Forces. F A/B = G m Am B r 2 u r

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1 Notes de Cours PS 91 Forces I. Forces à distance I. 1 Attraction gravitationnelle Deux corps ponctuels de masses respectives m A et m B s attirent avec des forces de mêmes valeurs (mais vectoriellement opposées), proportionnelles à chacune des masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare. Cette force a pour direction la droite passant par A et B. La force exercée par A sur B s écrit F A/B = G m Am B r 2 u r où r = AB et ur est le vecteur unitaire de A vers B : u r = r/r où r = r. La constante gravitationnelle vaut G = 6, N.m 2.kg 2. On peut généraliser pour un système S de masses ponctuelles m i, i = 1,2,3... et la force exercée par le système sur un corps ponctuel A vaut alors F S/A = i G m Am i ri 2 u ri = m A g où g = i G m i ri 2 u ri est le champ de gravité au point A. Si le système de masse m est une sphère homogène (densité volumique constante) de centre O, alors la force exercée sur A a pour direction la droite passant par O et A et F S/A = m A g où g = G m r 2 u r où r = OA et u r est le vecteur unitaire de O vers A. Par exemple, à la surface de la Terre : g = 9,81m.s 2. m 2 m 1 r2 r 1 A m 3 r 3 A O r r 4 m 4 Figure 1 Champ de gravité en A dû à un système de masses ponctuelles (à gauche) et une sphère homogène de centre O (à droite). 1

2 I. 2 Force électromagnétique Force électrostatique de Coulomb Toute charge q A au point A exerce sur une charge q B au point B immobile une force, appelée force de Coulomb de la forme : F A/B = 1 4πε 0 q A q B r 2 u r où ε 0 = 8, F.m 1 est la permittivité électrique dans le vide. Ainsi la force est attractive si q A q B < 0 et répulsive si q A q B > 0. On peut généraliser pour un système S de charges ponctuelles q i, i = 1,2,3... et la force exercée par le système sur A vaut alors F S/A = i 1 q A q i u ri = q AE où 1 E = 4πε 0 4πε 0 est le champ électrique au point A crée par l ensemble des charges q i. r 2 i i q i ri 2 u ri Figure 2 Lignes de champ d un dipôle électrique(à gauche) et produites par deux charges positives 2q et q (à droite). 2

3 Force magnétique Force s exerçant sur une particule chargée q animée d une vitesse v en présence d un champ magnétique B (en Tesla) : F = q v B Conséquence : la force magnétique est toujours perpendiculaire à la vitesse et au champ magnétique. Figure 3 Action de la force magnétique sur une particule animée d une vitesse initiale horizontale. Force de Lorentz Force s exerçant sur une particule chargée q animée d une vitesse v en présence d un champ électromagnétique ( E, B) : F = q( E + v B) I. 3 Intéraction nucléaire L interaction forte est responsable de la cohésion du noyau. Sans elle, les forces de répulsions électromagnétiques entre protons feraient éclater le noyau. La portée de l interaction forte est d environ m, c est-à-dire la taille d un noyau atomique. C est cent fois plus que l interaction faible, mais négligeable devant les portées infinies de la gravitation et de l interaction électromagnétique. L interaction forte est la plus forte des interactions fondamentales. Sa constante de couplage est environ cent fois plus grande que celle de l interaction électromagnétique, un million de fois plus que celle de l interaction faible, et fois plus que celle de la gravitation. L interaction faible est responsable de la désintégration radioactive de particules subatomiques et est à l origine de la fusion nucléaire dans les étoiles. Cette force fondamentale est la plus faible des interactions non gravitationnelles. Aux énergies habituellement considérées en physique nucléaire, on la modélise par une interaction effective simplifiée (force de Fermi) dont la constante de couplage est environ fois moindre que celle de l interaction électromagnétique et fois moindre que celle de l interaction nucléaire forte. Cela s explique entre autres par le fait que son champ d action est très limité. 3

4 II. Forces de contact II. 1 Contact entre solide : force de frottement sec Le frottement représente l action d une surface rigide sur un solide, action qui s oppose au mouvement du solide par rapport à la surface. La force exercée par la surface sur le solide est la somme de la réaction normale N et la force de frottement f : R = N + f R N v f Figure 4 Force de frottement. L expérience montre qu il faut distinguer deux cas : lecas statique v = 0 et le cas dynamique v 0. Force de frottement dynamique La loi de Coulomb dynamique des frottements (déduite des observations) s écrit : f = µ d N v v où v désigne la vitesse relative du point de contact du solide par rapport à la surface et µ d est le coefficient de frottement dynamique qui dépend de la température et l état de surface de contact et de la nature des surfaces. Force de frottement statique Si on exerce sur un corps immobile une force F ext d intensité croissante, l expérience montre que tant que F ext f max (force d arrachement), le corps reste immobile. Dans ce cas, on observe que f µ s N = f max où µ s est le coefficient de frottement statique qui dépend de la nature et de l état des surfaces en contact. En général µ s µ d. Condition de contact et décollement On peut toujours écrire l effort normal : N = N n où n est le vecteur unitaire normal à la paroi orienté vesr le corps et N 0. La condition de décollement est donnée par N = 0. En pratique, on cherche, sous l hypothèse qu il y a contact, à quelle condition N < 0, ce qui est physiquement inacceptable et siginifie que l hypothèse n est plus valable. 4

