TES/spé TL Corrigé de l évaluation n 1 de Mathématiques du Jeudi 5 Novembre 2015 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé.

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1 TES/spé TL Corrigé de l évaluation n 1 de Mathématiques du Jeudi 5 Novembre 2015 Calculatrice autorisée - Aucun document n'est autorisé. Durée : 3 h Le barème est noté sur 20 points. Exercice 1. PROBABILITES (5 points) Une enquête a été réalisée auprès des élèves d un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif. L enquête révèle que 70% des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, 80% pratiquent le tri sélectif. Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 10% qui pratiquent le tri sélectif. On interroge un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants : S : L élève interrogé est sensible au développement durable. 0,8 T T : L élève interrogé pratique le tri sélectif. S Les résultats seront arrondis à Construire un arbre pondéré décrivant la situation. 0,7 0,2 T 0,9 T 2. Calculer la probabilité que l élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif. P(S T) = p (S) p S (T) = 0,7 0,8 = 0,56 3. Montrer que la probabilité p(t ) de l évènement T est 0,59. S et S forment une partition de l univers donc d après la formule des probabilités totales : p (T) = p (S T) + p ( S T) = 0,56 + p ( S) p S (T) = 0,56 + 0,3 0,1 = 0,56 + 0,03 = 0,59 4. On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif. Peut-on affirmer que les chances qu il se dise sensible au développement durable sont inférieures à 10%? p T (S) = p (S T) p ( T) = p(s) p S( T) 0,7 0,2 = 1 p(t) 1 0,59 = 0,14 0,41 = ,340 0,34 > 10 donc on ne peut pas affirmer que les chances que l élève interrogé se dise sensible au 100 développement durable sont inférieures à 10%. 5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l établissement. Soit X la variable aléatoire qui donne le nombre d élèves pratiquant le tri sélectif parmi les 4 élèves interrogés. Le nombre d élèves de l établissement est suffisamment grand pour que l on considère que X suit une loi binomiale. a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale. X suit une loi binomiale de paramètres n = 4 et de paramètre p = p(t) = 0,59 b. Calculer la probabilité qu aucun des quatre élèves interrogés ne pratique le tri sélectif. p(x = 0) = 4 0 0,590 (1 0,59) 4 0 = 1 1 0,41 4 0,03 c. Calculer la probabilité qu au moins deux des quatre élèves interrogés pratiquent le tri sélectif. p(x 2) = 1 p(x 1) = 1 p(x = 0) p(x = 1) = 1 0, ,591 (1 0,59) 4 1 = 1 0, ,59 0,41 3 0,81 0,3 0,1 S T

2 Exercice 2. Problème économique (6 points) Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue. L entreprise peut fabriquer entre 0 et poulies par semaine. On note x le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. (x varie donc dans l intervalle [0 ; 3,6]). Le bénéfice hebdomadaire est noté B(x), il est exprimé en milliers d euros. L objet de cet exercice est d étudier cette fonction B. Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l une de l autre. PARTIE A : étude graphique On a représenté, ci-dessous, la fonction B dans un repère du plan. Chaque résultat sera donné à cent poulies près ou à cent euros près suivant les cas. Les traits utiles à la compréhension du raisonnement seront laissés sur le graphique et une réponse écrite sur la copie sera attendue pour chaque question posée. 1. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à euros. On trace la droite d équation y = 13 (en noir) qui coupe la courbe en deux points dont les abscisses sont approximativement : 2,45 et 3,4. Entre ces valeurs le bénéfice est supérieur à euros. Le nombre de poulies doit donc varier dans l intervalle [2 500 ; 3 400], valeurs arrondies à 100 poulies près. 2. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l entreprise? Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé? Le point le plus haut de la courbe semble avoir pour coordonnées (3,0 ; 15,1). Par conséquent, le bénéfice maximal est d environ euros. Il est réalisé par poulies fabriquées. PARTIE B : étude théorique Le bénéfice hebdomadaire noté B(x), exprimé en milliers d euros vaut : B(x) = 5 + (4 x)e x. 1. a. On note B la fonction dérivée de la fonction B. Montrer que pour tout réel x de l intervalle I = [0 ; 3,6], on a : B (x) = (3 x)e x. B = u + v w avec u (x) = 5 v (x) = 4 x w (x) = e x donc B = u + (v w) = u + v w + w v B (x) = 0 + ( 1) e x + e x (4 x) B (x) = ( x) e x B (x) = (3 x)e x u (x) = 0 v (x) = 1 w (x) = e x

3 b. Déterminer le signe de la fonction dérivée B sur l intervalle I. x 3 x est une fonction affine de coefficient directeur négatif (a = 1) 3 x = 0 x = 3 x 0 3 3,6 Signe de e x + + Signe de 3 x + 0 Signe de B (x) c. Dresser le tableau de variation de la fonction B sur l intervalle I. x 0 3 3,6 Signe de B (x) e 3 Variations de B 1 B (0) = 5 + (4 0)e 0 = = 1 B (3) = 5 + (4 3)e 3 = 5 + e 3 B (3,6) = 5 + (4 3,6)e 3,6 = 5 + 0,4 e 3, ,4 e 3,6 2. a. On admet que l équation B(x) = 13 admet deux solutions x 1 et x 2. À l aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée à 0,01 près de chacune des deux solutions. + zoom auto G-solv ISCT À l aide de la calculatrice, on obtient : x 1 2,46 et x 2 3,40 b. Donner, en justifiant à l aide des variations de B, l ensemble solution de l inéquation B(x) 13. Comparer ce résultat à l un de ceux de la partie A. Est-ce cohérent? La fonction B est strictement croissante sur [0, 3] puis strictement croissante sur [3, 3,6] et x 1 [0, 3] et x 2 [3, 3,6], alors B(x) 13 x [x 1 ; x 2 ] avec x 1 2,46 et x 2 3,40. Ce résultat est cohérent avec le résultat de la question 1 de la partie A (il est plus précis).

