soldes gdes ds, la pussance des actons ntéeues à chaque consttuant est encoe nulle mas la pussance des nteactons ente les dves soldes S (actons ntéeues à Σ ) est à pende en compte On peut éce symbolquement le théoème de l'énege cnétque : d otdσ/ R t= Pdet Σ/ R + PdS S j, (554) dt où P ( S ) epésente la pussance des foces d'nteacton ente les soldes ( S ) et ( S ) S j (vo I4) Ces nteactons peuvent ête des actons à dstance (attacton newtonenne pa eemple) ou des actons de contact dues au lasons mécanques ente les soldes : P ( S S j ) = P ( S S j / R) + P ( S j S / R), R (555) Remaques : - los que le PFD ne met en jeu que les foces etéeues applquées au système, le TEC fat appel à la pussance de toutes les foces applquées au système, ntéeues et etéeues - Dans le cas d'un pont matéel, la dstncton ente foces applquées et foces etéeues applquées est sans objet, contaement au cas d'un système matéel quelconque j Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans

11 Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS 4 Eemple d'applcaton Repenons l'eemple du ceceau déjà étudé au chapte 4 pa applcaton du Pncpe Fondamental de la Dynamque III6 y d S O l α d S G d S l C d S θ Fgue 54-a e y e e y y e y α e θ α θ e ee e ee e y e e e e e Fgue 54-b La lason ente ce ceceau et le bât S B e e d Sot le système Σ consttué d'une tge S d'etémtés et C et d'un ceceau ds, comme le monte la fgue 54-a Le bât est désgné pa ds L'ensemble est soums au champ de pesanteu teeste g = g e y La tge ds est de longueu l, homogène de masse M et a pou cente de masse G, mleu de C Son etémté est astente à se déplace sans fottements su l'ae doe, y Le ceceau ds est homogène de masse m, a pou ayon et pou cente de masse C, et est lé à la tge ds pa une lason pvot sans fottements d'ae dc, e d peut ête modélsée pa une lason ponctuelle en Le coeffcent de fottement ente les deu matéau consttuant le ceceau et le bât est noté f Les epèes choss, lés au dves consttuants du système (vo fgues 54-a et b) sont les suvants : - epèe fe R = ( O,e,e y,e ) = ( O, B ) lé au bât ds, et supposé galléen ; - epèe R = (,e,e y,e ) = (, B ) lé à la tge ds tel que α = ( e, e ), cet angle étant négatf dans la poston de la fgue 54-a ; - epèe R = ( C,e,e y,e ) = ( C, B ) lé au ceceau ds tel que θ = ( e, e ), paamète angulae epéant la poston du ceceau autou de son ae dce, Le mouvement d'ensemble du système Σ est alos déct pa la vaaton de deu paamètes = e, e θ = e, e u cous angulaes (fgue 54-b) : l'angle oenté α ( ) et l'angle oenté ( ) du mouvement, ces deu angles vaent smultanément en foncton du temps : α = α(t), θ = θ(t) l'nstant ntal t =, le système est supposé au epos : &α =, θ & = Pou la bonne cohéence d'ensemble, un cetan nombe de ésultats déjà établs au chapte 4 sont eps c a) Etude du ceceau S ctons mécanques etéeues s'eeçant su le solde ds ϖ S = C, avec P = m g cton de la gavté : { } ( ) P e y cton du bât S su le ceceau S (lason ponctuelle avec fottement) : { S S } T =, R = N avec N > pou que le contact sot mantenu B S (lason pvot sans fottement) : cton de la tge S su le ceceau { S S } X C = C, R C = YC C B Pa sute, le toseu des actons etéeues eecées su le ceceau S est donné pa et S = ϖ S + S S + S (556) d S y O { } { } { } { } S F α l d S P G l d S R RC d S θ C PP e y e e B e e Fgue 55 : Inventae des actons mécanques de gavté et de lason Le vecteu otaton Ω ( B /B ) assocé au mouvement de la base B pa appot à la base B est tel que Ω B (557) ( / B ) = θ& e Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans

