Les lois de Kirchhoff sont des outils simples et efficaces pour la résolution des circuits électriques simples et complexes.

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1 ircuits électriques simples hapitre 5 TS ELETQES SMPLES Sommaire ircuits électriques Lois des nœuds et des mailles Kirchhoff ouplages parallèles, séries ouplages mixtes ode des couleurs des résistances Entraînement ntroduction Les lois de Kirchhoff sont des outils simples et efficaces pour la résolution des circuits électriques simples et complexes. Dans ce chapitre, nous allons présenter les circuits électriques parallèles, séries et mixtes, comme modèle d'application des lois des mailles et des nœuds. Nous aborderons ces types de montages au moyen d'exemples simples et de résolutions détaillées. 5. ircuits électriques Dans les installations électriques, les circuits électriques sont constitués de divers éléments. Le nœud n est le point de convergence de 3 conducteurs ou plus. La branche b regroupe les éléments situés entre nœuds n et traversés par un même courant. La maille m est formée d'un ensemble de branches parcourues en partant d'un nœud n pour y revenir, sans passer fois par la même branche. maille m noeud n maille m noeud n Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000

2 ircuits électriques simples 5. Loi de Kirchhoff pour les nœuds ette loi exprime la conservation des courants au niveau d'un nœud n. 3 5 noeud 4 ette loi s'exprime comme suit: La somme des courants au niveau du nœud est égale à zéro. Traduite mathématiquement par: Σ = 0 n Σ (sigma) signifie ou exprime la notion de somme algébrique, compte tenu du sens des courants. Le sens convergent (direction extérieur -> nœud) est défini ou décrété comme positif. 4 n 3 e schéma nous donne l'équation suivante : + + (- 3 ) + (- 4 ) = 0 Pour effectuer l'addition des courants, il faut être particulièrement attentif au sens des flèches. Flèche qui rentre : signe positif Flèche qui sort : signe négatif 5.3 Loi de Kirchhoff pour les mailles ette loi exprime la conservation du potentiel électrique (défini à l'aide de points de tension électrique ) au niveau de la maille. (en l'absence de phénomène induit, comparé à des parasites) ette loi s'exprime comme suit: 5 + La somme algébrique des différences de potentiel est égale à EO, au niveau de la maille. 4 mathématiquement par : 3 Σ = 0 m Traduite Le sens horaire est défini comme positif. Exemple d'équation de la maille du circuit : (- 4 ) + (- 5 ) = 0 Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000

3 ircuits électriques simples 5.4 Application des lois de Kirchhoff Dans les installations électriques, il est important de maîtriser les lois de Kirchhoff, dans le but de dimensionner les fusibles ou disjoncteurs protégeant les récepteurs électriques. F L fusible écepteurs N sectionneur de neutre Dans la pratique, il existe 3 types de couplages de récepteurs. Nous appelons un récepteur, un appareil électrique transformant l'énergie électrique W en une autre énergie W de type calorifique, magnétique, lumineuse et chimique. Les couplages portent le nom de : parallèle série mixte 5.5 ouplage parallèle Le couplage parallèle est une association de récepteurs soumis à la même tension électrique. En pratique, toutes les prises électriques domestiques possèdent une tension électrique de 30 [V]. Le schéma électrique d'une installation électrique comprenant, par exemple, une lampe de chevet, un spot lumineux bleu, se dessine ainsi. + - écepteurs A Les bornes supérieures sont reliées entre elles (nœud A) et les bornes inférieures sont reliées entre elles (nœud B). B Les tensions électriques à leurs bornes sont égales puisqu'elles sont prises entre les mêmes points (nœud A et nœud B) Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 3

4 ircuits électriques simples 5.6 Application de la loi de Kirchhoff des mailles Σ totales = Σ partielles tension électrique totale de la prise = 30 [V] tension électrique partielle appliquée aux récepteurs = 30[V] Application numérique : totale = D = 30 [V] partielle = AB = 30 [V] ceci implique d'après Kirchhoff : D = AB 30 [V] = 30 [V] cqfd 5.7 Application de la loi de Kirchhoff des nœuds Σ totales = Σ partielles Le schéma possède nœuds appelés A et B. Au nœud A, le courant électrique se partage dans les conducteurs électriques formant les branches. Au nœud B, les courants de branches et se regroupent. + total écepteurs L'application de la loi de Kirchhoff des nœuds se traduit par: - total = + total Le courant électrique total total représente la somme algébrique des courants partiels au nœud A. Exemple d'application numérique: ne lampe possède une résistance de 800 [Ω]. La tension électrique doit être de 30 [V] (tension nominale). n spot lumineux bleu possède une résistance de 3 [Ω]. La tension électrique est de 30 [V]. alculer le courant électrique circulant dans les conducteurs reliant la prise électrique (source de tension ) aux récepteurs. Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 4

5 ircuits électriques simples Données: = 800 [Ω] = 3 [Ω] = 30 [V] + A total nconnue: =? elations: Σ totales = Σ partielles - total D B Σ totales = Σ partielles = En premier, il faut placer des points de repères pour faciliter la résolution du problème.(nœuds, courant électrique, tension électrique ) Nous devons rechercher d'abord les courants et Σ totales = Σ partielles tension électrique totale de la prise = 30 [V] tension électrique partielle appliquée aux récepteurs = 30[V] totale = D = 30 [V] partielle = AB = 30 [V] D = AB 30 [V] = 30 [V] = = AB AB = = 30 3 = 0,875 [A] = 7,875 [A] Somme des courants au nœud A total = + =0, ,875 = 7,475 [A] ette méthode de calcul permet de dimensionner les fusibles ou disjoncteurs protégeant les récepteurs électriques, ainsi que la dimension des conducteurs. Symbole des fusibles dans les schémas électriques: Symbole des disjoncteurs dans les schémas électriques: Dans notre cas, le courant électrique sera de 0 [A] et les conducteurs de cuivre de.5 [mm²]. L F F disjoncteur thermique écepteurs N sectionneur de neutre Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 5

6 ircuits électriques simples 5.8 ésistance équivalente éq d'un montage en parallèle Dans la pratique, lorsque nous possédons plusieurs récepteurs en parallèle, nous pouvons utiliser l'ohmmètre pour connaître la résistance équivalente éq de plusieurs récepteurs. L'ohmmètre va travailler selon le principe des lois de Kirchhoff, nous allons développer une méthode de calcul permettant d'obtenir cette résistance équivalente éq. A A + - Ω Schéma électrique mesuré à l'ohmmètre. B Schéma électrique équivalent obtenu par lecture du cadran de l'ohmmètre. B Exemple d'application numérique: La résistance électrique d'un récepteur possède une valeur de 800 [Ω]. La tension électrique doit être de 30 [V] (tension nominale). n spot lumineux bleu à chaud possède une résistance de 3 [Ω]. La tension électrique est de 30 [V]. Le courant électrique circulant dans les conducteurs reliant la prise électrique (source de tension ) aux récepteurs est de 7.5 [A]. alculer la résistance équivalente éq de ce montage. Données : = 800 [Ω] = 3 [Ω] = 30 [V] total = 7.47 [A] nconnue : éq =? elations: Σ totales = Σ partielles Σ totales = Σ partielles = eq = total = AB total = [ ] = Ω Si dans l'énoncé du problème, nous ne possédons pas le courant électrique total, nous allons procéder de la façon suivante: Plus la résistance est grande et plus le courant électrique passant à travers est petit. Nous avons étudié la conductance G et nous allons appliquer cette grandeur en disant: Plus la résistance est grande, donc plus est petite la conductance G et plus le courant électrique passant à travers est petit. Nous constatons que la conductance G est proportionnelle au courant électrique Nous appliquons la loi de Kirchhoff pour les nœuds, mais en l'explicitant à l'aide des conductances G Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 6

7 ircuits électriques simples total A G total = G + G + - D G total G G B Sachant que la conductance G est l'inverse de la résistance, nous allons transformer cette relation: = eq + eq = + Application numérique de l'exemple précédent : eq = + eq = = [ Ω ] 5.9 ésistance équivalente éq d'un montage en parallèle de plusieurs résistances Dans la pratique, lorsque nous possédons plusieurs récepteurs en parallèle, nous devons calculer la résistance équivalente éq de plusieurs récepteurs, afin de savoir si le disjoncteur placé en amont des résistances va laisser passer le courant total sans interrompre le circuit. total A E G total G G G 3 G total = G +G +G 3 D B F Exemple : alculer la résistance équivalente éq de ce montage. Données : = 800 [Ω] = 3 [Ω] 3 = 5 [Ω] = 30 [V] nconnues : éq =? total =? Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 7

8 ircuits électriques simples Sachant que la conductance G est l'inverse de la résistance, nous allons transformer cette relation: = eq eq = Application numérique : eq = = 0. 08[ Ω] Nous constatons que cette méthode de résolution est applicable dans tous les cas de montage en parallèle quel que soit le nombre de résistances n. 5 La relation générale est : G total = G + G + G G 3 ou selon la notation mathématique : G = G total n i= i Exemple : alculons le courant total du montage soumis à une tension de 30 [V]. Loi d'ohm : = = total = AB eq = 30 0,08 =. 83 [ A] 5.0 ouplage série Le couplage série est une association de récepteurs soumis à la même intensité de courant. En pratique, les couplages série sont utilisés dans les installations de cuisinières électriques ou autres appareils calorifiques tels que radiateurs, chauffe-eau, chaudières. L'avantage de ce couplage série réside par le fait qu'il est possible de modifier la grandeur du courant électrique en fonction des différentes positions des interrupteurs. Schéma électrique : 3 Le courant électrique n'a qu'un seul chemin à travers le circuit électrique. Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 8

9 ircuits électriques simples 5. Application de la loi de Kirchhoff des nœuds Σ entrant = Σ sortant Le courant électrique est constant dans un circuit série. La valeur du courant électrique dépend des valeurs de résistances composant le circuit. entrant au point A = au point B sortant 5. Application de la loi de Kirchhoff des mailles Σ totale = Σ partielle Le schéma possède résistances parcourues par un courant électrique. Sachant qu'une résistance parcourue par un courant électrique est l'application de la loi d'ohm, nous pouvons en déduire que chaque résistance possédera une tension électrique en rapport aux grandeurs électriques et. Loi d'ohm: = + - A total B L'application de la loi de Kirchhoff des mailles se traduit par : A total + AB = A + B - Exemple d'application numérique : B ne plaque de cuisinière possède 3 bornes, notées A,, B En utilisant un voltmètre, nous mesurons la tension électrique entre les bornes A et, puis entre et B. n tableau de mesures peut être établi: mesure [V] 50 mesure 80 alculer la tension électrique nominale de cette plaque de cuisinière. Données : A = 50 [V] B = 80 [V] nconnue : nominale =? Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 9

