Intervalle de fluctuation

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1 I Itervalle de fluctuatio Cotexte : Das ue certaie populatio, la proportio d idividus présetat le caractère C est p. Que peut-o dire de la fréquece f de C sur u échatillo aléatoire de taille? Populatio Caractère C de proportio p coue ou supposée coue Échatillo de taille Fréquece f de C? I.1 Das le cadre de la loi biomiale I.1.1 Défiitio Soit X ue variable aléatoire suivat ue loi biomiale B(; p) et α u réel de l itervalle ]0; 1. O pose F = X la variable aléatoire fréquece du succès. Défiitio : Tout itervalle a; b] tel que : P (F a; b]) 1 α peut-être cosidéré comme u itervalle de fluctuatio de F au seuil de 1 α Remarque 1 L itervalle 0; 1] est-il u itervalle de fluctuatio?... I.1.2 Itervalles de fluctuatio vus au lycée E Secode : Vous avez vu, que sous les coditios 0, 3 < p < 0, 7, u itervalle de fluctuatio de la variable F = X au seuil de 95% est : p 1 ; p + 1 ] E première : O rechercher l itervalle qui «symétrise» les probabilités que X soit à l extérieur. E pratique, o cherche le plus petit etier a pour lequel P (X a) est strictemet supérieur à 0,025 et le plus petit etier b pour lequel p(x b) est supérieur ou égal à 0,975. O pred alors comme itervalle de fluctuatio de F = X a ; b ] Remarque 2 D autres itervalles de fluctuatio sot possibles, o peut par exemple predre celui qui a ue amplitude miimale, ou le plus petit itervalle cetré sur l espérace de F. (E(F ) = p) EXERCICE 1 O joue à Pile ou Face avec ue pièce truquée telle que P (P ile) = 0, 3. O la lace 100 fois et o ote X 100 la variable aléatoire qui compte le ombre de Pile. X 100 suit ue Doer trois itervalles I 100 de fluctuatio de F 100 au seuil de 95% et calculer la probabilité des évéemets F 100 I 100 pour chacu de ces itervalles. My Maths Space 1 sur 5

2 I.2 Itervalle de fluctuatio asymptotique I.2.1 Retour sur le théorème de Moivre-Laplace Théorème : Soit X ue variable aléatoire suivat ue B(; p). O pose Z = associée à X. Alors, pour tous réels a et b, a < b, o a : b 1 lim P (Z a; b]) = e t2 /2 dt = P (Z a; b]) où Z suit la loi N (0; 1) + a 2π X p, variable cetrée et réduite p(1 p) I.2.2 Retour sur le ombre u α Théorème et Défiitio : Soit Z ue variable aléatoire suivat ue N (0; 1), α 0; 1], il existe u uique ombre u α tel que P ( u α Z u α) = 1 α Valeurs de u α à coaître α 1 α u α Iterprétatio 1 α 0,05 0,95 1,96 P ( 1, 96 Z 1, 96) 0, 95 0,01 0,99 2,58 P ( 2.58 Z 2.58) 0, 99, u α 1 α α 2 u α, I.2.3 Itervalle de fluctuatio Théorème : Soit α ]0; 1 et X ue variable aléatoire qui suit ue loi biomiale B(; p). La probabilité que F pree ses valeurs das l itervalle I =... se rapproche de quad la taille de l échatillo deviet grade. Oote.... Démostratio : X ue variable aléatoire qui suit ue loi biomiale B(; p). 1. Écrire M.L avec a = u α et b = u α. 2. «Reveir» à la variable X das P (Z u α ; u α ]). 3. Coclure My Maths Space 2 sur 5

3 I.2.4 Applicatio O peut doc sous certaies coditios, dire que P Ces coditios commuémet admises sot : De sorte que, l itervalle I = ( ) X I est quasimet égal à 1 α. 30, p 5, (1 p) 5 ] p u α ; p + u α est u itervalle de fluctuatio «approchée» de la variable fréquece X au seuil 1 α. (au ses vu au I.1.1) ( ) X Approchée, e effet, car la suite de terme gééral P I est pas mootoe, oe peut pas savoir si la probabilité de l itervalle est supérieure ou iférieure à la limite 1 α. Illustratio avec p = 0, 5 pour variat de 100 à I.2.5 Itervalle de fluctuatio asymptotique Défiitio : U itervalle de fluctuatio asymptotique de la variable aléatoire F = X au seuil 1 α est u itervalle détermié à partir de p et de et qui cotiet F avec ue probabilité d autat plus proche de 1 α que est grad. Aisi d après le théorème vu e I.2.3, l itervalle ] I = p u α ; p + u α est u itervalle de fluctuatio asymptotique de F au seuil 1 α. I.2.6 Exemple d utilisatio O admet que das la populatio d efats de 11 à 14 as d u départemet fraçais le pourcetage d efats ayat eu ue crise d asthme das leur vie est de 13%. U médeci d ue ville de ce départemet est surpris du ombre importat d efats le cosultat ayat eu ue crise d asthme et e iforme les services saitaires. Ceux-ci décidet d etrepredre ue étude et d évaluer la proportio d efats de 11 à 14 as ayat déjà eu des crises d asthme. Il sélectioet de maière aléatoire 100 jeues de 11 à 14 as de la ville. La règle de décisio prise est la suivate : si la proportio observée est supérieure à la bore supérieure de l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% alors ue ivestigatio plus complète sera mise e place afi de rechercher les facteurs de risques pouvat expliquer cette proportio élevée. 1. Détermier l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95% de la proportio de jeues de 11 à 14 as ayat eu ue crise d asthme das u échatillo de taille 100. (vérifier au préalable que les coditios d utilisatio de l expressio de l itervalle sot réalisées : schéma de Beroulli et coditios avec et p) 2. L étude réalisée auprès de 100 persoes a déombré 19 jeues ayat déjà eu des crises d asthme. Que pouvez-vous e coclure? 3. Le médeci est pas covaicu par cette coclusio et déclare que le ombre de jeues iterrogées était isuffisat pour mettre e évidece qu il y avait plus de jeues ayat eu des crises d asthme das sa ville que das le reste du départemet. Combie faudrait-il predre de sujets pour qu ue proportio observée de 19% soit e dehors de l itervalle de fluctuatio asymptotique? My Maths Space 3 sur 5