12 Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS Vecteu poston : OC = O + C = l cosα e + e Vecteu vtesse du pont C pa appot au epèe R : / B y d OC V( C / R ) = = l α& sn α e (558) d t La vtesse du pont appatenant au ceceau S, noté, pa appot au epèe R est donnée pa la fomule de dstbuton des vtesses (ou fomule de changement de pont pou les moments du toseu dstbuteu des vtesses du mouvement de R pa appot à R ) : V( / R ) = V( C / R ) + Ω( B / B ) C, (559) sot V( / R ) = l α& sn α e + θ& e ( ) e y, d'où V( / R ) = ( l α& sn α + θ& ) e (56) Il convent de note que cette vtesse n'est nulle qu'en cas de non glssement ente le solde S et le bât S, ce qu n'est pas le cas c Moment d'nete du ceceau S pa appot à l'ae ( C ) D'apès le tableau 45 des éléments d'nete de quelques soldes usuels donné au chapte 4, le moment d'nete du ceceau pa appot à l'ae ( C,e ) est I C ( S ) m,e = (56) Enege cnétque du ceceau ( S ) pa appot au epèe R et dévée pa appot au temps L'énege cnétque du ceceau S pa appot au epèe R s'éct T( S / R ) = m[ V( C / R )] + Ω ( B / B ) I C( S ){ Ω( B / B )}, où I C( S ) désgne l'opéateu d'nete au pont C du ceceau S Le epèe R étant epèe pncpal d'nete, cet opéateu est dagonal et peut s'éce sous la fome IC( S ) =, (56) B C où la notaton C désgne classquement le moment d'nete I C ( S ) donné pa l'équaton (56) (et non pas le pont C appatenant au solde S ) En fasant usage des epessons (558), (557), (56) et (56) espectvement des vtesse, vecteu otaton, opéateu d'nete et moment d'nete, l'énege cnétque ( S / ) T ( S / ) = m l α& sn α + m θ& T R s'éct R (563) Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS La dévée pa appot au temps de l'epesson (8) condut à d T ( S / R ) d t 3 ( α& α&& sn α + α& sn α cosα) + m θ& & θ = 4m l & (564) Pussance des effots etéeus au ceceau ( S ) pa appot au epèe R P ( et S / R ) = P ( ϖ S / R ) + P ( S S / R ) + P ( S S / R ) sot P ( et S / R ) = P V( C / R ) + R V( / R ) + R C V( C R ), / Le fat que la lason ente la tge S et le ceceau S sot une lason pafate mplque que la pussance P ( S S / R) des actons de S su nulle, mas n'mplque pas que la pussance ( S S R ) au epèe R le sot P / S pa appot au epèe R est P des même actons pa appot ( et S / R ) = + ( T e + N e ) ( sn ) e y l α& α + θ& + ( X e + Y e ) ( l α& sn α ) e, d'où ( et S / R ) = T ( αsn α + θ) X lαsn α C C P & (565) y l & C & Théoème de l'enege Cnétque au ceceau ( S ) d T ( S / R ) P ( et S / R ) d t =, ( R epèe galléen), 3 l & && & & && l & & & (566) sot 4 m ( α αsn α + α sn α cosα) + m θθ = T ( αsn α + θ) X C lαsn α Remaque Le epot dans la elaton (566) de l'epesson (4-b) de la composante sot X = T m l ( α&& sn α + α& cosα) C, condut à 3 ( α& α&& sn α + α& sn α cosα) + m θθ & && ( l α& sn α + θ& ) + [ T + m l ( α&& sn α + α& cosα) ] l α& sn α, X C, 4 m l = T sot T = m & θ, (567) qu n'est aute que l'équaton (43) obtenue pa l'applcaton du PFD au ceceau S pou les moments au pont C Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans

13 Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS b) Etude du système Σ={S +S } ctons mécanques etéeues s'eeçant su le système Σ cton de la gavté : { ϖ S} = ( G, P ) avec P = M g e y, ϖ S = C, avec P = m g et { } ( ) P e y cton du bât S su le la tge S (lason ponctuelle sans fottement) : { S S } = (,F ) F = cton du bât S su le ceceau { S S } avec F > pou que le contact sot mantenu B S (lason ponctuelle avec fottement) : T =, R = N avec N > pou que le contact sot mantenu B Pa sute, le toseu des actons etéeues eecées su le système Σ est donné pa et Σ = ϖ S + ϖ S + S S + S (568) { } { } { } { } { } S Vecteu otaton assocé au mouvement de B pa appot à B Ω( B / B ) = α& e (569) Vtesse du pont G pa appot au epèe R Vecteu poston : OG = O + G = l cosα e + ( lsn α) e y avec α < Vecteu vtesse du pont G pa appot au epèe R : d OG V( G / R ) = = l α& sn α e l α& cosα e y (57) d t / B Moment d'nete de la tge ds pa appot à l'ae ( G,e ) D'apès le tableau des éléments d'nete de quelques soldes usuels donné avec l'énoncé, le moment d'nete de la tge pa appot à l'ae ( G,e ) est M l I G ( S) = (57) 3 Enege cnétque du système Σ = { S + S } pa appot au epèe R L'énege cnétque du système Σ pa appot au epèe R est la somme des éneges cnétques de chaque solde, sot T Σ / R = T S / R + T S R, (57) ( ) ( ) ( / ) où T( S / R ) est donnée pa l'équaton (563) L'énege cnétque ( S / ) T( S / R ) = M [ V( G / R )] + Ω( B / B ) I ( S ){ Ω( B B )} G / T R est donnée pa, Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS où I G ( S ) désgne l'opéateu d'nete au pont G de la tge S Le epèe R étant epèe pncpal d'nete, cet opéateu est dagonal et peut s'éce sous la fome IG ( S ) = C, (573) B C où la notaton C désgne classquement le moment d'nete I G ( S ) donné pa l'équaton (57) En fasant usage des epessons (57), (569), (573) et (56) espectvement des vecteu vtesse, vecteu otaton, opéateu d'nete et moment d'nete, l'énege cnétque ( S / ) T R s'éct ( S / ) = l α& T R M (574) 3 Le epot des epessons (563) et (574) dans la elaton (57) condut fnalement à T M ( Σ / ) = + msn α l α& + m θ& R (575) 3 La dévée pa appot au temps de l'epesson (575) condut à d T ( Σ / R ) d t = 4l M + msn 3 3 α α& α && + m α& sn α cosα + m θθ & && (576) Pussance des effots etéeus et ntéeus au système Σ pa appot au epèe R La pussance des effots etéeus eecés su le système Σ pa appot au epèe R est donnée pa P ( et Σ / R ) = P ( ϖ S / R ) + P ( S S / R ) + P ( ϖ S / R ) + P ( S S / R ), où la pussance P ( S S / R ) est nulle du fat que la lason ente le bât S et la tge S est pafate (sans fottements), et où les pussances P ( ϖ S R ) et P ( S S R ) / / ont déjà été calculées au III4/a) Pa sute, P ( et Σ / R ) = P V( G / R ) + + P V( C / R ) + R V( / R ), sot P ( et Σ / R ) = ( M g e ) ( l α& sn α e l α& cosα e ) + + T ( l α& sn α + θ& y y ), P et Σ / = M g l α& cosα + T l α& sn α + θ& (577-a) R d'où ( ) ( ) Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans

14 Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS La pussance ( S ) P des effots ntéeus au système Σ est S j ( S ) = P ( S S ) P S j =, (577-b) du fat que la lason est pafate ente les deu soldes Théoème de l'enege Cnétque au système Σ sot 4l d T ( Σ / R ) d t = P ( et Σ / R ) + P ( S S ) M 3 + msn α α& α && + m α& sn α cosα + m θθ & && 3 (578-a) = M g l α& cosα + T ( l α& sn α + θ& ) Remaque De même que pécédemment, le epot, dans le teme ( T θ & ) du second membe de la elaton (578-a), de l'epesson (567) de la composante j, T, sot T = m & θ, condut à M 4l + msn α α& α && + m α& sn α cosα = M g cosα T lsn α, (578-b) 3 qu est une combnason lnéae des équatons (4), (43), (45), (46) et (4) povenant de l'applcaton du PFD (chapte 4) Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS Du fat de la condton (579) de oulement sans glssement au pont, la pussance P ( S S / R ) des actons de S su S pa appot à R est nulle Pa sute, P et S / R = + + X e + Y e l α& sn α e ( ) ( ) ( ), C