10 ircuits électriques simples elation : Σ totale = Σ partielle A Schéma électrique B Après avoir placé les repères, nous allons pouvoir résoudre notre problème. nominal implique tension électrique totale nécessaire au bon fonctionnement de la plaque de cuisinière. totale = AB d'après le schéma AB = A + B => AB = = 30 [V] 5.3 ésistance équivalente éq d'un montage en série Dans la pratique, lorsque nous possédons plusieurs récepteurs en série, nous pouvons utiliser l'ohmmètre pour connaître la résistance équivalente éq de plusieurs récepteurs. L'ohmmètre va travailler selon le principe des lois de Kirchhoff, nous allons développer une méthode de calcul permettant d'obtenir cette résistance équivalente éq. A A Ω éq B B Schéma électrique mesuré à l'ohmmètre : Exemple d'application numérique: ne plaque de cuisinière possède 3 bornes, notées A,, B. En utilisant un voltmètre, nous mesurons la tension électrique entre les bornes A et, puis entre et B. En plaçant un ampèremètre, nous mesurons chaque fois un courant de 5.4 [A]. En utilisant un ohmmètre, les mesures donnent 5 [Ω] et 8 [Ω]. Mais nous ne connaissons pas l'ordre dans lequel ces mesures ont été effectuées. Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 0

11 ircuits électriques simples n tableau de mesures peut être établi: [V] [A] [Ω] mesure 50 5,4 5 ou 8 mesure 80 5,4 5 ou 8 alculer la tension électrique nominale de cette plaque de cuisinière. alculer la résistance équivalente éq de ce montage. ompléter le tableau de mesures en corrigeant les valeurs mesurées à l'ohmmètre par rapport à l'ordre des mesures. Données: A = 50 [V] B = 80 [V] = 5.4 [A] = 5.4 [A] = 5 ou 8 [Ω] = 5 ou 8 [Ω] nconnue: nominale =? elations: Σ totales = Σ partielles Σ totales = Σ partielles = A Schéma électrique Après avoir placé les repères, notre problème. B nous allons pouvoir résoudre nominale implique tension électrique totale nécessaire au bon fonctionnement de la plaque de cuisinière. = implique que nous sommes en présence d'un montage SEE totale = AB d'après le schéma AB = A + B onnaissant la tension totale et le courant, nous appliquons la loi d'ohm afin d'obtenir la résistance équivalente éq du montage (comme avec un ohmmètre connecté entre A et B du montage). eq totale = totale Application numérique: AB = = 30 [V] eq totale = totale 30 = = 54. [ ] Ω Nous savons que la loi d'ohm exprime la relation entre les grandeurs, et. Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000

12 ircuits électriques simples En imbriquant les relations les unes dans les autres, nous pouvons donc substituer les grandeurs par le produit AB = A + B AB = ( ) + ( ) omme le courant électrique est constant, nous allons exprimer cette relation en mettant le terme en évidence. AB = ( + ) Nous cherchons à isoler le terme ( + ), il faut donc diviser par de chaque côté du signe =. AB AB = ( + ) = + ( ) Le terme AB est égal à la résistance équivalente du montage car est le courant électrique total. Nous pouvons donc écrire que, dans un montage série: éq = + Preuve: résistance équivalente éq mesurée à l'aide de l'ohmmètre 4,59 [Ω] résistance équivalente éq calculée par loi d'ohm éq = + = = 43 [Ω] Nos méthodes aboutissent à peu près aux même résultats. Nous cherchons à présent la valeur de la résistance et en fonction des valeurs à disposition. Appliquons à nouveau la loi d'ohm : AB = A + B AB = ( ) + ( ) A A = = 7. 78[ Ω] = = 50 5,4 B B = = = 4. 8[ Ω] = 80 5,4 Tableau de mesures récapitulatif [V] [A] mesurée [Ω] calculée [Ω] mesure 50 5,4 8 7,78 mesure 80 5,4 5 4,8 Total 30 5,4 43 4,59 Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000

13 ircuits électriques simples 5.4 ésistance équivalente éq d'un montage en série de plusieurs résistances. A Dans la pratique, lorsque nous possédons plusieurs récepteurs en série, nous devons calculer la résistance équivalente éq de plusieurs récepteurs, afin de savoir si la tension placée en amont des résistances est assez grande pour faire fonctionner le circuit dans des conditions normales. B 3 D 4 Loi d'ohm: E Le terme AE est égal à la résistance équivalente du montage car est le courant électrique total Nous pouvons donc écrire que, dans un montage série: ou selon la notation mathématique : eq = i i= éq = n n Exemple : Données : calculer la résistance équivalente éq du montage ci-dessus. = 800 [Ω] = 3 [Ω] 3 = 0 [Ω] 4 = 65 [Ω] AE = 9 [V] nconnues : éq =? total =? relations : éq = eq = total total Application numérique: éq = = = 907 [Ω] total = total = = 00. eq [ A] Mais cette réponse ne nous satisfait guère. Si nous désirons exécuter le montage et en faire la preuve par la pratique, l'ampèremètre devra être choisi en fonction du courant à fond d'échelle. l faudra prendre une échelle notée en [ma] car en [A], l'aiguille n'aura que peu de déviation. Dans la pratique, l'appareil de mesure est construit avec une tolérance, c'est-à-dire une marge d'erreur. Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 3

14 ircuits électriques simples 5.5 ouplage mixte Le couplage mixte est une association de récepteurs soumis pour une partie au même courant et pour une autre à la même tension. Dans la pratique, le couplage mixte est le plus fréquent dans les installations électriques. Pour alimenter une maison, une ligne électrique, de résistance ou de conductance G, est nécessaire. A son extrémité, des récepteurs sont connectés en parallèle.(cuisinières, radiateurs, lampes, etc.) total A G ligne aller G G G ligne retour D B Le courant électrique possède un seul passage de à A. Mais de A à B il possède possibilités. 5.6 Application de la loi de Kirchhoff des nœuds Σ total = Σ partiel Le courant électrique total est constant dans un circuit série. Le courant électrique total se partage au nœud A entre les chemins formant les branches A - G - B ( ) ou A - G - B ( ) La valeur du courant électrique total dépend des valeurs de résistances ou de conductances G composant le circuit. total au point A = partiel au point B L'application de la loi de Kirchhoff des nœuds se traduit par total en A = + 'est la preuve que notre couplage est parallèle. total A G ligne aller total ne résistance équivalente AB peut être calculée. G total G total = G + G D G ligne retour B Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 4

15 ircuits électriques simples 5.7 Application de la loi de Kirchhoff des mailles Σ totale = Σ partielle Le schéma possède 3 résistances, dont l'une est une résistance équivalente, parcourues par un courant électrique. (voir conductance G, inverse de la résistance ) Sachant qu'une résistance parcourue par un courant électrique est l'application de la loi d'ohm, nous pouvons en déduire que chaque résistance possédera une tension électrique en rapport aux grandeurs électriques et. Loi d'ohm: = = G total A A Schéma électrique: G ligne aller total G total AB D = A + AB + BD G ligne retour D BD B Exemple d'application numérique: n cabanon de jardin est alimenté par un câble électrique de 3x.5 [mm²]. Nous y branchons radiateurs en parallèle. A l'aide d'un voltmètre, nous mesurons la tension au départ du câble et à l'arrivée du câble. n ampèremètre est placé sur le circuit et nous indique total Nous décidons de mesurer le courant du radiateur, ainsi que la tension à ses bornes. tableaux de mesures peuvent être établis: Tableau [V] [A] Tableau [V] [A] départ 30 5 radiateur 0 0 arrivée 0 5 Nous allons calculer la tension aux bornes du radiateur ainsi que le courant à travers le radiateur. Schéma du montage : A A G ligne aller V départ arrivée V adiateur adiateur G ligne retour D D B Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 5

16 ircuits électriques simples nconnues : =? =? ligne =? elations : Σ total = Σ partiel Σ totale = Σ partielle total A Après avoir placé les repères, nous allons pouvoir résoudre notre problème. G ligne aller adiateur adiateur G ligne retour D B Nous pouvons simplifier notre schéma électrique, en considérant la résistance totale du câble totale ligne = ligne aller + ligne retour car ces résistances sont parcourues par le même courant. Elles sont en SEE. La tension BD est égale à zéro. D = A + AB + BD La résistance BD est égale à 0 [Ω]. Selon la loi d'ohm : BD = BD total total peut être très grand, mais 0 fois total donne 0. BD = 0 [V] cqfd D = A + AB + BD A = D - AB Application numérique: A = 30-0 = 0 [V] alculons le courant à travers le radiateur D'après la relation des nœuds de Kirchhoff en A: total = + " herchons en isolant ce terme: total - = - + total - = Application numérique: = 5-0 = 5 [A] herchons la tension aux bornes du radiateur. Nous allons placer repères (points E et F) sur le radiateur soit sur la résistance total A G ligne aller adiateur adiateur G ligne retour D B Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 6

17 ircuits électriques simples En appliquant la loi de Kirchhoff des mailles, nous constatons que la résistance est en parallèle par rapport à. total A E AB = EF G ligne aller EF = AB = 0 [V] adiateur adiateur G ligne retour D B F 5.8 ésistance équivalente éq d'un montage mixte Dans la pratique, lorsque nous possédons plusieurs récepteurs, nous pouvons utiliser l'ohmmètre pour connaître la résistance équivalente éq de plusieurs récepteurs. L'ohmmètre va travailler selon le principe des lois de Kirchhoff, nous allons développer une méthode de calcul permettant d'obtenir cette résistance équivalente éq A G ligne aller Ω Ω éq adiateur adiateur G ligne retour D Schéma électrique mesuré à l'ohmmètre B Schéma électrique équivalent obtenu par lecture du cadran de l'ohmmètre : D Exemple d'application numérique: n cabanon de jardin est alimenté par un câble électrique de 3x.5 [mm²] en u. Nous y branchons radiateurs en parallèle. A l'aide d'un ohmmètre, nous mesurons la résistance totale du circuit entre les points et D. Nous décidons de mesurer la résistance du radiateur à chaud, ainsi que la résistance du radiateur à chaud. Nous savons que la tension, au début du circuit, sera de 30 [V]. n tableau de mesures peut être établi : [Ω] ésistance totale 9, radiateur 4,7 radiateur alculer la longueur du câble installé. alculer la tension aux bornes du radiateur, ainsi que le courant à travers le radiateur. Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 7

18 ircuits électriques simples total A E ligne aller ligne retour D B F Données : D = 30 [V] D = 9. [Ω] = 4.7 [Ω] = [Ω] nconnues : EF =? =? l câble =? elations : = Σ total = Σ partiel Σ totale = Σ partielle maginons que nous sommes le courant électrique total et nous suivons son parcours : Le courant total passe au point, puis traverse la résistance de ligne aller A pour rejoindre le nœud A. e courant total total traversera d'autres éléments du circuit. 'est donc un couplage de type SEE. Au nœud A, le courant possède chemins, à travers les résistances AB et EF pour aboutir au nœud B. 'est donc un couplage de type PAALLELE. Au nœud B, les courants partiels et se rejoignent. Le courant total total traverse alors la résistance de ligne retour BD pour aboutir au point D. Nous constatons que nous sommes en présence d'un couplage SEE. ette suite de couplage implique que nous sommes en présence d'un OPLAGE MXTE. Nous allons simplifier notre schéma en remplaçant les résistances en parallèle par une seule résistance équivalente AB. total A alculons AB selon la méthode de couplage parallèle. G ligne aller total G total G total = G + G + G G n G ligne retour Sachant que la conductance G est l'inverse de la résistance, nous allons transformer cette relation dans notre cas en: = + AB AB = Application numérique : = = 88. [ Ω], D B Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 8

