PROGRAMME DE MATHEMATIQUES ANNEE 4 DU SECONDAIRE

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1 Ecoles européennes Bureau du Secrétaire Général Unité de développement pédagogique Ref.:010-D-591-fr- Orig.: EN PROGRAMME DE MATHEMATIQUES ANNEE 4 DU SECONDAIRE Cours à 6 périodes/semaine APPROUVE PAR LE COMITE PEDAGOGIQUE MIXTE DES 4 ET 5 FEVRIER 010 A BRUXELLES Entrée en application en septembre D-591-fr- 1/14

2 ALGEBRE (80 périodes) SUJET CONNAISSANCES ET COMPETENCES SUPPORT TECHNOLOGIQUE Calculs de base L élève doit savoir et/ou être capable de : dans les ensembles, et - vérifier les règles et les propriétés de calcul déjà étudiées dans les années 1, et 3 et les utiliser dans des expressions algébriques simples. - effectuer les calculs de base,, x et - manipuler une calculatrice - passer d une écriture décimale à une écriture fractionnaire et vice-versa - gérer le mode de calcul approché et exact - calculer le PPCM et le PGCD de deux nombres - simplifier, développer et factoriser des expressions numériques - utiliser la calculatrice pour le contrôle des résultats Nombres rationnels - définir un nombre rationnel - passer d une écriture décimale à une écriture fractionnaire et vice-versa. - Comprendre et utiliser les différents modes d affichage d un nombre rationnel. Racines carrées et un nouvel ensemble de nombres - reconnaître des problèmes qui conduisent aux racines carrées - résoudre x a,(a ) par la méthode des essais (avec la calculatrice) - donner la définition de a - comprendre l idée de racine carrée - reconnaître que le carré d un nombre et la racine carrée sont des opérations réciproques - connaître par cœur les racines carrées des carrés parfaits (compris entre 1 et 400) - résoudre x a; a par essais - observer les propriétés des racines carrées - démontrer que et reconnaître d autres nombres irrationnels - calculer la racine carrée d un nombre 010-D-591-fr- /14

3 SUJET CONNAISSANCES ET COMPETENCES - connaître et appliquer les identités suivantes : a a a b ab ; pour a, b b b n m n m pour n, m par exemple 1 3 ² a a pour a - calculer des expressions plus difficiles du type : (3 1) ;( 3 5)( 1 ) - rendre rationnel le dénominateur d une fraction et donner les conditions d existence de celle-ci - encadrer une racine entre deux nombres décimaux SUPPORT TECHNOLOGIQUE - simplifier des expressions contenant des racines carrées - approcher un nombre irrationnel par un nombre décimal - approcher un nombre irrationnel à l aide d un nombre rationnel Nombres réels - comprendre la nécessité de définir l ensemble des nombres réels - se rendre compte que - se rendre compte que toutes les règles arithmétiques valables dans l ensemble sont aussi applicables dans l ensemble - comprendre que chaque point de la droite numérique correspond à un et un seul nombre réel et vice-versa - interpréter correctement un résultat numérique affiché par la calculatrice. - connaître les différents modes d affichage - distinguer entre valeur exacte et approchée Puissances et expressions algébriques - connaître les définitions et les formules des puissances avec exposant positif -n - définir a avec n - généraliser les formules des puissances au cas des exposants négatifs - simplifier les expressions algébriques du type : - simplifier des expressions 010-D-591-fr- 3/14

4 SUJET CONNAISSANCES ET COMPETENCES SUPPORT TECHNOLOGIQUE ab 1 7ab, 3a b18a b - transformer un nombre en notation scientifique et viceversa - donner un nombre en notation scientifique avec un nombre donné de chiffres significatifs - effectuer des calculs avec des nombres en notation scientifique - introduire un nombre écrit en notation scientifique - utilisation de la mémoire de la calculatrice pour calculer des valeurs numériques utilisant des nombres écrits en notation scientifique Proportionnalité, fonctions affines et équations du 1 er degré - reconnaître qu une valeur dépend d une autre et introduire la notion de fonction - reconnaître une fonction affine ainsi que l équation de sa représentation graphique y mx p - Transformer une équation du type ax by c ;( b 0) dans la forme y mx p et vice-versa - reconnaître que la représentation graphique de l équation ax by c, y compris le cas b 0, est une droite et viceversa - comprendre la signification de m et p - définir m et p du point de vue géométrique - trouver une équation de la droite connaissant: deux de ses points un point et son coefficient directeur sa représentation graphique - déterminer le zéro d une fonction affine de façon algébrique et géométrique - reconnaître des problèmes concrets qui conduisent à de telles fonctions - mettre en équation des problèmes simples - résoudre des équations du 1 er degré à une inconnue - comprendre que l équation ax by c, avec a et b non nuls, a un nombre infini de solutions - tracer le graphique d une fonction affine - effectuer la transformation ax by c y mx p ; b 0 déterminer l équation d une fonction affine connaissant son graphique - utiliser les curseurs pour faire varier m et p - déterminer le point d intersection avec l axe x connaissant le graphique ou l équation d une fonction affine - dessiner un ensemble de points alignés et le graphique de la fonction affine - résoudre des équations se ramenant à des équations du premier degré - résoudre des équations pas à pas et contrôler les solutions - vérifier les résultats avec la calculatrice 010-D-591-fr- 4/14

