TRIANGLE RECTANGLE. Chapitre 10. Triangle rectangle et cercle circonscrit Triangle rectangle et médiane

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1 hapitre 10 TNGL TNGL Triangle rectangle et cercle circonscrit Triangle rectangle et médiane «git -Prop-Tram #2» de Dennis John shbaugh, 1974

2 TVTÉ TNGL TNGL T L NT TVTÉ 1 Dans un triangle rectangle oit un triangle tel que l angle est droit 1 a) n quel sommet le triangle est-il rectangle b) Quels sont les côtés du triangle qui sont perpendiculaires 2 a) Quel est le côté opposé à l angle droit b) Quelle est l hypoténuse du triangle TVTÉ 2 omment obtenir facilement le cercle circonscrit à un triangle rectangle 1 onstruire et conjecturer 1 onstruire un triangle TG rectangle en T Placer le point N tel que le quadrilatère TNG soit un rectangle 2 n appelle l intersection des diagonales [ TN] et [ G] Tracer le cercle de centre et passant par le point 3 Que peut-on conjecturer pour le cercle et les points T et G 2 Démontrer 1 a) Que représente le point pour chacune des diagonales [ TN] et [ G] iter la propriété utilisée b) ecopier et compléter chaque expression avec le bon symbole : G TN G ; N T a) Que peut-on dire des longueurs des diagonales G et TN iter la propriété utilisée G TN b) Que peut-on en déduire pour les quotients et Que peut-on déduire des questions 2 1 et 2 2 pour les longueurs, G et T 4 a) Le point est-il le centre du cercle circonscrit au triangle TG b) Le segment [ G] est-il un diamètre du cercle circonscrit au triangle TG 5 ecopier et compléter la synthèse : ondition : Un triangle est onclusion : Le centre du cercle à ce triangle est Un diamètre du cercle à ce triangle est omment obtient-on le centre du cercle circonscrit à un triangle quelconque ppliquer Un triangle rectangle en a une hypoténuse mesurant 6 cm Quelle est la longueur du rayon du cercle circonscrit au triangle

3 TVTÉ NT UTL L L NT PU DNTF UN TNGL TNGL TVTÉ 3 dentifier un triangle rectangle 1 bserver et conjecturer Le demi-cercle a pour diamètre le segment [ ] omment reconnaîton qu un quadrilatère est un rectangle Les points, J, K et L appartiennent tous au demicercle Les triangles, J, K et L sont donc tous inscrits dans le demi-cercle de diamètre [ ] J K $ 1 Que peut-on conjecturer pour la nature du triangle 2 Que peut-on conjecturer pour les triangles J, K et L L 2 Prouver Dans la figure ci-contre, on a reproduit le triangle et on a complété le demi-cercle pour obtenir le cercle Le point du cercle est diamétralement opposé au point # 1 a) Que sait-on des segments [ ] et [ ] b) Que peut-on en déduire pour le quadrilatère iter la propriété utilisée 2 a) Que peut-on conclure pour le triangle b) Que peut-on dire du segment [ ] 3 Que peut-on en déduire pour les triangles J, K et L de la partie 1 4 ecopier et compléter la synthèse : ondition : Un triangle est dans un demi-cercle dont le diamètre est du triangle onclusion : Le triangle est et le diamètre est son 3 ppliquer 1 Trois points, et T d un même cercle sont placés de telle façon que le segment [ ] est un diamètre du cercle Que peut-on dire du triangle T 2 ombien de triangles rectangles peut-on nommer dans la figure formée des deux cercles et qui sont de diamètres respectifs [ ] et [ F] et qui sont sécants aux points et U 10 TNGL TNGL 171

4 TVTÉ L T NGL DT TVTÉ 4 omment prouver qu un point appartient à un cercle 1 onstruire et conjecturer 1 a) onstruire un angle droit xy b) Placer un point sur la demi-droite [x ) et un point N sur la demi-droite [y) c) Placer le milieu du segment [ N], puis tracer le cercle de diamètre [ N] 2 Le point semble-t-il appartenir au cercle 2 Démontrer 1 a) Que sait-on du triangle N b) Que représente le côté [ N] pour le triangle N Que représente le côté [ N] pour le cercle 2 a) Justifier que le cercle est le cercle circonscrit au triangle N b) Le point appartient-il au cercle 3 ecopier et compléter la synthèse : ondition : Un angle N est onclusion : Le point appartient au cercle de diamètre TVTÉ 5 omment prouver qu un angle est droit Dans la figure, le point appartient au disque de diamètre [ ], le point J appartient au cercle de diamètre [ ], et le point K n appartient ni au disque ni au cercle de diamètre [ ] K # J 1 esurer les angles, J et K 2 La mesure de l angle J peut être obtenue sans utiliser d instrument Quelle est la propriété qu il faut utiliser pour obtenir et justifier la mesure de l angle J 3 ecopier et compléter la synthèse : ondition : Un point J appartient au onclusion : L angle est 172