19 ircuits électriques simples alculons la résistance du câble d'après les relations connues : totale = n D = A + AB + BD Nous connaissons les valeurs de D et AB Nous savons aussi que, de par la construction des circuits électriques et en particulier des câbles, dans la plupart des cas en basse tension (domaine d'application de votre pratique), la résistance du fil aller A est égale à la résistance du fil retour BD Hypothèses : BD = A D = A + A + AB D = ( A ) + AB La résistance du câble est donc égale à A. total A BD = A A total D = ( A ) + AB D = câble + AB AB D B cherchons la résistance du câble : total âble = A A total D - AB = câble + AB - AB ce qui nous donne AB D - AB = câble D B Application numérique : câble = = 0.39 [Ω] alculons maintenant la longueur du câble. l = ρ A Dans notre cas, le câble est en cuivre, symbole chimique u. n formulaire technique nous donnera la valeur de la résistivité (rhô). câble ρcu l = A l = ρ câble cu A 039, 5, 0 Application numérique : l = = [ m] 75, Mais attention, la longueur l est l'image du fil aller et du fil retour. câble = A + B = A Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 9

20 ircuits électriques simples total A onstruction de la ligne alimentant les récepteurs: A total longueur fil aller constituant A longueur fil retour constituant BD AB le tout est entouré de thermoplastique constituant un ABLE électrique. D BD B longueur du câble = longueur fil aller + longueur fil retour Dans notre problème, il nous faudra diviser la longueur totale du fil par, pour obtenir la longueur du câble Application numérique : l = = [ m] ATTENTON DANGE! Dans les problèmes où il s'agit de calculer la longueur d'une ligne ou d'un câble, LSE ATTENTVEMENT votre énoncé... herchons la tension aux bornes du radiateur. L'ohmmètre nous a donné une résistance équivalente éq de 9. [Ω]. Nous pouvons calculer le courant total tot du circuit. Ω éq = D Appliquons la loi d'ohm : = Schéma électrique équivalent obtenu à l'aide de l'ohmmètre D D 30 D = D tot tot = = = 5 A 9. D [ ] onnaissant la résistance du câble câble, nous décomposons notre circuit de la façon suivante: La résistance câble a été calculée précédemment. câble = 0.39 [Ω] Les résistances câble et AB sont couplées en série. total A âble = A total Le courant total tot est ONSTANT mais provoque une chute de tension aux bornes de la résistance du câble câble AB Appliquons la loi d'ohm aux bornes du câble: D B = A = câble tot = = 9.75 [V] Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 0

21 ircuits électriques simples Appliquons la loi des mailles au circuit: total A Σ totale = Σ partielle âble = A total La tension BD est égale à 0, car la résistance BD est 0. AB Mathématiquement, 0 fois une valeur quelconque, égale 0. D B D = A + AB AB = D - A = =.5 [V] L'écart entre les méthodes donne.5 [V]. Nous obtenons cet écart de la façon suivante: =valeur - valeur méthode méthode [ ] = 5. 0 = 5. V ( valeur valeur ) erreur = valeur (, 5 0 ) erreur = = , 5 soit une erreur relative de la mesure de 0.56 % ( ) Nous constatons que l'erreur est infiniment petite et que cette erreur peut avoir comme origine l'imprécision de notre ohmmètre ou l'imprécision de l'arrondi dans nos calculs. 5.9 ode des couleurs des résistances Dans la pratique, les résistances sont repérées au moyen d'anneaux de couleurs placés autour du composant. Exemple de valeur d'une résistance repérée par les couleurs : argent - rouge - noir - bleu - orange Méthode: l faut placer la tolérance en dernier (sens écriture) orange - bleu - noir - rouge - argent Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000

22 ircuits électriques simples Décomposition de la valeur: e qui nous donne le résultat suivant : orange - bleu - noir - rouge - argent + chiffre chiffre chiffre multiplicateur tolérance - orange - bleu - noir - rouge - argent de la valeur nominale soit: + chiffre chiffre chiffre multiplicateur tolérance % ± 0% de la valeur nominale 36 [kω] valeur nominale ± 0% min = 36 0 = max = =. emarque: l sera nécessaire de consulter un cours d'électronique pour expliquer l'utilité des séries E6, E, E4, etc. ode des couleurs : [ kω] [ kω] couleurs tolérances noir brun rouge orange jaune brune rouge % % vert bleu violet gris blanc or argent % 0 % 5.0 Documentaire Gustav Kirchhoff, physicien allemand (84-877). l a formulé les lois qui portent son nom et qui sont capitales en électricité. Avec Bunsen ils créent l'analyse spectrale (859) et découvrent le césium et le nimbium en 86. Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000

23 ircuits électriques simples 5. Entraînement. iter les différents couplages possibles :. Quelle est la différence entre un nœud et une maille? 3. Donner la relation mathématique de la densité de courant par rapport au courant électrique. 4. Quelle est l'unité normalement utilisée pour la densité de courant? 5. ompléter les phrases suivantes : 6. Le nœud est le point convergeant de... conducteurs ou plus. 7. La branche regroupe les éléments situés entre La maille est formée d'un ensemble de Quelle est la valeur commune dans un montage parallèle? 0. Dans un montage parallèle composé de deux résistances de même valeur, un courant de.5 [A] circule dans la première résistance. Quel est le courant dans la seconde résistance?. iter deux applications courantes des montages parallèles.. Dans un montage série composé de 5 résistances, 4 grille à la suite d'une surchauffe. Quelle est la tension aux bornes de? 3. Dans un montage parallèle composé de 5 résistances, 4 grille à la suite d'une surchauffe. Quelle est la tension aux bornes de? 4. Donnez le nom des différents tronçons du circuit ci-contre. tronçon AB : A tronçon ABA : tronçon B : y tronçon ABA : y ombien y a-t-il de nœuds dans ce schéma? B Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 3

24 ircuits électriques simples Exercices :. Dans le circuit ci-dessous : Nommer toutes les mailles, les branches et les nœuds. Flécher tous les courants et toutes les tensions. Enoncer toutes les équations de Kirchhoff alculer la valeur du courant 5, ci-dessous. = +0 [A] = -5 [A] 3 = +30 [A] 4 = +5 [A] 3. alculer la valeur du courant 3, ci-dessous, et déterminer son sens. = -0 [µa] = -5 [µa] 4 = +30 [µa] 5 = -0 [µa] 4. alculer la valeur de la tension, ci-dessous = +0 [nv] = +5 [nv] 3 = +30 [pv] 4 = +0 0 [pv] 5. alculer la valeur de la tension 3, ci-dessous, et déterminer son sens. = 0 [nv] = -0.5 [µv] 4 = +30 [nv] 5 = -0 0 [nv] 6. ne résistance de [Ω] est montée en parallèle avec une résistance de 4 [Ω]. La tension aux bornes de cette combinaison est de [V]. alculer les courants dans les différentes dérivations du montage. 7. résistances sont couplées en parallèle. La mesure effectuée, à l'aide de l'ohmmètre, donne 400 [mω]. Sachant qu'une résistance est notée 0.6 [Ω], calculer la valeur ohmique de l'autre résistance. éponses :. 5 = -30 [A] 3. 3 = +5 [µa] 4. = [nv] 5. 3 =. [µv] 6. = 6 [A] = 3 [A] 7. =. [Ω] Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 4

25 ircuits électriques simples 8. alculer la résistance équivalente du montage ci-dessous si: A 3 = 0 [Ω] = 4 3 = 0. 4 = 0.75 D 4 alculer la tension AB du montage, si AD = 5 [V] B alculer le courant dans la résistance A B alculer la résistance équivalente du montage. G = 0 [ Ω ] = 0 [ Ω ] = 5 [ Ω ] = 5 [ Ω ] = 50 [ Ω ] 3 4 D alculer la tension AH du montage. alculer la tension GA du montage, si elle est le quart de la tension totale. H = [A] E 0. A 3 alculer les courants et du montage suivant lorsque : S S D 4 = 00 [Ω] 3 = 0 [Ω] AB = 30 [V]. = 00 [Ω] 4 = 00 [Ω] B a) l'interrupteur S est OVET et S est OVET b) l'interrupteur S est FEME ( = 0 [Ω]) et S est OVET c) l'interrupteur S est FEME et S est FEME ( = 0 [Ω]) d) l'interrupteur S est OVET et S est FEME ( = 0 [Ω]) éponses : 8. AB = 47.3 [V] 4 =.97 [A] 9. éq = [Ω] AH = [V] GA = 4.6 [V] 0. a ) =. [A] = [ma] b) et c)lorsque S fermé, il y a un court-circuit. est limité par la caractéristique du générateur. d) =.09 [A] = 0 [A] car elles sont court-circuitées par S Electrotechnique / Editions de la Dunanche / septembre 000 5

26 ircuits résistifs et réactifs hapitre 4 ircuits résistifs et réactifs Sommaire Eléments résistifs et réactifs omportement d une résistance en régime alternatif sinusoïdal omportement d un condensateur en régime alternatif sinusoïdal omportement d une inductance en régime alternatif sinusoïdal Entraînement ntroduction [V] [A], ~ t [ms], [V] [A] ~ c 0 t [ms], [V] [A] ~ L 0 t [ms] Electrotechnique / Editions de la Dunanche /octobre 000

27 4 Définition des éléments résistifs et réactifs : ircuits résistifs et réactifs Différents éléments composent les circuits électriques, en régime continu comme en régime alternatif. Nous trouvons principalement des résistances, des capacités (condensateurs) et des inductances (bobines). es trois genres d éléments ne se comportent pas de la même façon en régime continu ou en régime alternatif. Dans ce chapitre, nous allons étudier les différentes possibilités de couplage de ces éléments ainsi que leurs différents comportements. 4. ésistance : ne résistance peut être fabriquée selon plusieurs méthodes. Dans les circuits électroniques de petite puissance, elle est de petite taille et généralement à film métallique ou à couche de carbone. En électricité basse tension (< 000 [V] ) et dans les circuits de puissance, elle est réalisée au moyen d'un fil conducteur qui est souvent enroulé sur un support (résistance bobinée). La longueur ainsi que les caractéristiques du fil utilisé détermineront la valeur et la puissance de la résistance. appel : l = ρ A Nous avons étudié trois possibilités de raccordement de résistances : [Ω] en série - en parallèle - mixte es notions ont déjà été étudiées et il n est pas utile de les aborder à nouveau. Nous nous contenterons de récapituler les notions de base ainsi que les formules importantes pour ces montages : Montage série = 0 V 3 = = = 3 équ = Montage parallèle = = = = équ = Montage mixte. Le calcul d un tel circuit dépend de sa complexité. l est nécessaire d utiliser les formules des montages série et parallèle. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /octobre 000

28 ircuits résistifs et réactifs 4. omportement d une résistance : ne des principales caractéristiques des résistances est de se comporter de la même manière quel que soit le genre de tension qui lui est appliquée. + - ~ eprésentations temporelles :,, [V] [A] [V] [A] t [ms] t [ms] eprésentations vectorielles : ω onstatations : l n y a pas de différence de comportement entre le circuit alimenté par la source continue et celui alimenté par la source alternative. ne résistance idéale ne provoque aucun déphasage entre le courant et la tension. La valeur de la résistance idéale ne dépend pas de la valeur de la fréquence. Suivant sa technologie de construction, la résistance peut se comporter différemment par rapport au cas idéal que nous venons d'étudier. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /octobre 000 3