C y / R = X C lα& sn d'où ( et S ) α P (58) Théoème de l'enege Cnétque au ceceau ( S ) et au système Σ Du fat que P ( S S / R ) = R V( / R ) = T ( l α& sn α + θ& ) =, (58) l'équaton (568) povenant de l'applcaton du Théoème de l'enege Cnétque au ceceau S s'éct : ( ) 3 ( α& α&& sn α + α& sn α cosα) + m θθ & && = X lαsn α & 4 m l C (583) De même, l'équaton (578-a) povenant de l'applcaton du Théoème de l'enege Cnétque au système Σ s'éct : M 3 4l + msn α α& α && + m α& sn α cosα + m θθ & && = M g l α& cosα (584) 3 Il convent de note que l'applcaton du Théoème de l'enege Cnétque condut seulement à deu équatons scalaes (566) et (578-a) qu ne pemettent pas, à elles seules, d'obten les équatons du mouvement, pusqu'elles font nteven les nconnues de lason T et X C c) Intoducton d'une condton de oulement sans glssement La vtesse de glssement du ceceau ( S ) pa appot au bât ( ) V ( S /S ) = V( R ) g / S est La condton de oulement sans glssement s'éct don / R =, (579) ( ) V sot, en fasant usage de la elaton (56) condut à l α& sn α + θ& = (58) D'apès le III4/a), P ( et S / R ) = P ( ϖ S / R ) + P ( S S / R ) + P ( S S / R ), P et S / R = P V C / R + R V / R + R V C R sot ( ) ( ) ( ) C ( ) / Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans

15 Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS NNEXE 5 : CIRCULTION D'UN VECTEUR SUR UNE COURBE! Ce paagaphe est destné à faclte la compéhenson de la noton de cculaton, en vue de l'applque à la mécanque Il ne emplace nullement le cous de Mathématques su le sujet C Fgue 5 B Soent un champ de vecteu (, y, ) paamétée en () t F et une coube C, y () t et () t (fgue 5) Pa défnton, la cculaton du champ de vecteu F le long de la coube C est l'ntégale B F (, y, ) d O M, (5) qu s'dentfe donc au taval de la foce F pou alle du pont au pont B NNEXE 5B : GRDIENT D'UNE FONCTION! Ce paagaphe est destné à faclte la compéhenson de la noton de gadent, en vue de l'applque à la mécanque Il ne emplace nullement le cous de Mathématques su le sujet 5B POUR LLER PLUS LOIN De manèe plus abstate, le gadent d'une foncton U ( M) ente dans l'éctue de l'applcaton dfféentelle (applcaton lnéae tangente) assocée à cette foncton au pont M : où nfntésmal, d U ( gad U) d M =, (5B4) d M epésente la vaable vectoelle ndépendante de l'applcaton lnéae Dans le calcul d M epésente la vaaton élémentae de la poston du pont M En coodonnées catésennes, la défnton (5B4) du gadent de la foncton U (, y, ) s'éct, en utlsant les composantes des dfféents vecteus su la base des coodonnées catésennes : U U U d U = e + e y + e ( d e d y e y d e ) y + +, gad U et ce, quels que soent les accossements accossements et de d M d, d y et d ; la donnée de ces tos gad U pemet d'en dédue la vaaton d U de U 5B Rasonnement à deu dmensons 5B DEFINITIONS DE BSE Le gadent d'une foncton scalae (, y, ) U (encoe appelé champ scalae) est un vecteu B = e, e, e dont les composantes su la base othonomée des coodonnées catésennes ( ) sont données pa : gad U, U U U = (5B) y ( y, ) e + e y + e note qu'en coodonnées cylndques et sphéques, l'opéateu gadent pend une fome dfféente de celle de l'équaton (5B), à savo, en cylndques, foncton U ( ρ, ϕ,) U U U gad U( ρ, ϕ, ) = e ρ + e ϕ + e, (5B) ρ ρ ϕ en sphéques, foncton U (,θ,ϕ) gad U, U U θ U sn θ ϕ ( θ, ϕ) = e + e θ + e ϕ (5B3) y Menons mantenant un asonnement à deu dmensons, qu peut ête généalsé sans dffcultés à plus de deu dmensons S les vaatons d et d y sont choses telles que d U =, (5B5-a) sot (, y) constante