5 TVTÉ TNGL TNGL T ÉDN LTV À L HYPTÉNU TVTÉ 6 édiane dans un triangle 1 édiane dans un triangle quelconque Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet La longueur d une médiane est égale à la longueur du segment joignant le sommet et le milieu du côté opposé relatifs à cette médiane Dans le triangle UT ci-contre la droite sommet U et relative au côté [ T] 1 eproduire le triangle UT ci-contre ( U) est la médiane issue du T 2 a) Tracer la médiane issue du sommet esurer sa longueur b) Tracer la médiane relative au côté [U] U 2 édiane relative à l hypoténuse d un triangle rectangle Dans la figure ci-contre, le triangle P est rectangle en Le point est le milieu du côté [ P] Le cercle est circonscrit au triangle P # P 1 Que représente la droite ( ) pour le triangle P 2 Que peut-on dire des longueurs et P 3 ynthèse i un triangle est rectangle, que peut-on en déduire pour la longueur de son hypoténuse et la longueur de la médiane relative à l hypoténuse TVTÉ 7 dentifier un triangle rectangle 1 onstruire et conjecturer 1 Tracer un segment [ T] et placer son milieu Tracer une droite ( d) passant par le point et y placer un point tel que = Tracer les côtés manquants du triangle T Deux points et sont symétriques par rapport à un point Que peut-on dire des longueurs et 2 Quelle semble être la nature du triangle T 2 Prouver 1 Que représente la droite ( d) pour le triangle T Que sait-on des longueurs T et 2 onstruire le symétrique du point par rapport à Quelle est la nature du quadrilatère T 3 Quelle est la nature du triangle T 4 ecopier et compléter la synthèse : ondition : Dans un triangle, un côté mesure de la médiane à ce côté onclusion : Le triangle est et ce côté est son 10 TNGL TNGL 173

6 V 1 TNGL TNGL 1 TNGL TNGL T L NT exercices 1 à 5 Propriété i un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit et le milieu de son hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit xemple : Le triangle est rectangle en n déduit que son hypoténuse [ ] est le diamètre de son cercle circonscrit et que le milieu de son hypoténuse [ ] est le centre de son cercle circonscrit Propriété i un triangle est inscrit dans un demi-cercle dont le diamètre est un côté du triangle, alors le triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse une ÉTHD pour démontrer qu un triangle est rectangle Le point appartient au cercle de diamètre [ DF] Le triangle DF est-il rectangle en n repère le diamètre du cercle et le troisième sommet du triangle n sait que : le triangle DF est inscrit dans le demi-cercle de diamètre [ DF] n énonce la propriété n utilise la propriété : «i un triangle est inscrit dans un demi-cercle dont le diamètre est un côté du triangle, alors le triangle est rectangle et ce diamètre est son hypoténuse» n conclut Donc le triangle DF est rectangle en, et le segment [ DF] est son hypoténuse F D 2 L T NGL DT exercices 6 à 9 Propriétés i un angle est droit, alors le point appartient au cercle de diamètre [ ] i un point appartient à un cercle de diamètre [ ], alors l angle est droit xemples : L angle est droit La première propriété permet de conclure que le point appartient au cercle de diamètre [ ] Le point appartient au cercle de diamètre [ ] La deuxième propriété permet de conclure que l angle est droit 174