29 ircuits résistifs et réactifs 4.3 apacité : n condensateur peut être fabriqué selon plusieurs méthodes, ce qui définira sa forme et sa valeur. Dans les circuits électroniques, sa taille doit être la plus petite possible. La taille du condensateur est fortement dépendante de sa valeur (sa capacité). l est composé de deux armatures ou deux surfaces conductrices placées l une en face de l autre et séparées par un isolant. La qualité de l isolant, la distance entre les armatures et la surface des armatures vont déterminer la capacité du condensateur. appel : = ε 0 ε r A d [F] = capacité en farad [F] ε 0 = permittivité du vide ou de l air [F m - ] ε r = permittivité de l isolant [-] A = surface des armatures [m ] d = distance entre les armatures [m] omme pour les résistances, il y a trois raccordements possibles : en série - en parallèle - mixte Montage série 3 éq = Montage parallèle 3 éq = Montage mixte Le calcul d un tel circuit dépend de sa complexité. l est nécessaire d utiliser les formules des montages série et parallèle. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /octobre 000 4

30 ircuits résistifs et réactifs 4.4 omportement du condensateur : La caractéristique du condensateur est d avoir un comportement différent en régime continu et en régime alternatif. + c ~ c - eprésentations temporelles :, [V] [A] [V] [A], t [ms] 0 t [ms] eprésentations vectorielles : ω onstatations : l y a une importante différence de comportement entre le circuit alimenté par une source continue et celui alimenté par une source alternative. Avec la source continue, il n y a pas de courant. Le condensateur étant composé d armatures séparées par un isolant, les électrons ne peuvent pas circuler. Avec la source alternative il y a un courant qui représente un échange de charges entre les armatures. Le courant est en avance de 90 par rapport à la tension. La valeur du courant dépend de la capacité du condensateur, ainsi que de la fréquence et de la tension du générateur. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /octobre 000 5

31 ircuits résistifs et réactifs 4.5 Fonctionnement d un condensateur en courant continu : A l enclenchement, le condensateur est déchargé et il se comporte comme un réservoir vide. Dans ce cas, il faut d abord faire circuler un courant avant qu une tension n'apparaisse aux bornes des armatures. La charge du condensateur n est pas linéaire, mais exponentielle. Au fur et à mesure de la charge du condensateur, le courant de charge diminue. A la fin de la charge, il n y aura plus de courant, mais une tension maximum sur les armatures du condensateur. e phénomène explique la raison pour laquelle le condensateur ne conduit pas lorsqu il est raccordé sur une source de tension continue. + - c l est simple de constater que lorsque le condensateur sera complètement chargé, il n'y aura plus de chute de tension aux bornes de la résistance. ela signifie que la valeur du courant sera tombée à zéro. = = Pour que le cycle de charge se reproduise, il faut que le condensateur se décharge. est ce qui se passe lorsque le condensateur est raccordé à une source de tension alternative. Dans ce cas, le condensateur répétera les cycles de charges / décharges et un courant s installera en permanence dans le circuit, mais aucun courant ne traverse le condensateur puisque ses armatures sont séparées par un isolant (diélectrique). l est clair que le courant dans le condensateur va dépendre de la capacité du condensateur et de la fréquence du générateur (rapidité du cycle de charge/décharge) et de la tension du générateur. trace A courant trace B tension L oscilloscope cicontre nous montre la forme du courant et de la tension sur un condensateur lors de charges et décharges successives en tension continue. Nous constatons que le courant atteint rapidement une valeur maximum, alors que la tension arrive en retard par rapport au courant. 4.6 nductance : ne inductance est généralement composée de fil enroulé autour d un noyau. Le fil n est pas forcément magnétique et les bobines sont souvent réalisées avec du fil de cuivre. Les caractéristiques du noyau dépendent de l utilisation de la bobine. Le matériau utilisé doit être magnétique et il sera choisi par rapport à son cycle d hystérésis. Les bobines de faible inductance peuvent être fabriquées sans noyau. En raison des différentes caractéristiques des noyaux, la taille de la bobine n'est pas forcément en rapport avec sa valeur. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /octobre 000 6

32 ircuits résistifs et réactifs µ appel : L N r = A l [H] L = inductance [H] N = nombre de spires [-] µ r = perméabilité du noyau [-] A = section du noyau [m ] l = longueur du noyau [m] omme pour les condensateurs, il existe trois possibilités de raccordement : en série - en parallèle - mixte Dans les exemples ci-dessous, il n y a pas d influence magnétique entre les bobines, sinon il faut tenir compte du facteur de couplage. L Montage série L L3 L éq = L + L + L 3 Montage parallèle L L L3 Léq = + + L L L3 L L4 Montage mixte. L L3 L6 L5 Le calcul d un tel circuit dépend de sa complexité. l est nécessaire d utiliser les formules des montages séries et parallèles. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /octobre 000 7

33 ircuits résistifs et réactifs 4.7 omportement d une inductance : La caractéristique de la bobine est d avoir un comportement différent en régime continu ou en régime alternatif. + L ~ L - eprésentations temporelles :, [V] [A] [V] [A], t [ms] 0 t [ms] eprésentations vectorielles : ω onstatations : l y a une importante différence de comportement entre le circuit alimenté par une source continue et celui alimenté par une source alternative. Avec la source continue, le courant est limité par la résistance du fil qui compose la bobine. Le courant est généralement très grand car la résistance du fil est petite. La loi de Lenz définit que la variation de la tension induite est toujours opposée à la variation de la tension qui l'a crée. e qui explique que le courant est en retard de 90 par rapport à la tension. La valeur du courant dépend de l inductance de la bobine, de la résistance de son fil, de la fréquence et de la tension du générateur. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /octobre 000 8

34 ircuits résistifs et réactifs Lors du raccordement d'une inductance dans un circuit alternatif, le courant est en retard de 90 par rapport à la tension. A chaque changement de polarité aux bornes de la bobine, le même phénomène de self induction se reproduit et le courant est constamment en retard par rapport à la tension. L oscilloscope ci-dessous nous montre la forme du courant et de la tension sur une inductance. trace B tension trace A courant Nous constatons que la représentation du courant et de la tension ont un sens opposé. l s agit de l effet de self induction. 4.8 Exercices. Plusieurs condensateurs sont raccordés en série. ls ont les valeurs suivantes : = 0 [nf] = [nf] 3 = 47 [nf] 4 = 5600 [pf] 5 = 0.00 [µf] Donner l ordre de grandeur de la capacité équivalente et effectuer ensuite le calcul. Les mêmes condensateurs sont raccordés en parallèle. alculer la capacité équivalente. L 8 pf 3. alculer la valeur équivalente des montages ci-contre. : 50 mh 55 mh L 00 mh L3 47 pf 68 pf 3 4. Plusieurs bobines sont raccordées en série. Elles ont les valeurs suivantes : = 0 [mh] = 0 [mh] 3 = 50 [mh] 4 = 5600 [µh] 5 = 0.00 [H] Donner l ordre de grandeur de l inductance équivalente et effectuer ensuite le calcul 5. Les mêmes bobines sont raccordées en parallèle. alculer l inductance équivalente. éponses :. =.4 [nf] [nf] 3. = 84 [nf] L = [mh] [mh] [mh] Electrotechnique / Editions de la Dunanche /octobre 000 9

35 ircuits L séries hapitre 5a ircuits L séries Sommaire Montage série en courant alternatif ircuit électrique mpédance Mesure d un circuit L série en régime alternatif sinusoïdal alcul des réactances et de l impédance Tracé temporel du comportement des éléments du circuit Tensions aux bornes des éléments du circuit eprésentations temporelles et vectorielles Formules de calcul ésonance série Exercices ntroduction 5 Montage série en courant alternatif : Dans la pratique, les circuits sont généralement composés des éléments que nous venons d'étudier, montés soit en série, soit en parallèle. Pour étudier le comportement des éléments et celui du montage complet, nous allons réaliser une mesure. Les résultats de cette mesure nous permettrons d'effectuer des constatations sur le comportement du circuit et des éléments qui le composent. Avant cela, il est nécessaire de définir les termes utilisés. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000

36 ircuits L séries 5. ircuit électrique Lorsqu'un circuit électrique est alimenté par un régime alternatif sinusoïdal, les récepteurs peuvent être de n'importe quel type. Tous les récepteurs peuvent représenter un couplage mixte, composé de résistances et/ou de condensateurs et/ou d'inductances L. La source d'alimentation ne voit en définitive qu'un seul récepteur appelé : impédance dont la particularité est de tenir compte du déphasage entre la tension u et le courant i. 5..mpédance L'impédance est le quotient de la tension et du courant, dans un montage alimenté en régime sinusoïdal alternatif, en tenant compte de l'angle de déphasage entre les grandeurs et. = Ι avec φ = α - β Elle exprime l'opposition faite au passage du courant à travers les éléments composant le circuit, ainsi que le déphasage appelé φ (phi) provoqué par ces éléments entre la tension et le courant. Son symbole de grandeur : Son symbole d'unité : [Ω] ohm ette impédance est une valeur imaginaire. l n'existe pas d'appareil appelé MPEDANEMETE capable de mesurer n'importe quelle impédance. Seuls un voltmètre, un ampèremètre, un cos φ-mètre et la relation mathématique permettent de la calculer. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000

37 ircuits L séries Schéma : A V Exemple : n moteur électrique est connecté au réseau 30 [V] alternatif 50 [Hz]. Les indications des différents appareils de mesures donnent : = 4.5 [A] cos = 0.8 inductif alculer l'impédance du moteur. Données : = 4.5 [A] = 30 [V] cos = 0.8 inductif f = 50 [Hz] nconnue : =? elation : = Ι Application numérique : = [ ] 5. Ω eprésentation symbolique de l'impédance L'impédance est une association de résistance et d'inductance L. Soit les deux types de consommateurs d'énergie électrique (voir tableau récapitulatif page ). ~ L De cette représentation, nous pouvons mesurer la résistance du moteur., à l'aide d'un ohmmètre et en déconnectant le moteur du réseau. n ohmmètre alimente avec une tension continue le moteur. Le phénomène de self ou d'induction ne se manifeste pas en régime constant. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 3

38 ircuits L séries 5.4 Mesure d un circuit L série raccordé à une source alternative But de la mesure : Mesurer les valeurs des tensions sur les éléments, le courant dans le circuit. alculer la valeur de la résistance, des réactances et de l impédance. Les instruments raccordés dans notre circuit ne permettent que la mesure des tensions et du courant. Pour obtenir les valeurs de la résistance, des réactances et de l impédance, il faut effectuer des calculs. 5.5 Schéma électrique : ma ~ H L H V = 560 [Ω] L = 50 [mh] = 3.3 [µf] 5.6 Schéma de la mesure : Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 4

39 ircuits L séries 5.7 alcul des réactances et de l impédance : Nos éléments sont montés en série, le courant est identique dans tout le circuit. Nous pouvons utiliser la loi d Ohm pour déterminer les valeurs qui ne peuvent être mesurées par les instruments. elations : = = X = X L = L [Ω] défini l impédance totale du circuit et représente sa valeur ohmique. X [Ω] défini la réactance capacitive et représente la valeur ohmique qu oppose le condensateur au passage du courant. X L [Ω] défini la réactance inductive et représente la valeur ohmique qu oppose la bobine au passage du courant. [Ω] représente la valeur ohmique qu oppose la résistance au passage du courant. 5.8 Tableau des valeurs mesurées et calculées : f [Hz] i [ma] [ Ω ] [V] [ Ω ] L [V] X L [ Ω ] [V] X [ Ω ] emarque : La mesure a été effectuée avec une tension constante de 0 [V] au générateur. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 5

