REPERAGE DANS LE PLAN

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1 1 sur 5 REPERAGE DANS LE PLAN I. Coordonnées de points du plan a) Repère du plan Définition : un repère orthonormé d origine O est un triplet (O ;I,J) de points tels que le triangle OIJ est rectangle isocèle en O. La droite graduée de repère (O ;I) est l axe des abscisses. Le droite graduée de repère (O ;J) est l axe des ordonnées. Remarque : le repère (O ;I ;J) est dit orthogonal lorsque le triangle OIJ est rectangle en O. Pour certains repères (O ;I ;J) le triangle OIJ n est pas rectangle. b) Coordonnées de points Propriété : Dans un repère, tout point M est repéré par un unique couple (x # ; y # ) de nombres réels appelé coordonnées de M. x # est l abscisse de M et y # est l ordonnée de M. Propriété : admise Soit A et B deux points de coordonnées x A y A et x B y B dans un repère Orthonormé. Le milieu M du segment [AB] a pour coordonnées : 1 2 x + x A B 1 2 y + y A B ( ) ( )

2 2 sur 5 Méthode : Calculer les coordonnées d un milieu Vidéo A B J 0 I C Calculer les coordonnées de M, N et P milieux respectifs de [AB], [AC] et [BC]. c) Distance entre deux points Propriété : Soit A et B deux points de coordonnées orthonormé (O, i, j ) alors : x A y A et x B y B dans un repère AB = ( x B x A ) 2 + ( y B y A ) 2 (Cette propriété est une conséquence du théorème de Pythagore)

3 3 sur 5 Méthode : Calculer une distance dans un repère orthonormé Vidéo Soit A 3 2 et B 2 2 deux points dans un repère orthonormé (O, i, j ). A O B La distance AB (ou norme du vecteur AB ) est égale à : II. Cercles et triangles a) Tangente à un cercle Définition : C est un cercle de centre 0 et A un point de ce cercle C. La tangente au cercle C en A est la droite perpendiculaire en A à la droite (OA).

4 4 sur 5 Remarque : la tangente à C en A n a que le point A en commun avec le cercle C. b) Les triangles particuliers Triangle rectangle : Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. Théorème de Pythagore et sa réciproque : un triangle ABC est rectangle en A, si et seulement si, BC 2 = AB 2 + AC 2. Triangle isocèle : Un triangle ABC isocèle en A est un triangle tel que AB=AV. Dans un triangle ABC isocèle en A : o Les angles à la base ont même mesure : ABC = ACB. o La médiatrice de [BC] est axe de symétrie du triangle (c est aussi la hauteur issue de A et la bissectrice de l angle BCA). Remarque : un triangle ABC est rectangle isocèle en A lorsque BAC = 90 et AB=AC. On sait qu alors ABC = ACB = 45. Triangle équilatéral : Un triangle équilatéral ABC est un triangle tel que AB=AC=BC. Les trois angles d un triangle équilatéral ont pour mesure 60. Un triangle équilatéral a trois axes de symétrie (ce sont les médiatrices de ses côtés, ses hauteurs, les bissectrices de ses angles. III. Quadrilatères a) Les parallélogrammes Définition : un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles deux à deux.

5 5 sur 5 Un quadrilatère est un parallélogramme si, et seulement si, ses diagonales se coupent en leur milieu. Un parallélogramme a un centre de symétrie (le point d intersection de ses diagonales). b) Les rectangles Définition : Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits. Un quadrilatère est un rectangle si, et seulement si, ses diagonales se coupent en leur milieu et ont même longueur. Un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle. Un rectangle a deux axes de symétrie (les médiatrices de ses côtés) et un centre de symétrie (le point d intersection de ses diagonales. c) Les losanges Définition : Un losange est un quadrilatère qui a quatre côtés de même longueur. Un quadrilatère est un losange si, et seulement si, ses diagonales sont perpendiculaires en leur milieu. Un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur est un losange. Un losange a deux axes de symétrie (ses diagonales) et un centre de symétrie (le point d intersection de ses diagonales). d) Les carrés Un carré est à la fois un rectangle et un losange.

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