7 T L NT PPLQU Triangle rectangle et cercle circonscrit 1 Quelles propriétés peut-on utiliser : 1 pour déterminer le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle 2 pour conclure qu un triangle est rectangle X GUDÉ orrigé p n veut construire un triangle T et son cercle circonscrit sachant que : T = 90, T = 3 cm et T = 8 cm 1 Tracer et coder un schéma du triangle T 2 onstruire le triangle T 3 Quelle est la nature du triangle T Que peuton en déduire pour le centre de son cercle circonscrit Le placer avec une règle graduée 4 Tracer le cercle circonscrit au triangle T 3 1 Tracer un losange TH de centre 2 Le point appartient-il au cercle de diamètre [ ] 3 Dans cette figure, peut-on tracer d autres cercles passant par le point i oui, préciser leur diamètre et leur centre 4 Le point appartient au segment [ V] V U Justifier chacune des affirmations : 1 Le point est le centre du cercle circonscrit au triangle V 2 Le point appartient au cercle de diamètre [ ] 3 Le segment [ V] est un diamètre du cercle circonscrit au triangle V 5 1 a) Tracer un segment [ ] de longueur 6 cm, puis tracer un demi-cercle de diamètre [ ] b) Placer le point D sur tel que D = 23, cm c) onstruire le point qui est le symétrique du point par rapport au point D 2 a) Quelle est la nature du triangle D b) Quelle est la nature du triangle T ercle et angle droit 6 1 Quelles propriétés peut-on utiliser pour conclure qu un point appartient à un cercle 2 Quelles propriétés peut-on utiliser pour conclure qu un angle est droit 7 Le cercle a pour diamètre le segment [ P] : # 1 alculer la mesure de 27 l angle P P 2 Le point appartient-il au cercle 8 Le segment [ ] est un diamètre du cercle qui passe par le point 1 Quelle est la mesure de l angle 2 Quelle est la mesure de l angle $ vec les bons mots 9 Le cercle de diamètre [ ] est circonscrit au triangle et le cercle de diamètre [ ] est circonscrit au triangle T $ T # 1 La phrase suivante est-elle vraie «i le cercle circonscrit à un triangle a pour diamètre un côté du triangle, alors ce triangle est rectangle et ce côté est l hypoténuse» 2 Prouver que le segment [ ] est l hypoténuse du triangle T 10 TNGL TNGL 175

8 V 2 TNGL TNGL 1 ÉDN DN UN TNGL QULNQU exercices 10 à 13 Définitions Dans un triangle, une médiane est une droite passant par un sommet et le milieu du côté opposé à ce sommet La longueur d une médiane est égale à la longueur du segment joignant le sommet et le milieu du côté opposé relatifs à cette médiane xemple : Dans le triangle, la droite ( ) est issue du sommet et passe par le milieu du côté [ ] : c est la médiane issue du sommet est la longueur de la médiane relative au côté [ ] 2 TNGL TNGL T ÉDN LTV À L HYPTÉNU exercices 14 à 18 Propriété i un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane relative à l hypoténuse est égale à la moitié de la longueur de l hypoténuse une ÉTHD pour calculer la longueur de la médiane relative à l hypoténuse TH est un triangle rectangle en H Le point G est le milieu du côté [ T] et T = 5 cm Quelle est la longueur du segment [ GH] n repère la médiane relative à n sait que : la droite l hypoténuse et la longueur connue [ T] et T = 5 cm n énonce la propriété utilisée ( GH) T est la médiane relative à l hypoténuse n utilise la propriété : «i un triangle est rectangle, alors la médiane relative à l hypoténuse mesure la moitié de l hypoténuse» n conclut Donc le segment [ HG] mesure 2,5 cm G H Propriété i un côté d un triangle mesure le double de la longueur de la médiane relative à ce côté, alors le triangle est rectangle et ce côté est son hypoténuse xemple : Dans le triangle, le côté [ ] mesure 4 cm et la médiane relative au côté [ ] mesure 2 cm n déduit que le triangle est rectangle en et que le segment [ ] est son hypoténuse 2 cm 4 cm 176