4 Exercice 3. SUITES (5 points) L entreprise Iron S.A. exploite un filon de minerai de fer depuis La première année d extraction, l entreprise a récupéré tonnes de fer. Depuis 1950, en raison des difficultés croissantes d extraction et de l appauvrissement du filon, les quantités de fer extraites diminuent de 1% par an. Soit u n le nombre de tonnes extraites l année n. 1. En utilisant un tableur, un élève a obtenu les résultats qui figurent cicontre. Indiquer la formule à écrire dans la cellule B3, qui, par recopie vers le bas, permet de trouver les termes consécutifs de cette suite (u n ). = B2 0,99 2. Montrer que la suite (u n ) est une suite géométrique. On précisera sa raison et son premier terme. Les quantités de fer extraites diminuent de 1% par an donc u n + 1 = u n ( ) = u n 0,99 (u n ) est une suite géométrique de raison b = 0,99 et de 1 er terme u 0 = Exprimer alors u n en fonction de n. u n = u 0 b n = ,99 n 4. Déterminer la quantité de minerai de fer extraite dans ce filon en = u 58 = ,99 58 u ,32 La quantité de minerai de fer extraite dans ce filon en 2008 est de ,32 tonnes. 5. On considère l algorithme ci-contre. a. Des informations concernant la suite (u n ) ont été effacées. A vous de les ajouter (Voir pointillés). Variables : n est un entier naturel u est un réel Initialisation: u prend la valeur n prend la valeur 0 Traitement : Tant que u > u prend la valeur u 0,99 n prend la valeur n + 1 Fin de Tant que Sortie : Afficher n b. Quel est le rôle de cet algorithme? En utilisant les résultats obtenus par l élève sur le tableur, préciser la valeur de n qui sera affichée en sortie. Cet algorithme permet de déterminer le plus petit entier n tel que u n est inférieur ou égale à D après les résultats obtenus par l élève sur le tableur, la valeur affichée par cet algorithme sera 11.

5 6. a. Calculer u 0 + u 1 + u u 58 u 0 + u 1 + u u 58 = , ,99² ,99 58 = (1 + 0,99 + 0,99² ,99 58 ) = , car 0, ,99 = ,9959 0, ,05 b. Interpréter concrètement la somme calculée précédemment De 1950 à 2008, environ tonnes de minerai de fer ont été extraites dans ce filon. Dans la question suivante, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. 7. On admet que la quantité totale extraite durant n années, exprimée en tonnes est : S n = (1 0,99 n ) En 1950, les géologues estimaient que ce filon recelait tonnes de fer. Déterminer, à partir de quelle année, le filon sera épuisé. Il s agit de déterminer n, tel que : S n (1 0,99 n ) Commençons par déterminer le sens de variation de la suite (S n ) : 0 < 0,99 < 1 donc la suite (0,99 n ) est strictement décroissante 1 < 0, les variations sont inversées quand on multiplie par un nombre négatif donc la suite ( 0,99 n ) est strictement croissante. D où la suite (1 0,99 n ) est strictement croissante > 0, les variations sont conservées quand on multiplie par un nombre positif donc la suite (S n ) est strictement croissante. Utilisons la calculatrice : dans le mode récurrence : On tape a n = (1 0,99 n ) Dans SET, on entre Start = 0 End = 100 On obtient le tableau ci-contre : S S 68 < S S 69 > Donc le plus petit entier tel que S n est = 2019 Le filon sera donc épuisé à partir de 2019.

6 Exercice 4. Q.C.M. (4 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Chaque question ci-après comporte trois ou quatre réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. Pour chaque question, cocher la réponse exacte, on ne demande pas de justification. Chaque réponse exacte rapporte 0,5 point, une mauvaise réponse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point. On considère la fonction f définie et dérivable sur [ 2 ; 8] et on donne ci-dessous sa courbe représentative C f dans un repère orthogonal. La courbe passe par les points A, B et C et les tangentes à la courbe C f aux points A, B et C sont tracées sur la figure. 1) Le nombre dérivé de f en 3 est égal à : autre réponse 2) f (x) est strictement négatif sur l'intervalle : ] 2 ; α [ avec α 1,2 [ 2 ; 1[ ] 5 ; 8] ]1 ; 5[ autre réponse 3x 3) Le réel 5 2 est égal à 4) L expression e x 1 e 2x (e x + 1 ) 2 est égale à : 53x x x e x + 1 e x 3 autre réponse 5) Pour tout réel x, le nombre e x 1 e x + 2 est égal à : 1 2 6) La fonction dérivée de la fonction f définie sur IR par f (x) = x e x est la fonction f telle que : 7) Le prix d une action a augmenté chaque mois de 5% et cela pendant 3 mois consécutifs. Globalement, le prix de l action a été multiplié par : 8) Pour une puissance électrique donnée, le tarif réglementé du kilowattheure est passé de 0,114 0 au 01/07/2007 à 0,137 2 au 01/07/2014. Cette augmentation correspond à un taux d évolution arrondi au centième, chaque année, de : e x 1 e x e x 1 + 2e x f (x) = x2 + 2x 1 e x f (x) = 2x e x f (x)= x2 + 2x + 1 e x 1,05 3 1,15 3 1,05 1,45 1,72% 1,67% 2,68% 1,33%