Chapitre 2 : Symétrie centrale

Transcription

1 Chapitre 2 : Symétrie centrale La symétrie centrale est utilisée dans les chapitres sur les parallélogrammes, les triangles, les angles. 1) Définitions : Deux figures sont symétriques par rapport à un point si elles se superposent après un demi-tour autour du point. Le point s appelle le centre de symétrie. Exemples : Sur une carte de jeu qui est paire, le centre de la carte est un centre de symétrie. Le rectangle, le cercle, le losange, le carré, le parallélogramme ont un centre de symétrie qui est le point d intersection des diagonales. D C Le point C est le symétrique du point par rapport à. Le point D est le symétrique du point par rapport au point. ttention, les triangles n ont pas de centre de symétrie : après un demi-tour, les sommets ne se superposent pas. C

2 2) Construction du symétrique d un point : M M Le symétrique du point M par rapport au point est le point M qui vérifie : est le milieu du segment [MM ]. n trace en pointillés la demi-droite [M) et on y place M tel que M = M, en utilisant la règle ou le compas. Remarques : Si M est le symétrique de M par rapport à alors M est le symétrique de M par rapport à. n dit que M et M sont symétriques par rapport au point. Le symétrique du point est. C est le seul point dans ce cas. n trace toujours les pointillés qui indiquent la méthode de construction. 3) Symétrique d un segment : Pour construire le symétrique d un segment [], on construit le point symétrique de et symétrique de. Le symétrique du segment [] est le segment [ ]. Une symétrie centrale transforme un segment en un segment de même longueur. Remarque : Le symétrique par rapport à du milieu I de [] est le milieu I de [ ].

3 4) Symétrique d une droite : (d) (d ) Pour construire la symétrique d une droite (d), on choisit deux points et bien écartés sur la droite puis on construit leurs symétriques et par rapport au point. La symétrique de la droite (d) est la droite (d ) passant par et. Une symétrie centrale transforme une droite en une droite qui lui est parallèle. Remarque : Lorsque la droite (d) passe par le centre de symétrie, alors (d) et (d ) sont confondues. 5) Symétrique d une demi-droite : Pour construire la symétrique d une demi-droite, on choisit un autre point que l origine sur la demi-droite et on construit les symétriques de ces deux points. Une symétrie centrale transforme une demi-droite en une demi-droite qui lui est parallèle. Remarque : ttention, le côté infini n est pas dans le même sens!

4 6) Symétrique d un cercle et d un triangle : (C ) (C ) (C ) x Pour construire le symétrique d un cercle (C ) de centre, on construit le symétrique du point. (C ) est le cercle de centre et de même rayon que (C ) Une symétrie centrale transforme un cercle en un cercle de même rayon. C C Pour construire le symétrique d un triangle, on construit les symétriques des trois côtés. Une symétrie centrale transforme un triangle en un triangle de même aire et de même périmètre. Une symétrie centrale transforme un angle en un angle de même mesure.

5 7) Rappel : symétrie par rapport à une droite: C est la symétrie miroir. ttention à ne pas confondre les constructions : Par rapport à un point, on trace des pointillés jusqu au point et on prolonge. Par rapport à une droite, on trace des pointillés PERPENDICULIREMENT à la droite et on prolonge : M H (d) M Pour construire le symétrique du point M par rapport à la droite (d) : n fait glisser l angle droit de l équerre le long de la droite (d) jusqu au point M et on trace en pointillés la perpendiculaire à (d) passant par M. n appelle H le point d intersection. n place M sur cette droite tel que HM = HM. (on reporte la longueur en pointillés en prolongeant de l autre côté de la droite). Remarque : Si le point M est sur la droite, il est confondu avec son symétrique M (M = M ). M M (d)

6 nnexe : extrait du programme officiel 2016 : Comprendre l'effet d'une symétrie (axiale et centrale), sur une figure. Repères de progressivité Les problèmes de construction constituent un champ privilégié de l'activité géométrique tout au long du cycle 4. Ces problèmes, diversifiés dans leur nature et la connexion qu'ils entretiennent avec différents champs mathématiques, scientifiques, technologiques ou artistiques, sont abordés avec les instruments de tracé et de mesure. Dans la continuité du cycle 3, les élèves se familiarisent avec les fonctionnalités d'un logiciel de géométrie dynamique ou de programmation pour construire des figures. La pratique des figures usuelles et de leurs propriétés, entamée au cycle 3, est poursuivie et enrichie dès le début et tout au long du cycle 4, permettant aux élèves de s'entraîner au raisonnement et de s'initier petit à petit à la démonstration. La symétrie axiale a été introduite au cycle 3. La symétrie centrale est travaillée dès le début du cycle 4, en liaison avec le parallélogramme.