Frédéric Bertrand Master 1 MCB 2009/2010

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1 Frédérc Bertrand Master 1 MCB 2009/2010

2 Références «Analyse de régresson applquée» de Y. Dodge et V. Rousson, aux édtons Dunod, «Régresson non lnéare et applcatons» de A. Antonads, J. Berruyer, R. Carmona, édtons Economca, Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/2010 2

3 Introducton But : rechercher une relaton stochastque qu le deux ou pluseurs varables Domanes : Physque, chme, astronome Bologe, médecne Géographe Econome Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/2010 3

4 1. Relaton entre deux varables Consdérons X et Y deux varables. Exemple : la talle (X) et le pods (Y) But : savor comment Y vare en foncton de X Dans la pratque : Échantllon de n ndvdus Relevé de la talle et du pods pour l ndvdu Tableau d observatons ou données parées. Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/2010 4

5 1. Relaton entre deux varables Observatons Talle Pods , ,5 72,7 Pods (kg) , ,4 74,1 Talle (cm) ,6 7 1 Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/2010 5

6 2. Relaton détermnste Dans certans cas, la relaton est exacte. Exemples : X en euros, Y en dollars X dstance ferrovare, Y prx du bllet. Y = f(x) où f est une foncton détermnée. Exemples pour f : fonctons lnéares, fonctons affnes... Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/2010 6

7 2. Relaton détermnste Remarque mportante : Nous utlserons le terme de foncton «lnéare» pour désgner une foncton «affne» f 0 1 ( X ) = β + β X où β 0 et β 1 sont des réels fxés. Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/2010 7

8 2. Relaton détermnste Exemple : X en Celsus, Y en Farenhet Y=32 + 9/5 X. Ic nous avons en dentfant : β 0 = 32 et β 1 = 9/5. Souvent nous savons que la relaton entre X et Y est lnéare mas les coeffcents sont nconnus. Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/2010 8

9 2. Relaton détermnste En pratque comment fasons-nous? Échantllon de n données Vérfer que les données sont algnées. S ce cas est vérfé, alors nous avons : un modèle lnéare détermnste. Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/2010 9

10 2. Relaton détermnste S ce cas n est pas vérfé, alors nous allons chercher : la drote qu ajuste le meux l échantllon, c est-àdre nous allons chercher un modèle lnéare non détermnste. Les n observatons vont permettre de vérfer s la drote canddate est adéquate. Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

11 3. Relaton stochastque La plupart des cas ne sont pas des modèles lnéares détermnstes! (la relaton entre X et Y n est pas exacte) Exemple : X la talle et Y le pods. A 180 cm peuvent correspondre pluseurs pods : 75 kg, 85 kg, Les données ne sont plus algnées. Pour deux pods dentques, nous avons deux talles dfférentes. Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

12 3. Relaton stochastque Une hypothèserasonnable : X et Y sont lés Dans l exemple précédent : plus un ndvdu est grand, plus l est lourd ε Y 0 1 = β + β X + ε : est une varable qu représente le comportement ndvduel. Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

13 3. Relaton stochastque Exemple : 70 ndvdus qu sont réparts de la façon suvante : 10 ndvdus/talle 7 talles (de 160 à 190 cm, pas de 5 cm). Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

14 3. Relaton stochastque Observatons Talle Pods , , , , , ,5 67,1 pods , ,9 57, talle , , , , ,8 Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

15 3. Relaton stochastque Commentares : Pluseurs Y pour une même valeur de X. Modèle lnéare détermnste nadéquat. Cependant Y augmente quand X augmente. Modèle lnéare stochastque envsageable. Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

16 3. Relaton stochastque Défnton du modèle lnéare stochastque : µ Y (x) : moyenne de Y mesurée sur tous les ndvdus pour lesquels X vaut x. µ ( x) = β + β x Y 0 1 Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

17 3. Relaton stochastque Remarques : Comme ε, μ Y (x) n est n observable, n calculable. Pour calculer μ Y (x), l faudrat recenser tous les ndvdus de la populaton. Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

18 3. Relaton stochastque Dans la pratque : Nous estmons la moyenne théorque μ Y (x) par la moyenne emprque de Y défne par : y( x) = 1 n n = 1 y ( x) Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

19 3. Relaton stochastque Retour à l exemple : Talle Pods , , ,34 69,29 Pods moyen , ,58 77, Talle Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

20 3. Relaton stochastque La drote que nous venons de tracer s appelle : la drote de régresson. X et Y ne jouent pas un rôle dentque. X explque Y X est une varable ndépendante (ou explcatve) et Y est une varable dépendante (ou explquée). Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

21 3. Relaton stochastque En analyse de régresson lnéare : x est fxé y est aléatore la composante aléatore d un y est le ε correspondant. Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

22 3. Relaton stochastque Pour l nstant, la drote de régresson est nconnue. Tout le problème est d estmer β 0 et β 1 à partr d un échantllon de données. Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

23 3. Relaton stochastque Chox des paramètres : drote qu approche le meux les données ntroducton de 0 ˆβ et ˆβ 1qu sont des estmateurs de β 0 et de β 1. L estmaton de la drote de régresson : ˆ( x) = ˆ β + ˆ β x y 0 1 Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