9 T ÉDN PPLQU édiane dans un triangle quelconque 10 Dans quels cas la droite ( d) est-elle la médiane issue du sommet 1 (d) 2 (d) onstruire un triangle tel que : = 5 cm, = 7 cm et = 45 2 a) Tracer la médiane issue du sommet b) esurer et donner la valeur approchée, au millimètre près, de sa longueur D (d) F 12 1 onstruire un triangle LU tel que : U = 45, cm, LU = 50 et UL = 55 2 Placer le point P tel que la droite ( LU) soit la médiane relative au côté [ P] du triangle PL 13 1 a) Tracer un triangle isocèle en tel que : = 3 cm et = 5 cm b) Placer le point qui est le symétrique du point par rapport au point c) Placer le point D qui est le symétrique du point par rapport à la droite ( ) 2 La droite ( ) est-elle une médiane du triangle i oui, quelle est sa longueur 3 Tracer, puis mesurer la médiane issue du point dans le triangle D Triangle rectangle et médiane relative à l hypoténuse 14 1 Quelle est la propriété qui permet de comparer les longueurs de la médiane relative à l hypoténuse et de l hypoténuse d un triangle rectangle 2 Quelle est la longueur du segment [ ] sachant que = 3 dm D X GUDÉ 15 Le point est le milieu du segment [ T] Prouver que le triangle H est équilatéral en suivant les étapes ci-dessous : 60 1 a) Prouver que : = et H = b) n déduire que le triangle H est isocèle en 2 n utilisant une donnée de l énoncé et la question 1, conclure que le triangle H est équilatéral H T orrigé p oit un triangle T isocèle en Le point est le symétrique du point T par rapport au point 1 Faire une figure et la coder 2 Quelle est la nature du triangle T 17 Les points, U et T sont alignés Trois triangles rectangles sont «cachés» dans la figure ci-contre 30 Les nommer U vec les bons mots 18 n utilise la figure de l exercice 15 ecopier et compléter le texte suivant : Le triangle HT est en H, d hypoténuse [ ] La droite ( H) est la issue du sommet Dans le triangle T rectangle en, la droite ( ) est la médiane au côté [ T] qui est l du triangle Les de ces deux médianes sont à Les points,, H et T appartiennent au même de centre et de rayon T 10 TNGL TNGL 177

10 X ÉVLU ÉVLU Q Pour chacun des exercices suivants, donner la (ou les) bonne(s) réponse(s) i échec, voir : 19 Dans quelle(s) figure(s) le point est-il le centre du cercle circonscrit au triangle ex 1 à 4 20 Un diamètre du cercle circonscrit à un triangle UD rectangle en U est le côté : [ U] [ D] [ DU] ex 1 à 4 21 Dans quelle(s) figure(s) le point T est-il le centre du cercle circonscrit au triangle ex 1 à 4 22 Dans quels cas le triangle TP est-il rectangle en P appartient au cercle de diamètre [ T] T = = P ; et TP = 180 Le cercle circonscrit au triangle TP a pour diamètre [ TP] ex 5 et 9 23 Dans quel(s) quadrilatère(s) les sommets appartiennent-ils tous T au cercle de diamètre [ ] ex 6 et 7 N U et sont les diamètres 24 [ ] [ ] respectifs des demi-cercles Dans quel(s) cas l angle est-il droit D F D ex 6 et 8 25 Un triangle D est rectangle en D et est le milieu de son hypoténuse n a sûrement : = D D = D = D ex 14 et i le point est le milieu d un segment [ ] et si =, alors le triangle est rectangle en : Dans un triangle T, le point est le milieu du côté [ ] mesurant 4 cm et T = 2 cm Le triangle T est-il rectangle ex 16 et 17 oui non on ne sait pas ex 16 et 17 Vérifier les réponses en page

11 X epérer les données NTÎN Utiliser la bonne propriété 28 Le point appartient au demi-cercle 1 de diamètre [ ] Le cercle 2 a pour diamètre [ ] et le cercle 3 a pour diamètre [ ] Le point est l intersection des cercles 2 et 3 33 Le cercle a pour diamètre l hypoténuse [ P] de milieu L # # 3 # 1 # 2 P 1 a) Quelles données doit-on choisir pour déterminer la nature de chacun des triangles, et b) Donner la nature de ces trois triangles 2 Quelles nouvelles données doit-on choisir pour prouver que les points, et sont alignés 29 oit un cercle de diamètre [ N] et de centre Quelle donnée permet de dire qu un point appartient au cercle N = 90 ; = 90 ; N = Un point appartient à un cercle de diamètre [ N] Les points et D sont les symétriques respectifs des points et N par rapport au point 1 Tracer un schéma 2 Quelles sont les données qui permettent de justifier que le quadrilatère DN est : a) un parallélogramme b) un losange 31 est un parallélogramme et = 7 cm Pour déterminer la longueur T, quelles données L doit-on choisir Dans quel ordre les utilise-t-on T 32 Pour démontrer que le triangle est rectangle en, quel côté, quelle médiane et quelles longueurs doiton choisir Quelles propriétés ci-dessous peut-on utiliser pour prouver que le cercle passe par le point L 1 i un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit 2 i un triangle est rectangle, alors le milieu de son hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit 3 Dans un cercle, si un triangle a pour sommet les extrémités d un diamètre du cercle et un point du cercle, alors ce triangle est rectangle en ce point 4 i un angle est droit, alors le point appartient au cercle de diamètre [ ] 34 n considère un triangle rectangle en Quelle(s) propriété(s) ci-dessous peut-on appliquer au triangle 1 i un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit 2 i un triangle est rectangle, alors la longueur de la médiane issue du sommet de l angle droit est égale à la moitié de la longueur de l hypoténuse 35 achant qu un point appartient à un cercle de diamètre [ L], quelle(s) propriété(s) peut-on utiliser pour prouver que : a) le triangle L est rectangle en b) l angle L est droit 36 Dans un triangle PN, le point est le milieu du côté [ NP] et P = Quelle propriété doit-on utiliser pour déterminer la nature du triangle PN 10 TNGL TNGL 179