5 II. 2 Contact entre solide et fluide Force de pression Les molécules constituant un fluide (gaz ou liquide) sont en perpétuel mouvement. Les particules bougent sans cesse, dans toutes les directions et au gré des chocs. La pression p est la force moyenne par unité de surface due aux particules venant frapper une paroi. Ainsi un solide ou une surface δs en contact avec un fluide subit une force dirigée selon la normale n à la surface : δ F p = pδs n Il faut noter que la pression peut ne pas être constante dans le fluide et dépend du point M ou elle s applique, on note p = p(m). Dans le cas d une surface plane S soumise à une pression constante alors on a simplement F p = ps n. La pression se mesure en Pascal (Pa) et 1 Pa = 10 5 bar = 1 N.m 2. Bouteille de gaz : Une bouteille de volume V est remplie d un gaz maintenu à la température T (en Kelvin (K)). La pression à l intérieur de la bouteille est constante et vérifie l équation des gaz parfaits : pv = nrt où R = 8, J.K 1.mol 1 et n est la quantité de matière (en mole). Barrage hydraulique : A la profondeur h par rapport à la surface libre, la pression de l eau dans le barrage vérifie la relation fondamentale de la statique : p(h) = p 0 +ρ e gh où p 0 est la pression atmosphérique (environ 1 bar) et ρ e est la masse volumique de l eau (ρ e 1000kg.m 3 ). La force résultante sur l ensemble du barrage est donnée par l intégrale de surface F p = p(h) n ds Poussée d Archimède : barrage Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé; cette force est appelée poussée d Archimède. Le point d application de cette force est le centre ce masse du fluide déplacé. bouteille de gaz sous pression barrage hydraulique poussée d Archimède Figure 5 Illustrations. 5

6 Frottement fluide et force de traînée Un frottement fluide est une force de frottement qui s exerce sur un objet qui se déplace dans un fluide; elle dépend de la vitesse relative v de l objet et du fluide. L exemple typique est celui d une bille qui tombe dans un liquide visqueux : plus elle va vite, plus la force de frottement fluide qui s exerce sur elle est importante, jusqu à ce que soit atteint un régime d équilibre où la force de frottement compense exactement la force de gravitation : la vitesse de la bille devient alors constante. Loi linéaire pour les faibles vitesses : Dans ce cas, l écoulement est dit rampant et la force de traînée F est due uniquement aux phénomène visqueux, on a F = kµ v où k est un coefficient dépendant de la forme de l objet et µ la viscosité dynamique du fluide. Loi quadratique pour les fortes vitesses : Dans ce cas la force de traînée est en grande partie due à la différence de pression entre l avant et l arrière de l objet, on a F = 1 2 C xρs v v où C x est le coefficient de traînée dépendant de la forme de l objet, ρ la masse volumique du fluide et S est l aire de projection de l objet sur un plan perpendiculaire à la vitesse. Figure 6 Ecoulement d air autour d un objet : à gauche l écoulement est rampant et la force de traînée suit une loi linéaire; à droite l écoulement est turbulent à l arrière de l objet et la force de traînée suit une loi quadratique. Objet C x disque 1,32 sphère 0,45 demi-sphère + cône 0,04 aile d avion 0,03 Table 1 Valeur du coefficient de traînée (sans dimension) en fonction de la forme de l objet. 6

7 III Forces dans les systèmes mécaniques Fil inextensible Le fil inextensible peut être vu comme un ressort de raideur infinie. Lorsqu il est accroché à un solide, il transmet un effort dont le point d application est le point d attache du fil sur le solide et dont la direction est portée par le fil. L amplitude de l effort transmis dépend des équations d équilibre. Attention : si c est une tige qui remplace le fil, l effort transmis peut avoir une direction quelconque (y compris dans une direction autre que celle de la tige). point d attache point d attache poulie T 2 fil tendu T tige R T 1 solide solide Figure 7 Pour un fil tendu, la direction de la force est portée par le fil, ce n est pas forcément vrai pour une tige rigide (ceci est dû à la masse de la tige). Dans le cas de la poulie, la tension du fil est constante T 1 = T 2 si (i) le fil glisse sans frottement ou bien (ii) si le fil ne glisse pas et entraîne ainsi la poulie de masse négligeable. Ressort Un ressort linéaire est caractérisé par sa raideur k (en N/m) et sa longueur à vide l 0. Lorsqu un ressort est attaché à un système mécanique, il transmet une force de rappel telle que : son point d application est le point d accroche du ressort, sa direction est celle du ressort, son sens est tel que le ressort tend à revenir à sa longueur au repos, son amplitude est proportionnelle à l allongement l l 0 du ressort (l étant la longueur du ressort) : F = k(l l 0 ) e x l 0 l e x l Figure 8 Ressort. 7