Montage de spécialité : Mesure d impédance, Application à la caractérisation d un Haut-Parleur

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1 Montage de spécialité : Mesure d impédance, Application à la caractérisation d un Haut-Parleur Nicolas Dandrimont 19 Novembre 2009 Table des matières 1 Introduction, prédéterminations Notion d impédance Haut-Parleur Mesure d impédance Alimentation à courant constant Mesure de l impédance par tracé d un diagramme de Bode Détection synchrone Principe éalisation Caractérisation du haut-parleur appel du modèle du Haut-Parleur Caractérisation du Haut-Parleur utilisé A Impédance mesurée 9 ésumé Ce montage porte sur une mesure fondamentale en électronique : la mesure de l impédance de dipôles linéaires. Pour illustrer cette mesure, le sujet nous porte à effectuer la caractérisation d un haut-parleur. Ceci nécessite avant tout de réétablir le modèle électrique de ce dispositif électromécanique, afin d en identifier les paramètres par la mesure. 1

2 1 Introduction, prédéterminations Cette partie porte sur les principes à la base de ce montage que sont la notion d impédance et le modèle d un haut-parleur. 1.1 Notion d impédance L impédance n a de sens que pour un dipole linéaire, ou que l on peut linéariser dans une certaine zone de fonctionnement. Pour un dipôle traversé par un courant I(ω) (à la pulsation ω), est mesurée à ses bornes une tension V (ω) complexe. On définit alors l impédance comme Z(ω) = V (ω) I(ω) (1) V (ω) I(ω) Figure 1 Dipôle linéaire On constate que la mesure de l impédance du dipôle nécessite un «générateur de courant» à fréquence variable, dont on connait parfaitement l amplitude du courant et la fréquence. Ceci permet, par mesure de la tension aux bornes du dipôle, et du déphasage entre la tension et le courant, de déterminer totalement l impédance du dipôle à la fréquence donnée. 1.2 Haut-Parleur Un haut-parleur est un transducteur électromécanique consitué d une membrane, excitée par un aimant placé dans une bobine. Un champ magnétique alternatif, créé par la bobine, fait vibrer la membrane afin d émettre un son. La problématique de cette partie est d établir un modèle linéaire de ce dispositif à partir des équations électriques et mécaniques couplées. Dans ce modèle linéaire, il est considéré que l ensemble { membrane + bobinage }, de masse m, se déplace par rapport au support comme s il subissait une force de rappel de coefficient k et une force de frottements de coefficient α. De plus, le bobinage subit un champ magnétique B uniforme et radial, donc perpendiculaire au fil sur toute sa longueur l. (Schéma mécanique en figure 3, électrique en figure 4). Le principe fondamental de la dynamique s écrit alors : mẍ + αẋ }{{} Force de frottements + kx }{{} Force de rappel = Bli }{{} Force de Laplace L équation électrique, en considérant la résistance du bobinage et son inductance propre L : (2) u = i + L di Blẋ (3) dt 2

3 Figure 2 Haut parleur électrodynamique Figure 3 Haut parleur électrodynamique : schéma mécanique et notations i(t) L e = Bl dx dt u(t) Figure 4 Haut parleur électrodynamique : schéma électrique Dans l espace de Laplace, ces deux équations donnent : (mp2 + αp + k)x(p) = BlI(p) (4) U (p) ( + Lp)I(p) = BlpX(p) (5) 3

4 On peut alors réinjecter l équation 4 dans l équation 5 afin d établir les grandeurs électriques équivalentes aux paramètres mécaniques : les grandeurs motionnelles. Z(ω) = + jlω + jω(bl) 2 m(jω) 2 + jαω + k Le troisième terme est une impédance parallèle, que l on appelle impédance motionnelle du haut parleur. On peut alors établir un modèle électrique équivalent complet en figure 5. (6) u(t) i(t) L m L m C m Figure 5 Modèle équivalent électrique du haut-parleur Les impédances motionnelles équivalentes ont alors pour expressions : 2 Mesure d impédance m = (Bl)2 α (7) L m = (Bl)2 k (8) C m = m (Bl) 2 (9) Cette partie porte sur l étude du montage à proprement parler. Pour commencer, nous étudions deux dispositifs de conversion tension-courant, puis ensuite nous abordons les dispositifs permettant la mesure de l impédance. 2.1 Alimentation à courant constant Afin de générer un courant d amplitude et de phase donnés à partir d une tension sinusoïdale, il est possible d utiliserun montage nommé Amplificateur à transimpédance et présenté en figure 6, nécessitant une résistance et un amplificateur opérationnel. Le courant traversant la résistance et l impédance à tester Z est le même. De plus, la patte non-inverseuse de l amplificateur à la masse nous donne une masse virtuelle au point entre et Z. On a donc V out (ω) = Z(ω) V in (ω) (10) Ce montage, bien qu effectuant la fonction que nous souhaitons réaliser, a un problème : Dans certaines applications, le dispositif à tester doit avoir une patte à la masse (réelle). 4

5 I(ω) I(ω) Z(ω) V in (ω) V out (ω) + Figure 6 Amplificateur à transimpédance Nous proposons donc, pour pallier à ce problème, un deuxième montage un peu plus complexe (en figure 7), à deux amplificateurs opérationnels. Sommateur + V s (ω) V in (ω) + I(ω) c V out (ω) Z(ω) V out (ω) Figure 7 Convertisseur tension-courant Le montage du sommateur, crée une tension V s = V in + V out à sa sortie, grâce au montage suiveur qui restitue la tension V out. Le courant I traversant c et Z(ω) l impédance à tester vaut donc I = V s V out c = V in c. (11) On en tire V out (ω) = Z(ω)I(ω) = Z(ω) c V in (ω) (12) La résistance c permet de régler le calibre de l appareil de mesure. On en déduit finalement Z(ω) = c V out V in (13) 5