40 ircuits L séries onstatations : La valeur de la résistance ne varie pas en fonction de la fréquence La valeur du courant est maximale à la fréquence de 6 [Hz] L addition arithmétique ou algébrique des tensions sur les trois éléments ne correspond pas à la tension aux bornes du circuit. L impédance est inversement proportionnelle au courant et sa valeur est minimale à la fréquence de 6 [Hz]. La réactance d induction X L augmente en fonction de la fréquence La réactance capacitive X diminue en fonction de la fréquence A la fréquence de 6 [Hz] les deux réactances ont une valeur identique A la fréquence de 6 [Hz] l impédance à la même valeur que la résistance. Lorsque X = X L le circuit est dit en "résonance" et l'impédance vaut. La fréquence à laquelle ces conditions sont remplies s'appelle fréquence de résonance f o Pour notre circuit f o = 6 [Hz] 5.9 ourbes : ourbes du courant, de l impédance et de la résistance. [ma] f [khz] [Ω] f [khz] Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 6

41 ircuits L séries [Ω] f [khz] emarques : La pointe de courant est effectivement présente lorsque l impédance est minimum. L impédance est grande pour les fréquences basses, ensuite elle diminue pour atteindre la valeur de et après, elle augmente. L impédance est égale à pour une fréquence de 6 [Hz]. La valeur de la résistance ne varie pas. 5.0 omportement des éléments réactifs : [Ω] X L f [khz] [Ω] 500 Xc ourbe de la réactance inductive en fonction de la fréquence f [khz] ourbe de la réactance capacitive en fonction de la fréquence Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 7

42 ircuits L séries [Ω] f [khz] ourbe de l'impédance en fonction de la fréquence emarques : La réactance inductive augmente linéairement en fonction de la fréquence. La réactance capacitive diminue rapidement en fonction de la fréquence. L impédance est grande pour les fréquences basses et pour les fréquences élevées. Pour ce montage, l'impédance est minimum à la fréquence de 6 [Hz]. L impédance tend vers la courbe de X jusqu à 6 [Hz], ensuite tend vers la courbe de X L. Pour confirmer nos constatations, nous pouvons placer les 4 courbes sur le même diagramme. X L Xc [Ω] X L Xc f [khz] Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 8

43 ircuits L séries 5. Formules de calcul : éactance inductive X L Nous avons constaté que la réactance inductive est proportionnelle à la fréquence. Nous pouvons déjà écrire : X L =... L l nous manque la valeur comportant la fréquence. ette valeur est représentée par la pulsation ω. Notre formule sera la suivante : X ω L L = La pulsation est égale à : ω = π f [Ω] rad s emplaçons ω par sa valeur : XL = π f L [Ω] éactance capacitive X La réactance capacitive est inversement proportionnelle à la fréquence. Nous pouvons déjà écrire : X =... l nous manque la valeur comportant la fréquence. ette valeur est représentée par la pulsation ω. Notre formule sera la suivante : X = ω [Ω] emplaçons ω par sa valeur : X = π f [Ω] Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 9

44 ircuits L séries 5. Tensions sur les éléments du circuit : eprenons le tableau des valeurs de notre circuit. f [Hz] i [ma] [V] L [V] [V] onstatations : La tension aux bornes de la résistance augmente jusqu à la fréquence de 6 [Hz] et ensuite elle diminue. La tension aux bornes de la bobine augmente avec la fréquence. La tension aux bornes du condensateur diminue avec la fréquence. A la fréquence de 6 [Hz] la tension aux bornes de la bobine et égale à celle aux bornes du condensateur. A la fréquence ce 6 [Hz] la tension aux bornes de la résistance est égale à la tension aux bornes du circuit. Si nous additionnons arithmétiquement les tensions aux bornes des trois éléments, ceci pour n importe quelle fréquence, nous obtenons toujours une valeur supérieure à la tension totale présente aux bornes du circuit. La dernière constatation est très importante. Elle est la conséquence des déphasages entre les tensions présentes aux bornes des éléments. Pour représenter ces tensions et ces déphasages, il est nécessaire de tracer soit une représentation temporelle, soit un diagramme vectoriel. Nous appliquerons les principes étudiés lors de l analyse du comportement des éléments en circuit alternatif sinusoïdal. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 0

45 ircuits L séries 5.3 eprésentations temporelles et vectorielles : Notre circuit est composé de trois éléments montés en série. haque élément est parcouru par un courant identique et il provoque une chute de tension à ses bornes. ette tension est proportionnelle à la réactance ou à la résistance des éléments. Nous pouvons représenter 5 valeurs : tot ( ) L 5.4 eprésentations temporelles : L [V] [ma] L 4-0 [ms] t Le courant est représenté à titre indicatif Sur ce tracé nous trouvons représentés toutes les tensions ainsi que le courant, mais il n est pas aisé d interpréter ce genre de représentation. Nous pouvons toutefois faire quelques constatations : ette représentation est réalisée pour une fréquence de 500 [Hz]. Elle n est valable que pour cette fréquence. Dans le circuit série, le courant est utilisé comme référence car il est commun à tous les éléments. La tension aux bornes de la résistance est en phase avec le courant. La tension aux bornes du condensateur est en retard de 90 par rapport au courant. La tension L aux bornes de la bobine est en avance de 90 par rapport au courant. Les tensions et L sont déphasées de 80. La tension aux bornes du circuit est en avance par rapport au courant. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000

46 ircuits L séries eprésentations temporelles pour différentes fréquences : L [V] [ma] L [ms] t -6-8 La valeur du courant est représentée à titre indicative -0 Mesures effectuées à une fréquence de 50 [Hz]. est plus grand que L. est en retard par rapport au courant. L [V] [ma] L [ms] t -6-8 La valeur du courant est représentée à titre indicative -0 Mesures effectuées à la fréquence de résonance de 6 [Hz]. et L ont la même valeur., et sont en phase. L [V] [ma] L [ms] t -6-8 La valeur du courant est représentée à titre indicative -0 Mesures effectuées à une fréquence de 300 [Hz]. est plus petit que L. est en avance par rapport au courant. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000

47 ircuits L séries onstatations : La tension est constamment en phase avec le courant, indépendamment de la fréquence. Les tensions et L varient d'amplitude en fonction de la fréquence, mais leurs déphasages restent constants par rapport à La tension est en retard par rapport au courant pour les fréquences basses, et en avance pour les fréquences hautes. A la fréquence de 6 [Hz], appelée fréquence de résonance, les tensions et sont en phase avec le courant et elles ont la même valeur. Les représentations temporelles sont peu pratiques à tracer et à utiliser pour les calculs. est pour cela que les représentations vectorielles sont plus généralement utilisées pour calculer et étudier les circuits en alternatif sinusoïdal. 5.5 Diagramme vectoriel : Dans le circuit série, le courant est commun à tous les éléments. l nous servira de référence pour le diagramme. Dans le circuit parallèle, c est la tension qui est commune aux éléments et c est elle qui sert de référence. Dans les deux cas, il s'agit d'un choix arbitraire. f = 500 [Hz] = 4.84 [ma] = 0 [V] = 8.3 [V] =.43 [mv] L = 9.99 [mv] ω L ϕ emarques : La position des vecteurs est déterminée par le déphasage entre les tensions. La longueur des vecteurs correspond à la valeur des tensions présente sur les éléments. Les déphasages entre les tensions apparaissent plus clairement sur le diagramme. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 3

48 ircuits L séries onclusions de la mesure : Dans un circuit L série raccordé sur une source de tension alternative sinusoïdale, le courant est commun à tous les éléments. Les réactances capacitive et inductive varient en fonction de la fréquence. Pour une certaine valeur de fréquence appelée fréquence de résonance, le courant est maximum. Sa valeur est limitée par les résistances du circuit. L addition arithmétique des tensions partielles donne une valeur plus grande que celle de la tension totale aux bornes du circuit. Les tensions aux bornes du condensateur et de la bobine sont déphasées de 90 [ ] par rapport à la référence. La tension aux bornes de la résistance est en phase avec le courant. Pour les fréquences en dessous de f 0, la tension d entrée est en retard par rapport au courant. Dans ce cas le circuit a un comportement APATF. Pour les fréquences en dessus de f 0, la tension d entrée est en avance par rapport au courant. Dans ce cas le circuit a un comportement NDTF. La fréquence à laquelle et L ont la même valeur s appelle FEQENE DE ESONANE. f < f 0 f = f 0 f > f 0 ω ω L ω L L ϕ ϕ L Fréquence basse L < en retard sur ircuit APATF Fréquence de résonance L = = déphasage nul ircuit ESSTF Fréquence haute L > en avance sur ircuit NDTF Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 4

49 ircuits L séries 5.6 elations : Le diagramme vectoriel nous permet de déterminer les relations utiles pour le calcul des circuits L série. L ω ϕ Les tensions et L sont opposées de 80. Lorsque nous les additionnons, nous obtenons une tension résultante appelée tension de réactances X.ette tension est obtenue de la manière suivante :!!! = lorsque le circuit est inductif X L!!! = = 0 à la fréquence de résonance le circuit est résistif X L!!! = lorsque le circuit est capacitif X L Lorsque l'on additionne géométriquement! x,! et! on obtient un triangle rectangle. Pour obtenir une de ces trois valeurs ou l angle de déphasage, nous utilisons les relations de Pythagore et celles de la trigonométrie. Pythagore : ω ω X X ϕ ϕ X L = + = + ( ) = = X X Trigonométrie : Pythagore : cosϕ = ϕ = cos L = + X = + ( X X ) = X X = X = X X ou X = X X L Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre L

50 ircuits L séries 5.7 Développement chiffré : n circuit L série est composé des éléments suivants : = 80 [Ω] L = 5 [mh] = 5 [nf] l est raccordé sur un générateur dont la fréquence est de [khz] et la tension de sortie de 0 [V]. alculer toutes les tensions ainsi que l angle de déphasage entre le courant et la tension. alculs des réactances : alcul de l impédance : XL = f L 3 3 π = π = 3 [Ω] X = f = 884 π = 3 9. π [ Ω ] ( ) ( ) L = + X X = = [ Ω ] alcul du courant : 0 = = = [ma] alcul de l angle de déphasage : Vérification du calcul : alculs des tensions : ϕ = cos ϕ = cos Vérification des calculs : 80 = cos = [ ] = cos 78 = 539. [ ] 0 = -3 = = 78. [V] -3 = X = = [V] -3 L = X L = = [V] ( ). (.. ) L = + = = 0 [V] e calcul nous permet de contrôler l exactitude des tensions sur les éléments. doit correspondre à la tension fournie par le générateur soit 0 [V]. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 6

