Chapitre 1. Pourcentages

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1 Chapire Pourcenages Classe de première ES / L Pourcenages I. Rappels - proporion e pourcenage... ) Proporion... ) Pourcenage... II. Pourcenage d'évoluion...3 ) Taux d évoluion à parir d un pourcenage. Coefficien muliplicaeur...3 ) Taux d'évoluion en pourcenage à parir d'une évoluion...4 III. Évoluions successives...4 IV. Evoluion réciproque...5 V. Évoluions e indices...6 VI. Résumé...7 Livre () Hachee Déclic 0 Livre (L) Haier Odyssée 0 A. Gniady Pourcenages page /

2 I. Rappels - proporion e pourcenage ) Proporion ex ex e e Définiion Soi E un ensemble fini e A une parie de l ensemble E. n E es le nombre d élémens de E e n A le nombre d élémens de A. La proporion ou la fréquence d élémens de A dans E es nbre d ' élémens de A p = nbre d ' élémens de E = n A n E - p es un nombre compris enre 0 e. - On exprime souven p en pourcenage par exemple si p = 0,65 alors p = 65 soi 65%. - La relaion p = n A n E perme, connaissan deux des rois nombres, de calculer le roisième. Exemple Une classe de 30 élèves conien filles. Quelle es la proporion de fille dans cee classe? Exprimer ensuie ce résula sous forme de pourcenage. n E = 30 n A = La proporion de filles dans la classe es p = 70 = 0,7 = 30. Dans cee classe, 70% des élèves son des filles. Remarque Nous sommes dans une siuaion de proporionnalié, que l on peu représener dans un ableau (produi en croix) p (en %) (%) 30 ) Pourcenage Calculer % d'un nombre N, c'es muliplier N par. Exemple Dans une classe de 30 élèves, 70% son demi-pensionnaires. Quel es le nombre d élèves demi-pensionnaires? =, élèves son demi-pensionnaires. Remarque pourcenage de pourcenage Calculer % de % d'un nombre N, c'es muliplier N par. A. Gniady Pourcenages page /

3 II. Pourcenage d'évoluion ) Taux d évoluion à parir d un pourcenage. Coefficien muliplicaeur. ac. ac. e e Propriéé Pour augmener une valeur de % il fau la muliplier par ( + ) Pour diminuer une valeur de % il fau la muliplier par ( ) Les nombres ( + ) e ( ) son appelés coefficiens muliplicaeurs. Si le CM es supérieur à il s'agi d'une hausse, s'il es inférieur à il s'agi d'une baisse Démonsraion Soi la valeur iniiale d'une grandeur e V sa valeur finale suie à une augmenaion de %. V = + = ( + ) Soi la valeur iniiale d'une grandeur e V sa valeur finale suie à une diminuion de %. V = = ( ) Exemples ) Un aricle coûai 5 en 03, il subi une augmenaion de %, quel es son prix après l augmenaion? 5 ( + ) = 5, = 8. Son prix après augmenaion es de p0 p0 ) Un aricle coûai 35 en 00. L année suivane son prix diminue de 8%. Quel es son prix après cee réducion? 35 ( 8 ) = 35 0,9 = 3,. Son prix après réducion es de 3,0 3) Compléer le ableau suivan Taux d'évoluion Remarques Augmenaion de 7 % Diminuion de 4,7 % Coefficien muliplicaeur,73 0,38 3,5 - Un CM n'a pas d'unié. - Un pourcenage d'augmenaion supérieur ou égal à % peu aussi s'exprimer à l'aide d'un coefficien muliplicaeur +00 % correspond à un CM = + 00 = 3. A. Gniady Pourcenages page 3 /

4 ) Taux d'évoluion en pourcenage à parir d'une évoluion p0 p0 Une grandeur évolue d une valeur iniiale à une valeur finale V. Le aux d'évoluion de cee grandeur es égal à V. En pourcenage le aux d'évoluion es % avec = V. Aenion au signe de Si es supérieur à 0 alors la grandeur es en hausse, s il es inférieur à 0 alors cee grandeur es en baisse. Exemples ) Le salaire d un employé es augmené en passan de 540 à 848. Quel es le aux d évoluion de ce salaire? = 540 e V = 848 = ( ) = 0. Le aux d'évoluion de ce salaire es de 0 %. ) Le sock d une enreprise subi une baisse de 70 kg à 07 kg. Quel es le pourcenage de baisse du sock de cee enreprise? = 70 e V = 07 = ( ) 3,3. Le sock a baissé de 3,3 %. 3 3 p, p, p p Propriéé Le coefficien muliplicaeur CM correspond à un aux d'évoluion. Alors = (CM ) Connaissan la valeur iniiale e la valeur finale V d'une grandeur, on a CM = V III. Évoluions successives Propriéé Lors de plusieurs évoluions successives les coefficiens muliplicaeurs se muliplien. On obien alors le coefficien muliplicaeur C g e le aux d évoluion g équivalen ou global. Démonsraion Si une grandeur évolue d une valeur iniiale à une valeur V don le aux d'évoluion es, puis d une valeur V à une valeur V don le aux d évoluion es ( e peuven êre posiifs,dans le cas d une augmenaion, ou négaifs dans le cas d une diminuion). A. Gniady Pourcenages page 4 /