5 SUJET CONNAISSANCES ET COMPETENCES - donner une interprétation géométrique de ces équations - reconnaître des problèmes concrets qui conduisent à de telles équations et les résoudre sans l utilisation de la calculatrice. SUPPORT TECHNOLOGIQUE Systèmes d équations linéaires du type : ax by c dx ey f - reconnaître des problèmes concrets qui conduisent à un système d équations - résoudre un système d équations de façon géométrique - reconnaître, à partir des équations ou des représentations graphiques, qu un tel système a une, aucune ou un nombre infini de solutions - résoudre un système d équations par une méthode de substitution ou par combinaisons - vérifier les solutions - résoudre des problèmes concrets - tracer le graphique de deux fonctions affines - résoudre un système d équations - résoudre un système d équations pas à pas - vérifier les solutions - montrer de manière dynamique que les points dont les coordonnées vérifient une équation de type ax by c sont alignés Inéquations de premier degré et programmation linéaire - utiliser les propriétés suivantes: si a b alors ac bc alors ad bd si d 0 alors ad bd si d 0 - résoudre les inéquations de premier degré - former des systèmes d inéquations à partir de problèmes concrets - tracer le graphique des fonctions affines et vérifier la région ombrée - tracer le graphique des fonctions affines et vérifier la région solution et la solution optimale. - résoudre géométriquement des systèmes d inéquations du type : 010-D-591-fr- 5/14

6 SUJET CONNAISSANCES ET COMPETENCES SUPPORT TECHNOLOGIQUE ax by c dx ey f gx hy j - utiliser des inéquations du premier degré à une inconnue dans des problèmes de programmation linéaire, par exemple en économie. Fonctions et équations du nd degré. - tracer les paraboles du type : y ax - comparer graphiquement y x p et y x p avec y x - en déduire les graphiques de y a x p y a x p q - trouver graphiquement et en utilisant la forme canonique y ax p q, l axe de symétrie et les coordonnés du sommet de la parabole - trouver les zéros d une fonction quadratique et les interpréter géométriquement - déterminer algébriquement et géométriquement les et q intersections d une droite et d une parabole - trouver les valeurs de x qui vérifient f x 0 ou f x 0 - résoudre les équations qui se réduisent à des équations de premier degré par exemple 0; ax ax b cx d b e cx d - résoudre x a, a - utiliser la factorisation pour simplifier une expression et vérifier que les graphes ont été tracés correctement étudier l effet d un changement des coefficients dans une fonction du type : y ax p q par l utilisation de curseurs vérifier algébriquement et géométriquement les intersections d une droite et d une parabole f x ou f x 0 vérifier où 0 vérifier les solutions pour une variété d équations quadratiques 010-D-591-fr- 6/14

7 SUJET CONNAISSANCES ET COMPETENCES pour résoudre une équation ; inclure les résultats a b a ab b et a b ab a b - résoudre une équation en l écrivant sous la forme x a b - connaître et appliquer la formule pour la solution générale de l équation ax bx c 0 - connaitre la relation entre les coefficients et les solutions de l équation générale - déterminer le nombre des solutions de l équation générale en utilisant le discriminant b 4ac - résoudre des problèmes conduisant à une équation quadratique SUPPORT TECHNOLOGIQUE factoriser et résoudre les équations Polynômes - définir un monôme - définir un polynôme comme somme de monômes - additionner, soustraire et multiplier des expressions algébriques avec des puissances - simplifier et ordonner des expressions algébriques polynomiales - évaluer les polynômes pour des valeurs données de la variable indépendante - effectuer des factorisations simples, y compris a 3a b3ab b a b - calculer la valeur numérique d une expression algébrique connaissant les valeurs numériques des variables - simplifier des expressions algébriques avec des puissances - simplifier des expressions algébriques avec des polynômes - factoriser des expressions algébriques - développer l expression a b n et calculer les coefficients du triangle de Pascal 010-D-591-fr- 7/14