12 X ien conclure 37 achant que le triangle HP est rectangle en, que peut-on conclure au sujet du côté [ HP] lorsqu on utilise la propriété : «i un triangle est rectangle, alors son hypoténuse est un diamètre de son cercle circonscrit» 38 n considère un demi-cercle de diamètre [ ] et deux points et T de ce demi-cercle Que peut-on conclure pour les triangles et T en utilisant la propriété : «i un triangle est inscrit dans un demi-cercle dont le diamètre est un côté du triangle, alors le triangle est rectangle et le diamètre est son hypoténuse» 39 Un segment [ ] est un diamètre d un cercle de centre et est un point de ce cercle Quelles sont les déductions correctes a b c Le triangle est isocèle en Le triangle est équilatéral L angle est droit d Les angles et sont supplémentaires e f Les angles et sont supplémentaires Le point est le milieu du segment [ ] 40 Le point est le milieu du segment [ ] et = 5 cm Que peut-on en déduire pour : a) les longueurs et b) la droite ( ) c) les longueurs et d) le triangle e) la mesure de l angle f) la mesure de l angle g) le cercle de centre et de rayon 5 cm 180 T nchaîner les étapes 41 n considère le quadrilatère V suivant : 70 V a) alculer la mesure de l angle V b) Quelle est la nature du triangle V c) Le segment [ ] est-il un diamètre du cercle circonscrit au triangle V 2 a) Quelle est la nature du triangle V b) alculer la mesure de l angle V c) Quelle est la nature du triangle d) Le point appartient-il au cercle 3 onstruire le quadrilatère V avec V = 6 cm, puis tracer le cercle 42 Le point appartient au demi-cercle 1 de diamètre [ J] Le demi-cercle 2 de diamètre [ J] coupe le segment [ J] au point Le cercle 3 de diamètre [ ] coupe le segment [ J] au point et coupe le segment [ ] au point D D # 3 # 1 L objectif est de déterminer la nature du quadrilatère D 1 Prouver que l angle J est droit et en déduire que l angle D est droit 2 Prouver que les angles et D sont droits 3 Quelle est la nature du quadrilatère D # 2 J