5 % % V V g % p0, p0, p3, p3, 45p4 45p4 V = ( + ) = CM V = ( + ) V = CM V V = ( + ) ( + ) = CM CM Exemples ) Une acion coée en bourse augmene successivemen deux jours consécuifs le premier jour de 5% e le deuxième de 8%. Quel es le coefficien muliplicaeur global? Quel es le pourcenage d augmenaion globale en deux jours? V = ( + ) 5 ( + 8 ) =,05,08 =,34 Le coefficien muliplicaeur global es CM g =,34. g = (CM g ) = (,34 ) = 3,4 Le aux d'évoluion global es de +3,4 % ) Le prix du baril du pérole a baissé de 5% puis a augmené de 9% le mois suivan. Quel es le coefficien muliplicaeur global? Déerminer en pourcenage l évoluion globale du prix du baril duran ces deux derniers mois? V = ( ) 5 ( + 9 ) = 0,85,09 = 0,965 Le coefficien muliplicaeur global es CM g = 0,965. g = ( CM g ) = ( 0,965 ) = 7,35 Le prix du baril de pérole a baissé en deux mois de 7,35 %. IV. Evoluion réciproque Définiion Une grandeur évolue d une valeur iniiale à une valeur finale V. L évoluion réciproque de cee grandeur es l évoluion de la valeur V à une valeur finale. Propriéé Le coefficien muliplicaeur de l évoluion réciproque d une grandeur es l inverse du coefficien muliplicaeur de cee grandeur. Si es le aux d évoluion de cee grandeur alors le coefficien muliplicaeur réciproque es CM r = + = + A. Gniady Pourcenages page 5 /

6 Démonsraion Soi un pourcenage d'évoluion posiif ou négaif. Soi la valeur iniiale d'une grandeur e la valeur de cee grandeur obenue après une évoluion de %. On a V = ( + ) e donc V = V 0 ( + ) = L'évoluion réciproque a donc pour coefficien muliplicaeur Exemple V ( + ) = V ( +. + ) p4 p4 ) Le prix du baril de pérole a augmené de 7 %. Quel es le aux d évoluion qu il faudrai appliquer pour que le prix du baril de pérole rerouve son prix iniial? Il s agi de calculer le aux d évoluion réciproque don le aux es 7 %. Le coefficien muliplicaeur inverse es CM r = +7 0,8547. Soi un aux d'évoluion de r = ( 0,8547 ) = 4,53. Pour que le prix du baril de pérole revienne à son cours iniial il faudrai qu'il subisse une baisse d'environ 4,53 %. V. Évoluions e indices Exemple Prenons l'évoluion du SMIC horaire bru de 000 à p3 p3 Année SMIC horaire en 6,4 8,03 8,86 9,40 indice On choisi une année de référence e on lui affece l'indice. Année SMIC horaire en 6,4 8,03 8,86 9,40 indice Les indices correspondans aux aures années son ensuie calculés de elle sore que les proporions soien respecées pour 005 8,03 6,4 5, pour 00 8,86 6,4 38, pour 0 9, ,4 Année SMIC horaire en 6,4 8,03 8,86 9,40 indice A. Gniady Pourcenages page 6 /

7 VI. Résumé Coefficiens muliplicaeurs hausse CM = +, baisse CM =. Taux d'évoluion en pourcenage = V. = (CM ). CM = V Lors de plusieurs évoluions successives les coefficiens muliplicaeurs se muliplien. Le coefficien muliplicaeur de l évoluion réciproque d une grandeur es l inverse du coefficien muliplicaeur de cee grandeur CM r = + = + Indice I = V (indice base pour ). 5-, 5-, p p 7, 7, QCM QCM p9 p9 A. Gniady Pourcenages page 7 /