8 STATISTIQUES (3 périodes) SUJETS CONNAISSANCES ET COMPETENCES SUPPORT TECHNOLOGIQUE Collecte, organisation et analyse des données - reconnaître populations et échantillons dans les situations de la vie de tous les jours - distinguer données discrètes et continues - déterminer les fréquences à partir des données brutes collectées - dresser un tableau de fréquences - transformer les fréquences en pourcentages et vice-versa - établir l étendue d un ensemble de données - former des intervalles par classes de même amplitude - dresser un tableau de fréquences cumulées - calculer la moyenne arithmétique et la médiane - insérer des données dans un tableur - ordonner des données dans un tableau de fréquences - utiliser la calculatrice pour transformer les effectifs en pourcentages et vice versa - déterminer les valeurs minimale et maximale d un ensemble de données numériques - définir et nommer une variable - calculer les fréquences cumulées - calculer la moyenne arithmétique et la médiane Données, population, échantillon Organisation des données - distinguer données qualitatives et quantitatives, discrètes et continues - distinguer population et échantillon - décrire un échantillon - définir une variable statistique - regrouper des données en classes et trouver, pour chaque classe : les limites supérieures et inférieures l amplitude le centre - calculer la distribution des fréquences dans les cas de classes de même amplitude - former le tableau des fréquences cumulées - déterminer les limites supérieures et inférieures, l amplitude et le centre de chaque classe - calculer la moyenne arithmétique et la médiane 010-D-591-fr- 8/14

9 SUJETS CONNAISSANCES ET COMPETENCES SUPPORT TECHNOLOGIQUE Représentation des données - choisir le diagramme statistique approprié au type de données - tracer des histogrammes dans le cas de classes de même amplitude - tracer le polygone des fréquences cumulées - tracer une boîte à moustaches - représenter des données à l aide d un diagramme en bâtons, un histogramme ou une boîte à moustaches. Analyse des données - calculer et interpréter, à partir des effectifs ou d un diagramme, la classe modale et une estimation de la moyenne - calculer et interpréter, à partir du tableau ou du polygone des fréquences cumulées une estimation de la médiane et de l écart interquartile - calculer une estimation de la moyenne arithmétique - calculer une estimation de la médiane - calculer l écart interquartile Interprétation et comparaison des données - décider quelle moyenne représente au mieux la distribution des données - comparer et interpréter deux distributions par rapport à leurs moyennes et médianes quartiles histogrammes et boîtes à moustaches - tracer les histogrammes simultanés et les boîtes à moustaches pour deux distributions et les comparer 010-D-591-fr- 9/14

10 GEOMETRIE (80 périodes) SUJETS CONNAISSANCES ET COMPETENCES SUPPORT TECHNOLOGIQUE Cercles Triangles semblables et théorème de Thalès - donner une définition du cercle et du disc - définir un secteur, un arc de cercle et une corde - définir un angle au centre et un angle inscrit - définir la notion de droite tangente à un cercle - démontrer et appliquer les théorèmes suivants : - tous les angles inscrits dans un cercle, associés au même arc, sont égaux - tous les angles inscrits dans un demi-cercle sont droits - l angle entre le rayon et la tangente est droit - l angle au centre est le double de l angle inscrit - l angle que fait la tangente en un point avec une corde d extrémité ce point est la moitié de l angle au centre interceptant l arc correspondant - calculer le périmètre d un cercle et l aire d un disque - calculer la longueur d un arc et l aire d un secteur circulaire. - reconnaître et utiliser les propriétés des triangles semblables - savoir qu une projection parallèle d un segment sur une droite conserve : - l égalité des longueurs - le rapport entre longueurs - démontrer et utiliser le théorème des milieux (pour un triangle) - reconnaître le théorème de Thalès et sa réciproque - appliquer ces résultats au calcul des longueurs et comme démonstration du parallélisme de deux droites. - observer de manière dynamique le quotient de la circonférence sur le diamètre : - explorer à l aide d une calculatrice les résultats ci-contre - observer de manière dynamique quelques théorèmes sur les cercles - vérifier en mesurant les angles - calculer la longueur d un arc - calculer l aire d un disque ou d un secteur circulaire - vérifier les rapports des longueurs au moyen de la construction et de la mesure - démontrer par des procédures dynamiques le théorème en utilisant variables et curseurs 010-D-591-fr- 10/14