13 X onstruire 43 1 Tracer un cercle, puis effacer son centre 2 omment peut-on retrouver le centre de ce cercle en n utilisant que la règle non graduée et l équerre 44 1 Tracer un segment [ ] de longueur 6 cm et placer son milieu Tracer une droite ( d) passant par le point (les droites ( d) et ( ) ne doivent pas être perpendiculaires) 2 Placer, à la règle non graduée et au compas, deux points et J tels que les triangles et J soient isocèles en et la droite ( d) soit la hauteur issue de dans chacun des deux triangles et J 45 1 onstruire un triangle F tel que : F = 7 cm ; = 6 cm ; F = 10 cm 2 n utilisant uniquement le compas et la règle graduée, tracer les trois hauteurs du triangle F 3 Justifier la construction de la hauteur issue du sommet 46 Tracer un cercle de diamètre [ ] Placer un point à l intérieur du disque de diamètre [ ] et un point à l extérieur de ce disque 1 n utilisant la règle : a) Tracer la droite ( d) passant par le point et perpendiculaire à la droite ( ) b) Tracer la droite ( e) passant par le point et perpendiculaire à la droite ( ) 2 Justifier chaque construction 47 1 eproduire 4 cm le trapèze D de bases [ ] et [ D] 2 a) Placer un point tel que le triangle soit isocèle en 5 cm 9 cm D et le triangle D soit rectangle en b) Justifier la construction 3 ombien de solutions obtient-on en fait pour le point 48 1 Tracer un segment [ N] mesurant 8 cm 2 n utilisant uniquement une équerre, placer un point qui appartient au cercle de diamètre [ N] 3 Justifier la construction Démontrer 49 1 Tracer un triangle T rectangle en et placer le milieu de son hypoténuse 2 Le point appartient-il à la médiatrice du côté [ ] 50 1 Placer quatre points G,, et L alignés dans cet ordre Les demi-cercles de diamètres respectifs [ G] et [ L] sont sécants au point 2 Quelle est la nature des triangles G et L 3 Les mesures des angles G et L sont-elles égales 51 1 Tracer un triangle rectangle en Tracer le cercle de diamètre [ ] ; il coupe l hypoténuse du triangle au point 2 Le point appartient-il au cercle de diamètre [ ] 52 Les points et N appartiennent au demi-cercle de diamètre [ ] Les mesures des angles N et N sont-elles égales 53 Les points et J sont les milieux respectifs des segments [ ] et [ D] qui sont de même longueur Prouver que les longueurs et J sont égales 54 1 Tracer un segment [ ] mesurant 6 cm et placer son milieu Placer un point tel que le triangle soit isocèle en 2 Quelle est la nature du triangle 10 TNGL TNGL 181 J D # N

14 X alcul mental 55 Dans quel cas le milieu du côté [ ] est-il le centre du cercle circonscrit au triangle a = 27 et = 63 ; b = 34 et = 57 ; c = 45 et le triangle est isocèle en 56 alculer la longueur dans chaque cas Devoir à la maison 61 La feuille sur laquelle est tracé le triangle a été déchirée = 6,8 cm n considère la figure ci-dessous K 1 alculer la longueur J lorsque KL = 13 dm 2 alculer la longueur KL lorsque J = 43, cm 58 Le triangle est-il rectangle lorsque : a) = 56, cm et = 11, 2 cm b) 3 -- dm et 4 = dm = 4,9 cm 59 Dans chaque cas, calculer le périmètre du triangle a) = 10 cm et = 4 cm ; b) = 7 cm et = 9 cm ; c) = = 35, cm 60 alculer la valeur de x dans chaque figure x 3 4 J 4 + x L x 4 x ien que le triangle soit incomplet, il est possible d effectuer les constructions suivantes sans sortir du cadre a) Décalquer le cadre et la partie visible du triangle b) onstruire, au compas et à la règle non graduée, le milieu du côté [ ] c) onstruire, à l équerre, le milieu N du côté [ ] 2 Justifier chaque construction 62 1 Tracer un demi-cercle de diamètre [ T] mesurant 5 cm Le point appartient au demi-cercle et = 2 cm Le point est le symétrique du point T par rapport au point Le point est le symétrique du point T par rapport au point 2 a) Quelle est la nature du triangle T b) Que représente la droite ( ) pour le segment [ T] Quelle est la nature du triangle T c) Que représente la droite ( ) pour le triangle T Quelle est la nature du triangle T 63 Le segment [ ] est un diamètre du cercle Le point appartient au cercle Le point F est le symétrique du point par rapport à la droite ( ) 1 Le triangle est-il rectangle en 2 Quelle est la nature du triangle F 3 Le point F appartient-il au cercle # F