51 ircuits L séries 5.8 ésonance série : Pour une certaine valeur de fréquence à l'entrée du circuit, les tensions! et! L ont la même valeur. omme nous l'avons vu,! et! L sont déphasées de 80, ce qui implique que lorsqu'elles sont égales, il y a un échange total d'énergie entre le condensateur et la bobine. Lorsque cette condition est remplie, cette fréquence est appelée : fréquence de résonance f o. Selon la loi d Ohm, la tension aux bornes du condensateur et de la bobine sont proportionnelles au courant et à la réactance de l élément. = X et = X L L Le courant étant commun pour les deux éléments, lorsque les deux tensions! et! L sont identiques, les deux réactances ont également la même valeur. Nous pouvons en déduire qu à la fréquence de résonance : L = - X L = -X remarques : le signe - indique le déphasage echerche de la fréquence de résonance f o : Pour obtenir la résonance dans un circuit L, il faut que X = X L X = X L π f o = π f L o f = f π L π o = f 4 π L o = 4 π L o f o = π L ette formule s appelle formule de Thomson et elle permet de définir la fréquence de résonance f o d un circuit L. Exemple : alculer la fréquence de résonance du montage du circuit de mesure ainsi que pour celui de l exercice de la page précédente. L = 50 [mh] = 3.3 [µf] f o =? fo = = π L -3 π = 6. [Hz] L = 5 [mh] = 5 [nf] f o =? fo = = π L -3 π = 0.6 [khz] Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 7

52 ircuits L séries 5.5 Exercices. ne inductance a une valeur de 0.8 [H]. alculer sa réactance pour les réseaux suivants a ) FF b ) VE c ) SA. alculer le courant qui circule dans une inductance de 3 [mh] si elle est raccordée à un générateur de tension alternatif de 50 [V] / 400 [Hz]. 3. alculer la réactance inductive d'une bobine de 3.8 [H] lorsqu'elle fonctionne sur un réseau dont la fréquence est de 50 [Hz]. 4. ne bobine a une réactance de 475 [Ω] et elle est raccordée à un générateur dont la fréquence est de 00 [Hz]. alculer l'inductance de la bobine. 5. ne bobine de 3.9 [H] est raccordée dans un circuit alternatif. En fonctionnement, sa réactance vaut 6 [kω]. alculer la fréquence du circuit. 6. Quelle est la capacité d'un condensateur si sa réactance vaut 4.5 [Ω] pour une fréquence de.5 [khz]? 7. n filtre possède un condensateur de 0 [nf]. alculer sa réactance pour une fréquence de 08 [khz]. 8. Quelle est la fréquence d'un circuit dans lequel est branché un condensateur de 4 [µf] dont la réactance vaut 796 [Ω]? 9. n circuit est composé d'une bobine idéale de 4.75 [mh]. l fonctionne à une fréquence de 75 [khz] et avec une tension de 50 [V]. alculer le courant dans le circuit. 0. n condensateur est raccordé en série dans une installation d'éclairage de secours de 75 [W]. Quel sera le courant dans le condensateur si les batteries fournissent une tension de [V]?. n condensateur est traversé par un courant de 78 [ma]. alculer la valeur du condensateur si l'alimentation fourni une tension de 00 [V] / 50 [Hz].. n condensateur est raccordé sur une source alternative de 50 [Hz]. l est parcouru par un courant de 500 [ma]. Quel sera le courant si la fréquence de la source quadruple? éponses : [Ω] [Ω] [Ω]. 6.7 [ma] [Ω] [mh] [Hz] 6..5 [µf] [Ω] [Hz] [ma] 0. 0 [ma], pas de courant continu dans un condensateur. Les alimentations de secours fonctionnent avec des batteries D..48 [µf]. 4 fois plus grand Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 8

53 ircuits L séries 3. n circuit bouchon est composé d une bobine de 0 [mh] et d un condensateur de 0.8 [µf]. Sa fréquence de résonance est de 485 [Hz]. Nous désirons utiliser ce filtre pour une fréquence de 37 [Hz] en modifiant soit le condensateur, soit l inductance. alculer la valeur des éléments dans les deux cas. 4. n circuit L série est composé d une résistance de 5 [Ω], d une bobine de 60 [mh] et d un condensateur de.5 [µf]. l est raccordé sur une source alternative de 60 [V]. alculer la fréquence de résonance du montage ainsi que le courant pour f o 5. n circuit L série est composé d une résistance de 500 [Ω], d une bobine de 50 [mh] et d un condensateur. Sa fréquence de résonance vaut f o =.5 [khz]. l est raccordé sur une source alternative de 50 [V].alculer la valeur du condensateur. alculer toutes les tensions sur les éléments pour une fréquence de 4.5 [khz]. 6. n circuit est composé d'un condensateur de 4.7 [nf] et d'une résistance de. [kω]. l est raccordé sur un générateur de fréquence réglé sur 5.4 [khz] et dont la tension de sortie est fixe et vaut 5 [V]. Dessiner le schéma du circuit et flécher toutes les valeurs. Tracer le diagramme vectoriel alculer : L'impédance du circuit Les tensions sur les deux éléments. Le courant total et l'angle de déphasage alculer l'atténuation du circuit en db pour la fréquence indiquée, si la sortie se trouve sur le condensateur. 7. n circuit L série comporte une résistance de 0 [kω] et il fonctionne à une fréquence. n courant de 405 [µa] et une tension de.96 [V] sont est mesurés sur la bobine pour un signal de 3.5 [MHz]. alculer la valeur de la bobine ainsi que la valeur de la tension à l'entrée du circuit X L = 4.87 [kω] L = 0 [µh] =. [kω] e = 4.5 [V] 8. n circuit L a les caractéristiques suivantes pour sa fréquence de résonance : L = 5 [mh] - = 470 [nf] - L = 0 [V] - G u à f o = - 3 db Dessiner le schéma du circuit et flécher toutes les valeurs. Tracer le diagramme vectoriel pour les fréquences de [khz] et de 3 [khz]. alculer ( pour les deux fréquences ) : e - - L f o éponses : [µf] [mh] [Hz] 4 [A] 5. = 7 [nf] = 3.9 [kω] = 5. [ma] =.79 [V] = 9.9 [V] L = [V] 6. = 3. [kω] =.6 [ma] = 3.54 [V] = 3.54 [V] ϕ = -45 [ ] A u = -3 db 7. X L = 4.87 [kω] L = 0 [µh] =. [kω] e = 4.5 [V] 8. Pour f = khz : X L = 94.4 [Ω] X = [Ω] = [Ω] = 40.3 [ma] ϕ = -44. [ ] e = 4. [V] = 0. [V] = 3.6 [V] L = 3.79 [V] Pour f = 3 khz : X L = 8.74 [Ω] X =.87 [Ω] = [Ω] = 46.5 [ma] ϕ = 34.[ ] e = 4. [V] =.7 [V] = 5.5 [V] L = 3.4 [V] Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 9

54 ircuits L séries 9. n moteur est raccordé sur une génératrice 400 [V] 00 [Hz]. La mesure à l'ohmmètre indique une résistance de 36 [Ω]. n courant de 4 [A] circule dans le moteur. alculer la valeur de la bobine, toutes les tensions et l'angle de déphasage 0. ne inductance de 800 [mh] est montée en série avec une résistance de.5 [kω]. Le montage est raccordé sur une source de tension de 50 [V] / 00 [Hz]. alculer l impédance, le courant, toutes les tensions et l'angle de déphasage Tracer le diagramme vectoriel sur une feuille séparée.. ne lampe est montée en série avec un condensateur de 0 [µf]. On mesure une tension de [V] aux bornes du condensateur lorsque le circuit est raccordé sur un réseau 50 [Hz]. alculer l impédance, la résistance de la lampe, le courant, la tension sur la lampe, et l'angle de déphasage. Tracer le diagramme vectoriel sur une feuille séparée.. ne inductance du 00 [mh], un condensateur de 700 [nf] et une résistance de 50 [Ω] sont montés en série. ls sont raccordés sur une source de tension alternative de 60 [V] dont la fréquence vaut 500 [Hz]. alculer l impédance, le courant, toutes les tensions et l'angle de déphasage. Tracer le diagramme vectoriel sur une feuille séparée. 3. ne résistance bobinée a une inductance de 450 [mh]. n courant de 650 [ma] la traverse lorsqu elle est raccordée sur une tension alternative de 30 [V] 50 [Hz]. alculer la valeur de la résistance, l impédance, les tensions et l'angle de déphasage Dessiner le schéma, flécher toutes les valeurs et tracer le diagramme vectoriel sur une feuille séparée. 4. Lorsqu'une bobine est parcourue par un courant continu, nous mesurons.5 [A], alors que lorsqu'elle est raccordée sur une source alternative sinusoïdale d'une fréquence de 50 [Hz] le courant vaut 850 [ma]. Les deux tensions sont comparables et la valeur de crête de la tension alternative vaut 5 V. alculer l impédance, la résistance de l'inductance, la valeur de l'inductance, et l'angle de déphasage 5. n circuit série est utilisé comme filtre de tonalité dans un appareil audio. l est composé d'une résistance de 330 [Ω] et d'un condensateur. La tension à l'entrée du filtre est de.5 [V]. La tension de sortie est prise sur le condensateur. alculer la valeur du condensateur pour une atténuation de 35 % à [khz], l impédance, le courant, et l'angle de déphasage pour cette même fréquence. éponses : 9. =44 [V] L = [V] L = 48.5 [mh] cosϕ = 0.36 ϕ = 68.9 [ ] 0. = [Ω], = [ma], = 4.6 [V], L = [V], ϕ = [ ]. = 50 [Ω], L = 05 [Ω], =.0 [V], =00 [ma], ϕ = 6.07 [ ]. = 49. [Ω], = 40.5 [ma], = 0. [V], = 8.87 [V], L = 6.34 [V], ϕ = 70.4 [ ] 3. = [Ω], = 0.85 [V], L = 9.9 [V], ϕ = 3.55 [ ] 4. =.47 [Ω], L = 4.4 [Ω], L =.45 [mh], ϕ = 70. [ ] 5. = [Ω], = 3.45 [ma], =.4 [V], = 975 [mv], = 564 [nf], ϕ = [ ] Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 0

55 ircuits L et parallèles hapitre 6b ircuits L parallèles Sommaire Montage parallèle en courant alternatif onductance, admittance et suceptance mpédance ircuit L et parallèles ircuits bouchons Exercices ntroduction ircuits et L parallèle A l'inverse des circuits série, les circuits parallèles présentent une grande impédance pour la fréquence de résonance. Lors de l'étude des circuits de résistances en parallèle, nous avons utilisé la conductance G pour déterminer la résistance équivalente du circuit. ette méthode nous permet de simplifier les calculs et de mieux en comprendre le comportement. onductance, admittance et susceptance ontrairement aux circuits séries, dans les circuits parallèles, la tension est commune à tous les éléments et le courant est réparti dans les différentes branches du circuit. Pour déterminer la conductance totale d'un circuit parallèle, nous additionnons les conductances de chacune des branches. La résistance équivalente du circuit sera égale à l'inverse de la conductance totale. ette méthode simplifie les calculs et nous pouvons l'appliquer aux circuits, L et L parallèle. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000