4 II Estimatio II.1 Pricipe de l étude d u caractère C das ue populatio P Deux méthodes sot possibles : La méthode exhaustive qui cosiste à receser tous les idividus de la populatio. Cette méthode, e raiso de so coût et de sa durée, est fort peu employée. La méthode des sodages qui cosiste à étudier qu u échatillo E, extrait de la populatio, et à iduire, à partir des résultats observés sur cet échatillo des résultats cocerat la populatio etière. La difficulté est d obteir u échatillo représetatif de la populatio. Nous admettros qu e réalisat u tirage au sort, cette coditio est réalisée. Cotexte : Das ue populatio, la fréquece d idividus présetat le caractère C sur u échatillo de taille est f. Que peut-o dire de la proportio p de C das la populatio? Populatio Proportio p du caractère C? Échatillo de taille Fréquece f de C coue II.2 II.2.1 Itervalle de cofiace Pricipe gééral État doé ue proportio p icoue, la procédure d estimatio cosiste à utiliser les iformatios recueillies das u échatillo sélectioé de maière aléatoire pour obteir la valeur de la variable F destiée à fourir ue estimatio de p. Cette estimatio va varier d u échatillo à l autre, il est doc écessaire d apprécier l icertitude e fourissat ue estimatio par itervalle, appelé itervalle de cofiace de p. Propriété : X est ue variable qui suit ue loi biomiale B(; p) et oote F = X. Ob suppose que 30, p 5, (1 p) 5. p est ue proportio icoue ( ]0; 1), l itervalle F 1 ; F + 1 ] cotiet pour assez grad, la proportio p avec ue probabilité supérieure ou égale à 0,95. Démostratio : 1. 30, p 5, (1 p) 5. E utilisat l itervalle de fluctuatio asymptotique, prouver que ( P p 1 X p 1 ) 0, 95. ( 2. E déduire que P F 1 p F 1 ) 0, 95 ce qui se traduit e disat que l itervalle aléatoire F 1 : F + 1 ] a ue probabilité au mois égale à 0,95 de coteir p, ou ecore au mois 95% des itervalles F 1 : F + 1 ] cotieet p. My Maths Space 4 sur 5

5 II.2.2 Applicatio O calcule ue fréquece f à partir d u échatillo de taille, o détermie l itervalle f 1 ; f + 1 ]. Défiitio : Cet itervalle est appelé itervalle de cofiace de la proportio p icoue au iveau de cofiace 0,95. Remarque 3 E réalisat le tirage d u échatillo, o obtiet u itervalle de cofiace de la proportio icoue p au iveau de cofiace de 0,95. Aisi, à chaque choix d échatillo, o obtiet u itervalle de cofiace différet. Exemple 1 : Estimatio à partir d u échatillo. A et B sot cadidats à ue électio. La populatio semble partagée etre les deux cadidats. U joural décide de réaliser u sodage sur u échatillo de 900 persoes et costate que 468 sot favorables à A. Que devrait-il dire à ses lecteurs? Exemple 2 : Das u ure coteat des boules rouges et bleues e proportios icoues, o effectue des tirages au hasard avec remise. 1. Après avoir effectué 100 tirages, o compte 52 boules rouges et 48 boules bleues. Doer u itervalle de cofiace à 95% de la proprotio p de boules rouges das l ure. 2. Combie faudrait-il, au miimum, effectuer de tirages pour obteir u itervallede cofiace à 95% de logueur iférieure ou égale à 0,02? II.3 Itervalle de fluctuatio ou Itervalle de cofiace Règle géérale : O utilise u itervalle de fluctuatio lorsque la proportio p das la populatio est coue ou si l o fait ue hypothèse sur sa valeur : o pred alors ue décisio sur cette hypothèse. (exercice corrigé page 409) O utilise u itervalle de cofiace lorsque l o veut estimer ue proportio icoue das ue populatio. (exercice 8 résolu page 414) itervalle de fluctuatio p coue 30, p 5, (1 p) 5 itervalle de cofiace p icoue Au iveau de cofiace Asymptotique au seuil 1 α 95% ] I = p u α ; p + u α f 1 ; f + 1 ] My Maths Space 5 sur 5