11 SUJETS CONNAISSANCES ET COMPETENCES SUPPORT TECHNOLOGIQUE Agrandissements et figures semblables L élève doit savoir et/ou être capable de : - construire des figures géométriques homothétiques de centre et de rapport d homothétie (positif et négatif) donnés - déterminer l image d un point, d une droite et d une demidroite - déterminer l image d un segment et le rapport des longueurs - reconnaître et utiliser les invariants des homothéties - trouver le centre et le rapport d homothétie étant donné deux figures homothétiques - calculer le rapport entre longueurs, aires et volumes de figures semblables - dessiner des figures homothétiques simples - découvrir le rapport d une homothétie en utilisant variables et curseurs - vérifier les invariants à l aide de mesures - utiliser la calculatrice pour explorer le rapport entre longueurs, aires et volumes de figures semblables Le théorème de Pythagore L élève doit savoir et/ou être capable de : - reconnaître et démontrer le théorème de Pythagore et sa réciproque - connaître l existence de différentes façons de démontrer le théorème de Pythagore - appliquer le théorème de Pythagore à des problèmes à deux dimensions - reconnaître des problèmes concrets et appliquer le théorème de Pythagore - vérifier le théorème en utilisant : la mesure des longueurs des côtés la mesure d aires Rapports trigonométriques dans un triangle rectangle L élève doit savoir et/ou être capable de : - déterminer les rapports trigonométriques (R.T.) d un angle aigu - déterminer la mesure d un angle connaissant un de ses R.T. - comparer les R.T. de deux angles complémentaires : 0 cos sin 90 - vérifier les résultats et calculer les valeurs des R.T. - observer de manière dynamique les rapports qui définissent sin, cos et tan 010-D-591-fr- 11/14

12 SUJETS CONNAISSANCES ET COMPETENCES SUPPORT TECHNOLOGIQUE - savoir que, pour tout angle aigu x, on a : 0 sinx 1 0 cosx 1 - connaître les valeurs de sinus et cosinus pour quelques angles remarquables - calculer les longueurs des côtés et les mesures des angles d un triangle rectangle : - cas simples (étant donnés deux éléments, en trouver un troisième) - applications concrètes - connaître les résultats fondamentaux sin cos 1 sin tan cos Trigonométrie et géométrie dans l espace L élève doit savoir et/ou être capable de : - calculer les longueurs des côtés et les mesures des angles dans un triangle rectangle et appliquer ces résultats aux sections planes d un prisme, d une pyramide et d un cône - appliquer la trigonométrie à la solution de problèmes concrets - déterminer le volume, esquisser le patron et calculer l aire de la surface totale des objets suivants : cube, parallélépipède, prisme triangulaire droit, triangle et pyramide à base carrée, cylindre et cône - esquisser les sections planes d un objet et utiliser ces sections pour calculer des distances et des angles - calculer l apothème d un cône en connaissant la hauteur et la circonférence - vérifier les résultats et effectuer des calculs. 010-D-591-fr- 1/14

13 SUJETS CONNAISSANCES ET COMPETENCES SUPPORT TECHNOLOGIQUE Vecteurs dans le plan - définir un vecteur - construire un représentant d un vecteur - définir une translation à l aide des vecteurs - définir - l opposé d un vecteur - le vecteur nul - la colinéarité des vecteurs - l égalité des vecteurs - la norme d un vecteur - démontrer et utiliser la propriété suivante: AB CD AC BD - construire un vecteur - opérer des translations en utilisant des vecteurs Somme de vecteurs - composer des translations - additionner et soustraire deux vecteurs - énoncer et utiliser les propriétés de la somme de vecteurs - montrer la somme de vecteurs à l aide de la composition de translations Produit d un vecteur par un nombre - multiplier un vecteur par un nombre réel - énoncer et utiliser les propriétés du produit d un vecteur par un nombre réel - établir le lien entre la colinéarité et le produit d un vecteur par un nombre réel 010-D-591-fr- 13/14

14 SUJETS CONNAISSANCES ET COMPETENCES SUPPORT TECHNOLOGIQUE Transformations et vecteurs - montrer que les projections parallèles, les translations, les homothéties et les symétries conservent l égalité des vecteurs - effectuer des transformations Combinaison linéaire de vecteurs Vecteurs dans un repère - construire un vecteur comme combinaison linéaire de deux vecteurs donnés - exprimer un vecteur comme combinaison linéaire de deux vecteurs donnés - définir et représenter un vecteur dans un repère du plan - additionner et soustraire deux vecteurs et utiliser les propriétés de la somme - multiplier un vecteur par un nombre réel et utiliser les propriétés de ce produit - énoncer et utiliser les propriétés du produit d un vecteur par un nombre réel - construire un vecteur comme combinaison linéaire de deux vecteurs donnés - exprimer un vecteur comme combinaison linéaire de deux vecteurs donnés - déterminer les coordonnées d un vecteur dans une base donnée 010-D-591-fr- 14/14