56 ircuits L et parallèles Nous parlons de : onductance G : facilité qu'a une résistance (ou un ensemble de résistances) de laisser passer le courant lorsqu'une tension lui est appliquée. [ ] G = S Susceptance B : facilité qu'a un élément réactif (ou un ensemble de réactances) à laisser passer le courant lorsqu'une tension alternative lui est appliquée. Admittance Y : BL = X L B = X [ S] [ S] facilité qu'a un circuit composé d'éléments résistifs et réactifs à laisser passer le courant lorsqu'une tension alternative lui est appliquée, en tenant compte du déphasage entre et. Y= [ S] emarque : G, B et Y s'expriment en siemens [S] ircuits L parallèle Soit un circuit composé d'une résistance et d'une bobine: L ~ L L Pour mieux comprendre le comportement de ce circuit, il est indispensable de tracer le diagramme vectoriel. omme nous sommes en parallèle, la valeur commune à tous les éléments est la tension et nous l'utiliserons comme référence pour le diagramme (il s'agit d'un choix arbitraire). Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000

57 ircuits L et parallèles ω ϕ L onstations : la résistance ne déphase pas le courant la bobine provoque un retard de 90 [ ] du courant L par rapport à la tension. le courant total z est en retard par rapport à la tension. Par analogie nous pouvons tracer le diagramme suivant : ϕ Y G ω Le courant étant inversement proportionnel à la résistance et à la réactance, nous devons utiliser la conductance G et la susceptance B. Le vecteur résultant du diagramme correspond à l'admittance Y du circuit. B L elations : ω ω G ϕ ϕ L B L Y Par Pythagore : = + Y = G + B L z L Nous savons que : z z = = L L = ω L Y = G = B L = ω L Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 3

58 ircuits L et parallèles Nous pouvons donc écrire : z L = + ω L = + ω L La tension est commune sur les éléments: = + ω L = + ω L La formule finale de l'impédance est : = + X L = + X L alcul de l'angle de déphasage : cosϕ = z cosϕ = G Y cosϕ = cosϕ = ϕ = cos z ϕ = cos G Y ϕ = cos Exemple n circuit est composé d'une résistance de 0 [Ω] et d'une bobine de 50[mH]. l est raccordé sur une source de 00 [V] dont la fréquence est de 60 [Hz] alculer l'impédance, tous les courants ainsi que l'angle de déphasage. Données : = 0 [Ω] L = 50 [mh] = 00 [V] f = 60 [Hz] nconnues : L ϕ Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 4

59 ircuits L et parallèles elations : G = B L = ω L L = L = ω L ϕ = cos Y = G + B L z L = + ϕ = cos = + X L Diagrammes vectoriels : ω ω G ϕ ϕ L = z B Y alcul de la conductance et de la susceptance : G = = = [ms] BL = = = ω L π [ms] alcul de l'admittance : 3 3 Y = G + B L = ( ) + ( ) = [ms] alcul de l'impédance : = = Y = 4.43 [ Ω ] Vérification du résultat : = + = X L 0 + ( π ) 3 = 4.38 [ Ω ] alcul du courant total : = = = [ma] = Y = = [ma] Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 5

60 ircuits L et parallèles alcul des courants et L : 00 = = = [ma] L L = ω L 00 = = π [ma] Vérification du calcul des courants : 3 3 L = + = ( ) + ( ) = [ma] alcul de l'angle de déphasage ϕ = cos = cos = [ ] ϕ = cos = cos = [ ] 0 ircuits parallèle : Soit un circuit composé d'une résistance et d'un condensateur : ~ Pour mieux comprendre le comportement de ce circuit, il est indispensable de tracer le diagramme vectoriel. omme nous sommes en parallèle, la valeur commune à tous les éléments est la tension et nous l'utiliserons comme référence pour le diagramme (il s'agit d'un choix arbitraire). ω ϕ Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 6

61 ircuits L et parallèles onstations : la résistance ne déphase pas le courant le condensateur provoque une avance de 90 [ ] du courant L par rapport à la tension. le courant total z est en avance par rapport à la tension. Par analogie nous pouvons tracer le diagramme suivant : B Y ϕ G ω Le courant étant inversement proportionnel à la résistance et à la réactance, nous devons utiliser la conductance G et la susceptance B. Le vecteur résultant du diagramme correspond à l'admittance Y du circuit. elations : ω ω z B Y ϕ ϕ G Par Pythagore z = + Y = G + B Nous savons que : z z = = = ω = ω Y = G = B = ω = ω Nous pouvons donc écrire : z = + ( ω ) = + ( ω ) = + ( ω ) Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 7

62 ircuits L et parallèles La tension est commune sur les éléments: = + ( ω ) = + ( ω ) La formule finale de l'impédance est : = + ( ω ) = + ( ω ) alcul de l'angle de déphasage : cosϕ = z cosϕ = cosϕ = G Y cosϕ = ϕ = cos z ϕ = cos G Y ϕ = cos Exemple n circuit est composé d'une résistance de 0 [Ω] et d'un condensateur de 6.8 [µf]. l est raccordé sur une source de 00 [V] dont la fréquence est de 60 [Hz] alculer l'impédance, tous les courants ainsi que l'angle de déphasage. Données : = 0 [Ω] = 0 [µf] = 00 [V] f = 60 [Hz] nconnues : ϕ elations : G = B = ω = = ω = ω Y = G + B = = ω z = + + ( ω ) ϕ = cos z ϕ = cos Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 8

63 ircuits L et parallèles Diagrammes vectoriels : ω ω = z B Y ϕ ϕ G alcul de la conductance et de la susceptance : G = = = [ms] B = ω = π = 6.84 [ms] alcul de l'admittance : 3 3 Y = G + B = ( ) + ( ) = 8. [ms] alcul de l'impédance : = = Y =.8 [ Ω ] Vérification du résultat : = + ω = 0 + ( π 60) ( ) 6 =.8 [ Ω ] alcul du courant total : z 00 = = = [ma] = Y = = 8 [ma] alcul des courants et L : = = 00 0 = [ma] = ω = 00 ω = [ma] Vérification du calcul des courants : 3 3 L [ ] = + = ( ) + ( ) = ma alcul de l'angle de déphasage ϕ = cos = cos = [ ] ϕ = cos = cos 8. = [ ] 0 Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 9

64 ircuits L et parallèles ircuits bouchons Les circuits L parallèle, sont souvent appelés circuits bouchons, car ils présentent une grande impédance pour f o et ils "empêchent" les signaux à cette fréquence d'accéder à une partie de circuit. En électronique, les circuits bouchons sont utilisés pour "trier" différentes fréquences dans les chaînes audio (égaliser) ou dans les téléviseurs couleur (séparation des fréquences son, chrominance et luminance). En électricité, les circuits bouchons sont utilisés dans les télécommandes centralisées pour éviter une dispersion des fréquences pilotes sur le réseau. aractéristiques d'un circuit bouchon : [db] N f Pour mieux comprendre le fonctionnement des circuits bouchons, il est pratique de réaliser une mesure au laboratoire. Le traceur de Bode nous permet de visualiser la tension de sortie du filtre bouchon en fonction de la fréquence du générateur. Nous constatons que pour une certaine fréquence, le circuit oppose une grande impédance, ce qui crée la forte atténuation au milieu de la courbe. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 0

65 ircuits L et parallèles Etude du circuit bouchon L parallèle : ω ω B ϕ ϕ G = z Y B L emarque : B L ette démonstration est réalisée avec un circuit à comportement inductif. e choix est arbitraire et la théorie qui est applicable à n'importe quel circuit L parallèle, Par Pythagore z L L = + ( ) Y = G + ( B B ) Nous savons que : = = Y = G = = ω L = B ω L = ω B L = ω L Nous pouvons donc écrire : = + ( ω L ) ( ω ) = + ( ω L) ( ω ) La tension est commune sur les éléments: = + ( ω L) ( ω ) = + ( ω L) ( ω ) La formule finale de l'impédance est : = + ( ω L) ( ω ) = + ( ω L) ( ω ) alcul de l'angle de déphasage : cosϕ = z ϕ = cos z cosϕ = G Y ϕ = cos G Y cosϕ = ϕ = cos Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000

66 ircuits L et parallèles Exemple n circuit bouchon doit être intégré dans un appareil pour empêcher une fréquence de 38 [khz] de perturber son fonctionnement. Pour réaliser ce filtre, une résistance de 56 [kω], un condensateur de 4.7 [nf] et une bobine de 3 [mh] sont montés en parallèle. La tension présente à cet endroit est de. [V]. alculer l'impédance du circuit bouchon, tous les courants ainsi que l'angle de déphasage pour la fréquence de 30 [khz]. Données : = 56 [kω] L = 3 [mh] = 4.7 [nf] =. [V] f = 38 [khz] nconnues : L ϕ elations : = Y = = ω = G = B = ω B L = ω L L L = ω L z L L = + ( ) Y = G + ( B B ) = + ( ω L) ( ω ) ϕ = cos z ϕ = cos G Y alcul de la conductance et des susceptances : 3 9 G = = = [ µ S] B = ω = π =. [ms] BL = = = ω L π [ms] alcul de l'admittance : ( ) Y = G + B B = ( ) ( ) = 70.6 [ µ S] L alcul de l'impédance : = = Y = [k Ω ] Vérification du résultat : (pour simplifier le calcul, nous utilisons X et X L X = B = =. 0 3 = + X X L [ Ω ] = Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 X L = B = = L = 79.4 [ Ω ] [k Ω ]

67 ircuits L et parallèles alcul du courant total : z. = = = [ µ A] = Y = = [ µ A] alcul des courants, et L : = =. = [ ] µ A = ω =. ω =.47 [ma] L L = ω L. = = 3 3 π [ma] Vérification du calcul des courants : ( ) ( ) ( ) 60.8 [ µ A] z L = + = + = alcul de l'angle de déphasage ϕ = cos = cos z ϕ = cos = cos = 86. [ ] 3965 = [ ] 56 0 Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 3

68 ircuits L et parallèles Entraînement. Qu'est-ce qu'un circuit bouchon?. Qu'est-ce que l'interconnexion et pourquoi est-elle réalisée? 3. De quoi se compose un circuit bouchon? 4. Que faut-il pour que nous obtenions la condition de résonance? 5. Quel est le genre de couplage d'un circuit bouchon? 6. Dessinez la courbe de l'impédance en fonction de la fréquence pour un circuit parallèle 7. Quel est le genre de couplage d'un point d'injection? 8. Dessinez la courbe de l'impédance en fonction de la fréquence pour un circuit série.. n circuit est composé d'une résistance de.5 [kω], d'un condensateur de 560 [nf] et d'une bobine de.5 [µh] montés en parallèle et raccordés sur un générateur dont la fréquence vaut 8 [khz].alculer la conductance, les susceptances des trois éléments. ne bobine et une résistance sont montées en parallèle sur un générateur 30 [V] 50 [Hz]. Pour les éléments, nous connaissons les valeurs suivantes : = 5 [Ω] et X L = 0 [Ω] Tracer le diagramme vectoriel et calculer les valeurs de la bobine, de l'impédance, de la conductance, de la susceptance, ainsi que tous les courants et l'angle de déphasage. 3. n condensateur et une résistance sont montés en parallèle sur un générateur 30 [V] / 50 [Hz]. Pour les éléments, nous connaissons les valeurs suivantes : = 5 [Ω] et X = [Ω] Tracer le diagramme vectoriel et calculer la valeur du condensateur, de l'impédance, de la conductance, de la susceptance, ainsi que tous les courants et l'angle de déphasage. 4. ne source de tension de 60 [V] alimente un circuit parallèle constitué d'un condensateur de.5 [µf] et d'une bobine dont l'inductance et la résistance sont respectivement, 60 [mh] et 5 [Ω]. alculer la fréquence de résonance du circuit. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 4