U =, (5B5-b) cela event à éce que, géométquement, tous les vecteus élémentaes d M tels que d U =, estent tangents en M à la lgne U (, y) = constante On vot alos d'apès l'epesson (5B4) de la dfféentelle de U que gad U est pependculae à ces vecteus d M Les coubes du plan (, y) telles que U (, y) = constante sont classquement appelées lgnes de nveau du champ scalae U, et on peut énonce le ésultat suvant : En tout pont (, y), le vecteu gad U est pependculae à la lgne de nveau de la foncton U passant pa ce pont (5B6) Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans

16 Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS Dans l'espace à tos dmensons, en tout pont M, le vecteu (, y,) constante U = qu passe pa ce pont gad U est nomal à la suface 5B Les lgnes de nveau : eemple d'une cate topogaphque De manèe généale, l'ensemble des ponts où un champ scalae U pend la même valeu, sont ses lgnes (voe sufaces) de nveau Les lgnes de nveau eflètent toujous une éalté physque ns, su une cate topogaphque où l'on s'ntéesse au elef, et y epésentent pa eemple les aes Est-Ouest et Nod-Sud, et la foncton U désgne l'alttude Su les cates météoologques, la foncton U désgne sot la tempéatue, sot la pesson, et les lgnes de nveau epésentent sot les sothemes (ponts qu sont tous à la même tempéatue), sot les sobaes (ponts à la même pesson) Dans l'eemple qu sut, on s'ntéesse au cates topogaphques tte d'eemple, la fgue 5B monte les lgnes de nveau de la suface ( ) ( + y y e ) U, = (5B7) Fgue 5B 5B Oentaton du gadent Dans le plan (, y), s l'on se déplace en estant constamment pependculae au vecteu gad U, on sut une lgne de nveau U (, y) = constante Pa conte, la vaaton de la foncton U est mamale s l'on se déplace en suvant les dotes ou les dectons qu potent le vecteu gad U ; la foncton U coît s ce déplacement s'effectue dans le sens du vecteu gad U et elle décoît dans le sens opposé En ésumé : Fgue 5B Su une cate d'une égon montagneuse (fgue 5B), fguent des lgnes de nveau, ensemble des ponts stués à la même alttude, qu pemettent de compende comment se pésente le elef Les coubes tacées en bleu epésentent les toents, qu coupent les lgnes de nveau othogonalement : les toents coulent dans le sens des alttudes décossantes, suvant la lgne de plus gande pente (là où ls coulent), lgne othogonale en tout pont à la lgne de nveau passant pa ce pont gad U est dgé suvant la decton de vaaton la plus apde de U (lgne de plus gande pente), dans le sens des valeus cossantes de U 5B3 Retou su l'énege potentelle (5B8) Comme on l'a vu au chapte 5, IId), une foce F (foncton vectoelle) déve d'une foncton de foce (ou d'un potentel), s'l este un champ scalae U tel que F = gad U (5B9) Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans

17 Chapte 5 : L'énege en mécanque du solde DEUST VS D'apès la popété (5B8), la foce F est dgée ves les valeus cossantes du champ scalae U S l'on défnt l'énege potentelle E comme l'opposé de la foncton scalae (champ scalae) U, sot ves les plus pettes E p p = U, alos la foce F est oentée des gandes valeus de E p Tout ce qu vent d'ête vu à deu dmensons se généalse asément à pluseus dmensons 5B Opéateu nabla Le moyen de "fabque" un champ à pat d'un aute champ est ce que l'on appelle un opéateu L'opéateu gadent, noté gad ou encoe (opéateu "nabla") est donc un opéateu vectoel et dfféentel En coodonnées catésennes, cet opéateu s'éct (à appoche de la elaton (5B)) = gad = e + e y + e (5B) y Cathene Potel Unvesté du Mane - Le Mans