24 3. Relaton stochastque Remarques : yˆ ( x) est un estmateur de μ Y (x) S le modèle est bon, yˆ ( x) est plus précs que y( x) = 1 n n = 1 y ( x) Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

25 3. Relaton stochastque Lorsque x = x, alors ˆ, c est-à-dre : y ˆ yˆ ( x) = est appelée la valeur estmée par le modèle. y = β ˆ + βˆ y x 0 1 Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

26 3. Relaton stochastque Ces valeurs estment les quanttés nobservables : ε = y 1 β 0 β x par les quanttés observables : e = y yˆ Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

27 3. Relaton stochastque Ces quanttés e = les résdus du modèle. La plupart des méthodes d estmaton : estmer la drote de régresson par une drote qu mnmse une foncton de résdu. La plus connue : la méthode des mondres carrés. Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

28 4. Méthode des mondres carrés = = = = = n n n x y y y e ) ˆ ˆ ( ) ˆ ( β β Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/ Méthode : Défnr des estmateurs qu mnmsent la somme des carrés des résdus

29 4. Méthode des mondres carrés Les estmateurs sont donc les coordonnées du mnmum de la foncton à deux varables : z n 2 ( β0, β1) = ( y β 0 β1x ) = 1 = f Cette foncton est appelée la foncton objectf. Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

30 4. Méthode des mondres carrés Les estmateurs correspondent aux valeurs annulant les dérvées partelles de cette foncton : z β z β 1 0 = ( y β0 β x ) 2 1 = 2 x ( y β0 β1x ) Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

31 4. Méthode des mondres carrés Les estmateurs sont les solutons du système : Soent : 2( y β0 β1x ) = 2 x ( y β β1x ) ( 4.1) y n ˆ β0 + ˆ β1 x = y β0 x + 0 = 2 ( 4.2) β1 x ˆ = x ˆ 0 0 Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

32 4. Méthode des mondres carrés Nous notons : x x = et y = n D après (4.1), nous avons : ˆ β = y ˆ β x 1 0 n y 32 Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/2010

33 4. Méthode des mondres carrés A partr de (4.2), nous avons : ˆ β 1 x 2 = = Ans nous obtenons : x x y y ˆ β nx 0 nxy + ˆ β nx 1 2 ˆ β 1 = x 2 x y nxy nx 2 33 Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/2010

34 4. Méthode des mondres carrés Comme nous avons : ) ( ) )( ( nx x x x nxy y x y y x x = = = 2 1 ) ( ) )( ( ˆ x x y y x x β Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/ Ans nous obtenons :

35 4. Méthode des mondres carrés Dans la pratque, nous calculons ˆ β 1 pus ˆ β 0 Nous obtenons une estmaton de la drote de régresson, appelée la drote des mondres carrés : yˆ ( x) = β ˆ + βˆ x Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/2010

36 4. Méthode des mondres carrés Coeffcents de la drote de régresson : pente=0,442 ; ordonnée à l orgne=-8,012 Pods moyen Talle 36 Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/2010

37 5. Varaton explquée et nexplquée But d un modèle de régresson lnéare : explquer une parte de la varaton de la varable explquée Y. La varaton de Y vent du fat de sa dépendance à la varable explcatve X. Varaton explquée par le modèle. Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

38 5. Varaton explquée et nexplquée Dans l exemple «talle-pods», nous avons remarqué que lorsque nous mesurons Y avec une même valeur de X, nous observons une certane varaton sur Y. Varaton nexplquée par le modèle. Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

39 5. Varaton explquée et nexplquée Varaton totale de Y = Varaton explquée par le modèle + Varaton nexplquée par le modèle Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

40 5. Varaton explquée et nexplquée Pour mesurer la varaton de Y : nous ntrodusons y ( y y) = ( yˆ y) + ( y yˆ ) Dfférence explquée par le modèle Dfférence nexplquée par le modèle ou résdu du modèle Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

41 5. Varaton explquée et nexplquée Pourquo la méthode des mondres carrés? Un proprété remarquable : elle conserve une telle décomposton en consdérant la somme des carrés de ces dfférences : 2 2 ( y y) = ( yˆ y) + ( y yˆ) 2 Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

42 5. Varaton explquée et nexplquée 2 ( y y) = ( yˆ y) + ( y yˆ) 2 2 Somme des carrés totales (SC tot ) Somme des carrés dues à la régresson (SC reg ) Somme des carrés des résdus (SC res ) Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

43 5. Varaton explquée et nexplquée Mesure du pourcentage de la varaton totale explquée par le modèle : Introducton d un coeffcent de détermnaton R 2 = Varaton explquée Varaton totale = SC SC reg tot Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

44 5. Varaton explquée et nexplquée Quelques remarques : R 2 est comprs entre 0 et 1. R 2 =1 : cas où les données sont parfatement algnées (comme c est le cas pour un modèle détermnste). R 2 =0 : cas où la varaton de Y n est pas due à la varaton de X. Les données ne sont pas du tout algnées. Plus R 2 est proche de 1, plus les données sont algnées sur la drote de régresson. Frédérc Bertrand - Master 1 MCB 2009/

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