15 X PFTNN oncrètement 64 Une échelle de 4 m de long est appuyée contre un mur vertical u début, le pied P de l échelle est en contact avec le pied du mur nsuite, l échelle glisse jusqu au sol, son sommet restant toujours en contact avec le mur 80 m D m P 1 ur quelle distance le pied P de l échelle s est-il déplacé 2 Justifier que le milieu de l échelle parcourt un quart de cercle dont on précisera le centre et le rayon 3 Quelle est la distance, au centimètre près, parcourue par le milieu de l échelle 65 D est un cadre rectangulaire tel que : = 12 cm et D = 8 cm Les extrémités et F d une tige métallique de longueur 5 cm peuvent F coulisser sur les côtés du cadre D 1 eprésenter le cadre D en vraie dimension 2 a) Quel est le trajet décrit par le milieu de la tige lorsque l extrémité parcourt tout le cadre b) onstruire ce trajet 3 Quelle est la longueur de ce trajet 66 Quatre maisons sont construites sur un terrain Les propriétaires souhaitent creuser un puits commun pour alimenter en eau chaque maison Les points,, et D sur le plan désignent les arrivées d eau pour chaque maison Pour équilibrer les frais entre eux, ils souhaitent que le puits soit à la même distance de chacune des maisons 1 eproduire le plan en prenant 1 cm pour 10 m 2 Vérifier, par un calcul, que l angle en est droit 3 Placer l endroit où creuser le puits Justifier P P Dans l espace 67 est un cylindre droit Les bases du prisme droit 3 sont inscrites dans les cercles de diamètres respectifs [ ] et [ DF] # n donne : F = 3 cm ; = 4 cm ; = 5 cm ; D = 6 cm D 1 a) Justifier que l angle DF est droit b) alculer le volume du prisme 2 a) alculer l aire de la base du cylindre Donner la valeur exacte en fonction de et une valeur approchée au mm 2 près b) alculer le volume du cylindre Donner la valeur exacte en fonction de et une valeur approchée au mm 3 près 68 Une tige coulisse dans un cylindre creux de hauteur 80 mm La section de la tige est un triangle rectangle d hypoténuse 50 mm et les arêtes latérales de la tige sont au contact du cylindre 1 Quel est le diamètre intérieur du cylindre 2 Le diamètre extérieur du cylindre est de 60 mm a) alculer l épaisseur de la paroi cylindrique b) alculer le volume de la paroi cylindrique Donner la valeur exacte en fonction de et une valeur approchée au mm 3 près 10 TNGL TNGL 183

16 X 69 1 Tracer un triangle T acutangle, c'est-à-dire un triangle dont les trois angles sont aigus Le cercle de diamètre [ ] coupe le côté [ T] au point et le côté [ T] au point 2 Justifier que les points et sont les pieds des hauteurs respectivement issues des sommets et du triangle T 70 1 a) onstruire un trapèze T de bases [ T] et [ ] tel que : = 12 cm, T = 6 cm, T = 8 cm et T = 80 b) onstruire les bissectrices des angles du trapèze c) La bissectrice de l angle coupe la bissectrice de l angle T au point N et elle coupe la bissectrice de l angle au point G La bissectrice de l angle coupe la bissectrice de l angle au point L et elle coupe la bissectrice de l angle T au point 2 L objectif est de démontrer que les points G, L, et N appartiennent à un même cercle a) Démontrer que les angles T et T sont supplémentaires b) n déduire que les angles NT et NT sont complémentaires c) n déduire que l angle TN est droit d) n déduire que l angle GN est droit 3 L angle GL est-il droit 4 Démontrer que les points G, L, et N appartiennent à un même cercle 71 1 onstruire un triangle rectangle et isocèle en tel que = 6 cm Le point est le milieu de l hypoténuse et le point est le milieu du côté [ ] Le point D est le symétrique du point par rapport au point 2 L objectif est de prouver que le quadrilatère D est un carré a) Démontrer que le quadrilatère D est un parallélogramme b) Démontrer que les longueurs et sont égales c) n déduire que le quadrilatère D est un losange d) alculer les mesures des angles et e) Déduire des réponses précédentes que le quadrilatère D est un carré U L HN DU VT 72 1 Tracer une figure à partir des éléments suivants : [ ] est un segment tel que = 10 cm ; ( d) est la médiatrice de [ ] ; et F sont deux points de la droite ( d) situés de part et d autre du segment [ ] ; 1 est le cercle de centre passant par ; 2 est le cercle de centre F passant par ; G est le symétrique de par rapport à ; H est le symétrique de par rapport à F 2 a) Le point est-il situé sur les cercles 1 et 2 Pourquoi b) Démontrer que les points G et H sont respectivement situés sur les cercles 1 et 2 3 n précisant la nature des triangles G et H, démontrer que les points G, et H sont alignés ujet complémentaire, ur la figure suivante : les points, et sont situés sur le cercle de centre ; = 100 et = 170 D 1 Déterminer les mesures des angles du triangle Justifier les réponses 2 La droite ( ) coupe le cercle en D alculer les mesures des angles du triangle D Justifier les réponses D après un sujet complémentaire, 2004 # 184

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