6 2.2 Mesure de l impédance par tracé d un diagramme de Bode La mesure de l impédance se rapporte donc à la mesure du rapport complexe (rapport des amplitudes et différence de phase) entre le signal d entrée et le signal de sortie, c est à dire en fait la fonction de transfert entrée-sortie. La première idée pour obtenir cette fonction de transfert est d utiliser un programme de tracé automatique de diagramme de Bode. Les résultats obtenus concordent bien avec ceux obtenus via l analyseur d impédance commercial. Pour obtenir le diagramme en amplitude, il est possible d effectuer une wobulation logarithmique de la fréquence de la tension d entrée, et observer la tension de sortie. 2.3 Détection synchrone Principe Afin d obtenir une grandeur électrique directement proportionnelle aux parties réelle et imaginaire de l impédance, nous pouvons mettre en oeuvre une méthode de détection synchrone, schématisée en figure 8. V in Convertisseur d impédance V out V e e(z(ω)) π/2 V Im Im(Z(ω)) Figure 8 Détection synchrone Le convertisseur d impédance est le dispositif à courant constant étudié précédemment. Il est alimenté par une tension sinusoïdale et délivre une tension V in (t) = V 0 cos(ωt), (14) avec V out (t) = V 0 Z 0 (ω) cos (ωt + ϕ(ω)), (15) Z(ω) = Z 0 (ω)e jϕ(ω) (16) = Z 0 (ω)(cos(ϕ(ω)) + j sin(ϕ(ω))) (17) Les multiplieurs ont un coefficient K 0, et le déphaseur de fournit la tension V in déphasée de π/2. Ainsi V e (t) = K 0 V0 2 Z 0 (ω) cos(ωt + ϕ(ω)) cos(ωt) (18) V Im (t) = K 0 V0 2 Z 0 (ω) cos(ωt + ϕ(ω)) sin(ωt) (19) 6

7 On en déduit V e (t) = K 0V0 2 Z 0 (ω) (cos(ϕ(ω)) + cos(2ωt + ϕ(ω))) 2 (20) V Im (t) = K 0V0 2 Z 0 (ω) (sin(ϕ(ω)) sin(2ωt + ϕ(ω))) 2 (21) Après filtrage passe-bas, les tensions sont bien proportionnelles directement à e(z(ω)) et Im(Z(ω)) éalisation Le câblage des multiplieurs et des filtres passe-bas est assez simple (on utilise un simple dipôle C à une fréquence de coupure adaptée pour le filtrage). Le seul circuit à étudier est donc le déphaseur. La première idée est d utiliser un déphaseur adapté à une fréquence unique. Or pour notre mesure d impédance, nous souhaitons deux signaux en quadrature sur une plage de fréquences large. Pour ce faire, les analyseurs d impédance commerciaux utilisent des synthétiseurs de fréquence permettant d obtenir des signaux en quadrature intrinsèquement. De manière discrète, il est aussi possible d utiliser deux filtres à phase linéaire large bande, décalés de π/2. Ainsi, les deux signaux en sortie des deux filtres sont bien en quadrature, et ce sur une large bande. Enfin, les analyseurs de spectre commerciaux utilisent deux oscillateurs synchrones en quadrature afin de générer les signaux nécessaires. 3 Caractérisation du haut-parleur 3.1 appel du modèle du Haut-Parleur L impédance du haut-parleur est rappelée ci-dessous : 1 Z(ω) = + jlω + 1 m + 1 jl + jc mω mω (22) Les paramètres à déterminer sont donc, L, m, L m et C m. Pour déterminer ces paramètres, nous utilisons des points caractéristiques de notre diagramme d impédance. On détermine et L en régime asymptotique : en basse fréquence, Z = et en hautes fréquences, Z jlω. Pour déterminer L m, C m et m, on utilise les caractéristiques de la résonance : on a f res 1 2π L m C m (23) Cm Q = m = m. (24) L m L m ω 0 Attention, dans l équation 24, Q est le facteur de qualité de la résonance, c est à dire de Z(ω). 7

8 Enfin, à la fréquence résonante, Z = + m. Les impédances réelles et motionnelles peuvent alors être totalement déterminées. 3.2 Caractérisation du Haut-Parleur utilisé Sur le relevé en annexe A, on constate : À basses fréquences, = 8Ω À f = 10kHz, Z = 12Ω. On en déduit Z 2 L = 2, (25) 2πf soit L = 142µH. La résonance a lieu à f 0 = 700Hz, et a une largeur f = 200Hz. On a donc Q = 3.5. À la résonance, Z = 11Ω, donc m = 3Ω. De Q, f 0 et m, on déduit L m = 195µH Enfin, de f 0 et L m on tire C m = 265µF Quelques remarques peuvent être faites sur les valeurs obtenues : tout d abord, on constate une résistance de 8Ω classique et connue des audiophiles : il s agit d une impédance standard pour un haut-parleur. La valeur de L est importante vu la présence d un aimant permanent, qui augmente grandement l inductance du bobinage. Pour revenir aux paramètres mécaniques du haut-parleur, on peut supposer que la masse de l ensemble { bobinage + membrane } est de l ordre de la dizaine de grammes. Grâce à l expression 9 de la capacité motionnelle, on obtient une estimation du coefficient Bl 6T m La raideur du ressort peut alors être estimée (avec l expression 8 de l inductance motionnelle) à environ 200N/mm. Cette raideur très importante (environ trois ordres de grandeur plus élevée que celle d un ressort classique) montre que les vibrations de notre système sont de très faible amplitude, ce qui est vérifié expérimentalement. 8

9 A Impédance mesurée 9