69 ircuits L et parallèles 5. alculer pour quelle fréquence de résonance est dimensionné un récepteur de T dont le montage du circuit L série est composé des éléments suivants :. = 4 [Ω] L = 45 [mh] = 6 [µf]. alculer la tension que devra supporter la capacité si le courant de télécommande est de 400 [ma]. 6. n circuit bouchon d'un distributeur doit être installé provisoirement sur un autre réseau. Ses caractéristiques sont : X L = 0 [Ω] f o = 37 [Hz] Quelles solutions proposez-vous? 7. Montrer par le calcul et le diagramme vectoriel, si le circuit proposé est en résonance pour la fréquence donnée. L = 50 [mh] L b b = 5 [Ω] = 6000 [pf] f = 50 [Hz] 8. alculer les courant circulant dans les différents composants du circuit de l'exercice 7, à 50 [Hz], à 000 [Hz], à 0 [Hz] et à la fréquence de résonance f o, si le courant = 89.4 [µa] à 00 [Hz]. 5. Montrer par le calcul et le diagramme vectoriel, si le circuit proposé est en résonance pour la fréquence donnée. b L b = 5 [Ω] f = 50 [Hz] = 6000 [pf] L = 50 [mh] éponses :. G = [µs] B = [ms] B L = 7.08 [ms] Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 5

70 égime impulsionnel hapitre 5 c ircuits L et en régime impulsionnel Sommaire ircuits en régime impulsionnel Signal impulsionnel Mesure d'un circuit en régime impulsionnel Application pratique Etude du circuit en régime impulsionnel Analyse du circuit Mesure du temps de charge du condensateur onstante de temps du circuit L Exercices ntroduction ircuits en régime impulsionnel : Dans l'étude que nous venons de faire sur les circuits et L, la source de signal générait une forme alternative sinusoïdale. Dans certains cas, ce signal peut avoir une autre forme. En régime sinusoïdal alternatif, nous parlons de signal analogique, car la valeur de la tension ou du courant varie constamment et toutes ses valeurs successives sont différentes. En régime impulsionnel, le signal de la source n'a que deux états : pas de tension 0 [V] tension présente x [V] Nous pouvons faire une analogie avec les signaux numériques dans lesquels il n'existe que deux états : état bas 0 état haut Les ordinateurs fonctionnent selon ce principe. Soit l'information numérique est absente, soir elle est présente. ette information porte de nom de "bit". Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000

71 égime impulsionnel Le "bit" tout seul n'est utilisé que pour les cas simples où il peut permettre de commander l'enclenchement et le déclenchement d'un appareil ou de détecter la présence ou l'absence d'une tension. Pour pouvoir accomplir des tâches plus complexes, un ordinateur a besoin de travailler avec des informations plus importantes. 'est pourquoi des mots appelés "bytes" ou "octets" sont formés avec des groupes de 8 "bits". Avec les nouvelles technologies, des mots de 6, 3, ou 64 "bits" sont utilisés. Plus la longueur du mot est grande, plus la vitesse d exécution sera rapide, l'ordinateur pourra effectuer des tâches plus complexes. L'étude des signaux numériques (digitaux) est très complexe et elle ne fait pas partie de notre sujet. Pour plus de détails, il est nécessaire de consulter la monstrueuse littérature disponible dans ce domaine. Signal impulsionnel : omme pour les signaux alternatifs sinusoïdaux, il est possible de déterminer la fréquence d'un signal impulsionnel. [V] [V] t [s] t [s] T T En régime impulsionnel dont la durée des cycles n'est pas identique, nous parlons de cycles asymétriques. La fréquence ne change pas, mais le temps durant lequel l'impulsion est présente n'est plus égal au temps durant lequel elle est à zéro. [V] T t [s] ette caractéristique s'appelle le rapport cyclique. Elle est utilisée dans les téléviseurs pour ajuster les réglages du son, lumière, etc. et également dans certains variateurs de lumière. En effet, dans ces cas particuliers, nous travaillons avec la tension moyenne du signal. [V] T t [s] Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000

72 égime impulsionnel ette moyenne est obtenue en mesurant la valeur de la tension, le temps durant lequel elle est présente, et le temps durant lequel elle est absente. [V] [V] m m t [s] t [s] T T Nous obtenons alors une tension continue variable dépendante du rapport cyclique qui permettra d'effectuer la commande de la fonction désirée. Le circuit utilisé pour convertir ces impulsions à rapport cyclique variable en tension continue variable se nomme intégrateur. l peut être composé soit d'une résistance et d'un condensateur, soit d'une bobine et d'une résistance. l sera possible de définir la tension de sortie en calculant la valeur des éléments. e circuit exécute une opération mathématique appelée "intégration d'une fonction". La tension de sortie représente la somme des charges élémentaires emmagasinées dans le condensateur par unité de capacité, ce qui exprime l'intégrale de la tension aux bornes du condensateur. Mesure d'un circuit en régime impulsionnel Pour réaliser la mesure, nous disposons une résistance et un condensateur montés en filtre passe-bas. Le générateur fourni une tension continue carrée. L'oscilloscope permet de visualiser la forme de la tension à l'entrée et à la sortie du circuit. n multimètre est placé à la sortie pour confirmer la valeur de la tension continue à la sortie du filtre. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 3

73 égime impulsionnel ésultats de la mesure : Le générateur fourni un signal carré avec un rapport cyclique de 50 %. Nous constatons qu'à la sortie du filtre, la tension est plane et correspond au 50 % de la tension du générateur. Si nous varions le rapport cyclique, sans modifier la tension du générateur, la tension continue aux bornes du condensateur varie. Plus le rapport cyclique est grand, plus la tension est grande et inversement. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 4

74 égime impulsionnel Application pratique : e circuit intégré contrôle les fonctions de volume sonore, luminosité, contraste et saturation dans un téléviseur couleur. l reçoit les informations numériques du processeur par le point 7. Après un traitement complexe, et une mise en mémoire, nous trouvons des générateurs de signaux à rapport cyclique variables. La conversion signal carré tension continue variable est effectuée dans le dernier bloc au moyen des condensateurs raccordés aux sorties à gauche de l'. Les valeurs de tensions sont indiquées. On distingue facilement le filtre au point 9, pour le contrôle du volume sonore. Mesure du circuit L en régime impulsionnel : Nous obtenons les mêmes résultats avec un circuit L. ette fois, les positions de la bobine et de la résistance sont inversées. e croisement est dû au comportement inverse de la bobine et du condensateur, Les oscillogrammes sont identiques aux résultats obtenus avec le circuit Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 5

75 égime impulsionnel Etude du circuit en régime impulsionnel : H générateur + - H H3 Le générateur fournit une tension carrée continue positive. Trois traces d'oscilloscope sont placées dans le circuit. Oscillogrammes H tension du générateur H tension aux bornes de la résistance (proportionnelle au courant dans le circuit) H3 tension aux bornes du condensateur 0 D 0 D 0 D onstatations : la tension à l'entrée du circuit a une forme carré. la tension aux bornes de la résistance est positive lors du flanc montant et négative lors du flanc descendant. ette tension représente le courant dans le circuit. la tension aux bornes du condensateur met un certain temps pour arriver au maximum. la tension aux bornes du condensateur a une forme exponentielle. lorsque le condensateur est complètement chargé, il n'y a plus de courant dans le circuit. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 6

76 égime impulsionnel Analyse du circuit : générateur générateur c - c Le générateur fournit une tension et un courant de charge circule dans le circuit. Le générateur ne fournit pas de tension, sa sortie est à 0 [V], et un courant de décharge circule dans le circuit. 'est à cause de la charge et de la décharge que le courant s'inverse dans le circuit. ourbe de charge du condensateur : c [V] [s] t On constate sur cette courbe que la tension met un certain temps pour arriver au maximum, sans pour autant y parvenir. Le temps de charge dépend du produit. e temps est déterminé par la constante de temps τ exprimée en secondes. τ= On peut démontrer cette formule par une analyse dimensionnelle : [ V] [ A] [ V] [ ] [ s] = = = = [ V] [ s] [ ] Q = = [ ] [ V] τ= [ V] [ s] [ ] [ ] [ V] = [ s] Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 7

77 égime impulsionnel Mesure du temps de charge du condensateur : c c [V] 0 [A] c c τ τ τ τ τ [s] t A la charge, la constante de temps τ indique le temps qu'il faut au condensateur pour se charger au 63 % de la tension de charge. Le courant de charge qui a diminué de 63 % après un τ. Durant le τ suivant, le condensateur se charge du 63 % de la valeur de tension restante, et ainsi de suite. Le tableau ci-dessous indique les différentes valeur de la tension et du courant de charge en fonction de la constante de temps τ. τ [s] % % / /5 8 8 / emarque : Dans la pratique, nous admettons que le condensateur est complètement chargé après 5 τ. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 8

78 égime impulsionnel onstante de temps du circuit L : générateur L générateur L + - L + - L Le générateur fournit une tension et un courant circule dans le circuit. Par effet de self-induction, la bobine s'oppose au passage du courant. Le générateur ne fournit pas de tension, sa sortie est à 0 [V], et la bobine restitue son énergie en inversant la polarité à ses bornes. Par la loi de Lenz et l'opposition de la tension induite, le courant s'inverse dans le circuit. ourbe de la tension sur la résistance : c [V] [s] t On constate sur cette courbe que la tension met un certain temps pour arriver au maximum, sans pour autant y parvenir. e temps dépend de la division de L par. e temps est déterminé par la constante de temps τ exprimée en secondes. τ= L On peut démontrer cette formule par une analyse dimensionnelle : = = [ V] [ A] i t L = = [ V] [ s] [ A] [V] [s] [ A] [ V] [ A] ] ] [ A] [ A] [ V] L [V [s τ= = = = [ s] Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 9

79 égime impulsionnel omparaison des circuits et L en régime impulsionnel : ircuit intégrateur : L ircuit différenciateur : L Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000 0

80 égime impulsionnel Exercice : n circuit intégrateur est composé d'une résistance de 80 [Ω] et d'un condensateur. La charge complète du condensateur est atteinte après 90. [µs] alculer la valeur du condensateur. Déterminer tau sur la courbe ci-dessous Tracer tous les tau. Dessiner les schémas des deux montages possibles: alculer la valeur des éléments en utilisant une résistance de 470 [Ω] dans les deux circuits t [ µ s] Les mesures sur un circuit ont donné les résultats montrés ci-dessous. alculer : la valeur de l'élément manquant. = [kω]. la tension et la fréquence du générateur. le courant maximum dans le circuit. Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000

81 égime impulsionnel Les mesures sur un circuit ont donné les résultats montrés ci-dessous. alculer : la valeur de l'élément manquant = 6.8 [kω]. la tension et la fréquence du générateur. le courant maximum dans le circuit. n circuit intégrateur est composé d'une résistance de. [kω] et d'un condensateur de 56 [nf]. l est raccordé sur un générateur qui fournit un signal carré de 5[V] d'amplitude. Dessiner le schéma du circuit. Tracer les courbes de charge du condensateur et de courant dans le circuit. Quel va être le comportement du circuit si la fréquence du générateur vaut [khz]? Quelle est la fréquence maximum de fonctionnement du circuit? Electrotechnique / Editions de la Dunanche /novembre 000